2018-2019 九年级数学寒假
教案
中职数学基础模块教案 下载北师大版¥1.2次方程的根与系数的关系的教案关于坚持的教案初中数学教案下载电子教案下载
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九年级数学
第01课 图形的相似
比例线段
ac比例线段:一般地,四条线段a、b、c、d中,如果a与b的比等于c与d比,即,那么这四条线段a、,bdb、c、d叫做成比例线段,简称比例线段。
平行线分线段成比例定理:
,1,定理: 三条平行线截两条直线所得的对应线段成比例。
,2,推论: 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例。
,3,平行于三角形一边并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边的对应成比例。
,4,如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边。
如图甲,若DE?BC,则?ADE??ABC. 如图乙,若AC?DB,则?AOC??BOD. 三角形相似判定
判定一,有两个角对应相等的两个三角形相似;
判定二,两边对应成比例,且夹角相等的两个三角形相似
判定三,三边对应成比例的两个三角形线相似
重要方法:
,1,利用两对对应角相等证相似,关键是找出两对对应角.
,2,三边对应成比例的两个三角形相似中,三边对应是有序的即,大对大,小对小,中对中. ,3,两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似,一定要弄清边与角的位置关系.即边是指夹角的两边,角是成比例的两边的夹角.
常见图形:
,1,如图1,若?AED=?B,则?ADE??ACB,
1
九年级数学
,2,如图2,若?ACD=?B,则?ACD??ABC,
,3,如图3,若?BAC=90?,AD?BC,则?ABC??DBA??DAC.
重要方法:
,1,有一个锐角相等的两个直角三角形相似,
,2,识别三角形相似的常用思路,
a.当条件中有平行线时,找两对对应角相等,
b.当条件中有一对相等的角,对顶角或公共角,时,可考虑再找一对相等的角, c.两个等腰三角形,可以找顶角相等或找一对底角相等.
例1.根据下列条件，求a:b的值。
ab(1)2a=3b; (2) = 54
例2.已知: 且, 求的值。 3a,2b，ca:b:c,3:5:72a，3b,c,28
例3.求3，4，5，x成比例，求x的值。
y22例4.若,求的值。 x,3xy，2y,0x
例5.如图，A、B、C、D、E、F、G都在小方格的的顶点上，问:DE?BC?FG吗,?ADE??ABC??AFG,
2
九年级数学
例5.依据下列各组条件，判定?ABC与?A?B?C?是不是相似，并说明为什么:
??A=120º，AB=7厘米，AC=14厘米; ?A?=120º，A?B?=3厘米，A?C?=6厘米;
?AB=4厘米，BC=6厘米，AC=8厘米; A?B?=12厘米，B?C?=18厘米，A?C?=24厘米
例6.如图判断4×4方格中的两个三角形是否相似,并说明理由.
例7.将两块完全相同的等腰直角三角形摆成如图的样子，假设图形中所有点、线都在同一平面内，回答下列问
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
:(1)图中共有多少个三角形,把它们一一写出来;
(2)图中有相似(不包括全等)三角形吗,如果有，就把它们一一写出来(
例8.如图，?ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，连接并延长DE交BC的延长线于点F，连接DC、BE，若?
0BDE+?BCE=180。
?写出图中3对相似三角形(注意:不得添加字母和线)
?请在你所找出的相似三角形中选取1对，说明它们相似的理由。
例9.如图，在正方形网格上有6个三角形:?，?，?，?，?，?，,ABC,BCD,BFG,FGH,BDE,EFK
3
九年级数学 其中?-?中与?相似的是
例10.如图所示为农村一古老的捣碎器，已知支撑柱AB的高为0.3米，踏板DE长为1.6米，支撑点A到踏脚D的距离为0.6米，现在从捣头点E着地的位置开始，让踏脚着地，则捣头点E上升了 米(
2例11.如图,?ABC中,P为AB上一点,在下列四个条件下,??ACP=?B;??APC=?ACB;?AC=AP?AB;
? AB?CP=AP?CB。能得出?ABC??ACP的是( )
A. ??? B.??? C. ??? D.???
例12.如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆(小丽站在离南岸边15米的点P处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为 米(
例13.如图，小明为了测量某一高楼MN的高，在离点N200m的A处水平放置了一个平面镜，小明沿NA方向后退到点C正好从镜中看到楼顶点M，若AC,15m，小明的眼睛离地面的高度为1.6m，请你帮助小明计算一下楼房的高度
例14.如图，正方形MNPQ的顶点在三角形ABC的边上，当边BC=a与高AD=h满足什么条件时，正方形MNPQ的面积是?ABC面积的一半,
4
九年级数学
例15.某同学想测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1m长的竹杆竖直放置时的影长为1.5m，在同一时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一幢楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上。他测得落在地面上的影长为21m，留在墙上的影高为2m。你能帮助他求出旗杆的高度吗,
同步练习:
212a，b1.已知,则的值, , ,aba,b
A.-5 B.5 C.-4 D.4 2.某校
一年级
小学一年级数学20以内加减练习题小学一年级数学20以内练习题小学一年级上册语文教学计划人教版一年级上册语文教学计划新人教版一年级上册语文教学计划
有64人,分成甲、乙、丙三队,其人数比为4:5:7,若由外校转入1人加入乙队,则后来乙与丙的人数比为( )
A.3,4 B.4,5 C.5,6 D.6,7 3.在?ABC和?DEF中,AB=2DE,AC=2DF,?A=?D,如果?ABC的周长是16,面积是12,那么?DEF的周长、面积依次为( )
A.8,3 B.8,6 C.4,3 D.4,6
14.将左下图中的箭头缩小到原来的,得到的图形是, , 2
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九年级数学
5.某校每位学生上、下学期各选择一个社团,下表为该校学生上、下学期各社团的人数比例,若该校上、下学期的学生人数不变,相较于上学期,下学期各社团的学生人数变化,下列正确的是, ,
A.舞蹈社不变,溜冰社减少 B.舞蹈社不变,溜冰社不变
C.舞蹈社增加,溜冰社减少 D.舞蹈社增加,溜冰社不变
26.如图所示,在?ABC中,D,E分别为AB,AC的中点,若?ABC的面积为12cm,则?ADE的面积为( )
2222 A.2cm B.3cm C.4cm D.6cm
BCEFABABABDFABAD7.已知,如图l?l?l下面等式?????AB:BC:AC=DE:EF:DF,能成立123,,,,ACCFCAFDDEACDEBE
的等式有, ,
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
/////////3628.?ABC的三边长分别为,,2,?ABC的两边长分别为1和,如果?ABC??ABC,那么?ABC的第三边长应为( )
2632 A. B. C. D, 2239.如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8,另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x,那么x的值, ,
A.只有1个 B.可以有2个 C.有2个以上但有限 D.有无数个 10.如图为A、B、C、D四点在坐标平面上的位置,其中O为原点,AB?CD,根据图中各点坐标,D点坐标为, ,
A.,0,错误，未找到引用源。, B.,0,错误，未找到引用源。, C.,0,5,
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九年级数学
D.,0,6,
11.已知,如图?ABC中,AD?BC,E是AC的中点,那么下列比例式成立的是, ,
A.AB:AC=DF:BC B.AB:AC=EF:ED C.AB:AC=BF:FD D.AB:AC=AC:AD
012.如图,等边三角形ABC的边长为3,点P为BC边上一点,且BP=1,点D为AC边上一点,若?APD=60,则
123CD的长为, , A. B. C. D.1 243
13.如图所示,DE是?ABC的中位线,F是DE的中点,BF的延长线交AC于点H,则AH:HE等于 ( )
2 A,1:1 B,2:1 C.1: D.3:2 14.如图,四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O,且将这个四边形分成????四个三角形.若OA:OC=0B:OD,则下列结论中一定正确的是, ,
A.?与?相似 B.?与?相似 C.?与?相似 D.?与?相似
15.如图,P为线段AB上一点,AD与BC交干E,?CPD=?A=?B,BC交PD于E,AD交PC于G,则图中相似三角形有, ,
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 16.如图,在?ABCD中,E、F分别是AD、CD 边上的点,连接BE、AF,他们相交于点G,延长BE交CD的延长
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九年级数学 线于点H,则图中的相似三角形共有, ,
A.2对 B.3对 C.4对 D.5对 17.已知如图,,1,、,2,中各有两个三角形,其边长和角的度数已在图上标注,图,2,中AB、CD交于O点,
对于各图中的两个三角形而言,下列说法正确的是, ,
A.都相似 B.都不相似 C.只有,1,相似 D.只有,2,相似
18.如图,边长为4的等边?ABC中,DE为中位线,则四边形BCED的面积为, ,
33 A.2错误，未找到引用源。 B.3错误，未找到引用源。
33C.4错误，未找到引用源。 D.6错误，未找到引用源。
19.要做甲、乙两个形状相同(相似),的三角形框架,已知三角形框架甲的三边长分别为50cm,60cm,80cm,三角形框架乙的一边长为20cm,那么符合条件的三角形框架乙共有( )
A.1种 B.2种 C.3种 D.4种 20.如图,D、E、F分别为?ABC三边的中点,则下列说法中不正确的为, ,
1 A.?ADE??ABC B.S=SC. D.DF=EF SS,?ABF?AFC ADEABC4
x，y，z21.已知x:y:z=3:4:5,则=_______ x，y,z
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九年级数学 22.一个六边形的边长依次为1、2、3、4、5、6,与它相似的另一个多边形最大边长为12,则另一个多边形的周长为________
023.如图,在?ABC中,MN?BC,若?C=68,AM,MB=1:2,则?MNA=_______度,AN:NC=______。
24.如图,光源P在横杆AB的正上方,AB在灯光下的影子为CD,AB?CD,AB,2m,CD,6m,点P到CD的距离是2.7m,则AB与CD间的距离是__________m,
EF2DEAE25.如图,在?ABC中,DE ?BC,CD、BE相交于F,且,则=,,,=,,,若DE=6,则BC=,,。 ,BF5BCEC
26.,油桶高0.8m,桶内有油,一根木棒长1m,从桶盖小口斜插入桶内,一端到桶底,另一端到小口, 抽出木棒,量
得棒上浸油部分长0.8m,则桶内油面的高度为
27.直角三角形的三边为a,a+b,a+2b且a,0,b,0则a:b=
28.在?ABC中,AB=6,AC=9,点D在边AB所在的直线上,且AD=2,过点D作DE?BC交边AC所在直线于点E,则CE的长为
y2x,3y129.已知,,求x的值。 30.若,求. x:(x，1),(1,x):3,x，y2x
a,2ba，b5yxz2x，3y,z31.若,求的值。 32.已知,求的值。 ,,,z，2y,3xba3234
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九年级数学
x,y，z33.已知,求的值。 34.已知,,求的值。 x:y:z,2:3:4x:y,3:4x:z,2:3x:y:z2x，3y,z
35.已知三角形三条边之比为a:b:c=2:3:4,三角形的周长为18cm,求各边的长。
36.操场上有一群学生在玩游戏,其中男生与女生的人数比例是3:2,后来又有6名女同学参加进来,此时女生与女生人数的比为5:4,求原来各有多少男生和女生,
37.在大小为4×4的正方形方格中,?ABC的顶点A、B、C在单位正方形的顶点上,请在图中画出一个?ABC,111使得?ABC??ABC(相似比不为1),且点A、B、C都在单位正方形的顶点上, 111111
能力提高:
1.如图，已知梯形ABCD中,AD?BC，平行于梯形两底的直线交梯形两腰AB,CD及两条对角线BD、AC分别于点E、F、G、H，若AE:EB=HG:GE=2:1，则用AD:BC等于( )
1:2 A.1:2 B. C.2:3 D.3:4
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九年级数学
2.如图，l?l，AF:FB=2:5，BC:CD=4:1，则AE:EC=( ) 12
A.5?2 B.4?1 C.2?1 D.3?2
3.一个三角形三边的比为2:3:4则这个三角边上的高的比为
4.如图,?ABC中,AD是BC边上的中线,F是AD上一点,CF的延长线交AB于点E,若AF:FD=1:3,则AE:EB= ;若AF?FD=1:n(n,0)，则AE?EB=
y，zx，yz，xace22a，3c,4ea,c5.若，求，的值。 6.,求k的值。 ,,,k,,,bdf52b，3d,4fxyzb,d
测试题01
日期, 月 日 满分,100分 姓名, 得分, 1.已知3a=5b,下列各式的值在2与3之间的是, ,
a，ba，ba，ba,b A. B. C. D. aba,bb
2.已知,8x+3y-5z=0,且2x-3y+z=0,那么x:y:z的值是, ,
A.1,2,3 B.2,3,5 C.3,3,4 D.2,2,3 3.如图,DE?AC,EF?AB,AC=14,AD:DB=3:4,则AF的长是, ,
A.6 B.10 C.8 D.9
4.如图,D是?ABC的边BC上一点,已知AB=4,AD=2,?DAC=?B,若?ABD的面积为a,则?ACD的面积为, ,
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九年级数学
112 A.a B. C. D. aaa233
5.一个铝质三角形框架三条边长分别为24cm、30cm、36cm,要做一个与它相似的铝质三角形框架,现有长为27cm、45cm的两根铝材,要求以其中的一根为一边,从另一根上截下两段,允许有余料,作为另外两边,截法有, ,
A.0种 B.1种 C.2种 D.3种
6.如图,在?ABC中,D是AB边上的一点,连接CD,请添加一个适当的条件 ,使?ABC??ACD,,只填一个即可,
BE7.将一副三角尺如图所示叠放在一起,则的值是 EC
08.如图,在边长为9的正三角形ABC中,BD=3,?ADE=60,则AE的长为 ,
aa,ba，b69.若,求,的值。 10.已知a:b:c=1:3:5,且a+2b-c=8求3a+b-2c的值。 ,bbb5
ADAE
8.已知在?ABC中,D、E分别是AB、AC上的点,AB=12,AE=6,EC=4,且 = .求AD的长。 DBEC
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九年级数学
00009.已知,ΔABC和ΔDEF中,?A=40,?B=80,?E=80,?F=60.求证,ΔABC?ΔDEF。
10.一次数学活动课上,为了测量河宽AB,张杰采用了如下方法:从A处沿与AB垂直的直线方向走40m到达:处,插一根标杆,然后沿同方向继续走15m到达,处,再右转90?到E,使B,C,E三点恰好在一条直线上,量得DE=20m就可以求出河宽AB你算出结果,要求给出解题过程,
11.如图,在ΔABC中,AD、BE分别是BC、AC上的高,AD、BE相交于点F。
,1,求证,ΔAEF?ΔADC,,2,图中还有与ΔAEF相似的三角形吗,请一一写出 。
12.如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,?ABC和?DEF的顶点都在格点上,P,P,P,P,P是12345?DEF边上的5个格点,请按要求完成下列各题,,1,试证明三角形?ABC为直角三角形, ,2,判断?ABC和?DEF是否相似,并说明理由,
,3,画一个三角形,使它的三个顶点为P,P,P,P,P中的3个格点并且与?ABC相似,要求,用尺12345
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九年级数学
规作图,保留痕迹,不写作法与证明,,
第02课 相似三角形 相似三角形的性质:
(1)相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线之比等于相似比;
(2)相似三角形的周长之比等于相似比;
(3)相似三角形的面积之比等于相似比的平方
重要方法:
(1)相似三角形的相似比等于面积比的算术平方根.
