饱和非线性光纤中交叉相位调制不稳定性研究

饱和非线性光纤中交叉相位调制不稳定性研究 //.paper.edu - 1 - 饱和非线性光纤中交叉相位调制不稳定性研究 雒伟伟 北京邮电大学光通信与光电子学研究院，北京(100876) 摘 要:为了研究光纤中色散效应和非线性相互作用所产生的调制不稳定性，从光波在光纤 中传播时所满足的基本非线性薛定谔方程出发，推倒了经过线性化处理后微扰满足的方程 组。研究了在饱和非线性光纤条件下，同偏振、不同波长的两束光波的交叉相位调制所产生 的不稳定性频谱，并讨论了交叉相位调制不稳定性增益谱随两束光波输入功率与光纤饱和功 率的比值的变化规律。通过仿真，可以得到交叉相位调制不稳定增益谱的临界扰动频率和峰 值增益，随着输入功率的增加而出现先增加后减小的规律，这样就出现了不同的输入功率对 应同一个临界扰动频率和峰值增益的情形。 关键词:饱和非线性;交叉相位调制不稳定性;不稳定性增益;临界扰动频率 中图分类号:TN9<29.11 1(引言 当连续或准连续的光波在介质中传输时，会由于介质的色散和非线性的相互作用，而使 得微弱的光扰动随着传输呈现指数增长，当色散和非线性之间的相互作用达到平衡时，就可 以形成光孤子，同时，这种相互作用必然导致对稳态的调制，这种现象被称为调制不稳定性 (MI)[1][<2]。色散效应和非线性的相互作用有着一定的频率范围，而且范围越大，越容易产生 调制不稳定性。它们之间的联系由 N.A.Khmediev 等人[3][4]在对非线性薛定谔方程一阶解的 研究中发现。在光纤中利用调制的不稳定性，可以产生重复率可调的 ps-fs 孤子脉冲串[5]， 也可以应用于全光开关[6]，因此对它的研究引起了许多学者的兴趣。 本文讨论了在饱和非线性光纤中同偏振、不同波长的两束渐变振幅光波的交叉相位调制 的不稳定性，研究了光波入射功率对不稳定增益谱的影响。 <2(理论分析 考虑在光纤饱和非线性效应的情况下，由同偏振、不同波长的两光波的渐变振幅满足的 耦合非线性薛定谔方程组，进一步推倒获得了线性化后微扰满足的方程组。根据所得到的方 程，对光纤正色散区的交叉相位调制不稳定增益谱进行了仿真，研究了交叉相位调制不稳定 增益普随两束光波的输入功率与光纤饱和功率之间比值而变化的规律。 可以将饱和非线性光线中不同波长、同偏振的两光波的渐变振幅满足的耦合非线性薛定 谔方程 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示为[7]: ) ( ) ( ) ( ) 1/ <2<21 <2 1 <2 1 <2 1 <2 ( <2 3 <2 <2 3 , <2 Im <2 4 ( ) <2 <2 <21 <2 1 ( <2 <2 <2) xpm i ii i i i i i gi t i i g k f f C f f f f A AA A Aj jY A z V t A A β ?? ?? ?? ??Ω Ω = = + + ?? ?? +?? ???? ?? +?? ?? ??+ + =?? ?? ?? + Γ + (1) 式中 Ai(i=1,<2)表示两光波的渐变振幅，Vgi为两光波的群速度， <2iβ 表示两光波的二阶群速度 色散关系，Yi是两光波的三阶非线性系数，Г=1/Ps 是光纤的饱和参量， Ps 为光纤的饱和功 率。假设光波的渐变振幅 Ai在传输过程中与时间 t无关，也即可以忽略式 (1)中的时间微 分项，那么我们可以得到方程的稳态解，如下式所示: //.paper.edu - <2 - exp( )i i iA P j= Φ (<2) 其中 Pi表示两光波的入射功率，非线性相移 φi满足下式: 3 3 <2 1 ( <2 ) i i i z i i P PYi P P ?? ?? +Φ = + Γ + (3) 为了进一步研究解的稳定性，在式(<2)中加入微扰项 ai(z,t),其中 |ai(z,t)|<<Pi，如下式 ( ) exp( )i i i iA P a j= + Φ (4) 将式(3)、(4)带入式(1)并线性化后可得到微扰 ai满足的方程组，见 下式: <2 <2 <2 * <2 3 3 * 3 3<2 3 1 <2 ( ) [1 ( <2 )] <2 ( ) [1 ( <2 )] i i a i i g i i i i i i i i i i i i i i a a j z V t t Y Pj a a P P Y P P j a a P P ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ??+ + Β =?? ?? ?? + ++ Γ + ++ Γ + (5) 根据式(5)可以推导出不稳定性条件，其中微扰的通解形式满足下式，即 cos[ ( )] sin[ ( )]i i i i i gi gi z za U kz t jV kz t V V = ??Ω ?? + ??Ω ?? (6) 式中 ??i是微扰的频率，而 k 则表示微扰的波数。将式(6)代入式(5) 并分离变量，可以 得到要使该方程组有非零解的充要条件是它们的系数行列式为零，所以可以 得出波数 k满足 的色散关系为: <2 <21 <2 1 <2 ( ) ( ) xpm g g k k f k f C V V ?? ?? ?? ??Ω Ω?? ?? × ?? ?? =?? ?? ?? ???? ?? ?? ???? ?? ?? ?? (7) 为了简化问题的复杂性，假设两光波的波长差异很小，此时可以忽略群速度 色散，所以 有 Vg1近似等于 Vg<2，令它们为 Vg，由此可以得到: <2 1/<21 <2 1 <2 1 <2[( ) ( )]<2 <2 xpm f f f fk C f f+ += + ??m (8) 其中 <2 <2 <2 3 <21 <2 [1 ( <2 )] i i i i i i i Y Pf P P ?? = Β Ω + +Γ + (9) 1 <2 <21 <2<2 1 <2 1 <2 <2 <2 1 <2 <2 1 4 [1 ( <2 )] [1 ( <2 )]xpm YY PPC P P P P Β Β Ω Ω= +Γ + +Γ + (10) 从式(8)可以看出，当两光波的扰动频率满足一定条将时，会有 f1*f<2< Cxpm 。