初中数学--直角三角形的相关知识
有一个角为直角的三角形称为直角三角形。在直角三角形中，与直角相邻的两条边称为直角边，直角所对的边称为斜边。直角三角形直角所对的边也叫作“弦”。若两条直角边不一样长，短的那条边叫作“勾”，长的那条边叫作“股”。
一、直角三角形图示
直角三角形如图所示：分为两种情况，有普通的直角三角形，还有等腰直角三角形（特殊情况)
二、直角三角形判定定理
等腰直角三角形是一种特殊的三角形
等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质：具有稳定性、内角和为180°。两直角边相等，两锐角为45°，斜边上中线、角平分线、垂线三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为此三角形外接圆的半径R。
三、直角三角形基本性质
等腰直角三角形的边角之间的关系 ：
（1）三角形三内角和等于180°；
（2）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和；
（3）三角形的一外角大于任何一个和它不相邻的内角；
（4）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
（5）在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边.
等腰直角三角形中的四条特殊的线段：角平分线，中线，高，中位线.
（1）三角形的角平分线的交点叫做三角形的内心，它是三角形内切圆的圆心，它到各边的距离相等. （三角形的外接圆圆心，即外心，是三角形三边的垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等）
.（2）三角形的三条中线的交点叫三角形的重心，它到每个顶点的距离等于它到对边中点的距离的2倍。
（3）三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心。
（4）三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的二分之一。
（5）三角形的一条内角平分线与两条外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。
注意：
①任意三角形的内心、重心都在三角形的内部 .
②钝角三角形垂心、外心在三角形外部。
③直角三角形垂心、外心在三角形的边上。
（直角三角形的垂心为直角顶点，外心为斜边中点。）
④锐角三角形垂心、外心在三角形内部。
⑤任意三角形的旁心一定在三角形的外部。
四、直角三角形特殊性质
它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：
性质1:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如图，∠BAC=90°，则AB2+AC2=BC2（勾股定理)
性质2:在直角三角形中，两个锐角互余。如图，若∠BAC=90°，则∠B+∠C=90°
性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（即直角三角形的外心位于斜边的中点，外接圆半径R=C/2）。该性质称为直角三角形斜边中线定理。
性质4:直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。
性质5:如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：
射影定理图
（1）（AD)2=BD·DC。
（2）（AB)2=BD·BC。
（3）（AC)2=CD·BC。
射影定理，又称“欧几里德定理”：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。是数学图形计算的重要定理。
性质6:在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°。
证明
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方法多种，下面采取较简单的几何证法。
先证明定理的前半部分，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，那么BC=AB/2
∵∠A=30°
∴∠B=60°（直角三角形两锐角互余）
取AB中点D，连接CD，根据直角三角形斜边中线定理可知CD=BD
∴△BCD是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）
∴BC=BD=AB/2
再证明定理的后半部分，Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=AB/2，那么∠A=30°
取AB中点D，连接CD,那么CD=BD=AB/2（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）
又∵BC=AB/2
∴BC=CD=BD
∴∠B=60°
∴∠A=30°
性质7:如图，
在Rt△ABC中∠BAC=90°，AD是斜边上的高，则：
证明：S△ABC=1/2*AB*AC=1/2*AD*BC
两边乘以2，再平方得AB2*AC2=AD2*BC2
运用勾股定理，再两边除以
,最终化简即得
性质8:直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。
五、直角三角形判定方法
判定1：有一个角为90°的三角形是直角三角形。
判定2：若
，则以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形（勾股定理的逆定理）。
