线性代数重要知识点讲解

线性代数重要 知识点 高中化学知识点免费下载体育概论知识点下载名人传知识点免费下载线性代数知识点汇总下载高中化学知识点免费下载 讲解1、行列式n行列式共有2n个元素，展开后有!n项，可分解为2n行列式;代数余子式的性质:、jA和ija的大小无关；、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0;③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A;3.代数余子式和余子式的关系：（l）（l）ijijijijijijMAAM++=-=-4.设n行列式D:将D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D，则（1）21（1）nnDD-=-；将D顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为2D，则（1）22（1）nnDD-=-;将D主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D，则3DD=;将D主副角线翻转后,所得行列式为4D，则4DD=;5.行列式的重要公式:、主对角行列式：主对角元素的乘积；、副对角行列式：副对角元素的乘积（1）2nn_x-；③、上、下三角行列式(=、i)：主对角元素的乘积；④、匚和丄：副对角元素的乘积(1)2(l)nn-x-；⑤、拉普拉斯展开式：AOACABCBOB==、(1)mnCAOAABBOBC==-⑥、范德蒙行列式:大指标减小指标的连乘积；⑦、特征值；对于n阶行列式A，恒有：1(1)nnknkkkEAS入入入—=—=+—工，其kS为k阶主子式；证明0A二的方法：、AA=-；②、反证法；③、构造齐次方程组0Ax=,证明其有非零解；④、利用秩，证明()rAn＜；⑤、证明0是其特征值；2、矩阵1.A是n阶可逆矩阵：O0A工(是非奇异矩阵)；o()rAn=(是满秩矩阵)u>A的行(列)向量组线性无关；o齐次方程组0Ax=有非零解；onbRVe,Axb二总有唯一解；oA与E等价；oA可表示成若干个初等矩阵的乘积；oA的特征值全不为0；oTAA是正定矩阵；oA的行(列)向量组是nR的一组基；oA是nR某两组基的过渡矩阵；对于n阶矩阵A：**AAAAAE==无条件恒成立；3.1**111**()()()()()()TTTTAAAAAA===***111()()()TTTABBAABBAABBA---===矩阵是表格,推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值,可求代数和；关于分块矩阵的重要结论，其均A、B可逆：若12sAAAAI1II=Ill丿，则：I、12sAAAA=；II、1111IsAAAA—-—[)II\;②、1IM丿;（主对角分块）③、111OAOBBOAO---;（副对角分块）④、11111ACAACBOBO;（拉普拉斯）⑤、11111AOAOCBBCAB—I）仃=II丄八丿;（拉普拉斯）3、矩阵的初等变换与线性方程组一个mnx矩阵A,总可经过初等变换化为 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 形,其标准形是唯一确定的:rmnEOFOOx|1=I\丿;等价类：所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类;标准形为其形状最简单的矩阵;对于同型矩阵A、B，若（）（）rArBAB=o；2.行最简形矩阵:、只能通过初等行变换获得；、每行首个非0元素必须为1；、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；初等行变换的应用:(初等列变换类似,或转置后采用初等行变，则A可逆，且IXA、对矩阵(,)AB做初等行变化，当A变为E时,B就变成1AB-,即：l(,)(,)cABEAB-~;、求解线形方程组：对于n个未知数n个方程Axb=,如果(,)(,)rAbEx,则A可逆,且1xAb-=;4.