(2)相似三角形中的相似比和面积比的关系,应注意相似三角形这个前提,否则不成立. 射影定理:
2AC,AD,AB
2BC,BD,AB
2CD,AD,BD
,ABC的周长,ABC的面积///2例1.已知:如图,?ABC??ABC，且相似比为k.求证:. ,k;,k//////,ABC的周长,ABC的面积
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九年级数学 例2.如图,D、E分别是AC,AB上的点,?ADE=?B,AG?BC于点G,AF?DE于点F.若AD=3,AB=5，求:
AG(1) ;(2)?ADE与?ABC的周长之比;(3)?ADE与?ABC的面积之比. AF
例3.如图，利用标杆BE测量建筑物的高度,标杆BE高1.5m,测得AB=2m,BC=14cm,则楼高CD为 m(
例4.如图,小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB,他调整自己的位置,设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上.已知纸板的两条直角边DE=40cm,EF=20cm,测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=8m，则树高AB= m(
0例5.如图，在?ABC中?A=60，BM?AC于点M，CN?AB于点N，P为BC边的中点，连接PM,PN，则下列结论:
0AMAN2PC?PM=PN;?;??PMN为等边三角形;?当?ABC=45时,BN=(其中正确的个数是( ) ,ABAC
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
00例6.如图，?BAC=?DAF=90，AB=AC，AD=AF，点D、E为BC边上的两点，且?DAE=45，连接EF、BF，则下
222列结论:??AED??AEF;??ABE??ACD;?BE+DC,DE;?BE+DC=DE，其中正确的有( )个(
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
例7.如图所示,在?ABC中,已知AB=AC=8,BC=6,BD?AC于D,AE?BC于E，求CD的长(
例8.某施工队在道路拓宽施工时遇到这样一个问题,马路旁边原有一个面积为100平方米,周长为80米的三角形绿化地,由于马路拓宽绿地被削去了一个角,变成了一个梯形,原绿化地一边AB的长由原来的30米缩短成18米.现在的问题是:被削去的部分面积有多大,它的周长是多少,
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九年级数学
拓展延伸
(1)过E作EF//AB交BC于F,其他条件不变，则ΔEFC的面积等于多少,四边形BDEF面积为多少, (2)若设S=S, S=S, S=S、S之间存在怎样的关系,你能加以验证吗, 请猜想:S与SΔABCΔADE1ΔEFC12.2
例9.在Rt?ABC中,?ACB=90?,中线AE与中线CD交于点O，AB=6.
(1)求证:AO:OE=2:1;(2)求OC的长.
例10.如图，CD是Rt?ABC斜边AB上的中线，过点D垂直于AB的直线交BC于E，交AC延长线于F(
2求证:(1)?ADF??EDB;(2)CD=DE?DF(
ABDE例11.如图,AD是?ABC的角平分线,BE?AD于E,CF?AD于F(求证:( ,ACDF
例12.如图，已知零件的外径为a,要求它的厚度x,需先求出内孔的直径AB,现用一个交叉卡钳(两条尺长AC和BD相等)去量,若OA:OC=OB:OD=n,且量得CD=b，求厚度x。
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九年级数学
例13.如图,?ABC是一块锐角三角形余料,边BC=120毫米,高AD=80毫米,要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少,
例14.如图所示,九年级(1)班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度CD=3m,标杆与旗杆的水平距离BD=15m,人的眼睛与地面的高度EF=1.6 m,人与标杆CD的水平距离DF=2m,求旗杆AB的高度(
0例15.在?ABC中,?CAB=90，AD?BC于点D，点E为AB的中点，EC与AD交于点G，点F在BC上( (1)如图1,AC:AB=1:2，EF?CB，求证:EF=CD(
3(2)如图2,AC:AB=1:，EF?CE，求EF:EG的值(
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九年级数学
同步练习,
1.如图,六边形ABCDEF?六边形GHIJKL,相似比为2:1,则下列结论正确的是, ,
A.?E=2?K B,BC=2HI C.C=C D.S=2S六边形ABCDEF六边形GHIJKL六边形ABCDEF六
边形GHIJKL
2.如图,西安路与南京路平行,并且与八一街垂直,曙光路与环城路垂直.如果小明站在南京路与八一街的交叉口,准备去书店,按图中的街道行走,最近的路程约为, ,
A.600m B.500m C.400m D.300m
3.如图:小明在打网球时,要使球恰好能打过网,而且落在离网5米的位置上,则拍击球的高度h应为, ,
A.2.7米 B.1.8米 C.0.9米 D.6米 4.如图所示,小明想用皮尺测量池塘A,B间的距离,但现有皮尺无法直接测量池塘A,B间的距离,学习有关的数学知识后,他想出了一个主意,先在地面上取一个可以直接到达A,B两点的点O,连接OA,OB,分别在OA,OB上取中点C,D,连接CD,并测得CD=a,由此他知道A,B间的距离是( )
1 A, B.2a C.a D.3a a2
5.如图是小明
设计
领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计
用手电来测量某古城墙高度的示意图.点P处放一水平的平面镜,光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处,已知 AB?BD,CD?BD,且测得AB=1.2米,BP=1.8米,PD=12米,那么该古
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九年级数学 城墙的高度是, ,
A.6米 B.8米 C.18米 D.24米 6.如图所示,在?ABC中,已知?AED=?B,DE=6,AB=10,AE=8,则BC的长为( )
151524 A. B.7 C. D. 425
007.如图,在?ABC中,?C=90，?B=60，D是AC上一点,DE?AB于E,且CD=2,DE=1,则BC的长为, ,
42343 A.2 B. C. D. 33
8.如图所示,已知点E,F分别是?ABC中AC,AB边的中点,BE,CF相交于点G,FG=2,则CF的长为, ,
A.4 B.4.5 C.5 D.6
09.如图,四边形ABCD中,?BAD=?ADC=90,AB=AD=22,CD=2,点P在四边形ABCD的边上,若
3
P到BD的距离为 ,则点P的个数为, ,A,1 B,2 C,3 D,4 2
2ACAB，,，ADCACB，,，BACD10.如图所示,给出下列条件,?,?,?,?, ACADAB, ,CDBC
其中单独能够判定???ABCACD的个数为, ,
A.1 B.2 C.3 D.4
02211.如图,在?ABC中,?ACB=90,CD?AB于点D,下列说法中,?AC•BC=AB•CD,?AC=AD•DB,?BC=BD
2•BA,?CD=AD•DB,正确的个数是, ,
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
12.下列4×4的正方形网格中,小正方形的边长均为1,三角形的顶点都在格点上,则与?ABC相似的三角形所在的网格图形是, ,
19
九年级数学
13.如图,小正方形的边长均为1,则下列图中的三角形,阴影部分,与?ABC相似的是, ,
14.如图,点A,B,C,D的坐标分别是,1,7,,,1,1,,,4,1,,,6,1,,以C,D,E为顶点的三角形与?ABC相似,则点E的坐标不可能是, ,
A.(6,5) B.(4,2) C.(6,0) D.(6,3)
15.美是一种感觉,当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时,越给人一种美感,如图,某女士身高165cm,下半身长x与身高l的比值是0.60,为尽可能达到好的效果,她应穿的高跟鞋的高度大约为( )
A.4cm B.6cm C.8cm D.10cm
16.如图,小明在打网球时,使球恰好能打过网,而且落点恰好在离网6米的位置上,则球拍击球的高度h为( )
848 A. B. 1 C. D. 3515
C的一定点,过M点作直线截?ABC,使截得的三角形与?ABC17.如图,M是Rt?ABC的斜边BC上异于B、
相似,这样的直线共有, ,
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 18.若两个相似三角形的相似比是2:3,则它们的对应高线的比是 ,对应中线的比是 ,
对应角平分线的比是 ,周长比是 ,面积比是 。
19.已知?ABC与?DEF相似且面积比为4:25,则?ABC与?DEF的相似比为 ,
20
九年级数学 20.两个等边三角形的面积比是3:4,则它们的边长比是 ,周长比是 。 21.请归纳出相似体的三条主要性质,
?相似体的一切对应线段(或弧)长的比等于______, ?相似体表面积的比等于 ,
?相似体体积比等于 ,
22.假定在完全正常发育的条件下,不同时期的同一人的人体是相似体,一个小朋友上幼儿园时身高为1.1米,体重为18千克,到了初三时,身高为1.65米,问他的体重是 (不考虑不同时期人体平均密度的变化)
023.如图,?ABD与?AEC都是等边三角形,AB?AC,下列结论中,?BE=DC,??BOD=60,??BOD??COE.正确的序号是 ,
S:S:S24.如图,?ABC中,DE?FG?BC,AD=DF=FB,则=______ ,ADE四边形DFGE四边形FBCG
S:S25.在?ABC中,DE?BC,E、D分别在AC、AB上,EC=2AE,则的比为______ ,ADE四边形DBCE
26.梯形ABCD中,AD?BC,AD=36,BC=60cm,延长两腰BA,CD交于点O,OF?BC,交AD于E,EF=32cm,则OF=____
27.如图,点M是?ABC内一点,过点M分别作直线平行于?ABC的各边,所形成的三个小三角形?、?、?123,图中阴影部分,的面积分别是4,9和49,则?ABC的面积是 ,
28.已知:如图,DE是?ABC的中位线,点P是DE的中点,CP的延长线交AB于点Q,那么S,S= , ?DPQ?ABC
1029.如图,Rt?ABC中,?ACB=90,直线EF?BD,交AB于点E,交AC于点G,交AD于点F,若SS,，?AEG四边形EBCG3 CF则 , ,AD
21
九年级数学 30.如图,小明在A时测得某树的影长为2m,B时又测得该树的影长为8m,若两次日照的光线互相垂直,则树的高度为_____m.
31.如图,在已建立直角坐标系的4×4正方形方格纸中,?划格点三角形,三角形的三个顶点都是小正方形的顶点,,若以格点P,A,B为顶点的三角形与?ABC相似,全等除外,,则格点P的坐标是_______, 32.在?ABC中,AB,BC,AC,D是AC的中点,过点D作直线l,使截得的三角形与原三角形相似,这样的直线l
有 条,
033.如图,?ABC中,AB=AC,D,E是?ABC内两点,AD平分?BAC,?EBC=?E=60,若BE=6cm,DE=2cm,则
, BC=
/////34.若?ABC??ABC,AC=5,AC=8,则S:S= ?ABC?A/B/C/
35.两个相似三角形的面积比S:S与它们对应高之比h:h之间的关系为 1212
236.已知两个相似多边形的一组对应边长分别为3cm和4cm,如果它们的面积和为50cm,则较大多边形的面
2积为 cm,
37.已知?ABC??DEF,相似比为3,?ABC的周长为54 cm,若?DEF的三边长之比为2:3:4,则?DEF的最短边长为 cm,
米, 38.一根2米长的竹竿直立在操场上,影长1.6米,在同一时刻,测得旗杆的影长17.6米,则旗杆高39.如图,已知AB?BD,ED?BD,C是线段BD的中点,且AC?CE,ED=1,BD=4,那么AB=
40.甲、乙两盏路灯底部间的距离是30米,一天晚上,当小华走到距路灯乙底部5米处时,发现自己的身影
22
九年级数学 顶部正好接触路灯乙的底部,已知小华的身高为1.5米,那么路灯甲的高为 米, 41.如图,公园内有一个长5米的跷跷板AB,当支点O在距离A端2米时,A端的人可以将B端的人跷高1.5米,那么当支点O在AB的中点时,A端的人下降同样的高度可以将B端的人跷高 米, 42.如图,?ABC与?AEF中,AB=AE,BC=EF,?B=?E,AB交EF于D,给出下列结论,
??AFC=?C,?DF=CF,??ADE??FDB,??BFD=?CAF.其中正确的结论是 ,填写所有正确结论的序号,,
///42.如图,4 ×4正方形网格,ΔABC与ΔABC有什么关系,为什么,
43.如图所示,点D,E在BC上,且FD?AB,FE?AC,求证?ABC??FDE,
44.已知:如图,?ABC中,CD平分?ACB,DE//BC, AD:DB=2:3,AC=10,求DE的长。
45.如图所示,在?ABC中,AB=8,AC=6,点D在AC上,且AD=2,在AB上找一点E,使得?ADE与原三角形相似,这样的点E有几个?求出AE的长,
23
九年级数学
46.如图所示,已知CD是Rt?ABC的斜边AB上的高,若AD=10,BD=5,求CD的长,
47.如图,在?ABC中,BC>AC,点D在BC上,且DC=AC,?ACB的平分线CF交AD于F,点E是AB的中点,连结EF.