判定3：若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半，则这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形。
判定4：两个锐角互为余角（两角相加等于90°）的三角形是直角三角形。
判定5：若两直线相交且它们的斜率之积互为负倒数，则两直线互相垂直。那么这个三角形为直角三角形。
判定6：若在一个三角形中一边上的中线等于其所在边的一半，那么这个三角形为直角三角形。参考直角三角形斜边中线定理
判定7：一个三角形30°角所对的边等于某一邻边的一半，则这个三角形为直角三角形。
判定3和7的证明：
已知△ABC中，∠A=30°，∠A，∠C对的边分别为a，c，且a=1/2c。求证∠C=90°
证法1：
正弦定理，在△ABC中，有a:sinA=c:sinC
将a与c的关系及∠A的度数代入之后化简得sinC=1
又∵0<∠C<180°
∴∠C=90°
证法2
反证法，假设∠ACB≠90°，过B作BD⊥AC于D
在Rt△ABD中,∵∠ADB=90°,∠A=30°
∴BD=1/2 AB（30°的直角边等于斜边的一半）
又∵BC=1/2 AB
∴BC=BD
但BD是B到直线AC的垂线段，根据垂线段最短可知BD
设计
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图的一部分，点D是斜梁AB的中点
立柱为BC，DE垂直于横梁AC，AB=7.4m，∠A=30°，求BC、DE要多长？
解：∵DE⊥AC，BC⊥AC，∠A=30°
又
九、直角三角形斜边公式
（一）已知两条直角边的长度 ，可按公式： 计算斜边。
（二）如已知一条直角边和一个锐角，可用直角三角函数计算斜边。
直角三角形ABC的六个元素中除直角C外，其余五个元素有如下关系：
∠A+∠B=90°
sinA=（∠A的）对边/斜边
cosA=（∠A的）邻边/斜边
tanA=（∠A的）对边/邻边
例：角A等于30°，角A的对边是4米，计算斜边C是多少？
查表sin30°=0.5，斜边C=4/0.5=8米
十、直角三角形三角函数
三角函数值除了查表，也可以用电脑系统自带的计算器，计算。
开始——程序——附件——计算器。这个计算器有两种模式，点‘查看’有一个下拉菜单，有标准型和科学型，选择科学型，输入度数后正弦点sin，余弦点cos，正切点tan，值就直接显示出来了。
这里有一个度和度分秒转换的问题。如 18.69度，其中整数18就是18°，那么18.69-18=0.69，用0.69×60=41.4这里整数41就是41分，再41.4-41=0.4，
再用0.4×60=24这个24就是秒。18.69度=18度41分24秒
也可以用计算器直接转换：输入度数18.69——钩上Hyp——再点dms
就显示出18.4124，这就是18度41分24秒。
如要转换回去就输入18.4124——钩上Inv——再点dms,就转换了。
有一点请注意，显示度分秒时，小数点后面是一位数或三位数如：
15.3； 15.302，应读作15度30分；和15度30分20秒。
十一、直角三角形解直角三角形
含义：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即3条边和2个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素，求出未知元素的过程，叫做解直角三角形。
1.三条边的关系：
2.归纳
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程：
1. 将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）。
2. 根据条件的特点，适当选用锐角三角形函数等去解直角三角形；
3. 得到数学问题的答案。
4. 得到实际问题的答案。
十二、直角三角形斜边中线定理
1、定理内容
如果一个三角形是直角三角形,那么这个三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
2、直角三角形斜边中线定理逆命题
其逆命题1：如果一个三角形一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形，且这条边为直角三角形的斜边。
逆命题1是正确的。以该条边的中点为圆心，以中线长为半径作圆，则该边成为圆的直径，该三角形的另一个顶点在圆上，该顶角为圆周角。因为直径上的圆周角是直角，所以逆命题1成立。
原命题2：如果CD是直角三角形ABC斜边AB上的中线，那么它等于AB的一半。
逆命题2：如果线段BD的一端B是直角三角形ABC的顶点，另一端D在斜边AC上，且BD等于AC的一半，那么BD是斜边AC的中线。
逆命题2是不成立的。举一个反例。设直角三角形三边长分别为AB=3，BC=4，AC=5。斜边的一半长为2.5,斜边上的高BE=（3*4）/5=2.4,在线段AE上上必能找到一点D，使BD=2.5，但BD并不是AC边的中线，因为AC边的中点在线段EC上。
逆命题3：若直角三角形斜边上一点与直角顶点的连线等于该点分斜边所得两条线段中任意一条时，该点为斜边中点。几何描述：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是斜边AB上一点。若CD=AD或CD=BD，则D是AB中点。
逆命题3成立，CD=AD则∠A=∠ACD，而∠A+∠B=90°，∠ACD+∠BCD=90°，因此∠BCD=∠B。等角对等边，有CD=DB，所以AD=BD，即D是斜边中点。
3、直角三角形斜边中线定理证法
证法1：
ΔABC是直角三角形，作AB的垂直平分线n交BC于D
∴ AD=BD（线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等）
