中国人口增长模型

中国人口增长模型 摘 要 中国是一个人口大国，人口数量、素质、结构、分布等问题始终是制约我国发展的关键因素之一。对中国人口做出分析和预测是一个重要问题。近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，?老龄化的加速，影响中国的年龄结构;?出生人口的性别比持续升高，影响出生率，使出生率不再按自然规律变化，又出现了新的态势;?乡村人口城镇化，由于城镇的消费水平很高，孩子的教育费很高，沉重的教育负担让每个人都不堪重负，所以父母目前都不愿意多生。 所以我们对人口进行了研究和改进，并用MATLAB等 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 工具做出人口增长曲线和出生率，死亡率，性别比例，男女比例，城镇变化的曲线和方程。从中得到的具体规律有如下:城乡镇生育率的拟合图，总体反映了各种人群的生育率呈下降趋势。 鉴于中国的人口新态势，人口的指数增长模型和阻滞增长模型已不能预测中国的人口发展，因为这些模型都只考虑人口总数和总的增长率，并且人口的指数增长模型中生育率和出生率都是恒定的。我们建立的其中之一的模型在此基础上把生育率和出生率都做成时间的 函 关于工期滞后的函关于工程严重滞后的函关于工程进度滞后的回复函关于征求同志党风廉政意见的函关于征求廉洁自律情况的复函 数并且涉及年龄结构。因为不同年龄人的生育率和出生率有很大的差别。两个国家或地区目前的人口总数一样，如果一个国家或地区年轻人的比例高于另一个国家或地区，那么，二者人口的发展状况将大不一样。此模型要考虑人口按年龄的分布，即除了时间变量外，年龄是另一个变量，虽然这是一个离散变量，但由于人口的总数很多，可以认为它是时间和年龄的一个连续可微函数，用偏微分方程描述其特点，便于理论分析。 我们建立的另外一个模型是在指数模型的基础上，通过全面考虑影响人口增长率的各种因素，从而建立起可以敏感反映人口增长变化规律的模型。其优点为:这些影响因素都从人们的实际生活出发考虑，故可认为与年龄或其它无关，只是简单的关于年份的函数，这样就简化也优化了模型。总的说就是代入量少，反映程度敏感。这样建立模型既容易理解，又贴近现实。 题目 要求 对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗 是要对中国人口增长的中短期，长期趋势进行预测，这也是我们建立模型的目的。中国人口的总变化趋势是:人口数量将会继续增加，只是增加的速度会在不同的年份段呈现不同的变化规律，如:经过预测可知，中国总人口量将会在2035年左右达到又一峰值，则可知在2035年前，人口增长速度将会有一个大的提高，而在2035年后期峰值过后必会有一个人口增长速度的降低平缓过程。另外中国人口的其他表象因素如:老龄化程度，男女性别比例，乡村城镇化水平都有增长的趋势。总之，这两个模型都能达到预测的作用。 在这两个模型的求解过程中，我们充分应用了 MATLAB 软件，省去了烦琐的演算过程。并且通过编写C++ 程序输入程序代码，避免了大量的手工录入，也方便数据的修改，从而使模型更实用，更方便推广。 关键字:人口预测，出生率，死亡率，男女性别比例，老龄化，指数增长模型，阻滞增长模型 ， 散点图 ， 曲线拟合。 1 (一)题的分析 由于影响人口增长的因素比较复杂，如果一开始把众多因素都考虑进去， 将会非常困难。所以我们先考虑最重要的一些因素，如出生率，死亡率等，特 别是要正确合理的使用现有的统计数据。关于人口的增长我们有一些现成的模 型，比如属于连续性的微分方程模型，所以可以考虑将这些工具使用到这里。 但关键的是怎样合理的使用这些结论，其中主要的也是最重要的任务就是确定 相关参数，只要这个问题解决了，对未来人口的预测将会非常方便。而参数的 确定可以利用已经有的人口数据加以分析处理，这将是本文的主要工作之一。 另外根据已有的数据对所建的模型作出处理，也就是用离散化的 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 通过作图， 寻找变化规律，然后用经验模型来拟合，从而达到目的。 现在我们从两个完全不同的角度探究中国人口增长的问题，建立两个具有 完全不同侧重面的模型，希望可以更好的解决这一问题。 (二) 模型的具体介绍 模型?:下面这个模型是偏重社会化人性化的模型，具体如下: 一， 摘要同上。 二， 模型准备: 为建立切合实际情况的中国人口增长模型，又希望此模型能够代入简单的易得到的数据，可以较准确的对中国中短期和长期的各方面的趋势做出预测。我们需要建立一个既,较完善的刻画了影响中国人口增长的各种因素，又趋于社会化的真正从人们的实际出发考虑人口增长本质的模型。为建立此模型，我们收集了历年来各种人口，社会数据以及社会常见现象的变化规律。我们需要通过对大量数据分析，比较，整和后，估计出所需要的估计参数值。具体有如下数据: 0r1人口的固有增长率 (整合历年来自然增长率得出的基值); 0P2中国的极限承载人口数 (根据人口的领土的疆域面积推得); 3医疗卫生条件改善程度的变化系数 f (整合大量医疗卫生数据而得); 0g4乡村城镇化水平的基础量 (此以年份基量1995为准); 5乡村城镇化水平的变化系数 j (整合历年来乡村城镇化水平的数据而得); 三， 模型假设: 前提假设:此模型只为便于研究预测中国人口的增长趋势，不具有太过准确的数理意义。 11中国的资源有限，不妨设为“1”;一个人的正常生存需要占用资源 。0P且在 时刻人口增长的速率与当时的人口数成正比，为简单起见也假设与当时剩余t 2 P资源 s,1,0P 0成正比，比例系数 表示人口的固有增长率。 r 2为便于研究，假设中国医疗卫生条件的改善程度是线性递增的，这也是符合实际的发展趋势的。 m3假设 计划 项目进度计划表范例计划下载计划下载计划下载课程教学计划下载 生育政策对人口增长的影响程度近似理解为一常数 。 n4假设男女比例失调对人口增长的影响程度也近似理解为一常数 。 5假设人口迁入，迁出境外对人口的影响程度为“1”。在此理解为:通过大量出境入境中国的人口数据统计比较分析，二者可近似理解为动态变化平衡 四 ，符号说明 1，--------时刻全国的总人口。