第十六章 多元函数的极限与连续
?1 平面点集与多元函数 1. 判断下列平面点集中哪些是开集、闭集、有界集、区域,并分别指出他们的
聚点与界点。
[,)[,);abcd?{(,)0};xyxy?{(,)|0};xyxy=(1) (2)(3)
2{(,)|}xyyx>{(,)|2,2,2}xyxyxy<<+>(4) (5)
22{(,)|10,01}xyxyyx+==或,(6);
22{(,)|10,12};xyxyyx+?或,(7)
1+{(,)|sin};xyy={}(x,y)|x,yÎN(8); (9) x
{(,)|0,0}xyxayb<-<<-(0,0)3(设(,)试讨论它在点处的连续性. fxy=íïïï22ï0,0xy+=ïî
第十七章 多元函数微分学
?17.1 多元函数微分学 1(求下列函数的偏导数:
x22zxy=+ln()(1) (2) (3)(4)zyx=cosz=arctan y
yxxzy(5)(6) (7)(8) u=+-ux= xyz
xfx(,1)2.设;求 fxyxy(,)(1)arcsin=+-xy
ì1ï22ïyxysin,0,+ ï22ïxy+3(设，考察函数f在原点(0，0)的偏导数。 fxy(,)=íï22ïï0,0xy+=ïî
4(证明函数在点(0，0)连续但偏导数不存在 .
5(考察函数在点(0，0)处的可微性
2ìïxy22ï,0,xy+ ï22ïxy+6(证明函数在点(0，0)连续且偏导数存在，但fxy(,)=íïï22ï0,0,xy+=ïî
在此点不可微。
7(证明函数在点(0，0)连续且
偏导数存在，但偏导数在(0，0)不连续，而在原点(0，0)可微. 8.求下列函数在给定点的全微分:
4422zxyxy=+-4(1)在点(0，0)，(1，1);
x(2)在点(1，0)和(0，1)。 z=22xy+
ypz=arctan9(求曲面在点(1，1，)处的切平面方程和法线方程。 x4
10(计算近似值:
(1);
(2).
?2 复合函数微分法 1(求下列复合函数的偏导数或导数:
dz(1)设，求 dx
22xy+22抖zzxy+xy,(2)设，求 ze=抖xyxy
(3)设，求
uzz抖2zxyxyuv===-ln,,32,,;求(4)设 vuv抖
(5)设，求
xyuuu抖 (6)设 uf=(,),,,.求yzxyz抖
y11抖zzzz=2(设，其中f为可微函数，验证 +=.222fxy()-xxyyy抖
抖zzzyfxy=+-sin(sinsin),3(设其中f为可微函数，证明 secsec1.xy+=抖xy
xuvyuv=-=+cossin,sincosqqqq4(设f(x,y)可微，证明:在坐标旋转变换，
22()f()f之下，+是一个形式不变量。即若xy
2222guvfuvuv(,)(cossin,sincos),=-+qqqq()f()f()()gg+，则必有+=(其yxuv
q中旋转角是常数)
5.设是可微函数，试求.
?3 方向导数与梯度
231(求函数在点处沿方向 uxyzxyz=+- (其方向角分别为60，45，60)的方向导数.
2. 求函数在点到点的方向上的方向导数. A(5,1,2)uxyz=AB
2222B(5,3,)-uxyzxyxyz=+++-+-23424A(0,0,0)3. 求函数在点及点处3
的梯度以及它们的模。
骣1222?çu=lnrxaybzc=-+-+-()()()4. 设函数，其中，求u的梯度;并指?ç?ç桫r
gradu=1出在空间哪些点上成立等式。
5(设函数，求它在点的梯度.
6(设，试求:
(1)
(2)grad.
?4 泰勒公式与极值问题 1(求下列函数的高阶偏导数:
(1)，所有二阶偏导数;
xzeyxy=+(cossin)(2) ,所有二阶偏导数; (3)， ，
pqr++?uxyz++(4) ,;uxyze=pqr抖xyz
(5)所有二阶偏导数.
222ufxyz=++(),所有二阶偏导数; (6)
x(7) (,,),,,.zfxyxyzzz=+xxxxyy
2(设，，证明:
.