初等矩阵和对角矩阵的概念：、初等矩阵是行变换还是列变换,由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵;、/12入入入，左乘矩阵A,i入乘A的各行元素;右乘，i入乘A的各列元素;、对调两行或两列，符号(,)Eij，且1(,)(,)EijEij-=,例如:1111111-I丨丨八丿④、倍乘某行或某列，符号(())Eik,且11(())(())EikEik-=,例如:1111(0)11kkk-｛丿;⑤、倍加某行或某列，符号(())Eijk,且1(())(())EijkEijk-=-,如:11111(0)11kkk--[111II=工IIIIl八丿矩阵秩的基本性质:、0（）min（,）mnrAmnxWW；、（）（）TrArA=;、若AB，则（）（）rArB=;、若P、Q可逆，则（）（）（）（）rArPArAQrPAQ===；（可逆矩阵不影响矩阵的秩）⑤、max（（）,（））（,）（）（）rArBrABrArBWW+；（探）⑥、（）（）（）rABrArB+W+；X）⑦、（）min（（）,（））rABrArBW;（探）、如果A是mnx矩阵,B是nsx矩阵，且0AB=,则：（探）I、B的列向量全部是齐次方程组0AX二解（转置运算后的结论）；II、（）（）rArBn+W、若A、B均为n阶方阵，则（）（）（）rABrArBn上+-；三种特殊矩阵的方幂:、秩为1的矩阵:一定可以分解为列矩阵（向量）x行矩阵（向量）的形式,再采用结合律；、型如101001acbI1I的矩阵:利用二项展开式；二项展开式:01111110()nnnnmnmmnnnnmmnmnnnnnnmabCaCabCabCabCbCab=+=++++++二工；注：1、()nab+展开后有In+项；II、0(1)(1)!1123!()!--+====-mnnnnnnnmnCCCmmnmIII、组合的性质：11112+-===+==SnmnmmmmrnrrnnnnnnnnrCCCCCCrCnC；③、利用特征值和相似对角化：7.伴随矩阵:①、伴随矩阵的秩：*()()1()10()1nrAnrArAnrAn=Vh〈-1;②、伴随矩阵的特征值：*1*（,）AAAXXAAAAXX入入入—==n=9③、*1AAA-二、1*nAA关于A矩阵秩的描述：、（）rAn=,A有n阶子式不为0,ln+阶子式全部为0；（两句话）、（）rAn<,A有n阶子式全部为0；③、（）rAn$,A有n阶子式不为0；线性方程组:Axb二，其A为mnx矩阵，则：、m与方程的个数相同，即方程组Axb二有m个方程；、n与方程组得未知数个数相同，方程组Axb=为n元方程；10.线性方程组Axb二的求解：①、对增广矩阵B进行初等行变换（只能使用初等行变换）；②、齐次解为对应齐次方程组的解；③、特解：自由变量赋初值后求得;11.由n个未知数m个方程的方程组构成n元线性方程:①、11112211211222221122nnnnmmnmnnaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb+++=+++=II+++=l;②、1112111212222212nnmmmnmmaaaxbaaaxbAxbaaaxbIII〔II=o=IIIIIIm丿（向量方程,A为mnx矩阵,m个方程,n个未知数）③、（）1212nnxxaaaxB（全部按列分块,其I=I(j);④1122nnaxaxaxB+++=(线性表出)⑤、有解的充要条件：（）（,）rArAnB=W（n为未知数的个数或维数）4、向量组的线性相关性1.m个n维列向量所组成的向量组A：12,,,maaa构成nmx矩阵12（,,,）mA=aaa；m个n维行向量所组成的向量组B:12,,,TTTm构成mpx矩阵12TTTmBBBBII=III(j含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应;①、向量组的线性相关、无关0Axo二有、无非零解；（齐次线性方程组）②、向量的线性表出Axbo二是否有解；（线性方程组）③、向量组的相互线性表示AXBo二是否有解；（矩阵方程）矩阵mnAx与lnBx行向量组等价的充分必要条件是:齐次方程组0Ax二和0Bx二同解；（101P例14）（）（）TrAArA=；（101P例15）5.n维向量线性相关的几何意义：①、a线性相关O0a二；、，aB线性相关O,aB坐标成比例或共线（平行）；、，，aBY线性相关O,,aBY共面；线性相关与无关的两套定理:若12,,,saaa线性相关，则121,,,,ssaaaa+必线性相关；若12,,,saaa线性无关，则121