(单位:人) P(t)t 1002，---------设中国总面积为1，则人均占有的资源为，其中为根据PP0P 9人口疆土面积土地极限承载人数。(单位:人)数值为16 ，10 0，r3 --------人口的固有增长率。数值为0.0837。 m4，--------计划生育政策对人口的影响。数值为0.01987。 n5，--------男女比例对人口的影响。数值为0.01051。 6，f---------医疗条件对人口的影响。数值为0.005922。 0g7，--------模型所研究的年份基量1995年的城市化水平数值为0.29 8，-------乡村城镇化水平数值为0.014。 j 9，-------表示所研究的年份。(单位:年) t 五，模型的分析建立 对于人口增长模型的研究，我们可供借鉴的有很多经典模型，如:Malthus 模型和 Logistic 模型。对其认真探讨分析，我们不难发现，究其主要缺点是:没有完备的考虑到可以影响人口增长的各种因素，只是单一的考虑某以因素或很少的因素，使得依照这些模型推得的人口总量与实际情况相差甚远。故我们要建立更加实用，有意义的模型，对多个影响人口增长的因素考虑是关键。 我们不妨以 Malthus 模型为基础，通过添加更多因素的影响关系，逐步得出完美的模型: 1》我们首先具体看一下Malthus模型，它的假设条件和建立过程在多种书籍上均可直接查阅，在此不再赘述。我们直接看它的模型表达式: dp,rP----------------------? dt 3 P(t),P-----------------? 00 r(t,t)0P(t),Pe由??得: 0 rr 表示人口增长率， 为常数且大于零。很明显的，在实际中人口增长率必部此时 位常数，它与多种因素有关。那些因素就是通过影响人口增长率从而影响人口的总量变化。 2》我们再深入的对 Logistic 模型进行分析研究的话，我们就会发现这个经典模型建立的关键思想。同样由于它的所有内容也可以在多种书籍上找到，我们在此也不再赘述。只说明一下从中得到的规律。为便于建立新模型，我们可直接利用它。 r究其本质就是:将原人口模型中的常数人口增长率 现考虑进了资源的影响。理解它为人口数 P( 的函数，故而使模型更完备了些。 t) 我们可以沿用它的基本思维，在更多的考虑进去一些其他影响因素，从而建立更加完备的模型。具体分析如下: 1/计划生育政策的影响。它本身与年份不具备明显的函数关系，所以可近似理解它为一常数。 当然常数是通过大量数据整合估计出的，是具有合理性的。另外计划生育政策落实的越好，孩子的出生率就会降低，很明显的它对人口增长率是反比关系影响。 ?男女比例失调的影响。由男女出生比例失调，导致男女总人口失衡影响结婚率，从而使生子率降低。它对人口增长率也是反比影响。 ?乡村城镇化水平的影响，随着年份的推移，社会经济的发展，明显的乡村城镇化水平会逐步提高，近似理解为它本身是年份的递增函数。另外我们不得不承认一些现象，由于受到城市高消费，环境等各条件的限制，生子率必然会有所降低。从而得出它对人口增长率也是反比影响。 ?医疗卫生条件改善程度的影响。随着年份的推移，社会和经济的进步，医疗卫生条件会越来越好，由此我们可看出它本身与年份有递增关系。同时，医疗卫生条件的改善大大提高了老年人和婴儿的存活率，可看出它对人口增长率是正比影响。 现根据上述的分析，用直观的图表示: Pp000rmn(1)(1)(1)Pr,,mr, 考虑 再考虑 再考虑 0Pp0 P0(1,m)(1,)(1,n)(1，f(t,t))r00Pp0(1)(1),nr,(1,m)f 再考虑 0p P0(1,m)(1,)(1,n)(1，f(t,t))r000Pg再考虑 j(t,t0)1，0g 则可用多因素制约的r函数来代替指数增长模型中的 ，故可导出初步微分方 4 程模型: P0(1)(1)(1)(1()),m,,n，ft,tr00dpP,，P (jt,tdt0)1，0g P(t),P 00 模型的解法如下: j10(1，m)(1，n)rA= B= C= D= f00gP 其中AB,C,D均为常数。 A,[1，D(t,t)]dp0,P(1,CP)则1式可化为: dt1，B(t,t)0 ，,A[1D(tt)]dp0,dt化简为:——对两边积分 ,，,p(1CP)1B(tt)0 1,1PC左边等于:dp,dp,,ln ,,11P(1,CP)P(P,)P,CC A[1，P(t,t)]A(B，(BD(t,t)，D),DB00dt,dt右边等于: ,,1，B(t,t)DBD(r,t)，D00 ADB,D(1，)dt = ,BBD(t,t)，D0 AB,D1，d[BD(t,t)，D] = 02,BD(t,t)，DB0 A =[(BD(t,t)，D)，(B,D)ln(BD(t,t)，D)] 002B 再设右边等于E，则由左边=右边，可得: PE,,e 1P,C 5 PC,1,E 可化为: ,,ePC 1,E 既: ,1，ePC 1 所以: 则: P,,EC(1，e) 总上所述，得我国的人口增长模型为: 0P P(t),k2100(1,m)(1,n)r(g)jfjjf00 ,k{[(t,t)，f，(,f)ln[(t,t)，f]}22000jggg1，e 1k(，在此为随年份实际情况改变的实数量，它一般围绕在2左右变化，如k,1220 5.55.61995到1997时为5.5/3，1998到2000为。两者是有其他影响因素综合估计33 出的比例参数) 代入估计参数的具体数值，可得数据化的人口增长模型为: 916，10，k1P(t),21(1,0.01987)(1,0.01051)(0.29)0.08370.014，0.0059220.0140.014，0.00592200,{[(t,t)，0.005922，(,0.005922)ln[(t,t)，0.005922]}200.014，0.0140.290.290.291，e 在实际计算中可对数据进行优化处理使容易计算且结果简单:如我们可处理模 型优化成如下的形式: 916，10，k1P(t),21(1,0.01987)(1,0.01051)(0.29)0.08370.014，0.0059220.0140.014，0.00592200,{[(t,t)，0.005922，(,0.005922)ln[(t,t)，0.005922]}2200.290.290.29j1，e 六，模型的验证与误差分析 为了验证模型的实用性和合理性，我们用对比的方法进行分析，具体如下: P,12.215 t=1995时，代入上述模型求的数值为:亿，同理依次代入年份可1995 得其他数据。