2222rxxx=+++3(设，证明 12n
1r1222vvvv++=vgtcrxyz=-=++(),,为常数4(设.证明:. xxyyxytt2crc
5. 求下列函数在指定点处的泰勒公式: (1)=在点(0，0)(到二阶为止);
xfxy(,)=(2)在点(1,1)(到三阶为止); y
(3)=在点(0，0);
(4)=在点(1，-2).
6.求下列函数的极值点:
33zaxyxya=-->3(0);(1)
22zxxyyxy=-+-+2;(2)
). (3
7.求下列函数在指定范围内的最大值与最小值: (1);
(2);
zxyxyxyxyxy=+-+sinsinsin(),(,)|0,0.2.吵+ p(3) {}
8. 在已知周长为的一切三角形中，求出面积最大的三角形.
9. 在xy平面上求一点,使它到三直线x=0,y=0及x+2y-16=0的距离平方和最小.
AxyAxyAxy(,),(,),,(,),10. 已知平面上n个点的坐标分别是试求一点,111222nnn使它与这n个点距离的平方和最小.
第十八章 隐函数
?1 隐函数概念
xycosx，siny,ey,f(x)x,g(y)1. 方程能否在原点的某邻域内确定隐函数或, 2. 求由下列方程所确定的隐函数的导数:
ydy22lnxyarctan，,(1), 求; xdx
,z,z,xyz(2)e,2z，e,0, 求; ,,x,y
,z,x,yz,f(x，y，z,xyz)(3), 求. ,,,x,y,z
2dzdz2222z,x，yy,f(x)x,xy，y,13.设,其中为由方程所确定的隐函数,求及. 2dxdx
222333u,x，y，zz,f(x,y)x，y，z,3xyz4.设,其中是由方程所确定的隐函数, uu求及. xxx
?2 隐函数组
1. 试讨论方程组
2,z22,x，y, ,2,x，y，z,2,
x,f(z),y,g(z)在点(1,-1,2)的附近能否确定形如的隐函数组? 2. 求下列方程组所确定的隐函数组的导数:
2222,，，,,xyzadydz,(1)求; ,22dxdxx，y,ax,,
2,,,,0,xuyv,u,v,u,v,,,(2),求; ,2,x,x,y,yy,v,xu,0,,
,(,，),ufuxvy,,u,v,(3)求. ,2,x,x,(,,),vguxvy,
3. 求下列函数组所确定的反函数组的偏导数:
u,x,e，usinv,u,vu,v(1)求; ,xx,yyuy,e,ucosv,,
x,u，v,,
,22z(2),求 ,，yuv,x33,,，zuv,
,uu,u(x,y)u,f(x,y,z,t),g(y,z,t),0,h(z,t),04(设函数由方程组所确定，求和,x
,u. ,y
第十九章 含参量积分
?1 含参量正常积分 1. 求下列极限
12222limx，,dxlimxcos,xdx(1); (2) . ,,,01,,,,00
.
2x2,xy,F(x),edyF(x)2. 设,求. ,x
3. 应用对参量的微分法,求下列积分:
,22222ln(asinx，bcosx)dx(1); ,0
,2ln(1,2acosx，a)dx(2) . ,0
4. 应用积分号下的积分法,求下列积分:
ba11x,x(1) sin(ln)dx(b,a,0);,0xlnx
ba11x,x(2) cos(ln)dx(b,a,0);,0xlnx
?2 含参量反常积分 1. 证明下列各题:
22，,,yx(,,,，,)(1)在上一致收敛; dx222,1(，)xy
，,2,xyedy[a,b](a,0)(2) 在上一致收敛; ,0
，,,xyxedy(3) ,0
[a,b](a,0)?) 在上一致收敛;
[0,b]?) 在上不一致收敛;
11[,b](b,1)ln(xy)dy(4) 在上一致收敛; ,0b
1dx[,,,b](b,1)(5) 在上一致收敛; p,0x
axbx,,,,axbxb，,eee,e,xy,edy2. 从等式出发,计算积分 dx(b,a,0),,,0axx
3. 求下列积分:
2222axbx,,，,,eedx(1) ,20x
，,2,,xedx,(提示:证明中可利用公式); ,02，,sinxt,tedt;(2) ,0t
1,，,2,at,2(a,0)4. 应用.证明 edt,a,02
3,，,2,2at,2(1) ; tedt,a,04
1,(n，)，,2135(21)？n,,,,2n,at2(2) tedta,,,n022
f(x,y),,,,a,b，c,，,5.设为上连续非负函数,
，,I(x),f(x,y)dy ,0,,a,bI(x),,a,b在上连续,证明在一致收敛.
