圆和圆的位置关系
有疑问的
题
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一、本节学习指导
前面我们
总结
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过点、线到圆的位置关系,这里我们总结圆与圆的位置关系。在圆的五种位置关系中,我们要注意圆心距和两个圆半径之间的联系。本节有配套学习视频。
二、知识要点
1、圆和圆的五种位置关系(用d表示圆心距,r1,r2表示两个圆的半径)
注:圆心距是指两个圆心之间的距离,把两个圆心连接起来,很容易得出圆心距。
(1)外离:若两圆没有交点,并且不存在包含关系。如图1,此时有:
(2)外切:两个圆从外面相切。如图2,此时有:
(3)相交:两个圆相交,有两个交点。如图3,此时有:
(4)内切:两个圆从里面相切。如图4,此时有:
(5)内含:一个圆完全在另一个圆里面,且没有交点。如图5,此时有:
注意:如果两圆相切,那么切点一定在连心线上,它们是轴对称图形,对称轴是两圆的连心线;相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。
2、与圆位置相关的性质
① 切线:经过半径外端且垂直与该半径的直线是圆的切线。圆的切线垂直于过切点的半径。
② 切线长:过圆外一点作圆的切线,这点与切点之间的线段长叫做圆的切线长。
③ 从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,且该点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
例:
三、经验之谈:
在圆和圆的位置关系中,相交、相切是常考点,相交中那条公共弦我们引起重视。
我们再看看上题,题目中没有提及一个数字,最终却能求出∠PCA的度数,很奇妙吧。此题看似简单,却涉及到:切线性质、圆心角、圆周角的知识。所以我们平时要多做练习,积累大量实战经验。
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(2011•随州)如图,AB为⊙O的直径,PD切⊙O于点C,交AB的延长线于D,且CO=CD,则∠PCA=( )
分析:根据图形利用切线的性质,得到∠COD=45°,连接AC,∠ACO=22.5°,所以∠PCA=90°-22.5°=67.5°
解:如图,∵PD切⊙O于点C
∴OC⊥PD,
又∵OC=CD
∴∠COD=45°
∵AO=CO
∴∠ACO=22.5°�∴∠PCA=90°-22.5°=67.5°
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