高考数列知识点及习题总结

8：高考真题解答 ．在公差为 的等差数列 中,已知 ,且 成等比数列. (1)求 ;    (2)若 ,求 ．等差数 列 的前 项和为 ,已知 ,且 成等比数列,求 的通项式. ．（2013年高考江西卷（理））正项数列{an}的前项和{an}满足: (1)求数列{an}的通项公式an; (2)令 ,数列{bn}的前 项和为 .证明:对于任意的 ,都有 4.已知 是等差数列,其前 项和为 , 是等比数列,且 . (I)求数列 与 的通项公式; (II)记 ( )证明: . 5.设数列 的前 项和为 ,数列 的前 项和为 ,满足 , . (Ⅰ)求 的值; (Ⅱ)求数列 的通项公式. 6.已知等比数列 的各项均为正数，且 ． （I）求数列 的通项公式． （II）设 ，求数列 的前n项和． 数列高考试题汇编     1.【2014·全国卷Ⅱ（文5）】等差数列 的公差为2，若 ， ， 成等比数列，则 的前n项和 = （A）   （B）   （C）   (D) 2.【2014·全国大纲卷（理10）】等比数列 中， ，则数列 的前8项和等于                    （    ） A．6          B．5          C．4        D．3 3.【2014·全国大纲卷（文8）】设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2=3，S4=15，则S6=(    ) A.  31                  B. 32              C. 63                D.  64 4.【2014·北京卷（理5）】设 是公比为 的等比数列，则 是 为递增数列的（  ） 充分且不必要条件      必要且不充分条件 充分必要条件          既不充分也不必要条件 5.【2014·天津卷（文5）】设 是首项为 ，公差为-1的等差数列， 为其前 项和.若 成等比数列，则 （  ） （A）2  （B）-2  （C）   （D） 6.【2014·福建卷（理3）】等差数列 的前 项和 ，若 ，则 (    ) 7.【2014·辽宁卷（文9）】设等差数列 的公差为d，若数列 为递减数列，则（  ） A．     B．   C．     D． 8. 【2014·陕西卷（理文4）】根据右边框图，对大于2的整数 ， 得出数列的通项公式是（    ） 9.【2014·重庆卷（理2）】对任意等比数列 ,下列说法一定正确的是（    ） 成等比数列      成等比数列 成等比数列      成等比数列 10.【2014·重庆卷（文2）】在等差数列 中, ，则 （    ） 11.【2014·全国卷Ⅱ（文16）】数列 满足 = ， =2，则 =_________. 12.【2014·安徽卷（理12）】数列 是等差数列，若 ， ， 构成公比为 的等比数列，则 ________. 13.【2014·安徽卷（文12）】如图，在等腰直角三角形 中，斜边 ，过点 作 的垂线，垂足为 ；过点 作 的垂线，垂足为 ；过点 作 的垂线，垂足为 ；…，以此类推，设 ， ， ，…， ，则 _____    ___. 14.【2014·北京卷（理12）】若等差数列 满足 ， ，则当 ________时 的前 项和最大. 15.【2014·天津卷（理11）】设 是首项为 ，公差为-1的等差数列， 为其前 项和.若 成等比数列，则 的值为__________. 16.【2014·江西卷（文13）】在等差数列 中， ，公差为 ，前 项和为 ，当且仅当 时 取最大值，则 的取值范围_________. 17.【2014·广东卷（理13）】若等比数列 的各项均为正数，且 ，则         。 18.【2014·广东卷（文13）】等比数列 的各项均为正数且 ，则 ＝            . 题型一　等差、等比数列的基本运算 例1　已知等差数列{an}的前5项和为105，且a10＝2a5. (1)求数列{an}的通项公式； (2)对任意m∈N*，将数列{an}中不大于72m的项的个数记为bm.求数列{bm}的前m项和Sm. 破题切入点　(1)由已知列出关于首项和公差的方程组，解得a1和d，从而求出an. (2)求出bm，再根据其特征选用求和方法． 解　(1)设数列{an}的公差为d，前n项和为Tn， 由T5＝105，a10＝2a5， 得5a1＋5×(5－1)2d＝105，a1＋9d＝2(a1＋4d)， 解得a1＝7，d＝7. 