多元函数极限的一类求法

多元函数极限的一类求法 旷伟平 ,孙 勇 () 怀化学院 数学系 , 湖南 怀化 418008 摘 要 : 利用多元函数的定义研究了一类把多元函数极限的判断及求法转化为一元函数极限的判断及求法的方法 1 邻域 关键词 : 多元函数 ;一元函数 ;极限 ;() 中图分类号 : O174 文章编号 : 1671 - 9743 200708 - 0102 - 03 文献标识码 : A 多元函数的极限是数学分析中的一个重要内容 , 由于多元函数的自变量多 , 因此判断其极限的存在性及 其求法比起一元函数极限就显得比较困难 1 因而我们自然希望把多元函数极限转化为一元函数极限来求 1 下 面我们从多元函数的定义出发 , 把对多元函数极限的讨论转化为只对一个特殊变量的一元函数极限进行讨 的结论都可以作为本定理的直接推论 1 论 , 给出了相应定理及证明 , 并且可知文献 3 4 5 [ 1 ]n 1 2 n Λ ) ( ) ( 定义设 D 是 R上的开集 , x = x, x,, x?D 为一定点 , z= f xD \ { x } 上的 n 元 是定义在 0 0 0 0 0 Λ ) ε δ ( 函数 , A 是一个确定的实数 1 如果对于任意给定的> 0 , 存在 > 0 , 使得当 x = x, x,, x满足 0 <1 2 n 1 2 2 2 n 2 ( ) ( ) Λ ) δ( x- x+ x- x+ + x- x< 时 ,成立1 0 2 0 n 0 ( ) ε| f x- A | < , ( ) ( ) 则称 A 为 f 当 x ? x时的 n 重极限 ,记为 lim f x= A10 x ?x 01 2 n Λ ) Λ ) ( ( 从定义可知 ,这里 x ?x表示点 x = x, x,, x以任何方式趋于点 x= x, x,, x,也就是两点0 1 2 n 0 0 0 0 [ 2 ] 之间的距离趋于零,即 n 2 1 2 2 2 ) ( ) ( ) Λ - x?01 ( | xx| = x - x+ x- x+ + x 0 0 10 2 0 n ( ) 此时我们设一个特殊的变量 r = | xx| ,则对多元函数极限 lim f x的讨论转化为只对一个特殊变量 r = |0 x ?x 0 xx| 的一元函数极限进行讨论 1 下面以三元函数为例有以下定理 10 3 定理( ) ( ) 设 D 是 R上的开集 , P x , y , z ?D 为一定点 , f x , y , z是定义在 D \ { P } 上的三元函数 ,0 0 0 0 0 A 是一个确定的实数 1 一一变换 T : ( ) ( ) ( )x = x r , u , v, y y r , u , v, z = z r , u , v = ( ) ()将 D 变为 D,′ Px, y, z?D 变为 P′0 ,0 ,0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ?D,′ f x , y , z变为 F r , u , v,如果lim F r , u , v= A ,则r ?0 () ( ) lim 1A 是与变量 u , v 取值无关的常数时 ,f x , y , z= A ; ( ) ( )x , y , z?x, y, z 0 0 0 () ( ) f x , y , z不存在 1 lim 2A 是与变量 u , v 的取值有关时 ,( ) ( )x , y , z?x, y, z 0 0 0 2 2 2 ) ( ) ( ) ( x - x+ y - y+ z - z, u , v 为满足变换的任意变量 1 其中 , r =0 0 0 ( )() 证明 : 1因为 A 是与变量 u , v 取值无关的常数 ,lim F r , u , v= A ,由一元函数极限的定义有 :对于任给 r ?0 2 2 2 δ) ( ) ( ) δε δ ( < 的> 0 ,存在> 0 ,使得当 0< r < ,即 0x - x+ y - y+ z - z< 时 ,成立0 0 0 ( ) ε| F r , u , v- A | < , ( ) ( ) ε 即 ,| f x , y , z- A | = | F r , u , v- A | < , 收稿日期 : 2007 - 07 - 21 () 作者简介 : 旷伟平 1978 - , 女 , 湖南攸县人 , 怀化学院数学系教师 , 主要研究数学教学研究 1 第 26 卷第 8 期旷伟平 ,孙 勇 :多元函数极限的一类求法 ?103 ? ( ) f x , y , z= A1 lim 由三元函数极限的定义则得( ) ( )x , y , z?x, y, z 0 0 0 () ( ) 2如果 A 是与变量 u , v 的取值有关 ,则表示在区域 D中当′ r ?0 的过程中 ,即在区域 D 中 x , y , z? ( ) ( ) ( ) f x , y , z不存在 1 lim x, y, z的过程中 , f x , y , z的极限与 u , v 取值有关 ,从而0 0 0 ( ) ( )x , y , z?x, y, z 0 0 0 定理对于二元函数和多元函数的情形有类似的结论 1 2 2 2 2 22) ( ) ( sin x+ + z/ x+ + z1 lim 例 1求yy ( ) () x , y , z?0 ,0 ,0 2 2 2 2 2 2 ( ) () ( )( )( )x - x + y - y + z - z = x + y 解 :这里 x, y, z= 0 ,0 ,0,则 r =+ z ,此时做任0 0 0 0 0 0 2 2 2 2 ( ) ( 意的一一变换 T 有 :lim F r , u , v= limsin r/ r= 1 与变量 u , v 取值无关 ,由定理有 :sin x+ y+ lim( ) () r ?0r ?0x , y , z?0 ,0 ,0 2 2 2 2 ) ( ) z / x + y + z = 11 2 2 ) ( 求 limxy/ x+ y1 例 2( ) ()x , y?0 ,0 2 2 2 2 ( ) () ( ) ( ) x - x+ y - y= = x + y , 解 :这里 x, y= 0 ,0,则 r0 0 0 0 2 2 ( ) 此时做一一变换 T : x = rco s u , y = rsin u ,则lim F r , u= lim rsin uco s u/ r= sin uco s u 与变量 u 取值有 r ?0r ?02 2 ) ( xy/ x+ y不存在 1关 ,由定理知 lim( ) () x , y?0 ,0 对于一些常用的坐标变换 ,由定理可以得到更简便而有效的方法 1 ( ) ( ) αβγ( 推论 1设 f x , y , z在点 x, y, z的某去心邻域内有定义 ,co s,co s,co s是向量 x - x, y - y, z -0 0 0 0 0 ) ( αβγ) + rco s = A ,则z的方向余弦 ,若limf x+ rco s, y+ rco s, z0 0 0 0 r ?0 () βγ( ) αlim 1A 是与变量,,取值无关的常数时 ,f x , y , z= A ; ( ( ) )x , y , z?x, y, z 0 0 0 () βγ( ) αlim f x , y , z不存在 1 2A 是与变量,,的取值有关时 ,( ) ( )x , y , z?x, y, z 0 0 0 2 2 2 αβγα β γ 此时的一一变换为 T : x = x+ rco s, y = y+ rco s, z = z+ rco s,由于 co s + co s + co s = 1 ,所0 0 0 ( ) ( αβ) 以变换 T 是 x , y , z关于 r ,,的变换 ,且有 : 2 2 2 2 2 2 ( )( ) ( )( α) ( β) ( γ)= r1 x - x + y - y+ z - z = rco s+ rco s+ rco s 0 0 0 2 2 2 ( ) ( ) ( ) x - 1y - 2z - 3 1 lim 例 3求2 2 2( ) () x , y , z?1 ,2 ,3( ) ( ) ( ) x - 1+ y - 2+ z - 3 2 2 2 ( α) ( β) ( γ)rco srco srco s (αβγ) 解 :因为limf 1 + rco s,2 +rco s,3 + rco s= lim2 2 2r ?0 r ?0 ( α) β) γ) ( ( rco s+ rco s+ rco s 6 2 (αβγ) co sco s r co s 4 2 (αβγ) βγ α() = lim= lim rco sco sco s= 0 与,,的取值无关 ,由推论 1 1有2 2 2 2 r ?0 r ?0 α) (β)(γ) (r [ co s+ co s + co s] 2 2 2 ( ) ( ) ( ) x - 1y - 2z - 3 = 01 lim2 2 2( ) ()x , y , z?1 ,2 ,3 ( ) ( ) ( ) x - 1+ y - 2+ z - 3 xyz 1 lim 例 4求3 3 3 ( x , y , z) ?(0 ,0 ,0) x + y + z ( α) ( β) ( γ)rco srco srco s ( αβγ) 解 :因为limf rco s, rco s, rco s= lim3 3 3r ?0 r ?0 ( α) ( β) ( γ) rco s+ rco s+ rco s 3 αβγαβγr co sco sco s co sco sco s αβγ() = lim = 与,,的取值有关 ,由推论 1 2有3 3 3 3 3 3 3 r ?0 (α) (β) (γ) α β γr co s+ co s+ co s] co s + co s + co s xyz 不存在 1 lim 3 3 3 ( x , y , z) ?(0 ,0 ,0) x + y + z 如果 z = 0 ,则得到如下极坐标系下的情形 1 ( ) ( ) αα( ) (推论 2 设 f x , y在点 x, y的某去心邻域内有定义 ,co s,sin是向量 x - x, y - y的方向余弦 此 0 0 0 0 β α) ( αα) 时 co s= sin,若limf x+ rco s, y+ rsin= A ,则0 0 r ?0 ( ) () α f x , y= A ; lim 1A 是与变量取值无关的常数时 ,( ) ( )x , y?x, y 0 0 怀化学院学报 2007 年 8 月 ?104 ? () ( ) αf x , y不存在 1 lim 2A 是与变量的取值有关时 ,( ) ( )x , y?x, y 0 0 2 2 xy( ) x+ y 1例 5求 