江苏专转本高等数学 极限、连续与间断 例题加练习

第一章 极限、连续与间断 , 求极限的几类主要 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 型及 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 , 连续性分析 , 间断判别与分类 , 连续函数的介值定理及应用 求极限问题归纳为七类主要题型，这里介绍前五类，后两类在相应的章节（洛必达 法则，变限积分）再作相应介绍。 Px，，m1I lim,,,xPx，，n 方法：上下同除以x的最高次幂 54xx，,2例1.1．lim 2x,,,xx， 111，,5xx解：原式 ,,,limx,,,11，34xx 223123xx，,，，，，例1.2． lim4x,,,31x， 222213,,,,3123xx，,，，，，32，,,,,,22xx,,,,xx解：原式lim,,lim=12 11x,,,x,,,3，3，44xx 3x，1，3x,1例1.3． limx,,x，1，x,1 - 1 - 同方专转本高等数学核心 教程 人力资源管理pdf成真迷上我教程下载西门子数控教程protel99se入门教程fi6130z安装使用教程 113，，3,3x，1，3x,1xx解：原式===3 limlimx,,x,,11x，1，x,11，，1,xx 2例1.4．lim(4x,x，1,2x) x,，, ,x，1解：原式= lim2x,，,4x,x，1，2x 1,1，1 =x= ,limx,，,4114,，，22xx xxx4，3，2例1.5．lim xxx,，,x4,3,2 31xx1，()，()42解：原式==1 lim,，,x31xx1,(),()42 px()mlimxa,px()n pa(),m,0pa,，，n,pa()n,,原式=,,,,()0,()0papa ,nm ,上下分解因式(或洛比达）,papa()()0,,nm, ,, ,cosx，2例1.6．lim x,1x，1 解：原式=1/2 3x，x，sin,x例1.7．lim 21x,x,2x，1 解：原式=, - 2 - 第一章 极限、连续与间断 2x,xlim例1.8． 21x,x，2x,3 x(x,1)x1解：原式=lim== limx,1x,1(x,1)(x，3)x，34 x,1例1.9． lim31x,x,1 32uuuu,,，，1(1)(1)36解：令limlim,ux,，原式=＝ 211uu,,uuu,,，1(1)(1)2 2axxb，2，例1.10. lim,2 2x,1x,3x，2 解：a+2+b=0, 2ax，2x,(a，2)(x,1)(ax，a，2)原式=lim,lim,,2a,2,2 (x,1)(x,2)(x,1)(x,2) a=2,b=-4 若，g(x)有界 limf(x),0limf(x)g(x),0,x,ax,a x2例1.11. limarccot(sin(1))，x 2x,，,，3x x2解：因为 limarccot(sin(1))x，＝０，而有界 2x,，,x3， 所以 原式＝０。 22例1.12．limln(1tan)cos()，x x,0x 22解：因为 ln(1tan)0，,x（），cos()有界， x,0x 所以 原式＝０． xx，2006例1.13． xlimsin(sin(2006))x,，,x，1 - 3 - 同方专转本高等数学核心教程 11，3，xxxx2006sin(sin(2006))x解 因为 ，有界； lim,lim,0x,,x,,1，1x1，x 所以 原式＝０。 1ulim(1)，,ue,u0 ,识别此类题型尤为重要，主要特征为未定式．步骤如下： 1 1vuvlimuvulim(1，u),lim{(1，u)},e x,232x，例1.14． ()limx,,x，1 ,3(32)，x，1x，1x,,,3,3,3,,,,(32)x，解：原式＝＝ (1)，1，limlim,,,,x,,x,,xx，1，1,,,,,, ,，3(32)xlim,9x,,x，1＝． ee, 2xx,，5121x，例1.15．