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崔氏班六年级第10讲：曲线形面积问题——基本公式及曲面型面积问题三部曲

崔氏班六年级第10讲：曲线形面积问题——基本公式及曲面型面积问题三部曲崔氏班六年级第10讲：曲线形面积问题——基本公式及曲面型面积问题三部曲例1】【 (2008年四中考题)已知三角形是直角三角形，厘米，厘米，求阴影部分的面积( ABCAC,4BC,2 B CA 设两个半圆的交点为～连接( DCD (从图中也可以看出～大半圆的面积SSSSSSSS,,，,,，,,,,ADCBDCABC阴影大半圆小半圆大半圆小半圆加上小半圆的面积等于整个图形的面积加上中间阴影部分的面积～所以大半圆的面积加上小半圆的面积再减去三角形的面积就等于图中三块阴影部分的面积之和)～ ABC 221412...

崔氏班六年级第10讲：曲线形面积问题——基本公式及曲面型面积问题三部曲例1】【 (2008年四中考题)已知三角形是直角三角形，厘米，厘米，求阴影部分的面积( ABCAC,4BC,2 B CA 设两个半圆的交点为～连接( DCD (从图中也可以看出～大半圆的面积SSSSSSSS,,，,,，,,,,ADCBDCABC阴影大半圆小半圆大半圆小半圆加上小半圆的面积等于整个图形的面积加上中间阴影部分的面积～所以大半圆的面积加上小半圆的面积再减去三角形的面积就等于图中三块阴影部分的面积之和)～ ABC 2214121,,,,所以～S,，，，,，，,,,ππ242.5π43.85(平方厘米)( 阴影,,,,22222,,,, BD CA 【例2】如下图，两个半径相等的圆相交，两圆的圆心相距正好等于半径，AB弦约等于17厘米，半径为10厘米，求阴影部分的面积( BB O1OOO122 AA 【分析】阴影部分由两个相等的弓形组成～所以只需要求出一个弓形的面积就可以了( OOAOAOBOBO由已知条件～若分别连结～～～～～如图所示～就可以得到两个等边121212 ，,，,:AOOBOO60，,:AOB120三角形(各边长均等于半径)～则～即( 21212 OAOBOAOB这样就可以求出以为圆心的扇形的面积～然后再减去三角形的面积～就得到弓2122 AOBOO形的面积～三角形AB的面积可采用面积公式直接求出～其中底是弦～高是的一半( 212 ,，,2SS所以～阴影部分面积，，,AOB扇形AOB22 120110,,2 ,，，，,，，23.141017,,36022,, 11,,,20985124(平方厘米)( 33 【例3】 (2008年实验中学考题)奥运会的会徽是五环图，一个五环图是由内圆直径为6厘米，外圆直径为8厘米的五个环组成，其中两两相交的小曲边四边形(阴影部分)的面积都相等，已知五个圆环盖住的面积是平方厘米，求每个小曲边四边形的面积(() 77.1π,3.14 22π，,，,,4π37π21.98【分析】 ?每个圆环的面积为:(平方厘米), ?五个圆环的面积和为:(平方厘米), 21.985109.9，, ?八个阴影的面积为:(平方厘米), 109.977.132.8,, ?每个阴影的面积为:(平方厘米)( 32.884.1,, 【例4】 3根直径都是4分米的圆柱形木棍，用一根绳子把它们捆成一捆，最短需要多少分米长的绳子, (，打结用的绳子不计) ,,3.14 【分析】周长是3个直径加上3个扇形弧长～所以周长为分米 433.14424.56，，，, 【例5】求图中阴影部分的面积(单位:)( cm 2 3 4 【分析】从图中可以看出～两部分阴影的面积之和恰好是梯形的面积～ 12，，，,(24)39(cm)所以阴影部分面积为( 2 【例6】 (2009年第14届华杯赛初赛) ACCDDB,,CD如下图所示，AB是半圆的直径，是圆心，，M是的中点，H是弦的中OCD 点(若是上一点，半圆的面积等于12平方厘米，则图中阴影部分的面积是平方厘米( NOB MDCH AONB 【分析】如下图所示～连接、、( OCODOH MCD H AOBN CD本题中由于、是半圆的两个三等分点～是的中点～是弦的中点～可见这个DMHCCD 图形是对称的～由对称性可知与平行(由此可得的面积与的面积相等～ABCD,CHN,CHO 1所以阴影部分面积等于扇形面积的一半～而扇形的面积又等于半圆面积的～所CODCOD3 11以阴影部分面积等于半圆面积的～为平方厘米( 122，,66 【例7】如图，两个半径为1的半圆垂直相交，横放的半圆直径通过竖放半圆的圆心，求图中两块阴影部分的面积之差((取3) π ADO CB 【分析】本题要求两块阴影部分的面积之差～可以先分别求出两块阴影部分的面积～再计算它们的差～但是这样较为繁琐(由于是要求面积之差～可以考虑先从面积较大的阴影中割去与面积较小的阴影相同的图形～再求剩余图形的面积( 如右图所示～可知弓形或均与弓形AB相同～所以不妨割去弓形(剩下的图形中～BCCDBC 容易看出来与是平行的～所以与的面积相等～所以剩余图形的面积与扇ABCD,BCD,ACD 602π，，,10.5形的面积相等～而扇形的面积为～所以图中两块阴影部分的面积ACDACD360 之差为( 0.5 【例8】如图，是正方形(阴影部分的面积为 ((取) ABCD3.14, 222a,，,5334【分析】设内部的正方形边长为～由勾股定理～可以求得内部的正方形的面积为～,或a a17,222，,()者,～所以其内切圆的面积是～阴影部分面积为,a,，,，，,(35)3523422 17,347.31,,( 2 【例9】你看这个八卦有黑白两种颜色，曲线部分是用半径长度的比为的条半圆曲线连成的，你知2:1.5:0.56道黑白两种颜色的面积比是多少吗, 【分析】普通解法: ss不妨设是最小的半圆的半径.于是其余两种半圆的半径便是和及表示涂有阴影及未涂分别用143。12阴影部分的面积由图可见～ 112222s,，，，，，，，,，,π1π1(π4π3)5π1222 ss,，,,π411π21 s51,s112 5答:所求的比是. 11 超人解法: 相似是指两个图形形状相同但大小不同～根据相似的定义～我们可以把所有的半圆都看成是相似的～那么半圆的面积比等于半径比的平方～所以如果把最小的半圆面积设成“”份～则整个大圆的面积就是1 24,,1232，，,,, 1,, 2243310,，,而阴影部分面积是 321022,,所以空白部分面积是 105,所以阴影部分与空白部分面积比为2211 【例10】三角形ABC三边长分别为5,12,13厘米，内部有圆如图放置，圆心为O，请问这个圆的半径是多少, A 135 BC12 512(51213)，,，，r令半径为r～有～

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