第二十章 曲线积分 一( 判断题。
1. 第二型曲线积分与曲线的方向有关。
2. 第二型曲线积分可以化为第一型曲线积分。
,Q,P3. 格林公式是，其中C是区域G的边界闭曲线。 (),,，dxdyPdxQdy,,,C,,xyG
1Sxdyydx,，4. 区域G的面积是，其中C是区域G的边界闭曲线。 ,C2
xdyydx,，其中C是光滑的不通过原点的正向闭曲线，且内部不包含原点。 0,,22Cxy，
二( 选择题。
Lyx,,yds,x,,1x,11、设为曲线上从到的一段，则( )。 ,L
2,22(A) (B) (C) (D) 0
2
222LxyR，,Ixds,2、设为圆周，则曲线积分的值为( )。 ,L(A) , (B) (C) (D) 1 ,,0
22yLy,1Ixdxxedy,，yx,y3、设曲线积分，其中是由直线，及轴所围成的闭,L
I,区域的正向边界，则( )。
e,1e1(A) (B) e (C) (D) 222
2AEByx,,1A(1,0),E(0,1)B(1,0)4、设是由点沿上半圆经点到点的曲线段，
3ydx,则( )。 ,
AEB
3332ydx2ydx2ydx0(A) (B) (C) (C) ,,,BEEAEB三( 计算题
2Lyx,xdsyx,1、计算，其中为由直线及抛物线所围成的区域的整个边界。 ,L
2Lxattyatt,,,,,,(sin),(1cos),(02),yds2、计算，其中为摆线的一拱。 ,L
222Lyx,(0,0)(2,4)()xydx,3、计算，其中为抛物线上从点到点的一段弧。 ,L
,ABC,,dxdyydz,，,ABCA4、计算其中为有向闭折线，这里的依次为点,,
(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)。
L(0,0)(3,0)5、计算(24)(536)xydxyxdy,，，，,，其中的三顶点分别为，,L
(3,2)和的三角形正向边界。
222Lyxx,,2(2)(sin)xydxxydy,,，6、计算，其中是在圆周上由点,L
(0,0)(1,1)到点的一段弧。 四( 证明题。
yeye1. 证明 在平面上有原函数，并求它的一个原x,0Wdxxdy,,，,，()(ln1)2xxx
函数。
DLDuxyvxy(,),(,)2. 设是以光滑闭曲线为边界的有界平面区域，是为上两个二
阶连续可偏导函数，证明
22,,,,,,,uuuvuvu [][]vdxdyvdxdyvds，,,，，,,,,,22,,,,,xxyyn,,xyDDL
,uL其中是u沿的外法线向量n的导数。 ,n
五(思考题。
请综述两类曲线积分的关系。
第二十一章 重积分
二重积分部分
一( 判断题。
RRfxy(,)fxy(,) 1. 函数在上可积的必要条件是函数在上有界。
Rfxy(,)2. 函数在有界闭区域上可积的充要条件是
[()()]0STsT,, limT,0
RRfxy(,)fxy(,)3. 若函数在区域上连续，则函数在上可积。
R,Rfxy(,)(,),,4. 若函数在有界闭区域上可积，则至少存在一点使得
fxydfRR(,)(,),,,,,,其中表示R的面积。 ,,R
RRfxy(,)fxy(,)5. 函数在有界闭区域上可积，则函数在上也可积。 二( 选择题。
tt,Ftdyfxdx()(),fx()F(2),1、设为连续函数，，则_________ ,,1y
f(2),f(2)2(2)f(A) (B) (C) (D) 0
2222D14,，,xyxydxdy，,2、( )，其中:。 ,,D
24,24,22,22,22drdr,drdr,drdr,drdr,(A) (B) (C) (D) ,,,,,,,,01010101
2yx,，1y,5z,0zx,33、在第一卦限中，由曲面和平面，，所围成的立体体积V,()
53x22(A) (1)(1)，,，xdxdydyxdx,,,,10D
252(B) 33(1)xdxdyxdxxdy,，2,,,,，x01D
51y,(C) 55dxdydydx,,,,,10D
(D)以上都不对
222222xya，,a,()4、设D:，当时，二重积分axydxdy,,,, ,,D