1,求证,EF?BC;,2,若四边形BDFE的面积为6,求?ABD的面积. ,
48.如图,教室窗户的高度AF为2.5米,遮阳蓬外端一点D到窗户上椽的距离为AD,某一时刻太阳光从教室
03窗户射入室内,与地面的夹角?BPC为30,PE为窗户的一部分在教室地面所形成的影子且长为米,试求AD的长度,,结果带根号,
24
九年级数学 49.如图,路灯,P点,距地面8米,身高1.6米的小明从距路灯的底部,O点 ,20米的A点,沿OA所在的直线行走14米到B点时,身影的长度是变长了还是变短了,变长或变短了多少米,
050.,1,把两个含有45角的直角三角板如图1放置,点D在BC上,连结BE,AD,AD的延长线交BE于点F, 求证,AF?BE,
0 ,2,把两个含有30角的直角三角板如图2放置,点D在BC上,连结BE,AD,AD的延长线交BE于点F,问AF与BE是否垂直,并说明理由,
51.已知?ABC,延长BC到D,使CD=BC,取AB的中点F,连结FD交AC于点E,
AE,1,求的值,,2,若AB=a,FB=EC,求AC的长,
AC
25
九年级数学 能力提高:
1.如图，在Rt?ABC内有边长分别为a，b，c的三个正方形(则a，b，c满足的关系式是( )
222 A.b=a+c B.b=ac C.b=a+c D.b=2a=2c
2.如图G是,ABC的重心，直线L过A点与BC平行。若直线CG分别与AB、A L交于D、E两点，直线BG与AC交于F点，则S:S为( ) ?AED四边形ADGF
A.1:2 B.2:1 C.2:3 D.3:2 3.如图，?ABC与?DEF均为等边三角形，O为BC、EF的中点，则AD:BE的值为( )
3:12:1 A. B. C.5:3 D.不确定
4.一张等腰三角形纸片，底边长l5cm，底边上的高长22(5cm(现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图所示(已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是( )
A.第4张 B.第5张 C.第6张 D.第7张 5.如图,丁轩同学在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部，当他向前再步行20m到达Q点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部，已知丁轩同学的身高是1.5m，两个路灯的高度都是9m，则两路灯之间的距离是( )
A.24m B.25m C.28m D.30m
6.如图,由点O出发的13条射线恰好等分圆周,图中的三角形都是直角三角形.若OA=64,则AA的长为 117
7.如图，点A，A，A，A在射线OA上，点B，B，B在射线OB上，且AB?AB?AB，AB?AB?AB( 3
若?ABB，?ABB的面积分别为1,4，则图中三个阴影三角形面积之和为 212323
2BC,2CA,CD8.如图，在?ABC中，AB=AC,BD?AC,求证: 29.如图,等腰三角形ABC中,AB=AC,D为CB延长线上一点,E为BC延长线上点,且满足AB=DB?CE.
0 (1)求证:?ADB??EAC;(2)若?BAC=40，求?DAE的度数.
26
九年级数学
测试题02
日期, 月 日 满分,100分 姓名, 得分, 1.两个相似多边形的面积比是9:16,其中较小多边形周长为36cm,则较大多边形周长为( )
A,48cm B,54cm C,56cm D,64cm
2.如图所示,下面四个选项中,与已知三角形成相似的是, ,
3.厨房角柜的台面是三角形,如果把各边中点的连线所围成的三角形铺上黑色大理石,如图所示,其余部分铺上白色大理石,那么黑色大理石与白色大理石的面积比为( )
A.1,4 B.4,1 C.1,3 D.3,4
4.如图所示,D是?ABC的边AB上一点,过D作DE?BC交AC于E,若AD:DB=2:3,则S,S等于 ?ADE四边形BCED( )
A.2:3 B.4:9 C.4:5 D.4:21
5,.如图,在正?AABC中,D,E,F分别是BC,AC,AB上的点,DE?AC,EF?AB,FD?BC,则?DEF的面积与?ABC的面积之比等于, ,
33 A.1:3 B.2:3 C.:2 D.:3
06.如图,在Rt?ABC中,?ACB=90,BC=3，AC=4,AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E,则CE的长为, ,
3725 A. B. C. D.2 266
7.在?ABC中,AB=12,AC=10,BC=9,AD是BC边上的高.将?ABC按如图所示的方式折叠,使点A与点D重合,
27
九年级数学 折痕为EF,则?DEF的周长为( )
A.9.5 B.10.5 C.11 D.15.5
8.如图,?ABC中,CD?AB于D一定能确定?ABC为直角三角形的条件的个数是, ,
CDDB，,，1A，，，，,B290?，?????AC,BD,AC,CD BCACAB????，,345,，ADCD
A.1 B.2 C.3 D.4
9.如图,DE是?ABC的中位线,M是DE的中点,CM的延长线交AB于点N,则等于, , SS:??DMNCEM
A.1:2 B.1:3 C.1,4 D.1,5
S,3S,6S,10.如图,?ABC中,PQ?BC,若,,则, , ,cQB,APQ,PQB
A.10 B.16 C.9 D.18
11.某一时刻树的影长为8米,同一时刻身高为1.5米的人的影长为3米,则树高
12.如图所示,在?ABC中,DE?BC交AB于D,交AC于E,若AD=3.2,DB=2.4,AE=2.8,则AC=
13.铁道的栏杆的短臂为OA=1米,长臂OB=10米,短臂端下降AC=0.6米,则长臂端上升BD= 米。 14.如图,屋架跨度的一半OP=5m,高度OQ=2.25 m,现要在屋顶上开一个天窗,天窗高度 AC=1.20m,AB在水平位置.则AB的长度为 。
15.?ABC中,AE是角平分线,D是AB上的一点,CD交AE于G,?ACD=?B,且AC=2AD.则ΔACD?Δ______.
28
九年级数学 它们的相似比k=______
016.如图,在直角三角形ABC中,?C=90,,放置边长分别3,4,x的三个正方形,则x的值为 17.如图,AB=3AC,BD=3AE,又BD?AC,点B,A,E在同一条直线上.
(1) 求证,?ABD??CAE,(2) 如果AC=BD,AD=BD,设BD=a,求BC的长. 22
18.如图,为了求出海岛上的山峰AB的高度,在D和F处树立标杆DC和FE,标杆的高都是10m,相隔500m,并且AB、CD和EF在同一平面内,从标杆DC退后100m的G处,可看到山峰A和标杆顶端C在一直线上,从标杆FE退后120m的H处,可看到山峰A和标杆顶端E在一直线上.求山峰的高度AB及它和标杆CD的水平距离BD各是多少,
第03课 位似图形
定义:如果两个图形不仅形状相同,而且每组对应点所在的直线都经过同一点,那么这样的两个图形叫做位似图形, 这个点叫做位似中心.(位似图形一定相似,相似图形不一定是位似图形)
29
九年级数学
每个图形中的两个四边形不仅相似,而且各对应点所在的直线都经过同一点。所以都是位似图形。
注意,图形相似,对应顶点的连线经过同一点,是判断位似图形两个不可缺少的条件。 位似图形有以下性质:位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.,
例1:判断下列各对图形哪些是位似图形，哪些不是.
/////1)五边形ABCDE与五边形ABCDE; (
(2)在平行四边形ABCD中，?ABO与?CDO;
////(3)正方形ABCD与正方形ABCD. ///(4)等边三角形ABC与等边三角形ABC.
66(5)反比例函数的图像与的图像 y,(x,0)y,(x,0)xx///(6)曲边三角形ABC与曲边三角形ABC.
/////(7)扇形ABC与扇形ABC，(B,A,B在一条直线上，C,A,C在一条直线上)
(8)?ABC与?ADE(?DE?BC; ??AED=?B)
例2.如图P,E,F分别是AC,AB,AD的中点,四边形AEPF与四边形ABCD是位似图形吗,如果是位似图形，说出
30
九年级数学 位似中心和位似比.
/////例3.如图，?ABC与?ABC是位似图形，且位似比是1:2,若AB=2cm，则AB= cm,在图中画出位似中心O(
例3.如图，在8×8的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，?OAB的顶点都在格点上，请在网格中画出?OAB的一个位似图形，使两个图形以O为位似中心，且所画图形与?OAB的位似比为2:1(
例4.如图,?ABC中,AB=12,BC=8,AC=6，点D、E分别在AB、AC上,如果以A、D、E为顶点的?和以A、B、C
1为顶点的?相似,且相似比为((1)根据题意确定D、E的位置，画出简图;(2)求AD、AE和DE的长( 3
例5.如图,?ABC的三个顶点坐标分别为A(-2,4)、B(-3,1)、C(-1,1),以坐标原点O为位似中心,如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形,?ABC的顶点都在格点上,建立平面直角坐标系( (1)点A的坐标为 ，点C的坐标为 (
(2)将?ABC向左平移7个单位,请画出平移后的?ABC(若M为?ABC内的一点,其坐标为(a,b),则平移111
后点M的对应点M的坐标为 ( 1
(3)以原点O为位似中心,将?ABC缩小,使变换后得到的?ABC与?ABC对应边的比为1:2(请在网格内画222
出?ABC，并写出点A的坐标: ( 2222
例6.如图，在平面直角坐标系中，?ABC的顶点坐标分别为(4，0)，(8，2)，(6，4)(已知?ABC的两个顶111
31
九年级数学 点的坐标为(1，3)，(2，5)，若?ABC与?ABC位似，则?ABC的第三个顶点的坐标为 ( 111111
例7.如图，在6×8网格图中,每个小正方形边长均为1,点0和?ABC的顶点均为小正方形的顶点(
//////(1)以O为位似中心,在网络图中作?ABC，使?ABC和?ABC位似，且位似比为 1:2;
///(2)连接(1)中的AA，求四边形AACC的周长(,结果保留根号,
同步练习:
1.下列说法不正确的是, ,
A.位似图形一定是相似图形 C.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比
B.相似图形不一定是位似图形 D.位似图形中每组对应点所在的直线必相互平行 2.下列说法正确的是 , ,
A.分别在?ABC的边AB,AC的反向延长线上取点D,E,使DE?BC,则?ADE是?ABC放大后的图形
B.两位似图形的面积之比等于位似比 C.位似多边形中对应对角线之比等于位似比
D.位似图形的周长之比等于位似比的平方
3.用作位似形的方法,可以将一个图形放大或缩小,位似中心, ,
A.只能选在原图形的外部 B.只能选在原图形的内部
C.只能选在原图形的边上 D.可以选择任意位置
4.如图,?DEF是由?ABC经过位似变换得到的,点O是位似中心,D,E,F分别是OA,OB,OC的中点,
32
九年级数学 则?DEF与?ABC的面积比是, ,
A,1,2B,1,4C,1,5D,1,6
5.如图,点D,E,F分别是?ABC(AB>AC)各边的中点,下列说法中,错误的是, , ((
1 A.AD平分?BAC B.EF= C.EF与AD互相平分 D.?DEF是?ABC的位似图形 BC2
6.已知?ABC三个顶点的坐标分别为,1,2,,,-2,3,,,-1,0,,把它们的横坐标和纵坐标分别变成原来的2倍,
///得到点A,B,C,下列说法正确的是, ,
////// A.?ABC与?ABC是位似图形,位似中心是点(1,0) C.?ABC与?ABC是相似图形,但不是位似图形
////// B.?ABC与?ABC是位似图形,位似中心是点(0,0) D.?ABC与?ABC不是相似图形
7.已知,直角坐标系中,点E,-4,2,,F,-1,-1,,以O为位似中心,按比例尺2:1把?EFO缩小,则点E的对应点E′的坐标为, ,
A.,2,-1,或,-2,1, B.,8,-4,或,-8,4, C.,2,-1, D.,8,-4,
///8.如图,在直角坐标系中,矩形OABC的顶点O在坐标原点,边OA在x轴上,OC在y轴上,如果矩形OABC
1////与矩形OABC关于点O位似,且矩形OABC的面积等于矩形OABC面积的,那么点B的坐标是, , 4
A,,3,2, B,,-2,-3, C,,2,3,或,-2,-3, D,,3,2,或,-3,-2,
////9.如图,正方形ABCD的两边BC,AB分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上,正方形ABCD与正方形