,,,saaa-必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）若r维向量组A的每个向量上添上nr-个分量，构成n维向量组B:若A线性无关，则B也线性无关;反之若B线性相关，则A也线性相关；（向量组的维数加加减减）简言之:无关组延长后仍无关，反之，不确定；向量组A（个数为r）能由向量组B（个数为s）线性表示，且A线性无关，则rsW；向量组A能由向量组B线性表示，则（）（）rArBW；向量组A能由向量组B线性表示AXBo二有解；（）（,）rArABo=向量组A能由向量组B等价（）（）（,）rArBrABo==8.方阵A可逆o存在有限个初等矩阵12,,,lPPP，使12lAPPP=；、矩阵行等价：~rABPABo=（左乘,P可逆）0Axo二与0Bx二同解、矩阵列等价：~cABAQBo=（右乘,Q可逆）；③、矩阵等价：~ABPAQBo=（P、Q可逆）；9.对于矩阵mnAx与lnBx:、若A与B行等价，则A与B的行秩相等；、若A与B行等价，则0Ax二与0Bx二同解，且A与B的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；④、矩阵A的行秩等于列秩；10.若mssnmnABCxxx二，则：、C的列向量组能由A的列向量组线性表示,B为系数矩阵；、C的行向量组能由B的行向量组线性表示,TA为系数矩阵；（转置）11.齐次方程组0Bx二的解一定是0ABx二的解，考试可以直接作为定理使用，而无需证明；①、0ABx=只有零解0Bxn二只有零解；②、0Bx=有非零解0ABxn二一定存在非零解；设向量组12：,,,nrrBbbbx可由向量组12：,,,nssAaaa线性表示为:1212（,,,）（,,,）rsbbbaaaK=（BAK=）其K为srx，且A线性无关，则B组线性无关（）rKro二；（B与K的列向量组具有相同线性相关性）（必要性：（）（）（），（），（）rrBrAKrKrKrrKr==WW・••二；充分性:反证法）注：当rs二时,K为方阵，可当作定理使用；①、对矩阵mnAx,存在nmQx,mAQE=（）rAmo=、Q的列向量线性无关；②、对矩阵mnAx,存在nmPx,nPAE=（）rAno二、P的行向量线性无关；14.12,,,saaa线性相关o存在一组不全为0的数12,,,skkk，使得11220sskkkaaa+++二成立；（定义）.O1212（,,,）0ssxxxaaa||II=I\\）有非零解，即0Ax二有非零解；012(,,,)srsaaa＜，系数矩阵的秩小于未知数的个数；15.设mnx的矩阵A的秩为r，则n元齐次线性方程组0Ax=的解集S的秩为：()rSnr=-；16.若*口为Axb=的一个解，12,,,nrEgg-为0Ax=的一个基础解系，则*12,,,,nrnEEE-线性无关；5、相似矩阵和二次型1.正交矩阵TAAEo二或1TAA-=(定义)，性质：①、A的列向量都是单位向量，且两两正交，即1(,1,2,)0rp・•・•Tijijaaijnij=(==!工I;②、若A为正交矩阵，则1TAA-二也为正交阵，且1A二土;、若A、B正交阵，则AB也是正交阵；注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化；2.施密特正交化：12(,,,)raaa11ba=；1222111[,][,]bababbb=-121121112211[,][,][,][,][,][,]rrrrrrrrrbababababbbbbbbbb=;3.对于普通方阵,不同特征值对应的特征向量线性无关;对于实对称阵,不同特征值对应的特征向量正交;4.①、A与B等价oA经过初等变换得到B;o二PAQB,P、Q可逆；（）（）o=rArB,A、B同型；、A与B合同o=TCACB，其可逆；oTxAx与TxBx有相同的正、负惯性指数；、A与B相似1-o=PAPB；5.相似一定合同、合同未必相似；若C为正交矩阵，则TCACB=nAB,（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）；6.A为对称阵，则A为二次型矩阵；7.n元二次型TxAx为正定：Ao的正惯性指数为n；Ao与E合同，即存在可逆矩阵C，使TCACE=；Ao的所有特征值均为正数；Ao的各阶顺序主子式均大于0；0，0iiaAg>>；（必要条件）