几何画板制作“虚实变化”的旋转正棱锥和正棱柱
几何画板制作“虚实变化”的旋转正棱锥和正棱柱,教学
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郭武浩 约3985字
立体几何问题的解决，若能借助一个能清楚显示各点、线、面的位置关系的立体图形，将更容易发现解决问题的思路，这需要从一个合适的观察角度来绘制图形，也就需要在绘制时能先从不同角度想象图形，做到“胸有成图”。几何画板提供了这样一个功能:它可以让一个绘制好的图形保持其应有的点、线、面关系进行旋转，从而显现出从不同角度观察图形的效果，进一步帮助我们培养想象图形的能力。但是旋转的图形怎样保持“虚实分明”的立体感呢,笔者看了互联网上一些关于棱锥和棱柱旋转的课件和图形，感觉对于虚实变换的解决还不是十分完美。笔者经过研究，找到了一种实现正棱锥和正棱柱在连续旋转时保持“虚实分明”的立体感的图形的制作方法。介绍如下(因步骤较多，叙述时假设你会用几何画板进行基本的图形制作):
一、旋转的实现思路:
使底面各顶点运动轨迹为椭圆，看上去就是各顶点在水平放置的圆上运动:结果就得到底面的旋转效果。
二、虚实分明的实现思路:
底面上的一个顶点运动，带动其他各点、各棱运动。当某边被遮住时显示为虚线，未被遮住时显示为实线。
虚实切换的例子:
(1)如图:点P在线段EF上运动。当线段AP与线段CD相交时显示为虚线，与线段BC相交时显示为实线。以点C1和C2为父对象构造的子对象都有显示“虚实”的功能。让我们把点C称为虚实切换点。
(2)如图:点P在大圆上运动。当射线OP与小圆的上半圆相交时显示为实线，与小圆的下半圆相交时显示为虚线。以点C1和C2为父对象构造的子对象同样有显示“虚实”的功能。点A、B可以称为虚实切换点。
三、“虚实切换点”的确定:
我们先来确定正棱锥旋转时的虚实切换点:
如下图:底面各点在椭圆上逆时针旋转。当SA与SB重合于SM时，AB与SB应由实线显示切换为虚线显示。确定虚实切换点M、N的位置时实际上要把该图形当作平面图形来处理:
如下图:设椭圆的长半轴长为a,短半轴长为b,正n棱锥的高为h,底面正多边形的中心角记为θ,S(0，h)，A(acosα，bsinα)，B(acos(α+θ),bsin(α+θ))，则:
=(acosα,bsinα-h)，=(acos(α+θ),bsin(α+θ)-h)
当与共线时，有
acosα(bsin(α+θ)-h)-acos(α+θ)(bsinα-h)=0
即:b(sin(α+θ)cosα-cos(α+θ)sinα)=h(cosα-cos(α+θ))
bsinθ=h•(-2)sin(α+)sin(-)
可得:sin(α+)=cos
由上方程所确定的α可以指出虚实切换点A、B的位置。当bcosh时，可以求得合适的α值，需要“虚实”切换:当h>b时，SA?与SB?同向共线;当bcosh
h时，方程无解，不存在虚实切换点，表示各棱都应显示为实线，不需要切换。以下重点分析存在虚实切换点时的处理方法:
因为考虑的是正棱锥，由对称性可知:在椭圆上应存在四个虚实切换点M、N、M1、N1。它们共把椭圆分成四段弧。当底面各顶点在不同的椭圆弧上运动时，与之相连的各棱应显示为相应的实线或虚线。
四、椭圆弧的处理:
虽然分析得到了能够获得虚线与实线的椭圆弧，但是还不能直接用来作图。因为，底面各顶点的运动是一个同时在运动的整体，应该由一个点的运动来带动其他各点的运动，这些点必须分为主动点和从动点，也就是画板中的父点和子点，由父点的运动带动子点的运动。如果画好了相应的椭圆弧，就必须相应地让画板在旋转时检测出当前各点旋转到了哪些弧上。但是画板当前的功能还不能作出直线或射线与函数图象或轨迹的交点。好在画板可以检测出直线或射线与圆弧的交点，利用这一功能可以有如下作法:
?在平面直角坐标系中分别作以O为圆心、以a、b为半径的两个圆(暂设a>b)。
?在大圆上任取点P，作射线OP并交小圆于Q。
?过P作x轴的垂线l1，过Q作l1的垂线，垂足为M。
?点M的轨迹就是以a为长半轴长、b为短半轴长的椭圆(依次选定M、P构造轨迹可以看到出现一个椭圆)
以上实际上是根据椭圆的
参数
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方程来绘制椭圆的做法。为方便叙述做法，以下我们用“作与点P相对应的椭圆点”来代表该做法。
利用这一做法，若小圆是由若干段圆弧组成，则当点P运动时，相对应的椭圆点就会仅在对应的椭圆弧上运动。我们只要绘制四段能给出椭圆弧的圆弧就可以了。
五、圆弧的作法:
几何画板作一个圆弧非常简单:只要依次选定三个点，就可以利用构造菜单得到一个过三点的弧。我们需要先作出弧的端点:与椭圆点M、N、M1、N1相对应的圆上各点。由M与M1关于y轴对称，N与N1关于y轴对称，N可由M逆时针旋转α可知:只要先作出与点M相对应的圆上点M0即可。M0的坐标应为(bcosα,bsinα)，α由方程sin(α+)=bhcos确定。
六、图形的制作:
经过以上分析，以三棱锥的制作为例，可以得到以下做法:
基本数据准备:启动几何画板，定义坐标系，隐藏网格。在窗口左下侧取一点A，过点A作y轴的平行线，其上点A下方再取点B，过点A、B分别向右作射线l1、l2都与平行线垂直，上面线上取点b(虽然名称不合适，但便于以后的表述和记忆)，下面线上取点H。
分三种情况来制作图形:
1.h>b时:
拖动点H使其位于点b右侧。将点b按向量Ab平移得b´,作射线bb´。过点H作射线BH的垂线与射线bb´交于点h。度量线段Ab并将度量结果的标签改为b。射线l1上取点a(a在b右，暂时使a>b)及点v。以原点为圆心，以线段Aa为半径作圆Ca。以原点为圆心，以线段Av为半径作圆Cv，其上取一点并将其标签改为“手动”(将来拖动该点可以使底面旋转)。以原点为端点，过点“手动”作射线l0交圆Ca于点A0(标签A0的标注方法是在标签对话框中输入A[0])。
(1)确定α角终边:
度量线段Ah并将度量结果的标签改为h。绘制点C(0，cos)(三棱锥的中心角θ等于120?)，过点C作y轴的垂线与以原点为圆心的单位圆交于点D、E(即依据正弦线作出α，的终边)。以原点为中心，将点D、E顺时针和逆时针旋转=600得到四个点即为原理图中与四个虚实切换点M、N、N1、M1相对应的圆上四点。以O为端点，过M、N、N1、M1、D、E作六条射线OM、ON、ON1、OM1、OD、OE。
(2)制作圆弧路径:
作以原点为圆心、以b为半径的圆Cb并构造其与六条射线和y轴的共八个交点，将这八个点的标签依次更改为F、G、I、J、K、P、Q、T，隐藏辅助点、线和数据后得到右图:
依次作圆弧、、、。
(3)作棱锥顶点:
将点h绕点A逆时针旋转90?得点h´,将原点O按向量Ah´平移并将所得点的标签改为S。
(4)制作底面上的点:作射线OA0交于点A2，作与点A0相对应的椭圆点A1。终于得到底面上的一个点了。
(5)将点A0逆时针旋转θ,120?两次得到点B0、C0，重复4的作法两次又可以得到两个椭圆点B1、C1。
(6)以点A1、B1、C1、S为顶点作三棱锥S,A1B1C1。要把该为虚线的作成虚线，该为实线的作成实线。
(7)拖动“手动”点旋转一周，在点A1、B1或C1消失的位置重复4和6的作法。
(8)制作“手动”点的运动动画，将其按钮标签更改为“底面旋转”。
2.cos
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