//////ABCD是以AC的中点O为中心的位似图形,已知,若点A的坐标为,1,2,,则正方形ABCD与正AC,32
33
九年级数学 方形ABCD的相似比是, ,
1112 A. B. C. D.
2633
10.如图,已知?EFH和?MNK是位似图形,那么其位似中心是点( )
11.如图,小“鱼”与大“鱼”是位似图形,如果小“鱼”上一个“顶点”的坐标为(a,b),那么大“鱼”上对应“顶点”的坐标为, ,
A,(-a,-2b) B,(-2a,-b) C,(-2a,-2b) D,(-2b,-2a)
112.在平面直角坐标系中,已知点E,-4,2,,F,-2,-2,,以原点O为位似中心,相似比为,把?EFO缩小,则2
/点E的对应点E的坐标是, ,
A.(-2,1) B.(-8,4) C.(-8,4)或(8,-4) D.(-2,1)或,2,-1,
///13.如图,在直角坐标系中,矩形OABC的顶点O在坐标原点,边OA在x轴上,OC在y轴上,如果矩形OABC
1////与矩形OABC关于点O位似,且矩形OABC的面积等于矩形OABC面积的,那么点B的坐标是, ,
4
A,,-2,3, B,,2,-3, C,,3,-2,或,-2,3, D,,-2,3,或,2,-3,
//////14.如图,?ABO缩小后变为?ABO,其中A、B的对应点分别为A,B,A,B均在图中格点上,若线段AB上
///有一点P(m,n),则点P在AB上的对应点P的坐标为, ,
mmnn A. B.C. D. (m,n)(,n)(,)(m,) 2222
15.如图,?ABC中,A,B两个顶点在x轴的上方,点C的坐标是(-1,0),以点C为位似中心,在x轴的下
34
九年级数学
///方作?ABC的位似图形,并把?ABC的边长放大到原来的2倍,记所得的像是?ABC,设点B的对应点B的横坐标是a,则点B的横坐标是( )
1111 A. B. D. C.,a,，(3)a,，(1)a,,(1)a2222
,16.三角尺在灯泡O的照射下在墙上形成影子.现测得,这个三角尺的周长与它在墙OAOA,,20cm50cm，
上形成的影子的周长的比是 ,
17.如图,点都在网格线交点处的三角形叫做格点三角形,已知图中的每个小正方形的边长都是1个单位,在图中选择适当的位似中心,画一个与格点?DEF位似且位似比不等于1的格点三角形 ,
//,点A、B的坐标分别为,3,0,、,2,,3,,?ABO是?ABO关于的A的位似图18.如图,平面直角坐标系xOy中
//形,且O的坐标为,-1,0,,则点B的坐标为 ,
///19.在平面直角坐标系中,?ABC顶点A的坐标为(2,3),若以原点O为位似中心,画?ABC位似图形?ABC,
///1/使?ABC与?ABC的相似比等于,则点A的坐标为 ,
2
20.如图,方格纸中的每一个小方格都是边长为1的正方形,我们把以格点间连线为边的三角形称为“格点三角形”,图中的?ABC是格点三角形,在建立平面直角坐标系后,点B的坐标为,-1,-1,,在方格纸中把?ABC以点
/A为位似中心放大,使放大前后对应边的比为1:2,则点B的对应点B的坐标为 ,
21.如图,在正方形网格中,点A、B、C、D都是格点,点E是线段AC上任意一点.如果AD=1,那么当AE= 时,以点A、D、E为顶点的三角形与?ABC相似,
35
九年级数学 22.如图,正方形OEFG和正方形ABCD是位似形,点F的坐标为,1,1,,点C的坐标为,4,2,,则这两个正方形位似中心的坐标是 ,
23.已知:?ABC在坐标平面内,三个顶点的坐标分别为A,0,3,,B,3,4,,C,2,2,,,正方形网格中,每个小正方形的边长是1个单位长度,
,1,画出?ABC向下平移4个单位得到的?ABC,并直接写出C点的坐标, 1111
,2,以点B为位似中心,在网格中画出?ABC,使?ABC与?ABC位似,且位似比为2:1,并直接写出C点的22222坐标及?ABC的面积, 22
24.如图,在直角坐标系中,?ABC的各个顶点的坐标为A,-1,1,,B,2,3,,C,0,3,.现要以坐标原点O为位
2//////似中心,位似比为,作?ABC的位似图形?ABC,则它的顶点A、B、C的坐标各是多少, 3
25.如图,在平面直角坐标系中,已知?ABC三个顶点的坐标分别为A,-1,2,,B,-3,4,C,-2,6,
0,1,画出?ABC绕点A顺时针旋转90后得到的?ABC; 111
36
九年级数学 ,2,以原点O为位似中心,画出将?ABC三条边放大为原来的2倍后的?ABC, 111222
26.如图,方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形,?ABC的顶点都在格点上,建立平面直角坐标系,
,1,点A的坐标为 ,点C的坐标为 ,
,2,将?ABC向左平移7个单位,请画出平移后的?ABC,若M为?ABC内的一点,其坐标为,a,b,,111
则平移后点M的对应点M的坐标为 , 1
,3,以原点O为位似中心,将?ABC缩小,使变换后得到的?ABC与?ABC对应边的比为1,2,请在网格222
内画出?ABC,并写出点A的坐标, , 2222
37
九年级数学
能力提高:
1.如图所示，图中的小方格都是边长为1的正方形，?ABC与?A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上(
(1)画出位似中心点O;
(2)直接写出?ABC与?A′B′C′的位似比;
(3)以位似中心O为坐标原点，以格线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，画出?A′B′C′关于点O中心对称的?A″B″C″，并直接写出?A″B″C″各顶点的坐标(
2.如图，在平面直角坐标系中，?ABC的顶点坐标为A(-2,3)、B(-3,2)、C(-1,1)( (1)若将?ABC向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，请画出平移后的?ABC; 1110(2)画出?ABC绕原点旋转180后得到的?ABC; 111222///(3)?ABC与?ABC是位似图形，请写出位似中心的坐标: ;
/(4)顺次连接C、C、C、C，所得到的图形是轴对称图形吗, 12
38
九年级数学
测试题03
日期, 月 日 满分,100分 姓名, 得分, 1.下列说法中正确的是( )
A.位似图形可以通过平移而相互得到 B.位似图形的对应边平行且相等
C.位似图形的位似中心不只有一个 D.位似中心到对应点的距离之比都相等 2.如图,已知BC?DE,则下列说法中不正确的是, ,
A.两个三角形是位似图形 B.点A是两个三角形的位似中心
C.AE:AD是位似比 D.点B与点D、点C与点E是对应位似点
39
九年级数学
23.如图,五边形ABCDE和五边形ABCDE是位似图形,且,则AB:AB等于, , 111111PA,PA13
2335 A. B. C. D.
32534.如图,正方形OABC与正方形ODEF是位似图形,O为位似中心,相似比为,点A的坐标为,1,0,,则1:2E点的坐标为, ,
33 A,,,0, B,, C, D, 2(2,2)(2,2),)22
5.图中的两个三角形是位似图形,它们的位似中心是, ,
A.点P B.点O C.点M D.点N
O
P M N
个6.已知?ABC,以点A为位似中心,作出?ADE,使?ADE是?ABC放大2倍的图形,这样的图形可以作出, ,
A.1个 B.2个 C.4个 D.无数个 7.如果两个位似图形的对应线段长分别为3cm和5cm,且较小图形周长为30cm,则较大图形周长为
////8.如图,?ABC与?ABC是位似图形,点O是位似中心,若OA=2AA,S=8,则S=________, ?ABC?A′B′C ′9.如图,?ABC与?DEF是位似图形,位似比为2:3,已知AB=4,则DE的长为 ,
//////10.已知,如图,AB?AB,BC?BC,且OA:AA=4:3,则?ABC与________是位似图形,位似比为________,?OAB与________是位似图形,位似比为________.
11.在如图的方格纸中,每个小方格的边长都是1个单位,有一点O和?ABC.
///,1,画图,以点O为位似中心,把?ABC缩小为原来的一半,不改变方向,,得到?ABC,
///,2,?ABC与?ABC相似比为 ,
40
九年级数学
12.如图,在?ABCD中,F是AD延长线上一点,连接BF交DC于点E,则图中的位似三角形共有 对,
///13.如图,?ABC与?ABC是位似图形,且顶点都在格点上,则位似中心的坐标是 14.如图,?ABC在方格纸中:
,1,请在方格纸上建立平面直角坐标系,使A(2,3),C(6,2),并求出B点坐标,
///,2,以原点O为位似中心,相似比为2,在第一象限内将?ABC放大,画出放大后的图形?ABC,
15.如图,?ABC三个定点坐标分别为A,-1,3,,B,-1,1,,C,-3,2,,
,1,请画出?ABC关于y轴对称的?ABC, 111
,2,以原点O为位似中心,将?ABC放大为原来的2倍,得到?ABC,请在第三象限内画出?ABC,并求111222222出的值, S:SABCABC,,112221
41
九年级数学
第04课 相似形与四边形
例1.如图,延长正方形ABCD的一边CB至E,ED与AB相交于点F,过F作FG?BE交AE于G,求证GF=FB(
例2.在边长为8的正方形ABCD中，P为AD上一点，且AP=5，BP的垂直平分线交AB、DC分别于E，F，Q为垂足，试求EQ:QF的值(
例3.如图，正方形ABCD中，E是BC的中点，DF=3CF，写出图中所有相似三角形，并证明(
例4.如图,?ABC是一张锐角三角形的硬纸片,AD是边BC上的高,BC=40cm,AD=30cm.从这张硬纸片剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH,使它的一边EF在BC上,顶点G,H分别在AC,AB上,AD与HG的交点为M(
42
九年级数学
AMHG(1)求证:;(2)求这个矩形EFGH的周长( ,ADBC
2例5.如图所示,已知E为?ABCD的边CD延长线上的一点,连接BE交AC于O，交AD于F(求证BO=OF?OE(
0=90，AB=5cm,BC=3cm,AC=4cm.根据需要，要把它加工成一个面例6.有一块直角三角形木板如图所示,已知?C
积最大的正方形木板,设计一个
方案
气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载
,应怎样裁，才能使正方形木板面积最大,并求出这个正方形木板的边长。
0例7.如图梯形ABCD中AB?DC,?B=90，MN?AB，AB=6,BC=4,CD=3,设DM=x，
(1)设MN=y，用x的代数式表示y((2)设梯形MNCD的面积为S，用x的代数式表示S(
1 (3)若梯形MNCD的面积S等于梯形ABCD的面积的，求DM( 3
例8.如图，在梯形ABCD中，AD?BC，对角线AC、BD相交于点O，AD=2，BC=BD=3，AC=4(
(1)求证:AC?BD;(2)求?AOB的面积(
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九年级数学
例9.如图所示,在?ABC中,AB=5,BC=3,AC=4,PQ?AB,点P在AC上,点Q在BC上(
(1)当?PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，求CP的长;
(2)当?PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长;
(3)在AB上是否存在点M，使?PQM为等腰直角三角形?若存在，求出PQ的长;若不存在，请说明理由(
例10.小丽参加数学兴趣小组活动，提供了下面3个有联系的问题，请你帮助解决:
(1)如图1，正方形ABCD中，作AE交BC于E，DF?AE交AB于F，求证:AE=DF;
EF(2)如图2，正方形ABCD中，点E,F分别在AD,BC上，点G,H分别在AB,CD上，且EF?GH，求的值; GH
EF(3)如图3，矩形ABCD中，AB=a,BC=B,点E,F分别在AD,BC上，且EF?GH，求的值( GH
例11.如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是BC上的一个动点，连接DE，交AC于点F(
SCE1,CEF(1)如图?，当时，求的值; ,SEB3,CDF
AF,2OA(2)如图?当DE平分?CDB时，求证:;
1(3)如图?，当点E是BC的中点时，过点F作FG?BC于点G，求证:( CG,BG2
44
九年级数学
例11.如图，P为正方形ABCD的边AD上的一个动点，AE?BP，CF?BP，垂足分别为点E、F，已知AD=4(
22(1)试说明AE+CF的值是一个常数;
(2)过点P作PM?FC交CD于点M，点P在何位置时线段DM最长，并求出此时DM的值(
课堂练习:
1.点E是ABCD的边BC延长线上的一点,AE与CD相交于点G,则图中相似三角形共有, ,
A.2对 B.3对 C.4对 D.5对
2.如图,有一块矩形纸片ABCD,AB=8,AD=6,将纸片折叠,使得AD边落在AB边上,折痕为AE,再将?AED沿DE向右翻折,AE与BC的交点为F,则CF的长为, ,
A.6 B.4 C.2 D.1
3.如图,已知平行四边形ABCD中,E是AB边的中点,DE交AC于点F,AC,DE把平行四边形ABCD分成的四部分的面积分别为S,S,S,S,下面结论,?只有一对相似三角形,?EF:ED=1:2,?S:S:S:S=1:2:4:5,12341234其中正确的结论是, ,A.?? B.? C.? D.??
