变量分离方程与变量变换习题及解答

变量分离方程与变量变换习 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 及解答 ?2.1 变量分离方程与变量变换习题及解答 dy1.,并求满足初始条件:x=0,y=1的特解. ,2xydx 解:对原式进行变量分离得 21x2,2,两边同时积分得:ln,，,即,把,0,,1代入得dyxdxycycxyxey 2 x,1,故它的特解为,。cye 22.dx，(x，1)dy,0,并求满足初始条件:x=0,y=1的特解. y 解:对原式进行变量分离得: 1111,,,,0ln，1,，,,dxdy当y时，两边同时积分得;xc即y2，1，ln，1xycxy ,0,0,,1,1,当y时显然也是原方程的解。当xy时，代入式子得c故特解是 1y,。1，ln1，x 21，ydy3 ,3dxxyy，x 解:原式可化为: 221，1，yydy1y1,,显然,0,故分离变量得dy,dx323dxyyxx，1，xyx， 2211222 两边积分得ln1，,lnx,ln1，，lnc(c,0),即(1，)(1，),cyyxxx22 222故原方程的解为(1，)(1，),cyxx 4:(1，x)ydx，(1,y)xdy,0 1，x1,y解:由y,0或x,0是方程的解，当xy,0时，变量分离dx,dy,0xy两边积分lnx，x，lny,y,c,即lnxy，x,y,c, 故原方程的解为lnxy,x,y,c;y,0;x,0. 5:(y，x)dy，(y,x)dx,0 dyy,xydydu解:,,令,u,y,ux,,u，xdxy，xxdxdx duu，1u，11则u，x,,变量分离，得:,du,dx2dxu，1x，1u 12两边积分得:arctgu，ln(1，),,lnx，c。u2 2dy26:x,y，,yxdx ydydu解:令,u,y,ux,,u，x,则原方程化为:xdxdx 22(1,)du11xu,,分离变量得:du,sgnx,dx2dxxx1,u ,两边积分得:arcsinu,sgnx,lnx，c ,y代回原来变量，得arcsin,sgnx,lnx，cx 22另外，,也是方程的解。yx 7:tgydx,ctgxdy,0 解:变量分离，得:ctgydy,tgxdx两边积分得:lnsiny,,lncosx，c. 23，xydye8:,,dxy y13x解:变量分离，得dy,,，c2e3ye 9:x(lnx,lny)dy,ydx,0 yy解:方程可变为:,ln,dy,dx,0xx y1lnu令u,,则有:dx,,dlnuxx1，lnu y代回原变量得:cy,1，ln。x dy,xy10:,edx yx解:变量分离dy,dxee yx两边积分,，c ee ,dyxy,edx yx解:变量分离，dy,dxee yx两边积分得:,，cee 2dy11.,(，)xydx dydt解:令x，y,t,则,，1dxdx dt1原方程可变为:,，12dxt 1变量分离得:dt,dx,两边积分arctgt,x，c2，1t 代回变量得:arctg(x，y),x，c dy112(, 2dx(x，y) 解 dydtdt1x，y,t,,1,，1令，则，原方程可变为2dxdxdxt 2tdt,dxt,arctgt,x，c 变量分离，两边积分，代回变量2t，1 x，y,arctg(x，y),x，c dyxy2,,113.,dxxy,2，1 11解:方程组xyxy的解为xy2,,1,0,,2，1,0;,,,,33 dYXY112,令xXyY则有,,,,，,,' dXXY33,2 2U2,2，2YdUU令U，则方程可化为:X,,XdXU1,2变量分离 dyx,y，514,,dxx,y,2 dydt解:令x,y,5,t,则,1,,dxdx dtt 原方程化为:1,,,变量分离(t,7)dt,7dxdxt,7 12两边积分,7t,,7x，ct2 21代回变量,7(x,y，5),,7x，c.(x,y，5)2 dy22,(x，1)，(4y，1)，8xy，1 15(dx dy222解:方程化为,x，2x，1，16y，8y，1，8xy，1,(x，4y，1)，2dx dydu1du92令1，x，4y,u，则关于x求导得1，4,，所以,u，， dxdx4dx4 1228分离变量du,dx，两边积分得arctg(，x，y),6x，c，是23334u，9 原方程的解。 62dyy,2x16( ,522dx2xy，xy 3223322()23[()2]dyy,xdyy,x3解: ,,,，，令y,u，则原方程化为23232(22dxdxyxy，xxy，x 23u,6222du3u,6xx,, ，这是齐次方程，令2udx2xu，x2，1x 22ududz3z,6dzdzz,z,6,z，则,z，x，所以,z，x，，x,，...........