矩阵论试题考试

矩阵论试题考试 04级秋季矩阵论考题 30003 2 2 2 1 一、填空题(每小题5分，共30分) 0110101，， ,,0021032,,1、若矩阵A=的满秩分解为A=BC，则 ,,0221101 ,,0352234，， ，，，，,,,,。 ,,BC,,,,,,,,,,,，，，， ,101，， ,,,,(),2、矩阵A=的最小多项式为 。 010,, ,,,403，， 10102，，3、设，则N(A)的一个 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 正交基为 A,,,21202，， 。 1121，，，，，，，，22RR,,4、设为的两个基，T为的线性变 eeee,,,,,;,1212,,,,,,,,2013，，，，，，，， 13，，，，，，,,换，且， 则T在基下的矩阵为A=。 ee,TeTe(),(),,1212,,,,,,21，，，，，， 1013，，，，，，，， ,,,,,,,,2305,,,,,,,,5、设,,,,W=span[]，则 ,,,,,,,,,,,,,,,12341234,,,,,,,,1215 ,,,,,,,,2216，，，，，，，，dim W= 。 10i，， ,,A,6、矩阵 A=的1—范数为 。 3011,, ,,112i，， ，， ,,100 ,,22,,二、求单纯矩阵A=的谱分解。(10分) 0,,33 ,,27,,0,,,33，， TxAxde Tnn，nAAR,,xR,三、设为向量形变量，为常矩阵,求。(10分) dx ,,4100，， ,,四、设A=，求sinA。(10分) 130,, ,,361，， AA,xxBx,,五、设分别为对应两向量范数的算子范数， v,vv, ,1其中B可逆，证明:。(10分) ABAB,,v Hnn，AAC,,六、设，证明:A正定的充分必要条件是存在可逆矩阵 nn，H，使得。(10分) QC,AQQ, nnn，xC,七、设，且AB=BA，线性变换T(x)=Bx，，证明: ABC,, A的特征子空间是T的不变子空间。(10分) 3nn，AA,AC,八、设，且，证明:A可表示为如下的形式 I，，r,,,1 ，其中P为可逆矩阵。(5分) ,,APIPs,, ,,O，， mn，AR,九、证明:对任意非零矩阵，可表示为A=BC的形式，其中B的 各列构成的向量成为实标准正交向量组，C的各行构成的向量成为实 正交向量组。(5分) 3nn，AA,AC,设，且，证明:A的特征值只能是0，1，-1且相应的若当块都是 1阶的。 04级矩阵论考题(参考答案) 一、空题(每小题5分，共30分) 0110101，， ,,0021032,,1、若矩阵A=的满秩分解为A=BC，则 ,,0221101 ,,0352234，， ，，，，,,,,,,B= ，C= 。 ,,,,,,,,，，，， 解:由初等行变换 131，，0110101，，0100,,0110101，，,,222,,13,,,,0021032,,00101A=??， 133,,,,220010,,,,0221101,,222,,0001101,,,,,,,,0001101,,0352234，，,,0000000,,，，,,0000000，，知: ，，1310100,,,,110，，222,,,,,,021133,,B=，C=。 0010,,,,221222,,,,101,,,3520001,，，,,,,，， ,101，， ,,,,(),2、矩阵A=的最小多项式为 。 010,, ,,,403，， ，，，,,,,,101101100，，，，,,,,,,解:由于,,,,,,,IA010010010 ,,,,,,,,,,,,,,2,,,,40300314,,，，，，，，,,,，，001,，，，，,,,，， 22,,(), 知A的初等因子为(λ—1)，(λ—1)，故A的最小多项式为(λ—1)。 10102，，3、设，则N(A)的一个标准正交基为 A,,,21202，， 。 x，，1,,x2,,xxx，，2101020，，，，，，135,,解:由于Axx,,,等价于 3,,,,,,222xxxx，，，212020,,，，，，，，1235x4,, ,,x5，， xxx，，20，，，，135 ，而其解空间的一个基为 ,,,,,xx,2025，，，， TTTα=(-1，0，1，0，0)，α=(0，0，0，1，0)，α=(-2，2，0，0，1) 123 对其作标准正交化即得其一个标准正交基为 TTT(-1/，0，1/，0，0)，(0，0，0，1，0)，(-1/，2/，-1/，0，1/) 777722 1121，，，，，，，，22RR,,4、设为的两个基，T为的线性变换，且eeee,,,,,;,1212,,,,,,,,2013，，，，，，，， 13，，，，，，,,， 则T在基下的矩阵为A=。 