此时， k将是一个复数，这也就意味着将会产生调制的不稳定性。将 fi(i=1,<2) 和 Cxpm的表达式代入 该不等式，则可以得到不稳定的条件是: //.paper.edu - 3 - <2 1 <2 <2 <2 1 <2 [ 1] [ 1] 4 c c Ω Ω+ + + <Ω Ω (11) 对上述不稳定性条件作两种情况的讨论: 1) ??1=??<2时，式(11)可以简化为 <2 <2 <2 <2 <2 <2 <2 1 <2 1 <2 1 <2 1 [ ( ) 1<2 ( )] <2c c c c c c c Ω < Ω = Ω +Ω + Ω Ω ?? Ω +Ω (1<2) ??c表示临界扰动频率。 <2) ??1不等于??<2时，式(11)可以简化为 <2 <2 3 3 <2 <2 3 3 3 c i i i ic ci i c i ?? ?? ?? ?? Ω ??ΩΩ < Ω = Ω Ω +Ω (13) ??jc表示临界扰动频率。 在式(1<2)和(13)中??cj的表达式如下 <2 <2 3 4 | | [1 ( <2 )] i i ci i i i Y P P P ?? Ω = Β + Γ + (14) 当两光波的扰动频率满足式(11)时，扰动的功率增益系数为 ( ) ( ) ( ) ( ) 1/ <2<21 <2 1 <2 1 <2 1 <2, <2 Im <2 4 ( )xpmg k f f C f f f f?? ??Ω Ω = = + + ?? ?? +?? ???? ?? (15) 由式(7)—(15)的分析可以看出，在饱和非线性条件下，交叉相位调制的色散关系、 根的形式以及调制不稳定性的增益系数都有着自己的特点，下面我们将通过仿真来具体讨论 两束光波的扰动频率及其入射功率对不稳定增益的影响，以及入射功率对不稳定增益临界频 率的影响。 3(仿真结果与分析 在仿真过程中，将上述各式中的部分常数参量设为如下值:Y1=Y<2=15W/km， B<21=B<2<2=60ps<2/km，Ps=7W。此外，为了简化问题的讨论，假定两入射 光波的光功率相等。 图1 在??1=??<2时，临界扰动频率随入射功率的变化 //.paper.edu - 4 - 1 所示是在 ??1=??<2时，临界扰动频率随着两束光波入射功率变化时，图 相应的临界扰 动频率的变化情况。从图中可以看出，随着光波入射功率的增大，临界扰动频率先增加后减 小，出现一个峰值。这也就表明，会出现两个不同的输入功率对应同一个临界扰动频率的情 况。 图<2 在??<2取不同值时，入射光波的临界扰动频率随入射功率的变化情况。 如图 <2所示，是在 ??<2取不同值的情况下，??1c随入射功率的变化趋势。从上图可以看出， 无论 ??<2取何种值，??1c随着入射功率的增加都呈现出现增加后减小的趋势，会出现两个不同 的输入功率对应同一个临界扰动频率的情况。这与 ??1=??<2时的结论是一致的。此外，由于 ??<2 和 ??1完全等价的关系,所以对于 ??c<2可以得出相同的结论。 由公式(9)，(10)，(11)可以看出，不稳定增益的大小与两束入射光的功率及其扰动的频 率大小有关。为此，下面将分别讨论入射功率和扰动频率对不稳定增益的影响。图 3显示了 在扰动频率确定的情况下，不稳定增益随着入射功率的变化。从图中可以看出，随着入射功 率的增加，不稳定增益先增加后减小，会有一个峰值，同样会出现两个不同的入射功率对应 同一个不稳定增益的情况。在图 3 中，??1 取固定值 0.1πTHz,而 ??<2 则依次取 0.04πTHz,0.14πTHz,0.<24πTHz,0.4πTHz。由于 ??1和 ??<2的等价关系，所以当 ??<2固定而 ??1取 变化值时，有相同的结论。图 4中，入射功率固定为 p=7w，四条曲线分别对应??<2为 0.04πTHz、 0.14πTHz、0.<24πTHz、0.4πTHz。从图中可以看出，随着 ??1 的增加，不稳定增益先增大后 减小，即:当功率固定不变时，会出现两个不同的扰动频率对以同一个不稳定增益的情况。 //.paper.edu - 5 - 图3 不同扰动频率下，不稳定增益随入射功率的变化 图4 在扰动频率??1和输入功率固定的情况下，不稳定增益随??<2的变化 情况。 下面四个图综合展示了不稳定增益随入射功率和扰动频率的变化情况，可以 从这几个图 对以上的概念有一个更好的认识。 (a) (b) //.paper.edu - 6 - (c) (d) 图5 不同扰动频率下交叉相位调制不稳定性增益谱随两光波输入功率的变 化。 从图 5中可以看出，在不同的输入功率下，交叉相位调制不稳定性增益对于不同的扰动 频率会出现一个最大值。为此下面将对此最大值作相应的分析。 图6 不同扰动频率下不稳定增益谱的谱峰值随两光波输入功率的变化 从图 6中可以看出，在不同的扰动频率下，不稳定增益谱的谱峰值随着输入功率的增加 出现先增大后减小的趋势。这与临界扰动频率的变化有相同的趋势。也即表明，对于两个不 同的输入功率，会出现对应同一个不稳定增益普峰值的情况。 4(结论 本文研究了在饱和非线性光纤中，两束光波的入射功率对交叉相位调制的不稳定增益谱 所产生的影响。通过理论计算和仿真研究，可以得到交叉相位调制不稳定增 益谱的临界扰动 频率和峰值增益，随着输入功率的增加而出现先增加后减小的规律，这样就 出现了不同的输 入功率对应同一个临界扰动频率和峰值增益的情形。