为了便于对比研究，将两列数据放入同一表格中，如下图: 6 年份P 模型人数(亿) 调查人数(亿) 1995 12.215 12.1121 1996 12.246 12.2389 1997 12.266 12.3626 1998 12.515 12.4761 1999 12.536 12.5786 2000 12.567 12.6743 2001 12.601 12.7627 2002 12.830 12.8453 2003 12.857 12.9227 2004 12.878 12.9658 2005 12.91 13.075 我们通过仔细观察，对比，进行简单误差分析。我们需要对比同一年份的两组 数据，找出差距最大的与最少的两组即差距最大的一组是: 时 t,2000P(2000),12.567亿 P,12.674普查数据 2000 PP,(2000)12.674,12.5672000,3 误差8.4 ，10,,,,1P12.6742000 p(1996),12.246p,12.239 1996 PP,(1996)12.246,12.2391996,35.7 ，10,,,,2P12.2392000 ,3,3 变化范围在{5.7，8.4}之间误差较小。 ，10，10 利用以上的数据，进行曲线拟合，如下图: 程序如下: x=[1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005] y=[12.215 12.246 12.266 12.515 12.536 12.567 12.601 12.830 12.857 12.878 12.91] p=polyfit(x,y,3) x1=1995:1:2005; y1=polyval(p,x1); plot(x,y,'*r',x1,y1,'-b') 7 P= -0.0079623 4.7757 -9547.8 6.3628e+006 326y,,0.0079623x，4.7757x,9547.8，6.3628，10 七，模型预测 我们建立模型的意义就是为了应用于实际。现我们根据此模型对中国做人口量的中短期，长期趋势进行预测。在这里我们规定:短期的时间间隔为10年，中期的时间间隔为20年，长期的时间间隔为50年，并且约定短，中，长期是相对于2005年定义的。 为了得到较为准确的预测趋势，我们需要更多的数据。现我们选取各时期内几个典型的年份，代如模型并求值。 利用上述数据并综合以前数据，进行曲线拟合得下图: 8 P=3.1152e-009 -3.7899e-005 0.19211 -519.34 7.897e+005 -6.4041e+008 2.1639e+011 x=[1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2010 2015 2020 2025 2035 2045 2055] y=[12.215 12.246 12.266 12.515 12.536 12.567 12.601 12.830 12.857 12.878 12.91 13.451 13.548 13.594 13.675 14.545 15.385 15.513] p=polyfit(x,y,6) x1=1995:1:2060; y1=polyval(p,x1); plot(x,y,'*r',x1,y1,'-b') 观察图，我们来归纳中国总人口增长的中短期，长期趋势: 1》 短期趋势:从2005到2015年，中国人口总量将继续增加且增加的速度越 来越快。 2》 中期趋势:从2005到2025年，中国人口将继续增加，增加的速度先较快 后趋于平缓。尤其在2015到2025年间，中国总人口数量几乎持平。 3》 长期趋势:从2005到2055年，总体来看，中国热病口的总量将持续增加。 只是增加的速度经历了:先快后慢然后更快的过程。尤其在2045年达到 了中国人口总量的又一峰值，2045年后稍微有所下降，并且逐步平缓起来。 4》 补充:整体长久预测:2055年后，估计中国总人口将会呈现平缓趋势。依 理推得世界人口也将会呈现平缓趋势。 1 对于中国或世界，资源这一很重要的影响因素，其量毕竟是有限的，全世界的 人们都会想办法达到控制人口增加的目的。 2 对于中国来说，随着社会经济的发展，可能会有越来越多的人移居到国外尤其 9 是面积大人口少的国家。根据动态平衡分析，中国的总人口数(此处的“人口” 指占有中国地域面积的人数)会呈平缓变 八，型的优缺点及其改进的方向 (一)模型的优点:?方法直观，算法简单，实用，只需输入年份，就可求出年所需 要的全国人数及增长率，方便快捷。?模型的求解过程，所需的已知量较少。 ?在假设的条件下，能够得到较理想的结果，并对中长期的预测也有较好的效 果。?解决问题的方法在其他类似的问题中也适用，有一定的借鉴价值。 (二)模型的缺点:?在实际问题中仍存在较大的误差，尤其是对中长期的预测。? 没能够全面的解决人口的各类问题，在以后还会出现新的问题，要想综合全面 的了解和解决人口面临的各类问题，该模型还需要改进完善。 九，模型的推广 由于时间的关系影响模型的因素还有许多没考虑进去，要想全面的解决人口问题还需在以后的实践中发现问题解决问题，如果把影响人口的所有的因素考虑进去并对此模型进一步的完善。例如，把政策，环境，国际形势，自然灾害，等因素加到模型中，对准确预测人口以后的发展趋势将更加准确和全面，在加上政策方面的针对性注意等，人口的控制将更加具有可操作性。那时此模型将边的更加重要。 模型?:此模型从数理的角度考虑，利用函数关系，偏微分方程等数学知识建立的模型。 一(摘要同上 二(模型假设 ? 人的最高年龄为90; ? 生育率是关于时间的函数 ? 出生率是关于时间的函数 ? 时间t和r是连续变量 ? 关于人口的函数N(t), F(r,t)都是连续可微的函数 ? 