以DB为半径，D为圆心画弧，与BC在D的另一侧交于C'
∴DC’=AD=BD∴∠BAD=∠ABD ∠C’AD=∠AC’D （等边对等角）
又∵∠BAD+∠ABD+∠C’AD+∠AC’D =180°（三角形内角和定理）
∴∠BAD+∠C’AD=90° 即：∠BAC’=90°
又∵∠BAC=90°
∴∠BAC=∠BAC’
∴C与C’重合（也可用垂直公理证明 ：假使C与C’不重合 由于CA⊥AB，C’A⊥AB 故过A有CA、C’A两条直线与AB垂直 这就与垂直公理矛盾 ∴假设不成立 ∴C与C’重合）
∴DC=AD=BD∴AD是BC上的中线且AD=BC/2这就是直角三角形斜边上的中线定理
证法2：
ΔABC是直角三角形，AD是BC上的中线，作AB的中点E，连接DE
∴BD=CB/2，DE是ΔABC的中位线
∴DE‖AC（三角形的中位线平行于第三边）
∴∠DEB=∠CAB=90°（两直线平行，同位角相等）
∴DE⊥AB
∴DE是AB的垂直平分线
∴AD=BD（线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等）
∴AD=CB/2
证法3：运用向量证明
已知Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是中线。求证BC=2AD
证明：设向量AC=b，向量AB=c，向量BC=a，向量AD=d
∵AD是BC的中线
∴c+b=2d
∴（c+b）2=4d2
展开括号，得|c|2+2c·b+|b|2=4|d|2
又∵c⊥b
∴c·b=0，|c|2+|b|2=|a|2
∴得|a|2=4|d|2
开方得|a|=2|d|，即BC=2AD
证法4：运用矩形的性质证明
延长AD到E,使DE=AD,连接BE,CE
∵BD=CD，∠BAC=90°
∴四边形ABEC是矩形
∴BC=AE=2AD
证法5：解析几何证明
以A为原点，AC为x轴，AB为y轴建立直角坐标系，并设C（2c,0），B（0，2b），那么D（c，b）
|AD|=
|BC|=
=
=2|AD|
证法6：圆
作Rt△ABC外接圆
∵∠BAC=90°
∴AB是直径（90°的圆周角所对的弦是直径）
∴D是圆心，AD是半径
∴AB=2AD
4、直角三角形斜边中线定理逆定理1
如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形，且该边是斜边。
几何语言：在△ABC中，AD是中线，且BC=2AD,则∠BAC=90°。
直角三角形斜边中线定理证法1
延长AD到E，使DE=AD,连接BE,CE
∵BD=CD，AE=2AD=BC
∴四边形ABEC是矩形（∵对角线互相平分且相等）
∴∠BAC=90°
直角三角形斜边中线定理证法2
∵AD=BD=CD
∴A,B,C在以D为圆心，BD为半径的圆上
那么BC是直径，根据圆周角定理的推论，直径所对的圆周角是直角。
∴∠BAC=90°
直角三角形斜边中线定理证法3
过D作DE⊥AB,垂足为E。
∵AD=BC/2=BD
∴E是AB中点（三线合一）
∴DE∥AC（三角形中位线定理）
∴AC⊥AB,即∠BAC=90°
直角三角形斜边中线定理证法4
向量证明
设向量AD=d，向量AB=c，向量AC=b，向量BC=a
∵AD是中线
∴b+c=2d
两边平方，去括号得
|b|2+2b·c+|c|2=4|d|2
又∵|a|=2|d|
∴|a|2=4|d|2=|b|2+2b·c+|c|2~~~①
而a=b-c
两边平方，去括号得
|a|2=|b|2-2b·c+|c|2~~~②
联立①和②解得b·c=0
∴b⊥c，即∠BAC=90°
直角三角形斜边中线定理证法5
解析几何证明
以D为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系。设B（-d，0），C（d，0），A（a，b），其中d>0且b≠0
∵|AD|=|CD|
∴d=
，即
=
=b/（a+d），
=b/（a-d）
=b2/（a2-d2）=b2/（-b2）=-1
∴AB⊥AC,即∠BAC=90°
注意a≠d，若a=d则表示A和C的横坐标相同，即AC⊥x轴，这样就有了Rt∠ACB。而直角边BC边上的中线AD是不可能等于直角边BC的一半的。∴a≠d，AC斜率存在。
直角三角形斜边中线定理逆定理2
如果直角三角形斜边上一点与直角顶点的连线与该点分斜边所得两条线段中任意一条相等，那么该点为斜边中点。
几何语言：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D在AB上，且AD=CD（或BD=CD），则AD=BD。
下面只证明当AD=CD时的情况，BD=CD只需要改字母即可。
直角三角形斜边中线定理证法1
在Rt△ABC中，∠ACB=90°
∵AD=CD
∴∠A=∠ACD（等边对等角）
∵∠A+∠B=90°（直角三角形两锐角互余），∠ACD+∠BCD=∠ACB=90°
∴∠B=∠BCD（等角的余角相等）
∴BD=CD（等角对等边）
∴AD=BD（等量代换）
直角三角形斜边中线定理证法2
作DE⊥AC，垂足为E
∵AD=CD
∴E是AC中点（三线合一）
∵BC⊥AC
∴DE∥BC
∴D是AB中点（三角形中位线定理逆定理，或平行线等分线段定理的推论）
直角三角形斜边中线定理证法3
延长CD到E，使DE=CD，连接AE
则AD=CD=CE/2
由逆定理1可知∠CAE=90°
∵∠ACB=90°
∴AE∥BC
∴∠AED=∠BCD
∵∠ADE=∠BDC，DE=CD
∴△ADE≌△BDC（ASA）
∴AD=BD
直角三角形斜边中线定理证法4
解析几何证明：
以C为原点，CB、CA为坐标轴建系，设B（b,0）、A（0,a）
又设AD/DB=t，t>0，由定比分点坐标公式得
∵|CD|=|AD|
由两点间距离公式，有
整理得
∴1=t2，t=1
即AD=DB
浙公网安备 33021202002483