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九年级数学
4.如图,边长为6的大正方形中有两个小正方形,若两个小正方形的面积分别为S,S,则S+S的值为, , 1212
A,16 B,17 C,18 D,19 5.如图,在?ABCD中,E为CD上一点,连接AE、BD,且AE、BD交于点F,S,S=4,25,则DE,?DEF?ABFEC=, ,
A.2,5 B.2,3 C.3,5 D.3,2 6.如图,在平行四边形ABCD中,AB=6,AD=9,?BAD的平分线交BC于E,交DC的延长线于F,BG?AE于
42G,BG=,则?EFC的周长为, ,
A.11 B.10 C.9 D.8
7.如图所示,在平行四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,E为OD的中点,连接AE并延长交DC于点F,则DF:FC=, ,
A.1,4 B.1,3 C.2,3 D.1,2 8.如图,菱形ABCD中,点M,N在AC上,ME?AD, NF?AB. 若NF=NM=2,ME=3,则AN=( )
A,3 B,4 C,5 D,6
9.如图,将一张三角形纸片沿虚线剪成甲、乙、丙三块,其中甲、丙为梯形,乙为三角形,根据图中标示的边长数据,比较甲、乙、丙的面积大小,下列判断正确的是, ,
A,甲,乙,乙,丙 B,甲,乙,乙,丙 C,甲,乙,乙,丙 D,甲,乙,乙,丙
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九年级数学
0010.如图,直角梯形ABCD中,?BCD=90,AD?BC,BC=CD,E为梯形内一点,且?BEC=90,将?BEC绕C点旋
0转90使BC与DC重合,得到?DCF,连EF交CD于M,已知BC=5,CF=3,则DM:MC的值为 , ,
A.5:3 B.3:5 C.4:3 D.3:4
11.有甲、乙两张纸条,甲纸条的宽度是乙纸条宽的2倍,如图,将这两张纸条交叉重叠地放在一起,重合部分为四边形ABCD,则AB与BC的数量关系为 ,
12.如图所示,在梯形ABCD中,AD?BC,CE是?BCD的平分线,且CE?AB,E为垂足,BE=2AE,若四边形AECD的面积为1,则梯形ABCD的面积为_______
13.如图,在?ABCD中,E在AB上,CE、BD交于F,若AE:BE=4:3,且BF=2,则DF= . 14.如图,P为平行四边形ABCD边AD上一点,E、F分别为PB、PC的中点,ΔPEF、ΔPDC、ΔPAB的面积分别为S、S、S。若S=2,则S+S= 1212
15.如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC是边长为2的正方形,顶点A、C分别在x,y轴的正半轴上,点Q在对角线OB上,且QO=OC,连接CQ并延长CQ交边AB于点P,则点P的坐标为 ,
116.如图,?ABCD中,E是CD的延长线上一点,BE与AD交于点F,DE=CD. 2
,1,求证,?ABF??CEB,,2,若?DEF的面积为2,求?ABCD的面积.
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九年级数学
17.如图,四边形ABCD是平行四边形,O是对角线AC的中点,过点O的直线EF分别交AB、DC于点E、F,与CB、AD的延长线分别交于点G、H,,1,写出图中不全等的两个相似三角形,不要求证明,, ,2,除AB=CD,AD=BC,OA=OC这三对相等的线段外,图中还有多对相等的线段,请选出其中一对加以证明,
18.已知,如图?,?,在矩形ABCD中,AB=4,BC=8,P,Q分别是边BC,CD上的点。
, ,1,如图?,若APPQ,BP=2,求CQ的长,
BP ,2,如图?,若,且E、F、G分别为AP,PQ,PC的中点,求四边形EPGF的面积。 ,2CQ
19.已知:如图,菱形ABCD内接于?AEF,AE=3,AF=5,求菱形ABCD的边长。
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九年级数学
20.如图所示,已知点正是矩形ABCD的边CD上一点,BF?AE于点F,求证?ABF??EAD,
21.如图,梯形ABCD中,AB?CD,点F在BC上,连DF与AB的延长线交于点G,
,1,求证,?CDF??BGF,
,2,当点F是BC的中点时,过F作EF?CD交AD于点E,若AB=6cm,EF=4cm,求CD的长,
22.如图,在梯形ABCD中,AB?CD,AB=7,CD=1,AD=BC=5,点M,N分别在边AD,BC上运动,并保持MN?AB,ME?AB,NF?AB,垂足分别为E,F,,1,求梯形ABCD的面积, ,2,求四边形MEFN面积的最大值,
,3,试判断四边形MEFN能否为正方形,若能,求出正方形MEFN的面积,若不能,请说明理由,
49
九年级数学 23.某课题学习小组在一次活动中对三角形的内接正方形的有关问题进行了探讨,
定义,如果一个正方形的四个顶点都在一个三角形的边上,那么我们就把这个正方形叫做三角形的内接正方形, 结论,在探讨过程中,有三位同学得出如下结果,
甲同学,在钝角、直角、不等边锐角三角形中分别存在 个、 个、 个大小不同的内接正方形, 乙同学,在直角三角形中,两个顶点都在斜边上的内接正方形的面积较大,
24.如图,四边形ABCD、DEFG都是正方形,连接AE、CG,AE与CG相交于点M,CG与AD相交于点N,
AN,DN,CN,MN求证,,1,AE=CG,,2,.
能力提高: 01.如图，在直角三角形ABC中(?C=90),放置边长分别3,4,x的三个正方形，则x的值为( )
50
九年级数学
A. 5 B. 6 C. 7 D. 12
02.如图,AD?BC,?D=90，AD=2,BC=5,DC=8,若在边DC上有点P,使?PAD与?PBC相似，则这样的点P有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.如图,边长为6的大正方形中有两个小正方形,若两个小正方形的面积分别为S，S，则S+S的值为( ) 1212
A.16 B.17 C.18 D.19
4.如图,在?ABC中,AB=AC=a,BC=b(a,b).在?ABC内依次作?CBD=?A,?DCE=?CBD,?EDF=?DCE.
3344baab则EF等于( ) 2323baabA. B. C. D.
MC5.菱形ABCD的边长是8,点E在直线AD上,若DE=3,连接BE与对角线AC相交于点M，则的值是
AM
6.如图，在?ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，DF过EC的中点G并与BC的延长线交于点F，BE与DE交于点O(若?ADE的面积为S，则四边形B0GC的面积=
2AB,AE，AD,AF,AC7.如图从?ABCD顶点C向AB和AD的延长线引垂线CE和CF，垂足分别为E、F，求证:。
F
DC
ABE
8.已知:如图所示的一张矩形纸片ABCD(AD>AB)，将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连结AF和CE。
2(1)求证:四边形AFCE是菱形;(2)若AE=10cm，?ABF的面积为24cm，求?ABF的周长;
2(3)在线段AC上是否存在一点P，使得2AE=AC?AP,若存在，请说明点P的位置，并予以证明;若不存在，请说明理由.
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九年级数学
测试题
日期, 月 日 满分,100分 姓名, 得分,
01.如图为梯形纸片ABCD,E点在BC上,且?AEC=?C=?D=90,AD=3,BC=9,CD=8.若以AE为折线,将C折至BE上,使得CD与AB交于F点,则BF长度为何, ,
A.4.5 B.5 C.5.5 D.6
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九年级数学
2.如图所示,在?ABCD中,CE是?DCB的平分线,F是AB的中点,AB=6,BC=4,则AE:EF:FB等于( )
A.1:2:3 B.2:1:3 C.3:2:1 D.3:1:2
3.如图,在长为8 cm、宽为4 cm的矩形中,截去一个矩形,使得留下的矩形,图中阴影部分,与原矩形相似,则留下矩形的面积是, ,
2222 A.2 cm B.4 cm C.8 cm D.16 cm 4.如图,矩形ABCD中,E在AD上,EF?BE,交CD于F,连结BF,则图中与?ABE一定相似的三角形是, ,
A.?EFB B.?DEF C.?CFB D.?EFB和?DEF 5.如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=3,点E、F、G、H分别在矩形ABCD的各边上,EF?AC?HG,EH?BD?FG,则
1013210213四边形EFGH的周长是, , A. B. C. D.
12521AO6.如图,正方形ABCD中,E为AB的中点,AF?DE于点O, 则等于, ,A. B. C. D.3DO332
17.如图,在正方形ABCD中,E是CD的中点,点F在BC上,且FC= BC,图中相似三角形共有, , 4
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 8.如图,在?ABCD中,E是BC的中点,且?AEC=?DCE,下列结论不正确的是( ) (((
1A. BF=DF B.S=2S C.四边形AECD是等腰梯形 D.?AEB=?ADC ?FAD?FBE 2
9.已知矩形ABCD中,AB=1,在BC上取一点E,沿AE将?ABE向上折叠,使B点落在AD上的F点,若
51,51，3四边形EFDC与矩形ABCD相似,则AD=, ,A. B. C. D.2 22
53
九年级数学
110.如图,在四边形ABCD中,DC?AB,CB?AB,AB=AD,CD=AB,点E、F分别为AB、AD的中点,则?AEF与
2
1111多边形BCDFE的面积之比为, , A. B. C. D.
4765
11.在?ABCD中,E在DC上,若DE:EC=1:2,则BF:BE=
CE112.如图,E是?ABCD的边CD上一点,连接AE并延长交BC的延长线于点F,且AD=4,,则CF的长,AD3为 ,
13.如图,O为矩形ABCD的中心,M为BC边上一点,N为DC边上一点,ON?OM,若AB=6,AD=4,设OM=x,ON=y,则y与x的函数关系式为 。
14.如图,在矩形ABCD中,点E,F分别在边AD,DC上,?ABE??DEF,AB=6,AE=9,DE=2,求EF的长,
15.如图所示,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,M是BC的中点,DE?AM,垂足为E,求DE的长,
54
九年级数学 16.如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,沿直线MN对折,使A、C重合,直线MN交AC于O, ,1,求证,?COM??CBA,,2,求线段OM的长度,
17.如图,在?ABCD中,过点B作BE?CD,垂足为E,连结AE,F为AE上一点,且?BFE=?C.
0,1,求证:?ABF??EAD,,2,若AB=4,?BAE=30,求AE的长,
,3,在,1,,2,的条件下,若AD=3,求BF的长.
第05课 相似形与圆
3例1.如图，三个半圆依次相外切，它们的圆心都在x轴上，并与直线相切(设三个半圆的半径依次y,x3
为r、r、r，则当r=1时，r= ( 12313
例2.如图，AB是半圆直径，半径OC?AB于点O，AD平分?CAB交弧BC于点D，连接CD(OD，给出以下四个
2结论:?AC?OD;?CE=OE;??ODE??ADO;?2CD=CE•AB(其中正确结论的序号是 ( 例3.如图，A，B，C，D是?O上的四个点，AB=AC，AD交BC于点E，AE=3，ED=4，则AB的长为 ( 例4.如图，?ABC内接于?O，AD是?ABC的边BC上的高，AE是?O的直径，连接BE，?ABE与?ADC相似吗,请证明你的结论(
55
九年级数学
例5.如图，AB是?O的直径，BC是?O的切线，切点为点B，点D是?O上的一点，且AD?OC. 求证:AD?BC=OB?BD
例6.如图，BD是?O的直径，A(C是?O上的两点，且AB=AC，AD与BC的延长线交于点E( (1)求证:?ABD??AEB;(2)若AD=1，DE=3，求BD的长(
例7.已知AB是?O的直径，弦AC平分?BAD，AD?CD于D，BE?CD于E(
2求证:(1)CD是?O的切线;(2)CD=AD•BE(
例8.如图，在?ABC中，AB=AC，以AB为直径作?O，交BC于点D，过点D作DE?AC，垂足为E( (1)求证:DE是?O的切线;(2)如果BC=8，AB=5，求CE的长(
56
九年级数学
例9.如图，?O中，弦AB,CD相交于AB的中点E，连接AD并延长至点F，使DF=AD，连接BC、BF(
CBBE5(1)求证:;(2)当时，求的值. ???CBEAFB,ADFB8
例10.如图所示，四边形ABCD是以O为圆心，AB为直径的半圆的内接四边形，对角线AC、BD相交于点E。
01)求证:?DEC??AEB;(2)当?AED=60时，求?DEC与?AEB的面积比。 (
0例11.如图，在?ABC中，?C=90，AC=3，BC=4(0为BC边上一点，以0为圆心，OB为半径作半圆与BC边和AB边分别交于点D、点E，连结DE(
(1)当BD=3时，求线段DE的长;
(2)过点E作半圆O的切线，当切线与AC边相交时，设交点为F(求证:?FAE是等腰三角形(
57
九年级数学
例12.已知:AB是?O的直径,弦CD?AB于点G,E是直线AB上一动点(不与点A,B,G重合),直线DE交?O于点F,直线CF交直线AB于点P(设?O的半径为r( 2(1)如图，当点E在直径AB上时，试证明:OE•OP=r;
(2)当点E在AB(或BA)的延长线上时，以如图2点E的位置为例，请你画出符合题意的图形，标注上字母，(1)中的结论是否成立,请说明理由(
例13.将一个量角器和一个含30度角的直角三角板如图(1)放置，图(2)是由他抽象出的几何图形，其中点B在半圆O的直径DE的延长线上，AB切半圆O于点F，且BC=OD。
求证:DB?CF;(2)当OD=2时，若以O、B、F为顶点的三角形与?ABC相似，求OB长。
同步练习:
1.如图,A,B,C,D是?O上的四个点,AB=AC,AD交BC于点E,AE=3,ED=4,则AB的长为 , ,
335A.3 B.221 C. D.