因此an＝a1＋(n－1)d＝7＋7(n－1)＝7n(n∈N*)． (2)对m∈N*，若an＝7n≤72m，则n≤72m－1. 因此bm＝72m－1. 所以数列{bm}是首项为7，公比为49的等比数列， 故Sm＝b1(1－qm)1－q＝7×(1－49m)1－49＝7×(72m－1)48 ＝72m＋1－748. 题型二　等差、等比数列的性质及应用 例2　(1)已知正数组成的等差数列{an}，前20项和为100，则a7?a14的最大值是(  ) A．25B．50C．100D．不存在 (2)在等差数列{an}中，a1＝－2013，其前n项和为Sn，若S1212－S1010＝2，则S2013的值为(  ) A．－2011B．－2012C．－2010D．－2013 破题切入点　(1)根据等差数列的性质，a7＋a14＝a1＋a20，S20＝20(a1＋a20)2可求出a7＋a14，然后利用基本不等式． (2)等差数列{an}中，Sn是其前n项和，则Snn也成等差数列． 答案　(1)A　(2)D 解析　(1)∵S20＝a1＋a202×20＝100，∴a1＋a20＝10. ∵a1＋a20＝a7＋a14，∴a7＋a14＝10. ∵an>0，∴a7?a14≤a7＋a1422＝25. 当且仅当a7＝a14时取等号． 故a7?a14的最大值为25. (2)根据等差数列的性质，得数列Snn也是等差数列，根据已知可得这个数列的首项S11＝a1＝－2013，公差d＝1，故S2*******＝－2013＋(2013－1)×1＝－1，所以S2013＝－2013. 题型三　等差、等比数列的综合应用 例3　已知数列{an}的前n项和Sn满足条件2Sn＝3(an－1)，其中n∈N*. (1)证明：数列{an}为等比数列； (2)设数列{bn}满足bn＝log3an，若cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和． 破题切入点　(1)利用an＝Sn－Sn－1求出an与an－1之间的关系，进而用定义证明数列{an}为等比数列． (2)由(1)的结论得出数列{bn}的通项公式，求出cn的表达式，再利用错位相减法求和． (1)证明　由题意得an＝Sn－Sn－1＝32(an－an－1)(n≥2)， ∴an＝3an－1，∴anan－1＝3(n≥2)， 又S1＝32(a1－1)＝a1，解得a1＝3， ∴数列{an}是首项为3，公比为3的等比数列． (2)解　由(1)得an＝3n，则bn＝log3an＝log33n＝n， ∴cn＝anbn＝n?3n， 设Tn＝1?31＋2?32＋3?33＋…＋(n－1)?3n－1＋n?3n， 3Tn＝1?32＋2?33＋3?34＋…＋(n－1)?3n＋n?3n＋1. ∴－2Tn＝31＋32＋33＋…＋3n－n?3n＋1 ＝3(1－3n)1－3－n?3n＋1， ∴Tn＝(2n－1)3n＋1＋34. 总结提高　(1)关于等差、等比数列的基本量的运算，一般是已知数列类型，根据条件，设出a1，an，Sn，n，d(q)五个量的三个，知三求二，完全破解． (2)等差数列和等比数列有很多相似的性质，可以通过类比去发现、挖掘． (3)等差、等比数列的判断一般是利用定义，在证明等比数列时注意证明首项a1≠0，利用等比数列求和时注意公比q是否为1. 1．已知{an}为等差数列，其公差为－2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为{an}的前n项和，n∈N*，则S10的值为(  ) A．－110B．－90 C．90D．110 答案　D 解析　∵a3＝a1＋2d＝a1－4，a7＝a1＋6d＝a1－12，a9＝a1＋8d＝a1－16， 又∵a7是a3与a9的等比中项， ∴(a1－12)2＝(a1－4)?(a1－16)， 解得a1＝20. ∴S10＝10×20＋12×10×9×(－2)＝110. 2．(2014?课标全国Ⅱ)等差数列{an}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{an}的前n项和Sn等于(  ) A．n(n＋1)  B．n(n－1) C.n(n＋1)2D.n(n－1)2 答案　A 解析　由a2，a4，a8成等比数列，得a24＝a2a8， 即(a1＋6)2＝(a1＋2)(a1＋14)， ∴a1＝2. ∴Sn＝2n＋n(n－1)2×2 ＝2n＋n2－n＝n(n＋1)． 