ee,TeTe(),(),,1212,,,,,,21，，，，，， -1-1解::由于T(e,e)=(e,e)(e,e) T((e’, e’)(e’, e’)(e,e))， 1 21212121212-1-1e,e) T((e’, e’)(e’, e’)(e,e)) 知所求矩阵为 A=(12121112-1-1= (e,e) T(e’, e’)(e’, e’)(e,e) 12121112 31111，，，，，，,,11,0,,,,,,111321111311，，，，，，，，，，，，55222 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,20211320121122031，，，，，，，，，，，，,,,,,,,,,1,,,,,,，，，，25522，，1013，，，，，，，， ,,,,,,,,2305,,,,,,,,5、设W=span[]，则dim W= 。 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,12341234,,,,,,,,1215 ,,,,,,,,2216，，，，，，，， 10131000，，，， ,,,,23052320,,,,,解:由于,,,,，知dim W=3。,,，， 1234,,,,12151200 ,,,,22162210,，，，， 10i，， ,,A,6、矩阵 A=301的1—范数为 。 1,, ,,112i，， A,解:max{?1?+?3?+?1?，?i?+?0?+?1?，?0?+?1?+?2i? }=5 1 ，， ,,100 ,,22,,二、求单纯矩阵A=的谱分解。(10分) 0,,33 ,,27,,0,,,33，， ,,100100，，222,,,1解:由于，故 IA,,,,,,,012APP,010，，，，,,,,,,33,,002，，270,,33 其中P=(PPP)可逆，为相似变换矩阵。由A P= P，AP= P，AP= P解得线性无关123112233TTT的特征向量P=(1，0，0)，P=(0，2，1)，P=(0，1，2)。故可取 123 ，， ,,100100，，,,21,,-1,,P=，其逆为P=，故记 0,021,,,,33,,012,,，，12,,0,,,33，， ，，，， ,,,,100000100，，，，100，，,,,,421212，，,,,,,,,,,,E=，E= 020,,100,,,1221,,,,,,,,,,,,3333330,，，,,,,,,01233，，,,,,，，，，2124,,,,0,0,,,,,3333，，，，则的谱分解为A= E+ E2。 12 TxAxde Tnn，nAAR,,xR,三、设为向量形变量，为常矩阵,求。(10分) dx解: TxAxTTTTdedxAxdxdAx()xAxxAxT,,,，,eeAxIx[(1)()]ndxdxdxdx TTdxdxxAxTxAxT ,，,,,，,eIAxIxIAeAxIIxA[()()][()()]nnnnndxdxTTTxAxTTxAxTxAx,，,，,eAxxAeAAxeAx[()]()2 ,,4100，， ,,四、设A=，求sinA。(10分) 130,, ,,361，， ,，4100，，2,, 解:由于，故有单根—2和重根1。 IA,,,,,,，13012，，，，,,,,,, ,,,,,361,，， 2，则有 设与sinλ在A的谱上一致的多项式为P(λ)=a+bλ+cλ 1,a,,,(8sin16cos1sin2),29,sin111,，，abc,1,, 解得 cos121,，bcb,，，(2sin12sin23cos1),,92,,sin(2)(2)(2),,，,，,abc,1,c,,，(sin2sin13cos1),9, 210041004100,,,,，，，，，， ,,,,,,2 从而sinA=aI+bA+cA== abc010130130，，,,,,,, ,,,,,,001361361，，，，，， 10041006100,,，，，，，， ,,,,,, == abc010130110，，,,,,,,,, ,,,,,,001361361,,，，，，，， ,，10sin1sin2，，，，5sin22sin1，0,,33,, sin1sin25sin12sin2，，,, =0,,33,,sin1sin22sin1sin2sin1，，，，,, ,,，， AA,xxBx,,五、设分别为对应两向量范数的算子范数，其中B可v,vv, ,1逆，证明:。