() lim2x,,xx,，23 ,,32x(21)x，22xx,，23xx,，23,,,,32x,,32x,,,,解：原式＝ ，lim1,,,,2x,,,，xx23,,,,,, (32)(21),,，xxlim2,6x,,xx,，23 ＝ee, 12x例1.16．lim(1，xsinx) ,x0 12xxsin()1x,,,2,2xxsin解：原式=lim(1，xsinx),1 ,,x,0,,,, 替换公式：(x,0) - 4 - 第一章 极限、连续与间断 sinx~x tanx~x 12 1,cosx~x2 arcsinx~x arctanx~x 1n 1，x,1~xn ln(1，x)~x x e,1~x 替换原则：乘除可换，加减忌换。 sinx,x例1.17． lim3x,0x ,xx错解：=0 lim3x,0x ln(1,2x)sin(5x)例1.18．lim 2xx,02e,1 25xx,,解：原式=lim=-20 2x,0x 2 32,,12x1例1.19． lim20x,arctanx 12,(,2x)23解：原式=lim= ,2x,03x 2x,4例1.20． lim3x,8x，9,3 解：令，则 xu,,8xu,，8 11，u,116，2u,448原式＝＝ limlim3u,0u,0327，u,3u31，,127 - 5 - 同方专转本高等数学核心教程 11.u27428＝＝ limu,021u3.327 tanx,sinx例1.21． lim3x,0tanx 12,xx,tanx(1cosx)12解：原式= ,,limlim33x,0x,02xx 12ln(1,2x)例1.22. lim(cosx) x,0 112,xx,(cos1)2112ln(12),xlim,,20x,cos12xx,,4解：原式= ，,,,lim(1cos1)xee,,x,0,, xarcsin21，x例1.23. limx,,2x，1arctan23x，4 x22x(3x4)3，1x，解：原式= ,,limlim2x,,x,,，2x12(2x，1)(1，x) 23x，4 xxtansine,e例1.24. lim3x,0cos(x)sin(1，x,1) xx,xsintansine(e,1)解：原式= lim3x,0cos(x)sin(1，x,1) x,xtansintansinxx,e,1 == lim1,lim3x,0x,0131，x,1x2 - 6 - 第一章 极限、连续与间断 定义： lim()()fxfx,0xx,0 变形：fxfxfx(0)(0)(),,，,fx(0),,其中分别表示左、右极限。 0000 sinx,,0x,,例1.25．tan(sin2)xafx(),，若fx()在处连续，求。 x,0, ,ax,0,, sin1x1解：a,,,,,lim()lim(0)fxfa，故 xx,,002tan(sin2)2x ,1ln(12),x2axxsin,0，,,xxsin2,,例1.26．fxbx,,,0,fx()abc,,，若在处连续，求 x,0，，2,1,x,cx()0，,x,1，x, 1ln(12),x2解：fax(00)lim(sin),,， x,,0xxsin2 1ln(12),x2 ,，,,axlimsinlim1xx,,,,00xxsin2 21,xx fc(00)lim()，, 1，x0x, ,4 f(x),ce ,4由fff(00)(00)(0),,，,得：1,,bce 4故bcea,,,,1,,为任意实数 - 7 - 同方专转本高等数学核心教程 1,gxx()sin,0,,例1.27．，其中为有界函数，问在是否连续？ gx()fx()fx(),x,0x, ,0, 0x,, 1解：因为 lim()lim()sin0(0)fxgxf,,,xx,,00x 所以，在处连续。 fx()x,0 sin1x,例1.28．fx(),在可能连续吗？ x,1x,1 x,11,x解：ffx(10)lim()limlim1,,,,,,， xxx,,,,,10101xx,,11 x,1x,1ffx(10)lim()limlim1，,,,, xxx,，,，,10101xx,,11 不论取何值，均不能连续。 