58
九年级数学 2.如图,AB是的直径,AD是的切线,点C在,BC?OD,AB=2,OD=3则BC的长为, , ?O?O?O
3232 A. B. C. D. 2223
3.如图,AB是的直径,点C在圆上,CD?AB,DE?BC,则图中与?ABC相似的三角形的个数有, , ?O
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
4.如图,在正方形ABCD内有一折线段,其中AE丄EF,EF丄FC,并且AE=6,EF=8,FC=10,则正方形与其外接圆之间形成的阴影部分的面积为 ,
5.如图在边长为2的正方形ABCD中,E,F,O分别是AB,CD,AD的中点,以O为圆心,以OE为半径画弧EF.P是弧EF上的一个动点,连结OP,并延长OP交线段BC于点K,过点P作?O的切线,分别交射
BG线AB于点M,交直线BC于点G. 若,则BK,_________ ,3BM
06.已知,如图,在?ABC中,?ABC=90,以AB上的点O为圆心,OB的长为半径的圆与AB交于点E,与AC切Rt
于点D,,1,求证:BC=CD,,2,求证:?ADE=?ABD,,3,设AD=2,AE=1,求?O直径的长,
7.如图,半圆的直径AB=10,点C在半圆上,BC=6,
,1,求弦AC的长,,2,若P为AB的中点,PE?AB交AC于点E,求PE的长,
59
九年级数学
8.如图,?ABC是等腰三角形,AB=AC,以AC为直径的?O与BC交于点D,DE?AB,垂足为E,ED的延长线与AC的延长线交于点F。,1,求证,DE是?O的切线,,2,若?O的半径为2,BE=1,求BE:DE的值.
9.如图,AC是圆O的直径,AC=10cm,PA,LPB是圆O的切线,A,B为切点,过A作AD?BP,交BP于D点,连结AB,BC,,1,求证???ABCADB,,2,若切线AP的长为12厘米,求弦AB的长,
10.在Rt?ABC中,BC=9,CA=12,?ABC的平分线BD交AC与点D, DE?DB交AB于点E,
EF,1,设?O是?BDE的外接圆,求证:AC是?O的切线;,2,设?O交BC于点F,连结EF,求的值, AC
11.如图,A、P、B、C是?O上的四点,?APC=?BPC=60:,AB与PC交于Q点,
APAQ,1,判断?ABC的形状,并证明你的结论,,2,求证,, ,PBQB
60
九年级数学
43,3,若?ABP=15:,?ABC的面积为,求PC的长,
能力提高: 01.如图，在?ABC中,AB=AC,D(E是?ABC内两点，AD平分?BAC,?EBC=?E=60，若BE=6cm,DE=2cm，则BC= (
02.如图,?ABC中,?C=90，AC=4,BC=3.半径为1的圆的圆心P以1个单位/s的速度由点A沿AC方向在AC上
).(1)当t为何值时，?P与AB相切; 移动，设移动时间为t(单位:s
16(2)作PD?AC交AB于点D，如果?P和线段BC交于点E，证明:当时，四边形PDBE为平行四边形. ts,5
2.问题背景 在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量.下面是他们通过测量得到的一些信息:
甲组,如图1,测得一根直立于平地,长为80cm的竹竿的影长为60cm.
乙组,如图2,测得学校旗杆的影长为900cm.
丙组,如图3,测得校园景灯,灯罩视为球体,灯杆为圆柱体,其粗细忽略不计,的高度为200cm,影长为156cm.
任务要求
61
九年级数学 (1)请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度;
(2)如图3，设太阳光线NH与相切于点M.请根据甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径(友情提 O
222示:如图3，景灯的影长等于线段NG的影长;需要时可采用等式). 156208260，,
测试题
日期, 月 日 满分,100分 姓名, 得分, 1.如图,已知AB是?O的直径,C是AB延长线上一点,BC=OB,CE是?O的切线,切点为D,过点A作AE?CE,垂足为E,则CD:DE的值是, ,
1A.错误，未找到引用源。 B.1 C.2 D.3 2
2.如图,点A,B,C,D为?O上的四个点,AC平分?BAD,AC交BD于点E,CE=4,CD=6,则AE的长为, ,
A.4 B.5 C.6 D.7
3.如图,这是圆桌正上方的灯泡,看作一个点,发出的光线照射到桌面后在地面上形成,圆形,的示意图,已知桌面直径为1.2米,桌面离地面1米,若灯泡离地面3米,则地面上阴影部分的面积为________,结果保留π,
CF14.如图,AB是?O的直径,弦CD?AB于点G,点F是CD上一点,且满足,连接AF并延长交?O于点E,,FD3
545tan，E,连接AD、DE,若CF=2,AF=3,给出下列结论,??ADF??AED;?FG=2;?;?S=, ?DEF2
62
九年级数学 其中正确的是 ,写出所有正确结论的序号,,
5.如图,已知AB是的直径,过点O作弦BC的平行线,交过点A的切线AP于点P,连结AC, ?O
,1,求证,?ABC??POA,,2,若OB=2,OP=3.5,求BC的长,
6.如图,直线DE经过?O上的点C,并且OE=OD,EC=DC,?O交直线OD于A、B两点,连接BC,AC,OC,
求证,,1,OC?DE,,2,?ACD??CBD,
7.如图,已知?ABC,以BC为直径,O为圆心的半圆交AC于点F,点E为弧CF的中点,连接BE交AC于点M,AD为?ABC的角平分线,且AD?BE,垂足为点H.
63
九年级数学 ,1,求证,AB是半圆O的切线,,2,若AB=3,BC=4,求BE的长.
8.如图,?ABC和?ABD都是?O的内接三角形,圆心O在边AB上,边AD分别与BC,OC交于E,F两点,点C
FE1为弧AD的中点,,1,求证,OF?BD,,2,若,且?O的半径R=6cm, ,DE2
?求证,点F为线段OC的中点,?求图中阴影部分,弓形,的面积,
9.如图,已知AB是的直径,点C在上,过点C的直线与AB的延长线交于点P,AC=PC,?COB=2?O?O
PCB, ?
1,1,求证,PC是的切线,,2,求证,, ?OBCAB,2
MNMC AB,3,点M是的中点,CM交AB于点N,若AB=4,求的值,
64
九年级数学
第06课 相似形与图形变换
10例1.如图，在Rt?ABC中,?B=90，AB=1，B=，以点C为圆心，CB为半径的弧交CA于点D;以点A为圆心，2
AD为半径的弧交AB于点E((1)求AE的长度;
(2)分别以点A、E为圆心,AB长为半径画弧,两弧交于点F,F与C在AB两侧,,连接AF、EF,设EF交弧DE所在的圆于点G,连接AG,试猜想?EAG的大小,并说明理由(
0例2.如图,?ABC中,?C=90，BC=8cm，5AC-3AB=0,点P从B点出发,沿BC方向以2m/s的速度移动,点Q从C出发,沿CA方向以1m/s的速度移动.若P、Q同时分别从B、C出发，经过多少时间?CPQ与??CBA相似,
0例3.已知在?ABC中,?ABC=90，AB=3，BC=4,点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB(如图1)或线段AB的延长线(如图2)于点P(
(1)当点P在线段AB上时，求证:?APQ??ABC;(2)当?PQB为等腰三角形时，求AP的长(
65
九年级数学
例4.如图，已知的半径为6cm，射线PM经过点O，OP=10cm，射线PN与相切于点Q(A,B两点同时从 O O
点P出发，点A以5cm/s的速度沿射线PM方向运动，点B以4cm/s的速度沿射线PN方向运动(设运动时间为t秒((1)求PQ的长;(2)当t为何值时，直线AB与相切, O
例5.正方形ABCD边长为4,M、N分别是BC、DC上的两个动点,当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直， (1)证明:?ABM??MCN;
(2)设BM=x，梯形ABCN的面积为S，求S与x之间的函数关系式;
当M点运动到什么位置时，四边形ABCN面积最大，并求出最大面积;
(3)当M点运动到什么位置时Rt?ABM?Rt?AMN，求此时x的值(
例6.如图，在矩形ABCD中，AD=4cm，AB=m(m,4)，点P是AB边上的任意一点(不与点A(B重合)，连接PD，过点P作PQ?PD，交直线BC于点Q(
66
九年级数学 (1)当m=10时，是否存在点P使得点Q与点C重合,若存在，求出此时AP的长;若不存在，说明理由; (2)连接AC，若PQ?AC，求线段BQ的长(用含m的代数式表示);
0例7.如图(1),?ABC与?EFD为等腰直角三角形,AC与DE重合,AB=AC=EF=9,BAC=?DEF=90，固定?ABC，将?DEF绕点A顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止(现不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE，DF(或它们的延长线)分别交BC(或它的延长线)于G，H点，如图(1)所示:
(1)问:始终与?AGC相似的三角形有 及 ;
(2)设CG=x，BH=y，求y关于x的函数关系式(只要求根据图(2)的情形说明理由);
例8.如图,在矩形ABCD中,AB=12cm,BC=8cm.点E、F、G分别从点A,B,C三点同时出发,沿矩形的边按逆时针方向移动,点E、G的速度均为2cm/s,点F的速度为4cm/s,当点F追上点G(即点F与点G重合)时,三个点随之
2停止移动.设移动开始后第t秒时,?EFG的面积为S(cm)
(1)当t=1秒时,S的值是多少,
(2)写出S和t之间的函数解析式,并指出自变量t的取值范围;
(3)若点F在矩形的边BC上移动,当t为何值时,以点E、B,F为顶点的?与以点F,C,G为顶点的?相似,请说明理由(
67
九年级数学 例9.如图,在平面直角坐标系中,点A(10,0)，以OA为直径在第一象限内作半圆C,点B是该半圆周上一动点,连接OB,AB,并延长AB至点D,使DB=AB,过点D作x轴垂线,分别交x轴、直线OB于点E、F,点E为垂足,连接
0CF((1)当?AOB=30时，求弧AB的长度;(2)当DE=8时，求线段EF的长;
例10.如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角扳的一边交CD于点F(另一边交CB的延长线于点G(
(1)求证:EF=EG;
(2)如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，(1)中的结论是否仍然成立,若成立，请给予证明:若不成立(请说明理由:
(3)如图3，将(2)中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，
EF若AB=a、BC=b，求的值( EG
00例11.如图，在Rt?ABC中，?BAC=90，?C=60，BC=24,点P是BC边上的动点(点P与点B,C不重合)，过动点P作PD?BA交AC于点D
(1)若?ABC与?DAP相似，则?APD是多少度,
(2)试问:当PC等于多少时，?APD的面积最大,最大面积是多少,
(3)若以线段AC为直径的圆和以线段BP为直径的圆相外切，求线段BP的长(
68
九年级数学 例12.(1)如图1，在等边?ABC中，点M是BC上的任意一点(不含端点B、C)，连结AM，以AM为边作等边?AMN，连结CN(求证:?ABC=?ACN(
(2)如图2，在等边?ABC中，点M是BC延长线上的任意一点(不含端点C)，其它条件不变，(1)中结论?ABC=?ACN还成立吗,请说明理由(
(3)如图3，在等腰?ABC中，BA=BC，点M是BC上的任意一点(不含端点B、C)，连结AM，以AM为边作等腰?AMN，使顶角?AMN=?ABC(连结CN(试探究?ABC与?ACN的数量关系，并说明理由(
同步练习:
0//001.如图,将放置于平面直角坐标系中的三角板AOB绕O点顺时针旋转90得?AOB,已知?AOB=30,?B=90,
/AB=1,则B点的坐标为( )
33331331()～()～()～(,) A. B. C. D. 22222222
002.如图,直角三角板ABC的斜边AB=12cm,?A=30,将三角板ABC绕C顺时针旋转90至三角板A'B'C'的位置后,再沿CB方向向左平移,使点B'落在原三角板ABC的斜边AB上,则三角板A'B'C'平移的距离为, ,
A.6cm B.4cm C.,6-23,cm D.,错误，未找到引用源。,436,
cm
3.如图,直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8,按如图那样折叠,使点A与点B重合,折痕为DE,
则S,S等于, , ?BCE?BDE
A.2,5 B.14:25 C.16:25 D. 4:21
0/4.如图,在?ABC 中,?C=90,BC=6,D,E 分别在 AB,AC上,将?ABC沿DE折叠,使点A落在点A处,若
69
九年级数学 /A为CE的中点,则折痕DE的长为
5.如图,正方形ABCD的边长为2,AE=EB,MN=1,线段MN的两端分别在CB、CD上滑动,那么当CM=_______时,?ADE与?MNC相似.
6.如图,?OAB的顶点B的坐标为,4,0,,把?OAB沿x轴向右平移得到?CDE如果CB=1那么OE的长为 ,
/7.将三角形纸片,?ABC,按如图所示的方式折叠,使点B落在边AC上,记为点B,折痕为EF,已知AB=AC=3,
/BC=4,若以点B,F,C为顶点的三角形与?ABC相似,那么BF的长度是 ,
8.如图,在Rt?ABC中,?ABC是直角,AB=3,BC=4,P是BC边上的动点,设BP=x,若能在AC边上找到一点Q,
0使?BQP=90,则x的取值范围是 ,
9.点D,E分别在等边?ABC的边AB,BC上,将?BDE沿直线DE翻折,使点B落在B处,DB,EB分别交边111
0AC于点F,G,若?ADF=80,则?CGE= ,
0310.如图,巳知?ABC是面积为的等边三角形,?ABC??ADE,AB=2AD,?BAD=45,AC与DE相交于点F,则?AEF的面积等于_________,结果保留根号,,
70
九年级数学
011.如图,直角?ABC中,?ACB=90,AB=10,BC=6,在线段AB上取一点D,作DF?AB交AC于点F.现将?ADF沿DF折叠,使点A落在线段DB上,对应点记为A,AD的中点E的对应点记为E.若?EFA??EBF,则AD=______ 11111
012.如图,在Rt?ABC中,?C=90,翻折?C,使点C落在斜边AB上某一点D处,折痕为EF,点E、F分别在边AC、BC上,,若?CEF与?ABC相似,
?当AC=BC=2时,AD的长为 ,?当AC=3,BC=4时,AD的长为 ,
013.如图,在Rt?ABC中,?C=90,AC=4cm,BC=3cm,动点M,N从点C同时出发,均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A,B移动,同时动点P从点B出发,以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动,连接PM,PN,设移动时间为t,单位,秒,0,t,2.5,,当t为何值时,以A,P,M为顶点的三角形与?ABC相似,
14.小明想利用太阳光测量楼高,他带着皮尺来到一栋楼下,发现对面墙上有这栋楼的影子,针对这种情况,他设计了一种测量方案,具体测量情况如下,
如示意图,小明边移动边观察,发现站到点E处时,可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠,且高度恰好相同,此时,测得小明落在墙上的影子高度CD=1.2m,CE=0.8m,CA=30m,点A、E、C在同一直线上,,已知小明的身高EF是1.7m,请你帮小明求出楼高AB,结果精确到0.1m,,
015.如图,点B在线段AC上,点D,E在AC同侧,?A=?C=90,BD?BE,AD=BC.