(10分) ABAB,,v ,1Bxy,BAByAxBAx,,1,,证明: ,,,,maxmaxmaxABAB,vxxy,,,,,,xBxy,,, Hnn，nn，AAC,,六、设，证明:A正定的充分必要条件是存在可逆矩阵，QC, H使得。(10分) AQQ, Hnn，H AAC,,证明:由于且A正定，故有酉矩阵P使A=Pdiag(λ,λ,...,λ)P12n H,,,,,...,,,,,,...,其中λ,λ,...,λ为正数，故A=Pdiag()diag()P 12n12n12n HH,,,,,..., 记Q= diag()P，则Q可逆且A=Q Q。 12n HHHHH 反之，若有可逆矩阵Q使A=Q Q，则对任意非零向量x，xAx=x Q Qx =(Qx)Qx >0, HH 即A正定，最后的不等号是因为x非零Q可逆，故Qx非零，从而xAx=(Qx)Qx >0。 nnn，xC,七、设，且AB=BA，线性变换T(x)=Bx，，证明:A的特征子ABC,, 空间是T的不变子空间。(10分) 证明:设x为任一属于A的相应于特征值λ特征的特征子空间的向量，即Ax=λx， 则AT(x)=ABx=BAx=Bλx=λBx=λT(x)，故T(x)也属于A的相应于λ的特征 空间，由x的任意性知A的特征子空间是T的不变子空间。 3nn，AA,AC,八、设，且，证明:A可表示为如下的形式 I，，r,,,1 ，其中P为可逆矩阵。(5分) APIP,,s,, ,,O，， J00，，1,,00J21,,,PP证明:设A的若当标准形为A=，其中J为若当块， k,, ,,00J,,，，, 3J00，，J00，，11,,,,300J00J2311,,23,,,,APPPP,,则，故 JJ,kk,,,, ,,,,300J00J,,,,，，,，，, 从而必为一阶块，且相应特征值与其立方值相等，即特征值只能为0，1和-1， Jk 所以得证。 mn，AR,九、证明:对任意非零矩阵，可表示为A=BC的形式，其中B的 各列构成的向量成为实标准正交向量组，C的各行构成的向量成为实 正交向量组。(5分) mn，Hnn，AR,AAR,证明:由于，所以，且正定对称。从而可以找到正交矩 阵U，V使A的奇异值分解为A=Udiag(λ,λ,…,λ,0,…,0)V，其中λ,λ,...,λ12r12r HAA为的非零特征值(为正数)。设U为U的前r列所成的矩阵，V为V的 11前r行所成的矩阵，则A= U diag(λ,λ,…,λ)V，而C= diag(λ,λ,…,λ)V112r112r1 和B=U就是满足条件的矩阵。 1 04级 矩阵论(30003)考题(参考答案) 一、 ，，1310100,,,,110，，222,,,,,,0211332 ,,,,(),1 、B=，C=。2、(λ—1)。0010,,,,221222,,,,101,,,3520001,，，,,,,，， TTT3、(-1/，0，1/，0，0)，(0，0，0，1，0)，(-1/，2/，-1/，0，1/) 777722 11，， ,,22A,A,4、。 5、dim W=3。 6、5。 ,,131,,,,,，，22 二、解: ,,100100，，222,,,1由于，(1分)故 IA,,,,,,,012APP,010，，，，,,,,,,33,,002，，270,,33 其中P=(PPP)可逆，为相似变换矩阵。由A P= P，AP= P，AP= P解得线性无关123112233TTT的特征向量P=(1，0，0)，P=(0，2，1)，P=(0，1，2)。(3分)故可取 123 ，， ,,100100，，,,21,,-1,,P=，其逆为P=，(6分)故记 0,021,,,,33,,012,,，，12,,0,,,33，， ，，，， ,,,,100000100，，，，100，，,,,,421212，，,,,,,,,,,,E=，E=(9分) 020,,100,,,1221,,,,,,,,,,,,3333330,，，,,,,,,01233，，,,,,，，，，2124,,,,0,0,,,,,3333，，，， 则的谱分解为A= E+ E2。