f(1)fx() 可能间断点应是其定义域中不能取值的端点或分段点。 （a）fxfx(0)(0)，,,x，为可去间断；000 （b）fxfx(0)(0)，,,x，为第一类间断，或称跳跃型间断； 000 （c）f(x，0)f(x,0)x、至少有一个不存在，为第二类间断； 000 特别地，若左右极限中至少有一为,，则为第二类无穷间断。 ,,x(x)例1.29．,f(x) tanx ,解：间断点为，k,，，, x,k,k,Z2 ,,对于x,k,，limf(x),0x,k,，， ,因为，所以为可去间断。 k,Z,22x,k,，2 x(x,,)对于lim,,,，当，即，，可去间断； x,k,k,0x,0x,0x,0tanx - 8 - 第一章 极限、连续与间断 x(x,,)对于，当，即x,,，,x,,可去间断； lim,,x,k,k,1x,0tanx ,x(x,) 当，，为第?类无穷间断。 k,0,1lim,,xk,,x,k,tanx 1sinxx,1例1.30．,fxe() x 解：间断点，0 x,1 1,,x,1 ， fee(10)sin(1)lim0,,,,x,,10 1，,x,1 。 fee(10)sin(1)lim，,,,,x,，10 在为?类无穷间断。 fx()x,1 ,1 ，x=0为可去间断点。 lim()fxe,x,0 2,xln(1,x)例1.31． f(x),(x,3)(x，1)(x，2)解： 定义域为 。 x,1 间断点为 x,,1,x,,2。 因为， limf(x),,limf(x),,x,,1x,,2 所以,1,,2均为f(x)的?类无穷间断。 1x2,2,x例1.32．fxe (),x2， 解： 定义域为，间断点为x,,2,2 ,2,x,2 对于，，为第?类无穷间断； limf(x),,x,,2x,,2x,,2,0 112,x 对于limf(x),lim2,xe,,， ，为第?类间断。 x,2x,2x,2,0x,2,02注：对x,,2,2仅考虑了其一个单侧极限。 x,1,,,x0,,sinx,例1.33． f(x),1,x,0,, ,1 x,2,e,x,0., - 9 - 同方专转本高等数学核心教程 ,x,k,,k,Z,x,2解：间断点是：，x=0是可能间断点。 1,2对于x=0，f(0+0)=,,f(0-0)=,x=0为第?类间断； e ,对于x,k,,k,Z,为第?类间断； limf(x),,,x,k, 对于x=2,f(2-0)=0,f(2+0)=,，为第?类间断。 注：分段函数左右支分别识别，分段点单独考虑。 ,,,,a,ba,b定理：f(x)在闭区间内连续，且f(a),f(b),0，则f(x)在至少有一零点，即存在，使得。 c,(a,b)f(c),0 应用此定理需要注意以下几点： (0) 如何定义。 fx() ,, a,b区间的选择，在证明题过程中，有明确的线索。 (1) ,,a,b(2) 验证f(x)在闭区间上的连续性， (3) 验证f(x)在两端的符号。 (4) 此定理不能确定f(x)是否具有唯一零点，但有唯一性的要求时，应验证f(x) 在,,a,b内的单调性（参见导数应用部分） x例1.34．证明：,,0,1在内有一实根 xe,2 x证：构造f(x),xe,2,,x,0,1， 易知,,0,1f(x)在上连续，且f(0),,2，f(1),e,2,0，故 f(0),f(1),0， 由连续函数介值定理知，，，0,1f(x),0在有实根，即命题得证。 42例1.35．证明至少有一正根 x,3x，x,2 42证明：令f(x),x,3x，x,2,,x,0,2， ,,0,2f(x)f(0),,2,f(2),4f(0)f(2),0在内连续，且， 由闭区间连续函数介值定理得，，，0,2f(x)在至少有一根，即命题得证。 - 10 - 第一章 极限、连续与间断 a,b,c定理：对充分大的n成立，，如果， lima,limc,Annnnnnn,,,,那么 limb,A。 n 12n例1.36． lim(，，？，)222n，1n，2n，n 1，2，？n12n1，2，？n解：因为， ,，，？