71
九年级数学 ,1,求证,AC=AD+CE;,2,若AD=3,CE=5,点P为线段AB上的动点,连接DP,作PQ?DP,交直线BE于点Q.若点P与A,B两点不重合,求DP:PQ的值,
016.在?ABC中,?CAB=90,AD?BC于点D,点E为AB的中点,EC与AD交于点G,点F在BC上,
3,1,如图1,AC,AB=1:2,EF?CB,求证,EF=CD,,2,如图2,AC,AB=1:,EF?CE,求EF:EG的值,
17.在等腰梯形ABCD中,AD?BC,且AD=2,以CD为直径作?O,交BC于点E,过点E作EF?AB于F,建立1
23如图所示的平面直角坐标系,已知A,B两点的坐标分别为A,0,,,B,-2,0,,
,1,求C,D两点的坐标;,2,求证,EF为?O的切线; 1
,3,探究,如图,线段CD上是否存在点P,使得线段PC的长度与P点到y轴的距离相等,如果存在,请找出P点的坐标,如果不存在,请说明理由,
72
九年级数学
18.在平面直角坐标系中,已知点A,-2,0,,点B,0,4,,点E在OB上,且?OAE=?0BA, ,?,如图?,求点E的坐标,
/////,?,如图?,将?AEO沿x轴向右平移得到?AEO,连接AB、BE,
//2/2/2/2/?设AA=m,其中0,m,2,试用含m的式子表示AB+BE,并求出使AB+BE取得最小值时点E的坐标,
///?当AB+BE取得最小值时,求点E的坐标,直接写出结果即可,,
能力提高:
1.如图，?ABC与?DEF均为等边三角形，O为BC(EF的中点，则AD:BE的值为( )
A.3:1 B.2:1 C.5:3 D.不确定 2.李老师从“淋浴龙头”受到启发(编了一个题目:
在数轴上截取从0到3的对应线段AB，实数m对应AB上的点M，如图1;将AB折成正三角形，使点A，B重合于点P，如图2;建立平面直角坐标系，平移此三角形，使它关于y轴对称，且点P的坐标为(0，2)，PM
3与x轴交于点N(n，0)，如图3(当m=时，求n的值(
73
九年级数学 3.如图，在?ABC的边 AB上有一异于中点的动点P,沿平行于BC的方向运动到AC边于点D，再沿平行于AB方向运动到BC边于点E，再沿平行于CA方向运动到AB边于点F„„如果每次平行于某一边方向运动到另一边于一点算作运动一次，那么这样运动2013次点P在那里,
04.如图,在Rt?ABC中,?C=90，AC=8,BC=6,点P在AB上,AP=2,点E、F同时从点P出发,分别沿PA(PB以每秒1个单位长度的速度向点A,B匀速运动,点E到达点A后立刻以原速度沿AB向点B运动,点F运动到点B时停止，点E也随之停止(在点E、F运动过程中，以EF为边作正方形EFGH,使它与?ABC在线段AB的同侧(设E、F运动的时间为t/秒(t,0)，正方形EFGH与?ABC重叠部分面积为S(
(1)当t=1时，正方形EFGH的边长是 (当t=3时，正方形EFGH的边长是 ( (2)当0,t?2时，求S与t的函数关系式;
(3)直接答出:在整个运动过程中，当t为何值时，S最大,最大面积是多少,
测试题,
日期, 月 日 满分,100分 姓名, 得分,
001.如图,Rt?ABC中,?ACB=90,?ABC=60,BC=2cm,D为BC的中点,若动点E以1cm/s的速度从A点出发,沿着A?B?A的方向运动,设E点的运动时间为t秒,0?t,6,,连接DE,当?BDE是直角三角形时,t的值为, ,
A.2 B.2.5或3.5 C.3.5或4.5 D.2或3.5或4.5
74
九年级数学 2.在矩形ABCD中,点P在AD上,AB=2,AP=1,将直角尺的顶点放在P处,直角尺的两边分别交AB,BC于点E,F,连接EF,当点E与点B重合时,点F恰好与点C重合,如图?,,求PC的长,
3.如图,矩形ABCD中,以对角线BD为一边构造一个矩形BDEF,使得另一边EF过原矩形的顶点C. (1)设?CBD的面积为S, ?BFC的面积为S, Rt?DCE的面积为S, 则S___ S+ S(用“>”、“=”、“<”填空), 123 123
,2,写出图中的三对相似三角形,并选择其中一对进行证明.
04.已知?ABC中,?A=90,AB=4,AC=3,点E是边AB上一动点,且EF?BC。
(1)在AB上是否存在点E运动到某一位置时,使?AEF的面积与四边形EBCF的面积相等,如果存在,求出AE的长,如果不存在,简要说明理由。
(2)在AB上是否存在点E运动到某一位置时,使?AEF的周长与四边形EBCF的周长相等,如果存在,求出AE的长,如果不存在,简要说明理由。
75
九年级数学
05.在锐角?ABC中,AB=4,BC=5,?ACB=45,将?ABC绕点B按逆时针方向旋转,得到?ABC, 11,1,如图1,当点C在线段CA的延长线上时,求?CCA的度数, 111
,2,如图2,连接AA,CC,若?ABA的面积为4,求?CBC的面积, 1111
06.如图,?ABC中,?BAC=90,正方形DEFG的四个顶点在?ABC的边上,连接AG,AF分别交DE于M,N两点,若AB=AC=1,求MN的长,
76
九年级数学 7.在平面直角坐标系中,己知O为坐标原点,点A,3,0,,B,0,4,,以点A为旋转中心,把?ABO顺时针旋转,得?ACD,记旋转角为α,?ABO为β,,I ,如图?,当旋转后点D恰好落在AB边上时,求点D的坐标, ,II,如图?,当旋转后满足BC?x轴时,求α与β之间的数量关系,
08.如图,在?ABC中,?C=90,BC=5米,AC=12米,M点在线段CA上,从C向A运动,速度为1米/秒,同时N点在线段AB上,从A向B运动,速度为2米/秒,运动时间为t秒,
,1,当t为何值时,?AMN=?ANM,
,2,当t为何值时,?AMN的面积最大,并求出这个最大值,
第07课 相似形与函数
例1.如图，已知A(-2，0),B(0，4)，在坐标轴上找一点C,使A,B,C三点构成的三角形与Rt?OAB相似，求点C的坐标。,不含全等,
77
九年级数学 例2.如图，已知直线与x轴，y轴交与点A(-1，0),B(0,1)，C点坐标为(2,0)，若点P在直线上一y,kx，b
动点，当P,A,C三点构成的三角形与Rt?OAB相似，求点P的坐标。
例3.如图，已知点A(4，0),B(0，2),点C在第一象限，若点A,B,C构成的以AB为直角边三角形与Rt?OAB相似，求点C坐标。
例4.锐角?ABC中,BC=6,,两动点M、N分别在边AB、AC上滑动,且MN?BC,以MN为边向下作正方S,12,ABC
形MPQN,设其边长为x,正方形MPQN与?ABC公共部分的面积为y(y>0),当x= ，公共部分面积y最大，y最大值= ,
EF?DE交BC于点F( 例5.如图所示，E是正方形ABCD的边AB上的动点，
(1)求证:?ADE??BEF;
(2)设正方形的边长为4,AE=x,BF=y(当x取什么值时,y有最大值?并求出这个最大值(
33例6.如图，矩形ABCD的长，宽分别为和1，且OB=1，点E(，2)，连接AE，ED( 22
78
九年级数学 (1)求经过A,E,D三点的抛物线的表达式;
(2)若以原点为位似中心，将五边形AEDCB放大，使放大后的五边形的边长是原五边形对应边长的3倍，请
/////在下图网格中画出放大后的五边形AEDCB;
///(3)经过A，E，D三点的抛物线能否由(1)中的抛物线平移得到,请说明理由(
2y,ax，bx(a,0)y,,2x，n(n,0)例7.如图，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，S=16,抛物线经过?OAB
y,,2x，n点A,顶点M在直线上。
(1)求n的值;(2)求抛物线的解析式;(3)如果抛物线的对称轴与x轴交于点N,那么在对称轴上找一点P，使得?OPN和?AMN相似，求点P的坐标。
1例8.如图，直线y=x+2分别交x,y轴于点A,C,P是直线上在第一象限内的一点,PB?x轴,B为垂足,S=9 ?ABP2
?求点P的坐标;
?设点R与点P在同一个反比例函数的图象上,且点R在直线PB的右侧.作RT?x轴,T为垂足,当?BRT与?AOC相似时,求点R的坐标。
79
九年级数学
k例9.如图,在坐标系中,直线AB与y轴和x轴交于点A、点B,与反比例函数在第一象限的图象交于点C(1，y,x6),点D(3,x)(过点C作CE?y轴于E，过点D作DF?y轴于F(
(1)求m，n的值;(2)求直线AB的函数解析式;(3)求证:?AEC??DFB(
例10.如图，已知抛物线与x交于A(-1，0)、E(3，0)两点，与y轴交于点B(0，3)。
(1)求抛物线的解析式;
(2)设抛物线顶点为D，求四边形AEDB的面积;
(3)?AOB与?DBE是否相似,如果相似，请给以证明;如果不相似，请说明理由。
同步练习:
1.如图,已知,正方形ABCD边长为1,E、F、G、H分别为各边上的点,且AE=BF=CG=DH,设小正方形EFGH的面积为s,AE为x,则s关于x的函数图象大致是( )
80
九年级数学
2.如图,已知正方形ABCD的边长为4,E是BC边上的一个动点,AE?EF,EF交DC于F,设BE=x,FC=y,则当点E从点B运动到点C时,y关于x的函数图像是, ,
3.如图,正方形ABCD的边长为10,四个全等的小正方形的对称中心分别在正方形ABCD的顶点上,且它们的各边与正方形ABCD各边平行或垂直,若小正方形边长为x,且0,x?10,阴影部分的面积为y,则能反映y与x之间的函数关系的大致图象是( )
4.如图所示,P是菱形ABCD的对角线AC上一动点,过P垂直于AC的直线交菱形ABCD的边于M、N两点,设AC=2,BD=1,AP=x,则?AMN的面积为y,则y关于x的函数图象的大致形状是, ,
15.平面直角坐标中,已知点O,0,0,,A,0,2,,B,1,0,,点P是反比例函数图象上的一个动点,过点y,,x
P作PQ?x轴,垂足为Q,若以点O、P、Q为顶点的三角形与?OAB相似,则相应的点P共有, ,
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
7.如图,O为矩形ABCD的中心,M为BC边上一点,N为DC边上一点,ON?OM,若AB=6,AD=4,设OM=x,ON=y,则y与x的函数关系式为 。
81
九年级数学
8.正方形ABCD的边长为1cm,M、N分别是BC、CD上两个动点,且始终保持AM?M,当BM= cm时,四边
2形ABCN的面积最大,最大面积为 cm,
9.已知,在坐标系中,A(-2,0),B(0,4),在坐标轴上找一点C,使O,A,C三点构成的三角形与?OAB相似。,不含全等,
10.已知,坐标系中,直线与x,y轴交与A(-1,0),B(0,2)两点,点C,3,0,,若点P在此直线上为一动点,y,kx，b
当P,A,C三点围成的三角形与?OAB相似,求点P的坐标。
211.如图,已知抛物线 的图像与x轴交于A、B 两点,点A在点B左侧,,与y轴交于点C. ，，y,,x,2，1
,1,试判断?AOC与?COB是否相似;
,2,若点D是抛物线的顶点,DH垂直于x轴,垂足为H,试判断直角三角形DHA与直角三角形COB是否相似,说明理由,
82
九年级数学
2y,ax，bx，c12.已知抛物线的顶点坐标为(4,-1),与y轴交于点C(0,3),O是原点. ,1,求这条抛物线的解析式,
y,2,设此抛物线与轴的交点为A,B,A在B的左边,,问在轴上是否存在点P,使以O,B,P为顶点x
的三角形与?AOC相似,若存在,请求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.