以2001年为时间起点0时刻 三(符号假设 t 为时间 r 为年龄 F(r,t) 在时刻t年龄小于r的人口 N(t) 时刻 Rm 最高年龄 S(t) 平均寿命 W(t) 老龄化指数 P(r, t) 年龄密度函数 U(r, t) 时刻t年龄r的人的比率 F(t) 出生率 10 R(t) 平均年龄 (模型建立 四 在t时刻年龄小于r的人口计作F(r, t), t, rj均为连续变量，设F是连续可微的函数。称人口分布函数。时刻t的人口总数记作N(t), 最高年龄记作Rm.于是对非负非降函数F(r, t) 有 F(0, t)=0; F(Rm, t)=N(t) ? 定义 ,F (2) P(r,t)=,r 称年龄密度函数。 p(r, t )dr表示时刻t在区间[r, r+dr]内的人数 p(r,t)非负 且P(, t)=0 (3) rm 记u(r,t)为时刻t年龄r的人的死亡率，其含义是u(r, t)p(r, t)dr表示时刻t年龄在[r, r+dr]内，单位时间死亡的人数。 [r, r+dr]内的人到时刻t+dt的情况。他中活 为了得到p(r, t)满足的方程，时刻t年龄 着的那一部分人的年龄变为[r+,r+dr+], =dt, 而在dt这段时间内死亡drdrdr111 的人数为u(, t)p(,t)drdt 于是 rr11 P(r, t)dr - p(r+, t+dt)dr=u(r, t)p(r, t)drdt dr1 [p(r+, t+dt)—p(r,t+dt)]+[p(r, t+dt)—p(r,t)drdt=-u(r,t)p(r,t)drdt (=dt) drdr11 ,p,p， =-u(r, t)p(r, t) ? ,r,t 这是年龄密度函数 p(r, t)的一阶偏微分方程，其中死亡率u(r, t)为已知函数 方程(4)有两个定解条件:初始密度函数记作 p(r,0)= (r) p0单位时间内出生的婴儿数记作 p(0, t)=f(t) 称婴儿出生率。将方程(4)，(3)及定解条件写作 ,p,p， =-u(r, t)p(r, t) t 0 0 r ,,,,r,trm p(r,0)= (r) ? p0 p(0, t)=f(t) P(, t)=0 rm 这个连续人口发展方程描述了人口的演变过程。从这个方程确定出密度函数 p(r, t) 以后，这就可以得到各个年龄的人口数，及人口分布函数: 11 r F(r, t)= ? p(s,t)dt,0 到此我们的模型基本建立。下面将进行f(t) u(r) (r) p0的求解。 五，数据处理: 1 求出生率f(t) 由于本题所给数据为生育率，来源与网上1949—2003年的人口数据。其中给出了1949 —2003的出生率，据此我们运用如下程序进行拟合作图: x=1949:2003; 31.82 21.04 y=[36.00 33.04 22.43 37.00 36.70 23.33 37.80 35.35 22.37 21.58 37.9935.07 21.06 37.00 34.42 19.68 30.5938.19 30.49 18.24 32.18 25.91 18.09 33.67 24.59 17.70 34.03 21.35 17.12 29.22 23.03 16.98 24.78 20.86 16.57 20.86 20.59 15.64 18.02 18.26 14.64 22.63 20.21 14.03 40.00 22.28 13.38 30.68 20.19 12.86 38.42 19.90 12.41]'; plot(x,y,'*'); p=polyfit(x,y,3) x1=1949:0.5:2003; y1=polyval(p,x1); plot(x,y,'*r',x1,y1,'-b') P= (-2.5777e-005 0.15098 -295.16 1.9262e+005) 12 2 求 u(r) 由于在社会安定局面下和不太长的时间内，死亡率与时间无关。于是可近似地假设 u(r, t)=u(r) ，所给数据表中某死亡率是占某性别在某年龄人数之比，以2005年20岁的一行为例: 2005市 镇 年 年龄 男性比死亡女性比率 死亡男性比死亡女性比死亡 率 率 率 率 率 率 率 20 0.69 0.59 0.74 0.06 0.52 0.73 0.51 0.28 乡 男性比死亡率 女性比死亡率 年龄 城市妇女生镇妇女生育乡村妇女生率 率 育率 率 育率 0.53 1.91 0.53 0.82 20 29.01 68.23 95.01 (20, 死)表示2005年20岁男性死亡人数 N男 (20) 表示20岁男性人数 N男 N(市) 表示2005年市总人口 (20, 死)/ (20)= 0.59 ‰ NN男男 13 ,2(20)/ N(市)=0.69 * 10N男 ,5(20, 死)/ N(市=0.69*0.59* 10N男 以此类推，在 EXCEL中可计算出所有这样的数值。因为表中仅是比例关系且市镇乡的基数为1。把这个死亡率即市男，市女，镇男，镇女，乡男，乡女的死亡率加起来除以3，就得到某年龄的总死亡人数占占总人口的比值。 2.83503E-05 0.000115049 x= 0:90; 3.10633E-05 0.000135118 y=[0.000163264 2.97793E-05 0.000148248 0.000016282 2.61133E-05 0.000145045 1.68493E-05 3.68647E-05 0.000156315 0.000009548 0.000022078 0.000170519 7.35333E-06 3.55407E-05 0.000137418 1.32523E-05 0.000016374 0.000163468 -06 4.99867E0.000015135 0.000149758 1.14963E-05 2.64607E-050.000127533 1.03123E-05 1.90327E-05 0.000174742 -06 1.40233E2.28763E-050.000160531 7.75667E-06 3.60533E-05 0.000130356 2.57433E-06 2.77033E-05 0.000138572 4.49167E-06 3.67277E-05 0.000164316 6.44867E-06 