1．已知：函数y=ax2+x+1的图象与x轴只有一个公共点．
（1）求这个函数关系式；
（2）如图所示，设二次函数y=ax2+x+1图象的顶点为B，与y轴的交点为A，P为图象上的一点，若以线段PB为直径的圆与直线AB相切于点B，求P点的坐标；
（3）在（2）中，若圆与x轴另一交点关于直线PB的对称点为M，试探索点M是否在抛物线y=ax2+x+1上？若在抛物线上，求出M点的坐标；若不在，请说明理由．
分析：（1）此题应分两种情况：①a=0，此函数是一次函数，与x轴只有一个交点；
②a≠0，此函数是二次函数，可由根的判别式求出a的值，以此确定其解析式；
（2）设圆与x轴的另一个交点为C，连接PC，由圆周角定理知PC⊥BC；由于PB是圆的直径，且AB切圆于B，得PB⊥AB，由此可证得△PBC∽△BAO，根据两个相似三角形的对应直角边成比例，即可得到PC、BC的比例关系，可根据这个比例关系来设P点的坐标，联立抛物线的解析式即可求出P点的坐标；
（3）连接CM，设CM与PB的交点为Q，由于C、M关于直线PB对称，那么PB垂直平分CM，即CQ=QM；过M作MD⊥x轴于D，取CD的中点E，连接QE，则QE是Rt△CMD的中位线；在Rt△PCB中，CQ⊥OB，QE⊥BC，易证得∠BQE、∠QCE都和∠CPQ相等，因此它们的正切值都等于1 2 （在（2）题已经求得）；
由此可得到CE=2QE=4BE，（2）中已经求出了CB的长，根据CE、BE的比例关系，即可求出BE、CE、QE的长，由此可得到Q点坐标，也就得到M点的坐标，然后将点M代入抛物线的解析式中进行判断即可．
2. 如图，圆B切y轴于原点O，过定点A（-2 3 ，0）作圆B的切线交圆于点P，已知tan∠PAB= 3/3 ，抛物线C经过A，P两点．
（1）求圆B的半径．（2）若抛物线C经过点B，求其解析式．
（3）设抛物线C交y轴于点M，若三角形APM为直角三角形，求点M的坐标．
分析：（1）因为AP是⊙B的切线，所以连接PB可构造出直角三角形，利用直角三角形的性质及特殊角的三角函数值即可求出圆B的半径．
（2）根据⊙B的半径可求出B点坐标，利用勾股定理或切割线定理可求出AP的距离，根据AP、BP的长可求出P点坐标，再利用待定系数法即可求出二次函数的解析式．
（3）求出P点坐标和A点坐标，设出M点坐标为（0，t），根据勾股定理及其逆定理解答．
解答：1。解：（1）当a=0时，y=x+1，图象与x轴只有一个公共点
当a≠0时，△=1-4a=0，a=1 4 ，此时，图象与x轴只有一个公共点．
∴函数的解析式为：y=x+1或y=1 4 x2+x+1；
（2）设P为二次函数图象上的一点，过点P作PC⊥x轴于点C；
∵y=ax2+x+1是二次函数，由（1）知该函数关系式为：y=1 4 x2+x+1，
∴顶点为B（-2，0），图象与y轴的交点坐标为A（0，1）
∵以PB为直径的圆与直线AB相切于点B
∴PB⊥AB则∠PBC=∠BAO
∴Rt△PCB∽Rt△BOA
∴PC OB =BC AO ，故PC=2BC，
设P点的坐标为（x，y），
∵∠ABO是锐角，∠PBA是直角，
∴∠PBO是钝角，∴x＜-2
∴BC=-2-x，PC=-4-2x，
即y=-4-2x，P点的坐标为（x，-4-2x）
∵点P在二次函数y=1 4 x2+x+1的图象上，
∴-4-2x=1 4 x2+x+1 解得：x1=-2，x2=-10
∵x＜-2，∴x=-10，
∴P点的坐标为：（-10，16）
（3）点M不在抛物线y=ax2+x+1上
由（2）知：C为圆与x轴的另一交点，连接CM，CM与直线PB的交点为Q，过点M作x轴的垂线，垂足为D，取CD的中点E，连接QE，则CM⊥PB，且CQ=MQ，即QE是中位线．
∴QE∥MD，QE=1 2 MD，QE⊥CE
∵CM⊥PB，QE⊥CE，PC⊥x轴
∴∠QCE=∠EQB=∠CPB
∴tan∠QCE=tan∠EQB=tan∠CPB=1 2
CE=2QE=2×2BE=4BE，又CB=8，
故BE=8 5 ，QE=16 5
∴Q点的坐标为（-18 5 ，16 5 ）
可求得M点的坐标为（14 5 ，32 5 ）
∵1 4 (14 5 )2+14 5 +1=144 25 ≠32 5
∴C点关于直线PB的对称点M不在抛物线y=ax2+x+1上．
2. 解：（1）连接PB，则PB⊥AP，设PB=r，
∵tan∠PAB= 3 3 ，
∴∠PAB=30°，
故r=1 2 （OA+OB）=1 2 （2 3 +r）， 解得r=2 3 ．
（2）如P在第一象限，OP与x轴的夹角=2∠PAB=60°
则：P点坐标（2 3 cos60°，2 3 sin60°），即（ 3 ，3）
B、A关于y轴对称，所以抛物线顶点必在y轴上，设为（0，m）
抛物线解析式：y-m=kx2，将（ 3 ，3），（2 3 ，0），代入，
得：3-m=3k，-m=12k，m=4，k=-1 3
抛物线解析式：y=-1 3 x2+4
若P点在四象限，则：P点坐标（ 3 ，-3），则抛物线解析式：y=1 3 x2-4
（3）由于P点坐标为（ 3 ，3），A点坐标为（-2 3 ，0），M点坐标为（0，t）．
根据勾股定理，①PA2=PM2+AM2，36=t2-6t+12+12+t2，解得t=3± 33 2 ；
②PM2=PA2+AM2，t2-6t+12=36+12+t2，解得t=-6；
③AM2=PA2+PM2，12+t2=36+t2-6t+12，解得t=6．
于是M点坐标为（0，-6），（0，6），（0，3+ 33 2 ），（0，3- 33 2 ）．
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