第四章 静态电磁场边值问题的解法
1 前面我们求解电场或磁场问题大都采用直接积分或用高斯定律、安培定律。这些方法不是一般的方法，使用时受限制较多，如必须先知道源的分布、或要有对称性等等。一般的方法是求解电位或磁位的泊松方程、拉普拉斯方程（微分方程）。到硕士生学习阶段，还要学习积分方程，这也是一般方法。
2 为什么要计算电磁场，它的作用。1）软件的价格，2）测井3）成像4）集成
电路
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设计
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3 用微分方程求解一个电磁场问题，必须知道方程本身以及边界条件，两者构成一个定解问题（边值问题）。一个电磁场边值问题的解是唯一的（即§4.2静态电磁场的唯一性定理，后面不再讲）
4 根据边界条件形式的不同，边值问题可以分为三类：
1） 第一类边值问题（狄里赫利问题）给定未知函数在边界上的函数值。
2） 第二类边值问题（诺伊曼问题）给定未知函数在边界上的法向导数值。
3） 第三类边值问题（混合问题）在部分边界上给定未知函数在这部分边界上的函数值，在其它边界上给定未知函数在这部分边界上的法向导数值；或者给定边界上未知函数与其法向导数值的线性组合。
5 如果求解区域里有多种媒质，边界条件还必须包括前面学过的电场和磁场的不同媒质边界上的边界条件。
6 如果求解区域伸展到无穷远，必须包括无穷远条件。对电位或磁位，有
有限值
§4.1 静态电磁场的方程与边界条件（参考教科书90页的列
表
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）
§4.2静态电磁场的唯一性定理（略）
§4.3 镜像法
1 镜像法的实质：用镜像电荷（或源）代替边界，使边界上的未知函数（电位/电场/磁位/磁场）值，或其法向导数值保持不变，即边界条件不变。也可以理解为电力线或磁力线在求解的区域保持不变。
2 所以镜像源一定在求解区域的外边。源附近场强无限大，不可能是真实解，故镜像源一定不能在求解区域里。
3 无限大导电平面：1）点电荷。2）线电荷。3）线天线：水平，抵消成偶极子。垂直：加强一倍。
4 无限大介质平面：两个区域对应着两个镜像，每个区域的镜像电荷在区域外(参考教科书101页图4.3.13)：
线电荷情况类似。
5 其它情况下的镜像法：1）两圆柱或一圆柱一平面。2）球。3）多层介质。
6 镜像法的其它应用：1）地网与小尺寸手机天线。2）复镜像方大纲教授、杨建军硕博。
§4.4 分离变量法
1 前面讲了一个自变量情况下如何求解泊松方程或拉普拉斯方程，数学上就是常微分方程求解问题。如果有两个或两个以上的自变量，该如何求解泊松方程或拉普拉斯方程。这在数学上就是偏微分方程的求解问题。一种方法是把两个或几个自变量分开后分别单独求解，然后再组合出总的解。这就是分离变量法。数学上就是把偏微分方程转换为常微分方程求解。
2 学习方法是由具体例子归纳一般步骤和规律。
3 两个自变量、直角坐标系例子（教科书105页例4.4.1）
4 几点解释：1）各个坐标（自变量）函数之间关系由
决定，必须满足
2）傅立叶级数的意义：级数的每一项都是一个可能存在的解（某个其它问题的解）。但在这个具体情况下，这些解的叠加才是这个问题的解。
5 一般步骤：1）分离变量，得到形式上的一般解，
2）根据边界条件的类型，选择特定形式的一般解，即决定每个自变量（坐标）对应的
的正负、每个自变量对应的解是三角函数、双曲函数、指数函数（衰减函数）：
坐标对应的边界条件周期性或两边相等，选择三角函数；坐标对应的边界条件是非周期性或两边不相等，选择双曲函数；若坐标对应的是无限区域，选择指数函数。
4） 根据边界条件确定积分常数。有时可能需要傅立叶级数。
6 其它坐标系情况：坐标系不同只是一般解的形式不同（如圆柱坐标系径向坐标对应的一般解是贝塞尔（Bessel）函数），其它都一样。
7 分离变量法适用条件：1）边界面与坐标面平行，2）对应的坐标系可分离变量，目前只有11种坐标系可分离变量。椭圆柱、双曲柱等等。
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