(1)xdxdx2z，1dxdx2z，1233当z,z,6,0，得z,3或z,,2是(1)方程的解。即y,3x或y,,2x是方程的解。 2z，112735当z,z,6,0时，变量分离dz,dx，两边积分的(z,3)(z，2),xc,2xz,z,d 3733533即(y,3x)(y，2x),xc，又因为y,3x或y,,2x包含在通解中当c,0时。故原方程 373315的解为(y,3x)(y，2x),xc 3dy2x，3xy，x17. ,23dx3xy，2y,y 22222dyx(2x，3y，1)dy2x，3y，1解:原方程化为 ,;;;;;,22222dxy(3x，2y,1)dx3x，2y,1 duv，u，23122y,ux,v则, 令 ,;;;;;;;;;;;;.......(1)dvv，u,321 2v，3u，1,0,的解为(1，,1);令Z,v,1，，Y,u，1，, 方程组3v，2u,1,0, y,2，3,2z，3y,0dy,z则有 ，，，，从而方程(1)化为,,y3z，2y,0dz,3，2,z, 令 2ydydtdt2，3tdt2,2tt,，，则有,t，z，，所以t，z,，，z,，...........(2) zdzdzdz3，2tdz3，2t当 222222,2t,0时，，即t,,1，是方程(2)的解。得y,x,2或y,,x是原方程的解当 3，2t1222225 2,2t,0时，，分离变量得dt,dz两边积分的y，x,(y,x，2)c2z2,2t 另外 222222225y,x,2，或y,,x，包含在其通解中，故原方程的解为y，x,(y,x，2)c xdy18. 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 方程,,f(xy)经变换xy,u可化为变量分离方程，并由此求解下列方程ydx 22(1).y(1，xy)dx,xdy 22xdy2，xy(2).,22ydx2,xy dydydydu证明:因为xy,u,关于x求导导得y，x,,所以x,,ydxdxdxdx1duduu1得:,1,f(u),,(f(u)，1),(uf(u)，u)ydxdx,y(f(u)，1)xx 故此方程为此方程为变程。 2xdy2解(1):当x,0或y,0是原方程的解,当xy,0s时，方程化为,1，yxydx du1du13令xy,u,则方程化为,(2u，),变量分离得:,dxu3dxxx2u，u 22y42u两边同时积分得:,c,即,c,y,0也包含在此通解中。xx222，2，2uyx 2 y2故原方程的解为原,c,x,0.x22 ，2yx 2du12，u14u 解 (2)令xy,u，则原方程化为,(u，u),22dxxx2,u2,u 2222,u1yxy分离变量得du,dx，两边积分得ln,，c，这也就是方程的解。4uxx4 x 19. 已知f(x). f(x)dt,1,x,0,试求 函数 excel方差函数excelsd函数已知函数     2 f x m x mx m      2 1 4 2拉格朗日函数pdf函数公式下载 f(x)的一般 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达式,0 1xy,,y'12解:设f(x)=y, 则原方程化为 两边求导得 (),yfxdt,y0 dy11113,y,;;;;;;;;;;dx,,;;;;;;;;;;;;x，c,;;;;;y,,两边积分得所以32dx2ydyy2x，c x11把y,,代入fxdt ,(),y2x，c0 x11dt2xc;;;;;;;;;;(2xcc)2xcc0,y,,,，,，,,,，得,所以,,,2tc2x，0 x(t)，x(s)20.求具有性质 x(t+s)=的 函 关于工期滞后的函关于工程严重滞后的函关于工程进度滞后的回复函关于征求同志党风廉政意见的函关于征求廉洁自律情况的复函 数x(t),已知x’(0)存在。 1,x(t)x(s) x(0)，x(0)2x(0)2,解:令t=s=0 x(0)== 若x(0)0 得x=-1矛盾。 1,x(0)1,x(0)x(0) 2x(t，,t),x(t)x(,t)(1，x(t))2lim,lim,x'(0)(1，x(t)所以x(0)=0. x’(t)=) ,t,t[1,x(t)x(,t)dx(t)dx(t)2 ,x'(0)dt 两边积分得arctg x(t)=x’(0)t+c ,x'(0)(1，x(t))21，x(t)dt 所以x(t)=tg[x’(0)t+c] 当t=0时 x(0)=0 故c=0 所以 x(t)=tg[x’(0)t]