，,22222n，nn，1n，2n，nn，1 12(1)1，，？nnn，limlim,, 2222()n，nn，n ，，？nnn，12(1)1,,， limlim22n，n，212(1) 所以，原式=1/2。 单元练习题1 x，a1．xa,lim(),4，则 。 x,,x,a 2,xx,02．如果a,，在处连续，则 。 ()fx,x,0,x,0a, n3．m,f(x),1,cos3x(x,0)与等价无穷小， ，。 mxn,________ n4．m,1，x，x,1(x,0)与是等价无穷小， ，。 mxn,________ 3,x5．的间断点为 。 (x,1)(x,4)(x,2) 2xaxb，，6．lim,2b,________，则，。 a,_______2x,1x,3x，2 7．在下列极限中，正确的是（ ） 2xx,1A．lim,,limsin0x, B． 21x,x,,32xx,，x 2xx,ln(12)，xC．lim,,lim,, D． 21x,x,132xx,，x,1 - 11 - 同方专转本高等数学核心教程 8．若那么（ ） lim|f(x)|,|A|x,a A． B． limf(x),Alim()fxA,,xa,x,a C． D．以上都不正确 lim|f(x)|,|A|x,a ９．在下列极限中，不正确的是（ ） 1xx2,x,,A．limsin210，,lim0,x B． ，，,,0xx,，,,，100x3,x,, 1sin22x,1x,1C． D． lim,,limxe,x,0x,1tan33x10．计算下列极限 2（1） lim4212xxx,，,，，x,，, 2003x2（2）limcos2004x ，，2004x,，,，100!x 2x2,,xx,，21（3）lim 2,,x,,xx,，2,, 12,x1cos（4） lim12，x，，x,0 11,,（5）lim， ,,21x,1,32,，x,,xx 2ln12,x，，（6）lim 0x,tansin2xx 22x,（7）lim 3x,242x, sinx（8）lim x,,,,x 2sin(x,1),（9） lim,,x,,x22 - 12 - 第一章 极限、连续与间断 24ln12，，xx，，（10） lim2x,0sinx ln2ln2，,x，，（11）lim 3xx0,21, 23121，，x，，（12）lim 20xx,31, x11．分析函数的间断点，并指明其类型。 fx,，，sinx 2n1,x12．分析fx,lim的间断点，并指明其类型。 ，，2nn,,1，x 2,x13．分析的间断点，并指明其类型。 fxx,tan，，xxx,,13，，，， sin1x,，，14．分析函数fx,的间断点，并指明其类型。 ，，x,1 4215．证明方程至少有一正根，有一负根。 xxx,,,31 16．证明：方程至少有一正根。 ln13x，,，， 11117．lim()。 ，，？，22212n，n，n，n 222n1218．lim()，，？， 333n，1n，2n，n 历年真考题 1、（2001）1、下列极限正确的是（ C ） 111A. xxlim(1)，,elim(1)，,e B. x,,,0xxx 11C. limsin1x, D. limsin1x, x,,x,0xx - 13 - 同方专转本高等数学核心教程 (1)sinxx,fx(),2、（2001）求函数的间断点，并指出其类型。 2xx(1), 3、（2002）下列极限中，正确的是（ A ） 1cotxA. B. limsin1x,lim(1tan)，,xex,0,x0x 1secxnC. D. lim(1cos)，,xelim(1)，,ne,,,x0n 4、(2003)在下列极限中，正确的是（ D ） sin2xarctanxA. B. lim2,lim1,x,,x,，,xx 2x,4xC. lim,, D. lim1x,2x,,，0xx,2 12,x1cos5、（2003） lim(1)，xx,0 sin(1)x,6、（2003）已知fx(),，求其间断点并判断类型。 x,1 x7、（2003）证明：在(0,1)内有且仅有一个实根。 