lim ( ) () x , y?0 ,02 2 2 ( rcosα) ( rsinα) 2 r sinαcosα ( αα) ( α) α) ) ( ( α 解 : 因为limf rco s, rsin= lim[ rco s+ rsin] = lim[ r] = 1 与取值无关 ,由 r ?0r ?0r ?02 2 xy ( ) () x+ y1 当定理中的坐标变换是球面坐标变换时有以下结论成立 1 = 1推论 2 lim 1有 ( ) () x , y?0 ,0 ( ) ( ) 推论 3 设 f x , y , zx, y, z,在球面坐标变换 T 为 : 在点 的某去心邻域内有定义 0 0 0 φθφθφx = rsinco s, y = rsinsin, z = rco s; πφ πθ 0 Φ r < + ?,0 Φ Φ ,0 Φ Φ 21 ( φθφθφ) = A ,则若limf x+ rsinco s, y+ rsinsin, z+ rco s0 0 0 r ?0 ( ) () θφ f x , y , z= A ; lim 1A 是与变量,取值无关的常数时 ,( ) ( )x , y , z?x, y, z 0 0 0 () θφ ( ) lim f x , y , z不存在 1 2A 是与变量,的取值有关时 ,( ) ( )x , y , z?x, y, z 0 0 0 2 2 2 ( ) ( ) ( )x - 2y - 3z - 4 1 求lim 例 65 5 5( ) () x , y , z?2 ,3 ,4( ) ( ) ( ) x - 2+ y - 3+ z - 4 2 2 2 ( φθ) ( φθ) ( φ)rsinco srsinsinrco s (φθφθφ) = 解 :因为limf 2 + rsinco s,3 + rsinsin,4 + rco s= lim5 5 5 r ?0r ?0( φθ) φθ) φ) ( ( rsinco s+ rsinsin+ rco s 4 2 2 2 φθθφrsin co s sin co s θ φ () lim= 0 与 ,取值无关 ,由推论 3 1有5 5 5r ?0 ( φθ) φθ) φ) ( (sinco s+ sinsin+ co s 2 2 2 ( ) ( ) ( ) x - 2y - 3z - 4 = 01 lim5 5 5( ) ()x , y , z?2 ,3 ,4 ( ) ( ) ( ) x - 2+ y - 3+ z - 4 2 xyz 1 lim 例 7 求4 4 4 ( ) () x , y , z?0 ,0 ,0x + y + z 2 ( φθ) ( φθ) ( φ)rsinco srsinsinrco s ( φθφθφ) = 解 :因 为 limf rsinco s, rsinsin, rco s= lim4 4 4r ?0 r ?0 ( φθ) φθ) φ) ( ( rsinco s+ rsinsin+ rco s 42222 φθθφsinco ssinco s xyz θφ () lim 不存在 1与 ,取值有关 ,由推论 3 2有4 4 4 44 4 ) x , y , z) ?(,0 ,0 ( 0 ( φθ) φθ) ( φ) x+ y(sinco s+ sinsin + z+ co s 参考文献 : ()陈纪修 , 於崇华 , 金 路 1 数学分析 下册 数学七年级下册拔高题下载二年级下册除法运算下载七年级下册数学试卷免费下载二年级下册语文生字表部编三年级下册语文教材分析 第二版 1 北京 : 高等教育出版社 , 2004 : 121 - 122. M 1 () 同济大学应用数学系 1 高等数学下册 第五版M 1 北京 : 高等教育出版社 , 2002 : 7 - 8. 2 丁殿坤 , 吕端良 , 李淑英 1 多元函数极限的一种求法 J 1 南阳师范学院学报 , 2004 , 3 : 25 - 27. 3 4 丁殿坤 , 王云丽 1 球面坐标在求多元函数极限中的应用 J 1 雁北师范学院学报 , 2005 , 1 : 52 - 54. 冯英杰 , 李丽霞 1 二元函数极限的求法 J 1 高等数学研究 , 2003 , 1 : 32 - 33. 5 A Kind of Method of Requesting the Limit of Many Varia bles KUANG Wei - ping , SUN Yong ( )Department of Mathematics , Huaihua University , Huaihua , Hunan 418008 Abstract : In this paper , we studied a kind of method that is translating the judgment and request of the limit of function of many variables into the judgment and request of the limit of one variable function by the definition of the function of many variables. Key words : function of many variables ; one variable function ; limit ; domain