013.如图,在Rt?ABC中,?A=90,AB=8,AC=6,若动点D从点B出发,沿线段BA运动到点A为止,运动速度为每秒2个单位长度,过点D作DE?BC交AC于点E,设动点D运动的时间为x秒,AE的长为y,
,1,求出y关于x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围,
,2,当x为何值时,?BDE的面积S有最大值,最大值为多少,
83
九年级数学
214.如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,二次函数的图像经过点A(-1,0),顶点为B, yxbx,,，，3
,1,求这个二次函数的解析式,并写出顶点B的坐标,
,2,如果点C的坐标为(4,0),AE?BC,垂足为点E,点D在直线AE上,DE=1,求点D的坐标,
15.如图,在梯形ABCD中,AD?BC,AB=DC=AD=6,?ABC=600,点E,F分别在线段AD,DC上,点E与点A,D不重合,,且?BEF=1200,设AE=x,DF=y,
?求y与x的函数表达式,?当x为何值时,y有最大值,最大值是多少,
16.如图,在?ABC中,?B=90?,AB=6米,BC=8米,动点P以2米/秒的速度从A点出发,沿AC向点C移动,同时,动点Q以1米/秒的速度从C点出发,沿CB向点B移动,当其中有一点到达终点时,它们都停止移动,设移动的时间为t秒,
,1,?当t=2.5秒时,求?CPQ的面积,
?求?CPQ的面积S,平方米,关于时间t,秒,的函数解析式,
,2,在P,Q移动的过程中,当?CPQ为等腰三角形时,写出t的值,
84
九年级数学 ,3,以P为圆心,PA为半径的圆与以Q为圆心,QC为半径的圆相切时,求出t的值,
测试题,
日期, 月 日 满分,100分 姓名, 得分,
001.如图,在?ABC中,AB=AC=2,?BAC=20,动点P,Q分别在直线BC上运动,且始终保持?PAQ=100,设BP=x,CQ=y,则y与x之间的函数关系用图象大致可以表示为, ,
2.如图,AB为半圆的直径,点P为AB上一动点,动点P从点A出发,沿AB匀速运动到点B,运动时间为t,分别以AP于PB为直径做半圆,则图中阴影部分的面积S与时间t之间的函数图像大致为
3.如图,A点在半径为2的?O上,过线段OA上的一点P作直线,与?O过A点的切线交于点B,且?APB=60?,,
设OP= x,则?PAB的面积y关于x的函数图像大致是, ,
2y,4.如图,A、B是反比例函数的图象上的两点,AC、BD都垂直于x轴,垂足分别为C,D,AB的延长线交x轴x
85
九年级数学 于点E,若C,D的坐标分别为,1,0,,,4,0,,则?BDE的面积与?ACE的面积比值是
05.如图,四边形ABCD中,?BAD=?ACB=90,AB=AD,AC=4BC,设CD的长为x,四边形ABCD的面积为y,则y与x之间的函数关系式是
6.如图,在边长均为1的小正方形网格纸中,?OAB的顶点O、A、B均在格点上,且O是直角坐标系的原点,点A在x轴上,
,1,以O为位似中心,将?OAB放大,使得放大后的?OAB与?OAB对应线段的比为2,1,画出?OAB,,所1111画?OAB与?OAB在原点两侧,, 11
,2,求出线段AB所在直线的函数关系式, 11
7.如图,在一个矩形空地ABCD上修建一个矩形花坛AMPQ,要求点M在AB上,点Q在AD上,点P在对角线BD上,若AB=6m,AD=4m,设AM的长为xm,矩形AMPQ的面积为S平方米,
,1,求S与x的函数关系式,,2,当x为何值时,S有最大值,请求出最大值,
8.正方形ABCD边长为4,M、N分别是BC,CD上的两个动点,当M点在BC上运动时,保持AM和MN垂
86
九年级数学 直,
,1,证明,Rt?ABM?Rt?MCN;
,2,设BM=x,梯形ABCN的面积为y,求y与之间的函数关系式,当M点运动到什么位置时,四边形x
ABCN面积最大,并求出最大面积,
,3,当M点运动到什么位置时Rt?ABM?Rt?AMN,求x的值,
9.如图,一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=k/x的图象交于A、B、两点,与x轴交于点C,与y轴交
110于点D,已知OA=,tan?AOC=,点B的坐标为,m,-2,。 3
,1,求反比例函数的解析式,,2,求一次函数的解析式,
,3,在y轴上存在一点P,是的?PDC与?ODC相似,请你求出P点的坐标。
第08课 锐角三角函数 一
1.如下图，在Rt?ABC中，?C为直角，则?A的锐角三角函数为(?A可换成?B):
87
九年级数学
2.任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值;任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。
3.0?、30?、45?、60?、90?特殊角的三角函数值(重要)
00时，sin随α的增大而增大，cosα随α的增大而减小。 正弦、余弦的增减性:当0?α?90,
00 正切的增减性:当0<α<90时，tan随α的增大而增大 ,
00例1.已知Rt?ABC,?C=90，BC=12，?B=30，求下列三角形三角函数值及三角形周长。
0032拓展一:已知，在?ABC中,?A=30，?B=45，BC=，求:(1)AB的长;(2)求?ABC的周长.
00拓展二:在?ABC中,AC=10,BC=5,?A=15，?B=30，求?ABC的面积。
00sin，A,sin，B例2.如图，已知Rt?ABC中，?C=90，?A=15，BC=1，求的值。
88
九年级数学
0例3.小明发现在教学楼走廊上有一拖把以15的倾斜角斜靠在栏杆上，严重影响了同学们的行走安全。他自觉
0地将拖把挪动位置，使其的倾斜角为75，如果拖把的总长为1.80m，则小明拓宽了行路通道________m(
00,结果保留三个有效数字,参考数据,sin15?0.26,cos15?0.97,
A D
E
B C F
第18题图 例3.如图,沿AE折叠矩形纸片ABCD,使点D落在BC边的点F处(已知AB=8，BC=10，AB=8,则的值tan?EFC
3443为 ( ) A. B. C. D. 4355
3将矩形OABC沿OB对折,使点A落在A处,OA=,AB=1,则点A的坐标是 例4.如图,在坐标系中,11
例5.如图，边长为1的小正方形网格中，?O的圆心在格点上，则?AED的余弦值是 ( 例6.如图，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，M、N 两点关于对角线AC对称，若DM=1，则tan?ADN=
0例7.如图，已知?ABC，AB=AC=1，?A=36，?ABC的平分线BD交AC于点D，则AD的长是 ， cosA的值是 (,结果保留根号,
例8.如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则tan?APD的值是 (
70例9.在?ABC中，已知?C=90，sinA+sinB=，则sinA-sinB= 5
00例10.已知,如图，在ABC中，?B=45，?C=60，AB=6.求BC的长,结果保留根号,( ?
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九年级数学
3例11.如图，Rt?ABC的斜边AB=5，cosA=. 5
(1)用尺规作图作线段AC的垂直平分线m(保留作图痕迹,不要求写作法、证明);
(2)若直线m与AB、AC分别相交于D、E两点，求DE的长。
例12.如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，?BCE沿BE折叠为?BFE,点F落在AD上.
1(1)求证:?ABE??DFE;(2)若sin?DFE=,求tan?EBC的值. 3
例13.如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE=BC，DF?AE，垂足为F，连接DE(
?ABE??DFAsin，EDF)求证:(1;(2)如果AD=10，AB=6，求的值(
例14.如图,一个半圆形桥洞截面示意图,圆心为O,直径AB是河底线,弦CD是水位线,CD?AB,且CD=24m，
12OE?CD于点E(已测得sin?DOE=( 13
(1)求半径OD;(2)根据需要，水面要以每小时0.5 m的速度下降，则经过多长时间才能将水排干,
tancosBDAC,，例15.如图，在?ABC中，AD是BC上的高，，
12(1) 求证:AC=BD;(2)若，BC=12，求AD的长( sinC,13
90
九年级数学
0163例16.如图，在Rt?ABC中,?C=90，AC=8，?A的平分线,,求?B的度数及边BC、AB的长. AD,3
300例17.如图，在Rt?ABC中,?C=90，sinB=，点D在BC边上，且?ADC=45，DC=6，求?BAD的正切值( 5
同步练习:
301.已知α为锐角,且,则α等于, , sin(10),,,2
50:60:70:80:A. B. C. D.
002.如图,已知,45,A,90,则下列各式成立的是( )
A.sinA=cosA B.sinA,cosA C.sinA,tanA D.sinA,cosA 3.如图所示,在数轴上点A所表示的数x的范围是, ,
333 A.错误，未找到引用源。 B. C.错误，未cos30::<
0,,求sin?CAB. ,nCD
11.如图所示,某工程队准备在山坡,山坡视为直线l,上修一条路,需要测量山坡的坡度,即tanα的值,测量员在
00山坡P处,不计此人身高,观察对面山顶上的一座铁塔,测得塔尖C的仰角为37,塔底B的仰角为26.6,已知塔高BC=80米,塔所在的山高OB=220米,OA=200米,图中的点O、B、C、A、P在同一平面内,求山坡
0000的坡度,,参考数据sin26.6?0.45,tan26.6?0.50,sin37?0.60,tan37?0.75,
115
九年级数学
12.如图,某市梓山湖中有一孤立小岛,湖边有一条笔直的观光小道AB,现决定从小岛架一座与观光小道垂直的
00小桥PD,小张在小道上测得如下数据,AB=80.0米,?PAB=38.5,?PBA=26.5,请帮助小张求出小桥PD的长并确定小桥在小道上的位置,,以A,B为参照点,结果精确到0.1米,
00000,参考数据,sin338.5=0.62,cos338.5=0.78,tan38.5=0.80,sin226.5=0.45,cos26.5=0.89,
0tan26.5=0.50,
13.我国南水北调中线工程的起点是丹江口水库,按照工程计划,需对原水库大坝进行混凝土培厚加高,使坝高由原来的162米增加到176.6米,以抬高蓄水位,如图是某一段坝体加高工程的截面示意图,其中原坝体的高为BE,
00背水坡坡角?BAE=68,新坝体的高为DE,背水坡坡角?DCE=60。求工程完工后背水坡底端水平方向增加的
000sin68,0.93,cos68,0.37,tan68,2.50,3,1.73宽度AC.(结果精确到0.1米,参考数据,
116
九年级数学
14.如图1,一辆汽车的背面,有一种特殊形状的刮雨器,忽略刮雨器的宽度可抽象为一条折线OAB,如图2所示,
0量得连杆OA长为10cm,雨刮杆AB长为48cm,?OAB=120,若启动一次刮雨器,雨刮杆AB正好扫到水平线CD的位置,如图3所示,
,1,求雨刮杆AB旋转的最大角度及O、B两点之间的距离,,结果精确到0.01,
,2,求雨刮杆AB扫过的最大面积,,结果保留π的整数倍,
310003721 ,参考数据,sin60=,cos60=,tan60=,?26.851,可使用科学计算器, 22
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九年级数学 15.一天晚上,李明和张龙利用灯光下的影子来测量一路灯D的高度,如图,当李明走到点A处时,张龙测得李明直立身高AM与其影子长AE正好相等,接着李明沿AC方向继续向前走,走到点B处时,李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB,并测得AB=1.25m,已知李明直立时的身高为1.75m,求路灯的高CD的长.,结果精确到0.1m,
测试题,
日期, 月 日 满分,100分 姓名, 得分, 1.在?ABC中,?A,?B,?C对边分别为a,b,c,a=5,b=12,c=13,下列结论成立的是, ,
125125 A. B. C. D. sinA,tanA,cosB,cosA,5121313
RtABC,，,:C902.解,,?A,?B,?C对边分别为a,b,c,结果错误的是, ,
bcA, cosabA, tanacA, sinabB, tan A. B. C. D.
22tanAaabb,，,430，,:C903.在?ABC中,,且两条直角边a,b满足,则等于, ,
A.2或4 B.3 C.1或3 D.2或3
10BC,2，34.如图,在?ABC中,AD是BC边上的高,?C=30,,,那么AD的长是 , , tanB,2
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九年级数学
1133 A. B.1 C. D. ，1，2232
05.一天在升旗时小苏发现国旗升至5米高时,在她所站立的地点看国旗的仰角是45,当国旗升至旗杆顶端时国
0旗的仰角恰为60,小苏的身高是1米5,则旗杆高 米。,将国旗视作一点,保留根号,
06.如图,矩形ABCD是供一辆机动车停放的车位示意图,已知BC=2m,CD=5.4m,?DCF=30,请你计算车位所占的宽度EF约为多少米,
7.丁丁想在一个矩形材料中剪出如图阴影所示的梯形,作为要制作的风筝的一个翅膀,请你根据图中的数据帮
3丁丁计算出BE、CD的长度,精确到个位,?1.7,,
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九年级数学
08.一个长方体木箱沿斜面下滑,当木箱滑至如图位置时,AB=3m,已知木箱高BE=m,斜面坡角为30,求木3
箱端点E距地面AC的高度EF。
9.如图,在一次数学课外实践活动中,要求测教学楼的高度AB,小刚在D处用高1.5m的测角仪CD,测得教学
00楼顶端A的仰角为30,然后向教学楼前进40m到达E,又测得教学楼顶端A的仰角为60,求这幢教学楼的高度AB。
10.如图,A、B两地之间有一座山,汽车原来从A地到B地经过C地沿折线A?C?B行驶,现开通隧道后,汽
00车直接沿直线AB行驶,已知AC=10千米,?A=30,?B=45,则隧道开通后,汽车从A地到B地比原来少走多少千米,,结果保留根号,
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九年级数学
6311.如图,一根长米的木棒,AB,,斜靠在与地面,OM,垂直的墙,ON,上,与地面的倾斜角,?ABO,为0//60,当木棒A端沿墙下滑至点A时,B端沿地面向右滑行至点B,
//,1,求OB的长,,2,当AA=1米时,求BB的长,
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浙公网安备 33021202002483