xe,2 28、（2004） 当时，是关于x的 （B） x,sinxx,0 A.高阶无穷小 B.同阶但不是等价无穷小 C.低阶无穷小 D.等价无穷小 x2，x,,9、（2004）设则_____ (),limf(x),fx,,,x,,3，x,, x10、（2004）求函数的间断点并判断类型。 f(x),sinx 111、（2005）x=0是函数f(x),xsin的 （ ） x A.可去间断点 B.跳跃间断点 C.第二类间断点 D.连续点 本章测试题 - 14 - 第一章 极限、连续与间断 24x,x11．的定义域是 。 y,lg，3lg(2x,3) 2,|x|,2,,4,x,2． 的定义域是 ， 。 f(),f(x),,2,x,32,sinx，, sinxsinx3． ， ， lim,lim,,x,0xxx,2 sinx1 ， ， lim,limsinx,x,,x,0xx 1 。 limsinx,x,,x x,14. 的连续区间是 ，间断点是 。 f(x),2x,2x,3 125. 。 lim(),,2x,1xx,,11 6．若f(x,a),x(x,a)，则fx(),（ ） A．x(x,a) B．x(x，a) 2C．(x,a)(x，a)(x,a) D． 7．设f(x),lnx，g(x),x，2，则f[g(x)]的定义域是（ ） A．(-2,+,,,, ) B．[-2, +] C．(-,2) D．(-,2) ，，x18．设，则当且时（ ） f(x),f,x,0x,1,,x,1fx()，， x,1xA．x B． C． D． 1,xxx,1 249．当时 与为同阶无穷小量是（ ） 3x，xx,0 234A．x B． C． D． xxx10．当 时，下列变量中不是无穷小量的是（ ） x,1 2A．x(x,2)，1x,1 B． 22C．3x,2x,1 D．4x,2x，1 2kn,311．设lim(1)，,e，则（ ） k,n,,n A．3/2 B．3/2 C．-3/2 D．-2/3 - 15 - 同方专转本高等数学核心教程 xa,xa,12．函数在点处连续是在点有极限的（ ） yfx,()fx() A．充要条件 B．充分条件 C．必要条件 D．无关条件 x,313．函数的间断点是（ ） fx(),2xx,，32 A． B． xx,,1,2x,3 C． D．无间断点 x,1,2,3 14．当11，,,xx时， 的等价无穷小量是（ ） x,0 22 A．x B． C． D． x2x2x 239nn,15．（ ）， lim,84n,, 3811nn,， 1A．3 B．1 C．, D． 9 1,,1,2,xx,,,ln(1)x,,,16．函数fxx()0,1,,,的连续区间是（ ） ,1,2x,, ,, A．，，，，，，，，，，,,1,,1,,1,2:2,,1,2:2,, B． C． D． x，317. 分析的间断点并分类。 y,(4)(1)xx，, 2x，118. lim()0,,,axbab,，求。 x,,x，1 19. lim(()())xpxqx，，, x,，, 13,,x20. lim3x,-82，x 213x，,21. lim x,4x,,22 ln(13)，x22. lim x,0tan2x - 16 - 第一章 极限、连续与间断 2xx23. lim()xe，,x0 2,axxx，，,,0,24.设a，求使在处连续。 fx()fx(),x,0,sin3x，x,0,x, 3,0xax，,, , ,,25. 设2，若 在 内连续，求的值。 fxxx()1,01,，,,fx()(,),,，,ab,, ,b,,1x,x,, 26. 求下列函数的间断点并判别类型。 1x21,（1）()fx, 1x21， 2n1,x（2）fxx()lim, 2n,,n1，x xx(2)，,,,0x,,2cosx,（3） fx,，，,1,sin0x,2,x,1,, 27． 设fx()[,]abfaa(),fbb(),[,]ab,在上连续且,。试证：在内至少存在一个使 f(),,,。 28. 设fx()在[0,1]上连续，且0()1,,fx。证明：在[0,1]上至少存在一个,使 f(),,,。 529． 