4.13977E-05 0.000136366 1.59977E-05 5.10717E-05 8.81047E-05 0.00000283 6.11853E-05 8.13867E-05 0.000005351 4.57073E-05 7.85557E-05 5.07233E-06 0.000062279 9.53687E-05 0.000012191 7.39487E-05 8.58377E-05 0.000013678 4.59497E-05 6.24887E-05 0.00001649 4.91437E-05 0.000043106 9.33333E-06 0.00004533 0.00004972 1.46957E-05 4.91777E-05 0.000196308]'; 9.64833E-06 4.63903E-05 plot(x,y,'*'); 5.48767E-06 0.000055311 0.00001516 5.67967E-05 p=polyfit(x,y,15) 1.82043E-05 0.000097518 x2=0:0.05:90; 0.000013712 0.000084779 y2=polyval(p,x2); 2.12817E-05 0.000083257 plot(x,y1,'*r',x2,y3.07823E-05 0.000105467 2,'-b') 0.000027317 0.000114151 0.000020399 0.000126485 14 P= -1.0431e-026 7.4907e-024 -2.4192e-021 4.6463e-019 -5.9114e-017 5.253e-015 -3.3497e-013 1.5505e-011 -5.2103e-010 1.2586e-008 -2.1408e-007 2.4775e-006 -1.8474e-005 8.131e-005 -0.00018142 0.00015552 3 求(r). p0 P(r,t)dr表示时刻t年龄在区间[r, r+dr]内的人数，p(r, 0)=p(r, 0)*1=(r), (r)表示时刻0 r----r+1岁的人数。 以 2005年20岁的一行pp00 为例 (市男性比例+市女性比例+镇男性比例+镇女性比例+乡男性比例+乡女 性比例)/300 就得到20岁人数占2005年人口总数的比 以下是(r)的拟合过程 p0 r=0:90; 0.0096 0.0123 (r)=[0.010833333 p00.0111 0.013133333 0.0098 0.0116 0.013 15 0.013833333 0.0112 x2=0:0.05:90; 0.014466667 0.009666667 y2=polyval(p,x2); 0.016066667 0.009733333 (r),'*r',xplot(x,p00.018666667 0.008766667 0.008 2,y2,'-b') 0.018266667 0.0078 0.018066667 0.007266667 0.0193 0.0172 0.0072 0.015566667 0.007733333 0.014566667 0.0075 0.014533333 0.0067 0.015733333 0.0073 0.0133 0.007 0.0128 0.006966667 0.014166667 0.0063 0.013966667 0.006033333 0.014 0.006166667 0.016266667 0.005333333 0.0168 0.005166667 0.018266667 0.0049 0.019633333 0.004133333 0.0198 0.004066667 0.0213 0.003433333 0.021966667 0.0032 0.0207 0.003 0.021833333 0.0025 0.017566667 0.002333333 0.020133333 0.002066667 0.020366667 0.001866667 0.020866667 0.001466667 0.023833333 0.001233333 0.0164 0.001 0.011 0.000866667 0.0138 0.000766667 0.012366667 0.0006 0.015833333 0.0005 0.016166667 0.000333333 0.0152 0.000266667 0.015833333 0.000866667]'; 0.0154 plot(x,(r),'*'); p00.013866667 0.0135 0.0125 p=polyfit(x, 0.011833333 (r),17) p0 16 p= 1.3142e-027 -9.4764e-025 3.0708e-022 -5.8895e-020 7.3999e-018 -6.3482e-016 3.7328e-014 -1.4395e-012 3.0034e-011 1.0223e-010 -2.8249e-008 9.2162e-007 -1.5986e-005 0.00016236 -0.00094597 0.002939 -0.0035664 0.010897 六(模型计算 U(r,t)=u(r)时，(5)式的解为 r,u(s)ds,,,rtp(r,t)e0,t,r0,, P(r,t)=r ,,u(s)ds,,0,f(t,r)et,r, 人口总数 17 rm N(t)=p(r,t)dr ,0 平均年龄 rm1 R(t)=(,) rprtdrN(t),0 平均寿命S(t) urtdr,(,),, S(t)= eda,t 老龄化指数w(t) R(t) W(t)= S(t) 显然，平均年龄 R(t)越大，w(t)越大，对于R(t)相同的两个国家或地区，平均寿命 St) 大的，表示健康水平高，一个人能工作的时间在一生中占的比例大，于是老龄化( 指数w(t)较小。 七( 模型的评价: 1》本模型具有如下优点: 本模型从总体思路上是非常清晰的。它超越了人口指数增大模型和阻滞增大模型，更加准确的预测了中国人口。总体来说比较全面。 