3．等比数列{an}的前n项和为Sn，若2S4＝S5＋S6，则数列{an}的公比q的值为(  ) A．－2或1B．－1或2 C．－2D．1 答案　C 解析　方法一　若q＝1， 则S4＝4a1，S5＝5a1，S6＝6a1， 显然不满足2S4＝S5＋S6， 故A、D错． 若q＝－1，则S4＝S6＝0，S5＝a5≠0， 不满足条件，故B错，因此选C. 方法二　经检验q＝1不适合， 则由2S4＝S5＋S6， 得2(1－q4)＝1－q5＋1－q6，化简得 q2＋q－2＝0，解得q＝1(舍去)，q＝－2. 4．(2014?大纲全国)等比数列{an}中，a4＝2，a5＝5，则数列{lgan}的前8项和等于(  ) A．6B．5C．4D．3 答案　C 解析　数列{lgan}的前8项和S8＝lga1＋lga2＋…＋lga8 ＝lg(a1?a2?…?a8)＝lg(a1?a8)4 ＝lg(a4?a5)4＝lg(2×5)4＝4. 5．(2014?大纲全国)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3，S4＝15，则S6等于(  ) A．31B．32C．63D．64 答案　C 解析　在等比数列{an}中，S2、S4－S2、S6－S4也成等比数列， 故(S4－S2)2＝S2(S6－S4)， 则(15－3)2＝3(S6－15)， 解得S6＝63. 6．已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且AnBn＝7n＋45n＋3，则使得anbn为整数的正整数n的个数是(  ) A．2B．3C．4D．5 答案　D 解析　由等差数列的前n项和及等差中项， 可得anbn＝12(a1＋a2n－1)12(b1＋b2n－1) ＝12(2n－1)(a1＋a2n－1)12(2n－1)(b1＋b2n－1)＝A2n－1B2n－1 ＝7(2n－1)＋45(2n－1)＋3＝14n＋382n＋2 ＝7n＋19n＋1＝7＋12n＋1 (n∈N*)， 故n＝1,2,3,5,11时，anbn为整数． 即正整数n的个数是5. 7．(2013?课标全国Ⅰ)若数列{an}的前n项和Sn＝23an＋13，则{an}的通项公式是an＝________. 答案　(－2)n－1 解析　当n＝1时，a1＝1； 当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝23an－23an－1， 故anan－1＝－2，故an＝(－2)n－1. 8．(2014?江苏)在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2＝1，a8＝a6＋2a4，则a6的值是________． 答案　4 解析　因为a8＝a2q6，a6＝a2q4，a4＝a2q2，所以由a8＝a6＋2a4得a2q6＝a2q4＋2a2q2，消去a2q2，得到关于q2的一元二次方程(q2)2－q2－2＝0，解得q2＝2，a6＝a2q4＝1×22＝4. 9．(2014?安徽)数列{an}是等差数列，若a1＋1，a3＋3，a5＋5构成公比为q的等比数列，则q＝________. 答案　1 解析　设等差数列的公差为d， 则a3＝a1＋2d，a5＝a1＋4d， ∴(a1＋2d＋3)2＝(a1＋1)(a1＋4d＋5)，解得d＝－1， ∴q＝a3＋3a1＋1＝a1－2＋3a1＋1＝1. 10．在数列{an}中，如果对任意n∈N*都有an＋2－an＋1an＋1－an＝k(k为常数)，则称数列{an}为等差比数列，k称为公差比．现给出下列问题： ①等差比数列的公差比一定不为零； ②等差数列一定是等差比数列； ③若an＝－3n＋2，则数列{an}是等差比数列； ④若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比． 其中正确命题的序号为________． 答案　①③④ 解析　若k＝0，{an}为常数列，分母无意义，①正确；公差为零的等差数列不是等差比数列，②错误；an＋2－an＋1an＋1－an＝3，满足定义，③正确；设an＝a1qn－1(q≠0)，则an＋2－an＋1an＋1－an＝a1qn＋1－a1qna1qn－a1qn－1＝q，④正确． 11．(2014?