证明(1,2)x,3x,2,0在内至少有一个实根。 30． 设，，,,,，,fx(),f(),,,在上连续，且，证明：存在一个使得 ffxx(),,, 本章练习解答 192a1、a,,ln4ln2m,e,4，； 2、； 3、， a,0n,222 - 17 - 同方专转本高等数学核心教程 114、，； 5、 x,1,2m,n,24 6、，； 7、 8、 9、B a,,4b,3CC 22,，21x14214xxx,，,10、（1）解：原式=lim== ,lim22x,，,x,，,24212xxx,，，4212xxx,，， （2）解：原式= 0 ,，x1，，2x22xx,，2xx,，2,,,，x1，，,,x1,,,,,2 （3）解：原式== lim1，e,,,,2x,,xx,，2,,,,,, 222x2xlim021x,1x,1cosx,,2242 （4）解：原式=2xe== lim12，xe，，,,,x0,, x,，21x,11（5）解：原式,lim,limlim, ,,1x,1x,1x,1xx,,12xx,,122,x，，，，，，，，，， 2,2x，，（6）解：原式 ,lim,2x,0xx,2 （7）解：令，得 ux,,2xu,，2 11111，,u,u242u，,3222原式lim,, ,lim,lim3u,0u,0u,01112482u，,311，,u,u232（8）令ux,,,xu,,,，，得 sin,,u，，sinu原式,lim ,lim,1u,0u,0uu ,,（9）令ux,,，得xu,, 22 22,,,,sin11,,uusin,,,,,2,,,,,,原式lim,,lim,, u,0u,0uu, 24xx，2（10）原式,lim ,120x,x xxln(1)，122（11）原式,lim,lim ,3ln2xx,0x,0xe,16ln23ln2 - 18 - 第一章 极限、连续与间断 122,x322121，,x3（12）解：原式 lim,,,lim22xln3x,0x,0ln3x3ln3e,1 11、解：间断点为，。 xk,,k,Z x 当，即时，，为可去间断； ,limlim()fx,1k,0x,0x,0x,0x,0x 当,,，，为II类无穷间断 limfxk,0xk,,，，xk,, ,,,11x, ,01x,,,,12、解：，间断点为 ,1,1111,,,x, ,01x,, ,,11x,, ，， ，I类跳跃间断； f,,,,101f,，,101x,,1，，，， ， ， ，I类跳跃间断。 f101,,f101，,,x,1，，，， 13、解：的定义域， fxx,2，， ,间断点为。 xkk,，,0,1,,,2 22,xx， 为可去间断； limlimfx,,x,0，，xx,,00xxx,,133，，，， ， 为II类无穷间断； limfx,,x,1，，x,1 ,limfx,,,，,， xk为II类无穷间断。 ，，,2xk,，,2 14、解：为间断点。 x,1 sin1x,sin1x,，，，， f10lim1,,,,f10lim1，,,， ， ，，，，x,,10x,，101,xx,1 ？为I类跳跃间断。 x,1 4215、 证明:构造 fxxxx()31,,,,， 对于 x,[0,2]fx()[0,2]，在上连续, 且f(0),,1,f(2),16,12,2,1,1,0， - 19 - 同方专转本高等数学核心教程 据连续函数介质定理知,在方程至少有一正根； (0,2) 同理，对于, x,[,2,0] ，故 ff(2)16122150,(0)10,,,，,,,,,, 在方程 至少有一负根,命题得证。 (,2,0) 416、证明:构造fxxxxe()ln(1)3,[0.1],，,,,， 4[0,e,1]在连续,且， f(x)f(0),,3 4444f(e,1),,,,,,,(1)ln()34(1)30eee， 4据闭区间连续介值定理得知,在(0,e-1)内至少有一正根，即命题得证。 f(x)17、1． 18、1/3。 测试 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 32,,1．