以上发现，为光纤通信 中交叉相位调制 不稳定性的应用提供了理论依据。 //.paper.edu - 7 - 参考文献 1(Agrawal G P. Nonlinear Fiber Optics(Second Edition) . San Diego, London, Boston: Academies Press，1995. <2(杨慧敏 朱宏娜。光纤中的交叉相位调制不稳定性研究，光通信研究， <2008年第1期(总第145期):<29-3<2。 3(Khmediev N A, Ankiewiez A. First<2order exact solutions of the nonlinear Schr??2dinger equation in the normal dispersion regime [J ] . Phys. Rev. A,1993,47 (3) :3 <213-3 <215. 4(Haelteman M. Modulation instability periodic waves and black and white vector soliton in brief regent Kerr media [J ] . Opt. Commun,1994,111 :86-89. 5(MamyshevP V, Stanislav V, Danov E M. Generation of fundamental soliton trains for high-bit-rate optical fiber communication lines. IEEE . J. Quant. Electron., 1991 QE-<27(10):<2347-<2355 6(N. Dalt, C. De Angelis, G.F. Nalesso et al.. Dynamics of induced modulational instability in waveguides with saturable nonlinearity [j] . Opt. Commun. , <2005, <244:181-185 7(钟先琼，向安平 等. 饱和非线性光纤正色散区交叉相位调制不稳定性分 析. 《中国激光》，<2006，33 (3):335-338 Research on Modulation Instability Induced by Cross-Phase Modulation in the Fibers with Saturable Nonlinearity Luo Weiwei Institute of Optical Communication and Optical Electronics, Beijing University of Posts and Telecommunications, Beijing, PRC (100876) Abstract In order to research the modulation instability induced by the relationship between dispersion and nonlinearity, the linearized nonlinear Schr??2dinger equations for the perturbations are given. The instability spectrum of two optical waves having different frequencies with the same polarizations is researched. And the variation law of the gain spectra of modulation instability induced by cross-phase modulation with the input powers of the two waves is analyzed and discussed. The results indicate that , similar to that of the gain spectra of self-phase modulation induced modulation instability in optical fibers with saturable nonlinearity , the critical perturbation frequency as well as the peak gain of cross<2phase modulation induced modulation instability also increases with the input powers before decrease. The varying velocity of the two parameters is related to the perturbation frequencies. This may lead to a unique value of peak gain and critical perturbation frequency for two different input powers. Keywords: saturable nonlinearity; modulation instability induced by cross-phase modulation; gain spectra of modulation instability; critical perturbation frequency