课标全国Ⅰ)已知{an}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2－5x＋6＝0的根． (1)求{an}的通项公式； (2)求数列{an2n}的前n项和． 解　(1)方程x2－5x＋6＝0的两根为2,3， 由题意得a2＝2，a4＝3. 设数列{an}的公差为d，则a4－a2＝2d， 故d＝12，从而a1＝32. 所以{an}的通项公式为an＝12n＋1. (2)设{an2n}的前n项和为Sn. 由(1)知an2n＝n＋22n＋1，则 Sn＝322＋423＋…＋n＋12n＋n＋22n＋1， 12Sn＝323＋424＋…＋n＋12n＋1＋n＋22n＋2. 两式相减得 12Sn＝34＋(123＋…＋12n＋1)－n＋22n＋2 ＝34＋14(1－12n－1)－n＋22n＋2. 所以Sn＝2－n＋42n＋1. 12．(2014?北京)已知{an}是等差数列，满足a1＝3，a4＝12，数列{bn}满足b1＝4，b4＝20，且{bn－an}为等比数列． (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； (2)求数列{bn}的前n项和． 解　(1)设等差数列{an}的公差为d，由题意得 d＝a4－a13＝12－33＝3， 所以an＝a1＋(n－1)d＝3n(n＝1,2，…)． 设等比数列{bn－an}的公比为q，由题意得 q3＝b4－a4b1－a1＝20－124－3＝8，解得q＝2. 所以bn－an＝(b1－a1)qn－1＝2n－1. 从而bn＝3n＋2n－1(n＝1,2，…)． (2)由(1)知bn＝3n＋2n－1(n＝1,2，…)． 数列{3n}的前n项和为32n(n＋1)， 数列{2n－1}的前n项和为1－2n1－2＝2n－1. 所以，数列{bn}的前n项和为32n(n＋1)＋2n－1. 数列专题复习 一、等差数列的有关概念： 1、等差数列的判断方法：定义法 或 。 如设 是等差数列，求证：以bn= 为通项公式的数列 为等差数列。 2、等差数列的通项： 或 。 如(1)等差数列 中， ， ，则通项     （答： ）； （2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______（答： ） 3、等差数列的前 和： ， 。 如（1）数列 中， ， ，前n项和 ，则 ＝ ＿， ＝＿（答： ， ）； （2）已知数列 的前n项和 ，求数列 的前 项和 （答： ）. 4、等差中项：若 成等差数列，则A叫做 与 的等差中项，且 。 提醒：（1）等差数列的通项公式及前 和公式中，涉及到5个元素： 、 、 、 及 ，其中 、 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…， …（公差为 ）；偶数个数成等差，可设为…， ,…（公差为2 ） 5、等差数列的性质： （1）当公差 时，等差数列的通项公式 是关于 的一次函数，且斜率为公差 ；前 和 是关于 的二次函数且常数项为0. （2）若公差 ，则为递增等差数列，若公差 ，则为递减等差数列，若公差 ，则为常数列。 （3）当 时,则有 ，特别地，当 时，则有 . 如（1）等差数列 中， ，则 ＝____（答：27）； (4) 若 、 是等差数列，则 、 ( 、 是非零常数)、 、 ，…也成等差数列，而 成等比数列；若 是等比数列，且 ，则 是等差数列. 如等差数列的前n项和为25，前2n项和为100，则它的前3n和为            。（答：225） （5）在等差数列 中，当项数为偶数 时， ；项数为奇数 时， ， （这里 即 ）； 。 如（1）在等差数列中，S11＝22，则 ＝______（答：2）； （2）项数为奇数的等差数列 中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数（答：5；31）. （6）若等差数列 、 的前 和分别为 、 ，且 ，则 .如设{ }与{ }是两个等差数列，它们的前 项和分别为 和 ，若 ，那么 ___________（答： ） (7)“首正”的递减等差数列中，前 项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前 项和的最小值是所有非正项之和。