2,22,3, 2. , 3. , ，，， 11,2,3004,,/4，,，,,,2,,, 14. ， 5． 1,33,,，,x,3，，，,2 6、Ｂ 7、Ａ 8、Ｃ 9、Ｂ 10、Ｄ 11、Ｃ 12、Ｂ 13、Ａ 14、Ａ 15、Ａ 16、Ｄ 17．定义域 x,间断点为且为第二类无穷断点。 ,3x,1 22xabxaxabxb，,，，,,，，,1()(1)(1)()118．limlim0,, xx,,,,xx，，11 则aab,，,1,0ab,,,1,1，即。 ()pqxpqpq，，，19．原式=lim, x,,2()()xpxqx，，， 1u,,u,11,,,,ux,，81(8)3u,,,33299,,20．原式limlimlim2,,,,,,, 3uuu,,,0001u2228uu，,()3,11,,388 - 20 - 第一章 极限、连续与间断 12,2222x,2x21，21.原式= limlim,,xx,,4411321x，,2x,2 33x22． lim,x,022x 2xxxex，,,1，，ex，,2121e，，，，，1x,,limlim,,xx4x,0x,0exx,，1123． lim(11)，，,,,,exeee,,x,0,,,, sin3x224．，，f0,a，，，，， 0,lim，，，，,,0,lim,3faxxaf,，x,0x,0x 由，，，，，，f0,f0,f0得， a,3,， 25． fafafffb0,0,01,12,1,,,,,，，，，，，，，，，,，,， 由连续性可知 ，，，，，，，，，，f0,f0,f0,1,af1,f1,b,2， ,，,， ab,,1,2 26．（1）间断点为，， ffx(0)lim()1,,f(0),limf(x),,1x,0,，,x,，0x,0 为第?类跳跃型间断。 x,0 ,x,,x,,1,0,x,,1,, （2） f(x),x,,,1,x,1 ,0,x,1, ,x,1,x, 间断点为xffff,,，,,,,,，,,,,,1,(10)1,(10)1,(10)1,(10)1 均为第一类跳跃型间断点。 x,,1 ,（3）间断点为kk,，,,；；。 x,,1x,02 1limf(x),limsin,不存在，为第二类间断； x,,12x,,1x,,1x,1 ,xx(2)2，,,,,对于x,,,limlim,,,x,,即时，， k,,1,,xx,,,,22cos4sin2xx,222 为可去间断； - 21 - 同方专转本高等数学核心教程 ,当时，,第二类间断点； limf(x),,k,,1,k,Z,x,k,，,2x,k,，2 ,1x(2x，)，， f(0，0),limsin,sin(,1),,sin1f(0,0),lim,02x,0x,02cosxx,1 为第一类跳跃型间断。 x,0 27．令 F(x),x,f(x) 则在上连续,且 F(x)[a,b]F(a),a,f(a),0 F(b),b,f(b),0,由闭区间上连续函数的介值定理知,在(a,b)至少存在一点, 使,即 F(,),0f(,),,. 28．令 F(x),x,f(x) 则在上连续,且 F(x)[0,1]F(0),,f(0),0F(1),1,f(1),0F(0),0或F(1),0成立,那么就相应地有,,0或1 否则可假设,则由闭区间上的连续函数介质定理可知, F(0)0,F(1),0 在(0,1)上存在一点,,使F(,),0,即f(,),,. 综上所述,得到题设结论 529． 证明：F(x),x,3x,2 5 则FF(1)13240,(2)23220,,,,,,,,，,,F(x)在[1,2]上连续，且 故由连续函数介值定理得到存在,,(1,2)F(,),0使得即完成命题。 30．证明：F(x),x,f(x) 任取一点aa，若F(a),0，即为所求，否则不妨假设F(a),0,即a,f(a), 现在考虑区间,,f(a),a在此区间内由已知条件知F(x)连续， 且Ffafaffafaa(())()(())()0,,,,,，Faafa()()0,,, 故由连续函数的介值定理知在(f(a),a)存在一点使得F(,),0即,,f(,)，命题 得证. - 22 -