2》本模型具有如下缺点: 人口的影响因素非常复杂而且有些根本无法量化，只体现在了所给数据上面，没有给出它们的直接函数关系。 由于本人数学水平有限，没有很好的给出模型计算过程。只有在 u(r,t) =u(r)时，给出了它的结果 , 八(人口预测 预测庞大的数量一直是中国国情最显著的特点之一，虽然中国已经进入低生育率国家行列，但由于人口增长的惯性作用，当前和今后的几年，中国人口仍将以年均800——10000万的速度增长按照目前总和生育率1.8预测2010年2020年中国人口总量将分别达到13.7亿和14.6亿人口总量高蜂，将出现在2033年前后达15亿左右，受20世纪80年代——90年代第三次出生人口高峰的影响，在2005——2020年期间20-——29岁生育旺盛期妇女数量将形成一个高峰，同时，由于独升子女陆续进入生育年龄。按照现行的生育政策生育水平将有提高。上述两个因素的共同作用，导致中国将在近几年第四次出现人口高蜂。 18 (三)各种人口增长表象的趋势预测 1 人口增长表象:出生率，死亡率，性别比例，自然增长率，各种人群生育 率，城乡人口变化趋势。 2通过收集大量人口数据，用MATLAB软件进行曲线拟合，对各表象进行分析 并作出相应的趋势预测。 3 如下图所示，即为得到的拟和曲线和变化规律。 图表 1此图为人口数量预测拟合图，反映了我国人口的增长将继续变缓，但总的趋势为增长，较好的放映了我国人口变化趋势。 19 图表 2此图为不同地区死亡率的趋势图.反映了死亡率在各种人群变化在一定范围波动，表现死亡率基本稳定。但乡镇的死亡率明显高于城市的死亡率，从侧面反映了农村医疗等卫生条件较城市差，国家应当制定相应的政策改善乡镇人口的医疗条件。进一步提高全民的素质，将对济济的增长有重要的意义。 20 图表 3由图可知人口自然增长率在实施计划生育以来显著的降底，反映了计划生育在我国取得的伟大成就。 图表 4此图为城乡镇生育率的拟合图，总体反映了各种人的生育率呈下降趋势， 21 但乡镇的生育率高于城市的生育率，说明城乡的计划生育的力度还不够强，还需通过教育和宣传等改变人们的生育观念。这将对以后控制人口增长将有很大的意义。 图表 5由图可初步的预测男女比例将进一步加大，导致结婚难，这将间接的影响出生率。 p =0.1051， -98.3980 年份 乡村人口占总人口的比例 2001 0.628344881 2002 0.612903123 2003 0.587645518 2004 0.588210508 2005 0.55157262 22 = P -0.0178 36.2946 从图表可看出乡村人口总体的趋势为减少，反映出乡村人口城镇化的总的趋 势。也表现了人口素质在整体提高。符合现在国家的发展趋势。 (四)结束语 通过这几种方法的计算和比较，我们可以对这些预测数据都抱有信心。阻滞增长模型用数学工具描述人口的变化规律，关键是对人口增长率和最大人口容量作出合理、简化的假定，并结合人口发展趋势，且在现有的资源、环境的条件下估计人口增长率和最大人口拟合是对数据进行分析拟合并作处理，是采取离散化的方法预测，得出的预测结果和阻滞增长模型的预测结果也相差不大。因此我们用多种方法、角度分析容量，从而得出预测结果，属于连续性的处理方法;而由多项式拟合和曲线解决问题，相互之间S 作对比分析，始终对数学问题持严谨的态度去解决，也能对问题作较充分的解释和说明。 但是此模型对中长期的预测还不够准确甚至有较大的出入，要想准确的预测以后人口的变化趋势还需对模型进行改进和完善 23 【参考文献】: 【1】姜启源 谢金星 叶俊 数学模型 第三版 高等教育出版社 1987年 【2】 齐欢 数学模型方法 华中理工大学出版社 1996年 【3】 [美]C.L戴母 E.S. 艾维 数学构模原理 海洋出版社 1985年 【4】 陈义华 数学模型 重庆大学出版社 1995年 【5】 任善强 雷鸣 数学模型 重庆大学出版社 1996年 【6】伊泽明 丁春利 精通MATLAB6 清华大学出版社 2002年 【7】王兵团 数学建模基础 北京交通大学出版社 2005年 【8】扬启帆 方道元 数学建模 浙江大学出版社 1999年 24 附录: 程序1 plot(x1,y1) hold on x2=[1,4,8,12,16] y2=[19.45857143,16.63032967,19.76846154,15.87659341,17.0432967 ] plot(x2,y2,'or') plot(x2,y2) hold on %x3=[1,2,3,4,5] %y3=[26.06714286,28.09241758,29.67373626,17.81142857 ,25.54208791] %plot(x3,y3,'+c') %plot(x3,y3) %hold on %x4=[1,2,3,4,5] %y4=[17.3243956,20.70802198,19.84956044,32.14461538,17.72230769] %plot(x4,y4,'y') %plot(x5,y5) %hold on x6=[1,4,8,12,16] y6=[22.9320879,26.02857143,24.3521978,23.50129121,22.04098901] plot(x6,y6,'dk') plot(x6,y6) hold on x7=[1,4,8,12,16] y7=[23.9381685,24.58824176,25.5296337,23.50129121,22.7025641,24.0519798] plot(x7,y7,'pw') plot(x7,y7) hold on 程序2: x=[1995 1996 1997 1998 1999 2001 2000 2002 2003 2004 2005]; y=[37.271 56.61 37.77 36.22 35.1 33.6 31.03 25 26.68 26.7 29.13 26.3]'; p=polyfit(x,y,3) x1=1995:1:2005; y1=polyval(p,x1); plot(x,y,'*r',x1,y1,'-b') hold on x=[1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 ]; y=[43.651 45.9 40.69 81.73 42 39.80 37.11 34.87 35.9 35.91 32.61]'; p=polyfit(x,y,1) x2=1995:1:2005; y2=polyval(p,x2); plot(x,y,'*m',x2,y2,'-g') hold on x=[1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005]; y=[ 54.505 57.83 55.79 53.63 50.9 47.92 46.3 45.17 44.3 43.56 39.92]'; p=polyfit(x,y,4) x3=1995:1:2005; 26 y3=polyval(p,x3); plot(x,y,'*c',x3,y3,'-k') p = 1.0e+008 * 0.0000 -0.0000 0.0074 -4.9637 p = 1.0e+003 * -0.0019 3.8272 p = 1.0e+011 * -0.0000 0.0000 -0.0000 0.0060 -3.0237 程序:3 1973 1996 38.42 x=[1950 1974 1997 31.82 1951 1975 1998 33.04 1952 1999 36.70 1953 1976 1977 2000 35.35 1954 1978 2001 35.07 1955 1956 1979 2002 34.42 1957 1980 2003]; 30.59 1958 1981 y=[37.00 30.49 1959 1982 37.80 25.91 1960 1983 37.99 24.59 1984 37.00 21.35. 1961 1985 38.19 23.03 1962 1963 1986 32.18 20.86 1964 1987 33.67 20.59 34.03 18.26 1965 1988 1989 29.22 20.21 1966 1967 1990 24.78 22.28 1968 1991 20.86 20.19 1969 1992 18.02 19.90 1970 1993 22.63 21.04 1971 1994 40.00 22.43 1972 1995 30.68 23.33 27 22.37 18.24 16.98 14.0321.58 13.38 18.09 16.57 21.06 17.70 15.64 12.86 12.41]; 19.68 17.12 14.64 p=polyfit(x,y,2) x1=1950:1:2005; y1=polyval(p,x1); plot(x,y,'*r',x1,y1,'-b') p=( -0.0033188 19.879 -39693 2.6419e+007) 程序:4 x=[1950 1977 y=[18.00 6.87 1951 1978 17.80 6.25 1952 1979 17.00 6.21 1953 1980 14.00 6.34 1954 1981 13.18 6.36 1955 1982 12.28 6.60 1956 1983 11.40 6.90 1957 1984 10.80 6.82 1958 1985 11.98 6.78 1959 1986 14.59 6.86 1960 1987 17.91 6.72 1961 1988 14.24 6.64 1962 1989 10.02 6.54 1963 1990 12.11 6.67 1964 1991 11.50 6.70 1965 1992 9.50 6.64 1966 1993 8.83 6.64 1967 1994 8.43 6.49 1968 1995 8.21 6.57 1969 1996 8.03 6.56 1970 1997 7.60 6.51 1971 1998 7.32 6.50 1972 1999 7.61 6.46 1973 2000 7.04 6.45 1974 2001 7.34 6.43 1975 2002 7.32 6.41 1976 2003]; 7.25 6.40]; p=polyfit(x,y,3) x1=1950:1:2005; y1=polyval(p,x1); plot(x,y,'*r',x1,y1,'-b') 程序5 x=[1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 ]; 28 y=[114.52 111.92 111.68 108.81 110.68 110.27 113 109.28 111.37 112.06 114.44 113.92]'; p=polyfit(x,y,12) x1=1994:1:2005; y1=polyval(p,x1); plot(x,y,'*r',x1,y1,'-b') 001年 市 镇 年龄 男性比率 死亡率 男死占市总比 女性比率 死亡率 女死占市总比 男性比率 死亡率 男死占镇总比 女性比率 死亡率 0 0.47 5.92 0.000027824 0.42 5.2 0.00002184 0.59 6.95 0.000041005 0.52 10.45 1 0.44 1.37 0.000006028 0.4 0.47 0.00000188 0.58 4.14 0.000024012 0.46 0 2 0.42 3.37 0.000014154 0.39 0 0 0.52 0 0 0.43 1.41 3 0.48 0 0 0.42 0.58 0.000002436 0.61 0.88 0.000005368 0.54 1.28 4 0.49 0 0 0.44 0 0 0.65 0.12 0.00000078 0.55 0 5 0.51 3.41 0.000017391 0.44 0.2 0.00000088 0.72 0.37 0.000002664 0.57 1.65 6 0.53 0 0 0.49 0 0 0.72 0.95 0.00000684 0.62 0 7 0.51 0 0 0.5 0.72 0.0000036 0.72 0.87 