法一：由不等式组 确定出前多少项为非负（或非正）；法二：因等差数列前 项是关于 的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性 。上述两种方法是运用了哪种数学思想？（函数思想），由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？ 如（1）等差数列 中， ， ，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。（答：前13项和最大，最大值为169）； （2）若 是等差数列，首项 ， ，则使前n项和 成立的最大正整数n是            （答：4006） （3）在等差数列 中， ，且 ， 是其前 项和，则（    ） A、 都小于0， 都大于0  B、 都小于0， 都大于0  C、 都小于0， 都大于0  D、 都小于0， 都大于0　（答：B） (8)如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数. 注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究 . 二、等比数列的有关概念： 1、等比数列的判断方法：定义法 ，其中 或 。阴阳师笔记无弹窗 如（1）一个等比数列{ }共有 项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则 为____（答： ）；（2）数列 中， =4 +1 ( )且 =1，若 ，求证：数列｛ ｝是等比数列。 2、等比数列的通项： 或 。 如等比数列 中， ， ，前 项和 ＝126，求 和 .（答： ， 或2） 3、等比数列的前 和：当 时， ；当 时， 。 如（1）等比数列中， ＝2，S99=77，求 （答：44）； （2） 的值为__________（答：2046）； 特别提醒：等比数列前 项和公式有两种形式，为此在求等比数列前 项和时，首先要判断公比 是否为1，再由 的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比 是否为1时，要对 分 和 两种情形讨论求解。 4、等比中项：若 成等比数列，那么A叫做 与 的等比中项。提醒：不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个 。如已知两个正数 的等差中项为A，等比中项为B，则A与B的大小关系为______（答：A＞B） 提醒：（1）等比数列的通项公式及前 和公式中，涉及到5个元素： 、 、 、 及 ，其中 、 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2；（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等比，可设为…， …（公比为 ）；但偶数个数成等比时，不能设为… ，…，因公比不一定为正数，只有公比为正时才可如此设，且公比为 。如有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求此四个数。（答：15，,9，3,1或0,4，8,16） 5.等比数列的性质： （1）当 时，则有 ，特别地，当 时，则有 . 如（1）在等比数列 中， ，公比q是整数，则 =___（答：512）； （2）各项均为正数的等比数列 中，若 ，则       （答：10）。 (2) 若 是等比数列，则 、 、 成等比数列；若 成等比数列，则 、 成等比数列； 若 是等比数列，且公比 ，则数列 ，…也是等比数列。当 ，且 为偶数时，数列 ，…是常数数列0，它不是等比数列. 如（1）已知 且 ，设数列 满足 ，且 ，则     　. （答： ）； （2）在等比数列 中， 为其前n项和，若 ，则 的值为______（答：40） (3)若 ，则 为递增数列；若 , 则 为递减数列；若 ，则 为递减数列；若 , 则 为递增数列；若 ，则 为摆动数列；若 ，则 为常数列. (4) 当 时， ，这里 ，但 ，是等比数列前 项和公式的一个特征，据此很容易根据 ，判断数列 是否为等比数列。 如若 是等比数列，且 ，则 ＝      （答：－1） (5) .如设等比数列 的公比为 ，前 项和为 ，若 成等差数列，则 的值为_____（答：－2） (6) 在等比数列 中，当项数为偶数 时， ；项数为奇数 时， . 心怀鬼胎小说