(10分) 12 TxAxTTTTdedxAxdxdAx()xAxxAxT,,,，,,eeAxIx[(1)()]三、解: (5分) ndxdxdxdx TTdxdxxAxTxAxT[()()][()()],，,,,，,eIAxIxIAeAxIIxAnnnnndxdx (10分) TTxAxTTxAxT[()](),，,,，eAxxAeAAx 四、 ,，4100，，2,, 解:由于，故有单根—2和重根1 (1分)。 IA,,,,,,，13012，，，，,,,,,, ,,,,,361,，， 2 设与sinλ在A的谱上一致的多项式为P(λ)=a+bλ+cλ，则有 1,a,,,(8sin16cos1sin2),29,sin111,，，abc,1,,b,，，(2sin12sin23cos1) (6分) 解得cos121,，bc,,92,,sin(2)(2)(2),,，,，,abc,1, c,,，(sin2sin13cos1),9, 210041004100,,,,，，，，，， ,,,,,,2从而sinA=aI+bA+cA==(8分) abc010130130，，,,,,,, ,,,,,,001361361，，，，，， 10041006100,,，，，，，， ,,,,,, == abc010130110，，,,,,,,,, ,,,,,,001361361,,，，，，，， ,，10sin1sin2，，，，5sin22sin1，0,,33,, = (10分) sin1sin25sin12sin2，，,,0,,33,,sin1sin22sin1sin2sin1，，，，,,,,，， ,，，，4100100，， ,,,, 解法二:由IA,,,,,,130010 ,,,,,,, ,,,,,,,,，3610012，，，，,,,，，，， ,,,，12 故A的最小多项式为 (2分)。设与sinλ在A的谱上一致的多项 ，，，， 式为P(λ)=a+bλ，则有 1,a,,,(8sin16cos1sin2),9,sin11,，ab,1, 解得(6分) ,b,，，(2sin12sin23cos1),sin(2)(2),,，,ab,9,1,c,,，(sin2sin13cos1),9, 1004100,,，，，， ,,,,从而sinA=aI+bA ==(8分) ab010130，,,,, ,,,,001361，，，， ,，10sin1sin2，，，，5sin22sin1，0,,33,, sin1sin25sin12sin2，，,,。(10分) =0,,33,,sin1sin22sin1sin2sin1，，，，,, ,,，， 五、 ,1Bxy,BAByAxBAx,,1,,解: ,,,,maxmaxmaxABAB,vxxy,,,,,,xBxy,,,。六、 Hnn，H AAC,,且A正定，故有酉矩阵P使A=Pdiag(λ,λ,...,λ)P，(2分)证明:由于12n H,,,,,...,,,,,,...,其中为λ,λ,...,λ正数，故A=Pdiag()diag()P 12n12n12n HH,,,,,...,记Q= diag()P，则Q可逆且A=Q Q。(7分) 12n HHHHH 反之，若有可逆矩阵Q使A=Q Q，则对任意非零向量x，xAx=x Q Qx =(Qx)Qx >0 H最后的不等号是因为x非零Q可逆，故Qx非零，从而(Qx)Qx >0。(10分) 七、 证明:设x为任一属于A的相应于特征值λ的特征子空间的向量，即Ax=λx(2分)故 AT(x)=ABx=BAx=Bλx=λBx=λT(x)，(5分)故T(x)也属于A的相应于λ的特征子 空间，(8分)由的任意性知A的特征子空间是T的不变子空间。(10分) 八、 J00，，1,,00J21,,,PP证明:设A的若当标准形为A=，其中J为若当块， k,, ,,00J,,,，， 3J00，，J00，，11,,,,300J00J2311,,23,,,,APPPP,,则，故(3分) JJ,kk,,,, ,,,,300J00J,,,,,，，,，， 从而必为一阶块，且相应特征值与其立方值相等，即特征值只能为0，1和-1， Jk 所以得证。(5分) 九、 mn，Hnn，AR,AAR,证明:由于，所以，且正定对称。从而可以找到正交矩 阵U，V使A的奇异值分解为A=Udiag(λ,λ,…,λ,0,…,0)V，其中λ,λ,...,λ12r12r HAA为的非零特征值(为正数)。(3分)设U为U的前r列所成的矩阵，V为V的 11前r行所成的矩阵，则A= U diag(λ,λ,…,λ)V，而C= diag(λ,λ,…,λ)V112r112r1 和B=U就是满足条件的矩阵。(5分) 1