拉格朗日定理的证明 拉格朗日定理拉格朗日定理的证明 拉格朗日定理
拉格朗日中值定理又称拉氏定理，是罗尔中值定理的推广，同时也是柯西中值定理的
特殊情形。
如果函数f(x)在(a，b)上可导，[a,b]
上连续，则必有一ξ?(a,b)，使得
f’(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a)
拉格朗日中值定理的几何意义
。
在(a，b)上可导，[a,b]上连续是拉格朗日中值定理成立的充分条件。
理解——这个定理说的是什么
1.在满足定理条件的前提下，函数f(x)上必有【一点的切线】与【f(x)在x=a，b处对应的两点((a,f(a))和...
拉格朗日定理的证明 拉格朗日定理
拉格朗日中值定理又称拉氏定理，是罗尔中值定理的推广，同时也是柯西中值定理的
特殊情形。
如果函数f(x)在(a，b)上可导，[a,b]
上连续，则必有一ξ?(a,b)，使得
f’(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a)
拉格朗日中值定理的几何意义
。
在(a，b)上可导，[a,b]上连续是拉格朗日中值定理成立的充分条件。
理解——这个定理说的是什么
1.在满足定理条件的前提下，函数f(x)上必有【一点的切线】与【f(x)在x=a，b处对应的两点((a,f(a))和(b,f(b))点的
1
连线平行)。f’(ξ)=[f(b)-f(a)]/(b-a)，等号后为x=a，b对应两点的连线斜率，等号前为f(x)上一点的导数的值，也就是f(x)上一点的斜率，两斜率相等，两线平行。这是几何上的理解方式。
2.我们将f(x)函数求导，得到f’(x)，众所周知f’(x)函数记录的其实就是【f(x)函数在每一个瞬间的变化状态】。即，在x=x1这一瞬间f(x)进行了程度为f’(x1)的变化，在x=x2这一瞬间f(x)进行了程度为f’(x2)的变化……。函数由f(a)变化到f(b)的过程，其实就是f’(x)函数在(a，b)区间中记录的变化状态的依次累加，就是对f’(x)函数在(a，b)区间的值进行积分的过程。那么，将这一过程中所有的变化状态的值一起取一个平均，这个平均值的数值一定在f’(x)的某一点上出现过(即f’(ξ))，因为f(x)连续，则其导数也连续。这个平均值乘上变化的区间(a到b)的长度 就等于这个 变化的变化量【
】。即所谓的必有一
，使f’(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a)。即，【a，b区间上f(x)函数的变化量】
=【a，b区间内f(x)函数变化状态的平均值乘以区间长度】。这是代数理解方式。[1]
2
其它形式
拉格朗日中值定理的几何意义 令f(x)为y，则该公式可写成
?y=f’(x+θ?x)*?x (0
上式给出了自变量取得的有限增量?x时，函数增量?y的准确表达式， 因此本定理也叫有限增量定理。
f(b)-f(a)=f’(a+θ(b-a))(b-a),0
f(a+h)-f(a)=f’(a+θh)h,0
定理内容
若函数f(x)在区间[a,b]满足以下条件:
(1)在[a,b]连续
(2)在(a,b)可导
则在(a,b)中至少存在一点f’(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a) a
使
公式
f(b)-f(a)=f’(c)(b-a) 成立，其中a
c换成x再不定积分得原函数f(x)= a)}x.
做辅助函数
易证明此函数在该区间满足条件:
3
1.g(a)=g(b)=0;
2.g(x)在[a,b]连续;
3.g(x)在(a,b)可导.
此即罗尔定理 寒烟
几何意义
若连续曲线y=f(x)在A(a,f(a)),B(b,f(b))两点间的每一点处都有不垂直于x轴的切线,则曲线在A,B间至少存在1点P(c,f(c)),使得该曲线在P点的切线与割线AB平行。 物理意义
对于直线运动，在任意一个运动过程中至少存在一个位置(或一个时刻)的瞬时速度等于这个过程中的平均速度。
推论 如果函数在区间Q上的导数恒为零，那么函数在区间Q上是一个常数。 证明:f(b)-f(a)=f’(ξ)*(b-a) ξ?[a,b]
由于已知f’(ξ)=0，f(b)-f(a)=0，即f(b)=f(a)
这就是说，在区间内任意两点的函数值都相等。因此函数在区间内是一个常数。
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