331333(A) 1 (B) (C) (D) 242
17xy，,y,0xy，,1Ixydxdy,，ln()5、设平面区域D由，，，围成，若， x,0,,1,,2D
77Ixydxdy,，[sin()]III,,Ixydxdy,，()，，则之间的大小关系为12332,,,,DD
( )。
III,,III,,III,,III,,(A) (B) (C) (D) 123321132312三( 计算题
(32)xyd，,xy，,21、，其中D是由两坐标轴及直线所围成的闭区域; ,,D
2yx,yx,,2xyd,，其中D是由抛物线及直线所围成的闭区域; 2、计算,,D
2xxyx,,2,xy,13、，其中D是由直线及曲线所围成的闭区域。 ,d,,2yD
4、交换积分次序:
22yexlndyfxydx(,)dxfxydy(,)(1); (2) ; 2,,,,0y10
222xx,dxfxydy(,)(3); ,,12,x
1233yy,dyfxydxdyfxydx(,)(,)，(4) 。 ,,,,0010
2222xyax，,zxy,，xoy5、计算以面上的圆周围成的闭区域为底，而以曲面为顶的
曲顶柱体的体积。
22xyz，，,21xyax，,6、求平面含在圆柱面内部的那部分面积。 四( 证明题。
fx()[0,1]1. 设在上连续，试证明
11fxfx,()()edxedx,,1 ,,00
2. 证明概率积分
2,x，,12 Iedx,,1,,,,2
22{(,)1}xyxy，,fxy(,)fxy(,)3. 设在单位圆盘有连续偏导数，在圆盘边界为
xfyf，xy1,22Sxyxy,,，,{(,)1},零，证明，其中。 (0,0)fdxdy,,lim,,22,2,,0xy，S,
五(思考题。
bb2fx()[,]abdxfxfydy[()()],设为上连续函数，试考查的的下界，并与,,aa柯西不等式进行比较。
三重积分 一(判断题
fxyzdxdydz(,,)1. 三重积分表示的是物体V的体积。 ,,,v
[0,2],2. 球面坐标变换中的角度参数变化范围都是。
fxyz(,,)3. 若在区域V上非负连续，则
fdvfxyzxyzV,,,,0(,,)0,(,,) ,,,v
fxyz(,,)gxyz(,,)4. 若在区域V上非负连续，且对V上任意可积函数都有
fxyzxyzV(,,)0,(,,),,fgdv,,0，则。 ,,,v
二(选择题。
2222,，，,:xyzazdv,z,01、设，，则( )。 ,,,,
222axya,,(A) (B) dxdyzdzdzzdxdy,,,,,,002222222，,,xyaxyaz，,
,a2a,32ddrdr,,,,sincos(C) (D) dzzdxdy,,,,,,0000222，,xya
2222,,，，,,xyzxyzRz,,|,02、设有空间闭区域， ，，,,1
2222,,，，,,,,xyzxyzRxyz,,|,0,0,0，则有( )。 ，，,,1
xdvxdv,4ydvydv,4(A) (B) ,,,,,,,,,,,,,,,,1212
zdvzdv,4xyzdvxyzdv,4(C) (D) ,,,,,,,,,,,,,,,,1212
22,z,1zxy,，fxyzdv(,,),3、设是由与所围区域在第一卦限的部分，则( ) ,,,,
21zzx,dzdxfxyzdy(,,)(A) ,,,000
22211,，xxydxdyfxyzdz(,,)(B) ,,,000
,112ddrfrrzrdz,,,(cos,sin,)(C) 2,,,r00
2111,xdxdyfxyzdz(,,)(D) 22,,,00xy，
三( 计算题
23,xyzdxdydzyxx,,,11、计算，其中是由曲面zxy,与平面和z,0所围成的闭,,,,
区域。
2,zzyy,,,0,,1yx,xzdxdydz2、计算，其中是由平面以及抛物柱面所围成的,,,,
闭区域。
2222,z,2()xydv，xyz，,23、利用柱面坐标计算，其中是由曲面及平面所,,,,
围成的闭区域。
2222,xyzaa，，,,()zdv4、利用球面坐标计算，其中闭区域是由不等式，,,,,
222xyz，,所确定。