0.000006264 0.62 2.49 8 0.55 0.46 0.00000253 0.5 1.16 0.0000058 0.73 1.82 0.000013286 0.64 0 9 0.57 0.47 0.000002679 0.52 0 0 0.77 0 0 0.66 0 10 0.61 0.25 0.000001525 0.57 0 0 0.86 0 0 0.75 1.17 11 0.7 0 0 0.65 0 0 0.99 0 0 0.86 0 12 0.72 0.77 0.000005544 0.66 0.24 0.000001584 0.99 0 0 0.83 0 13 0.73 0.39 0.000002847 0.7 0 0 0.95 0 0 0.87 0.77 14 0.77 0.92 0.000007084 0.73 1.27 0.000009271 1.07 1.74 0.000018618 0.91 0 15 0.69 0 0 0.66 0 0 0.96 0 0 0.83 0 16 0.64 0.55 0.00000352 0.63 0 0 0.89 0.09 0.000000801 0.75 0 17 0.65 0.32 0.00000208 0.67 0.11 0.000000737 0.83 0 0 0.71 0 18 0.77 0.16 0.000001232 0.77 0.57 0.000004389 0.74 2.61 0.000019314 0.65 0 19 0.88 0.74 0.000006512 0.99 1.19 0.000011781 0.67 0.14 0.000000938 0.66 1.82 20 0.72 2.97 0.000021384 0.79 0.26 0.000002054 0.56 1.67 0.000009352 0.57 0 21 0.69 0.15 0.000001035 0.74 0.06 0.000000444 0.52 1.03 0.000005356 0.57 0.61 29 22 0.71 1.59 0.000011289 0.77 0 0 0.65 1.03 0.000006695 0.71 1.2 23 0.71 0 0 0.73 0.82 0.000005986 0.63 0 0 0.72 0 24 0.69 0.83 0.000005727 0.74 0 0 0.63 0.12 0.000000756 0.79 0 25 0.77 0.13 0.000001001 0.87 0 0 0.79 2.66 0.000021014 0.9 0 26 0.8 0.71 0.00000568 0.85 0.62 0.00000527 0.85 0 0 0.98 0.69 27 0.88 0.39 0.000003432 0.95 0.82 0.00000779 0.95 1.3 0.00001235 0.99 0 28 1 0.07 0.0000007 1.03 0.04 0.000000412 1.02 2.02 0.000020604 1.07 1.08 29 1.01 0.45 0.000004545 1.07 1.16 0.000012412 1.01 1.91 0.000019291 1.06 3.76 30 1.12 1.55 0.00001736 1.08 0 0 1.11 2.2 0.00002442 1.17 0.34 31 1.12 0 0 1.13 0.62 0.000007006 1.18 0.58 0.000006844 1.17 1.11 32 1.07 1.29 0.000013803 1.07 1.14 0.000012198 1.08 3.25 0.0000351 1.08 0 33 1.1 1.77 0.00001947 1.08 0.34 0.000003672 1.17 1.74 0.000020358 1.15 1.86 34 0.84 2.13 0.000017892 0.82 0.43 0.000003526 0.92 3.39 0.000031188 0.92 0.27 35 0.98 0.87 0.000008526 0.92 1.54 0.000014168 1.1 0.88 0.00000968 1.08 0.58 36 1.04 2.78 0.000028912 1 0.67 0.0000067 1.08 2 0.0000216 1.1 1.68 37 1.16 1.47 0.000017052 1.13 0.3 0.00000339 1.08 1.52 0.000016416 1.1 0.49 38 1.38 1.36 0.000018768 1.31 0.09 0.000001179 1.25 0.58 0.00000725 1.21 2.57 39 0.91 1.29 0.000011739 0.83 1.21 0.000010043 0.87 0 0 0.84 0 40 0.66 1.98 0.000013068 0.62 0.24 0.000001488 0.54 1.18 0.000006372 0.57 0 41 0.86 5.34 0.000045924 0.84 0.46 0.000003864 0.69 1.05 0.000007245 0.66 0.54 42 0.75 2.4 0.000018 0.72 1.07 0.000007704 0.66 0.8 0.00000528 0.57 0 43 0.98 0.93 0.000009114 0.92 0.49 0.000004508 0.8 2.25 0.000018 0.78 0 44 0.96 3.83 0.000036768 0.91 0.72 0.000006552 0.8 2.91 0.00002328 0.76 0.79 45 0.88 1.78 0.000015664 0.85 1.75 0.000014875 0.76 2.21 0.000016796 0.74 0.82 46 0.89 2.36 0.000021004 0.89 0.29 0.000002581 0.8 3.55 0.0000284 0.76 0.25 30