2222zxy,,,5xyz，,45、利用三重积分计算由曲面与所围成的立体的体积。
22222,()xydv，425()zxy,，z,56、计算，其中是由曲面及平面所围成的,,,,
闭区域。
四(证明题。
Ftfxyzdxdydz()(,,),fxyz(,,)1. 若，其中是可微函数， ,,,V
Vxyzxtytzt,,,,,,,(,,)0,0,0t,0，，证明 ,,
3,, FtFtxyzfxyzdxdydz,，(){()(,,)},,,tV
fxyz(,,)xyz,,2. 设在全空间上具有连续的偏导数，且关于都是以1为周期的，即对
(,,)xyz于任意点有下式成立
fxyzfxyzfxyzfxyz(1,,)(,1,)(,,1)(,,)，,，,，,
,,,fff,,,,,则对于任意实数，有[]0,,,，，,dxdydz ,,,,,,xyzV
,,，，[0,1][0,1][0,1]这里是单位立方体。
222{(,,)1}xyzxyz，，,fxyz(,,)3. 设在球上连续，令
22222222Brxyzxyzr(){(,,)},，，,Srxyzxyzr(){(,,)},，，,，
dr,(0,1)，证明 ，。 r,0(,,)(,,)fxyzdxdydzfxyzdxdydz,,,,,,,drBrSr()()
五(思考题。
222xyz，，,1fxyz(,,)设V为，为连续函数，试证明
12 fzdxdydzfzzdz()()(1),,,,,,,,,1v
第二十二章 曲面积分 一(判断题。
fxyz(,,)1. S为面积不为零的光滑闭曲面，在S上连续，且恒为正，则
fxyzdxdy(,,)大于零。 ,,s
zzxyxyD,,(,),(,)2. S为光滑闭曲面，，其中D是有界闭区域，则
,,zz22 (,,)(,,(,))1()(),fxyzdfxyzxydxdy,,，，,,,,,,xysD
(,,)xyzcos,cos,cos,,,3. 设闭曲面S上点的外法线(正向)的方向余弦是。
,Q,,PR则有 ()(coscoscos),,,,fdxdydzpQRd，，,，，,,,,,,,,xyzVs
PdxQdyPQds，,，(cossin),,4. ，其中为向着弧长增加方,,,CABCAB(,)(,)
向的切线与x轴正向的夹角。
二( 选择题
2222,,xyzR，，,,1、设曲面是上半球面:(z,0)，曲面是曲面在第一卦限中的1部分，则有_____________.
xdsxds,4ydsxds,4(A) (B) ,,,,,,,,,,,,11
zdsxds,4xyzdsxyzds,4(C) (D) ,,,,,,,,,,,,11三(计算题
yxz4，，,1,1、计算，其中为平面在第一挂限中的部分。 ，，(2)zxyds,,2343,
2222,()xyzds，，xyza，，,zhha,,,(0)2、计算，其中为球面上的部分。 ,,,
222222,xyzR，，,xyzdxdy3、，其中为球面的下半部分的下侧。 ,,,
,xzdxdyxydydzyzdzdx，，xyzxyz,,,，，,0,0,0,14、，其中是平面所围成,,,
的空间区域的整个边界曲面的外侧。
2222333,xdydzydzdxzdxdy，，xyza，，,5、，其中为球面的外侧。 ,,,
22,xdydzydzdxzdxdy，，xy，,96、，其中是介于和之间的圆柱体的z,0z,3,,,
整个表面的外侧。
四(证明题。
1fx()1. 证明对连续的函数有 fzdsftdt()2(),,,,,,1222xyz，，,1
fzds(),,222zxyt,，,fx()[0,)，,,,2. 设是上的正值连续函数，若 ()t22，fxydxdy(),,222xyt，,
,()t[0,)，,是上严格单调递增的连续函数。 证明
3R,3. 设为中光滑区域，为其边界，uv,在上有连续的二阶导数，证明 ,,,,，,
vu,, ()()uvvudxdydzuvds,,,,,,,,,,nn,,,,,
,,,其中是沿边界的外法线方向导数。 ,n
五(思考题。
请综述两类曲面积分的关系。
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