【精品】矩阵的乘法及其意义

【精品】矩阵的乘法及其意义 第2章 矩 陣 54 2-2 矩陣的乘法及其意義 矩陣乘法的意義 1. 設A,[ a ],B,[ b],則A與B的乘積定義為 ijmnij np×× AB,C,[ c], ij mp× n ,其中c,ab，ab，…，ab, ab ( 1 , i , m,1 , j , p )。 配合課本P. 110 iji11ji22jinnjik kj k,1 2. 計算矩陣A與矩陣B的乘積AB時,A的行數與B的列數必須相等,否則AB是無意義 的。 配合課本P. 111 3. 若A是m×n階的矩陣,B是n×p階的矩陣,則AB是m×p階的矩陣。 配合課本P. 111 4. 矩陣的乘法不一定成立的性質, (1) AB,BA不恆成立,矩陣的乘法不滿足交換律,。 (2) 若AB,AC且A?O,則B,C不恆成立,矩陣的乘法不滿足消去律,。 (3) 若A?O,B?O,則AB?O不恆成立。 配合課本P. 112、P. 113 1 21，，03,1，，,,設A,,13,B,,試求AB與BA,並觀察它們是否相等。 ,,,,21,2，，，，21 27,421，，，，，，03,1,,AB,,13 ,,,60,5, ,,,,21,2，，，，21，27,4， 21，，，，，，03,1,58,,BA,,13,,, ,,, ,,21,2,13，，，，，，21 故AB?BA 高中選修數學(?)講義 55 3524，，，，,,,, 1. 設A,,B,,試求AB與BA,並觀察它們是否相等。 演練 ,53,42，，，， ，，3524,1422，，，，AB, ,, ,,,,,,,53,42，，，，,22,14，， ，，2435,1422，，，，BA, ,, ,,,,,,,42,53，，，，,22,14，， 所以AB,BA 第2章 矩 陣 56 2 916010,1212,5，，，，，，,,2,24設A,,212,B,,C,,66,12。 ,,,,,,1,121,33，，，，,44,8，， 試求AB與AC,並觀察它們是否相等。 91612,8245，，，，，，,,2,24AB,,212 ,,14,6,4, ,,,,,,，，640，，，1,12，1,33 010,1212,5824，，，，，，,,AC,,212 ,66,12,,14,6,4, ,,,,,,，，640，，1,33，,44,8， 所以AB,AC 22222013，，，，，， 2. 設A,,B,,C,。 演練 ，，，，，，11103312 試求AB與AC,並觀察它們是否相等。 222226410，，，，，，AB, ,, ，，，，，，11103325 220136410，，，，，，AC, ,, ，，，，，，11312325 所以AB,AC 3 ,11,12,11，，，，,,,,2,22,23,2設A,,B,,求AB。 ,,,,4,44,44,3，，，， ,11,12,11，，，， 2,22,23,2AB, ,,,, 4,44,44,3，，，， ,2,2，41，3,4,1,2，3，，000，， 000 ,4，4,8,2,6，82，4,6,, ,,,,，，000，8，8,16,4,12，164，8,12， 高中選修數學(?)講義 57 由此可知A、B皆不為零矩陣,但AB有可能為零矩陣 第2章 矩 陣 58 1,1，，521，，演練 3. 設A,,22,B,,求AB。 ,, ，，521 3,3，， 5,52,21,11,1，，000，，，，521，，000,,,10AB,22 ，10,4，4,2，2, ,,,,,,，，521，，000，，33,，，15,156,63,3 單位方陣 1. 在一個n階的方陣中,若第i列第i行的每一個元都是1,i,1,2,…,n,而其他每一 個元都是0,這樣的方陣,我們就稱它為n階單位方陣,以I 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示。 配合課本P. 113 n 2. 對任何一個n階方陣A,AI,IA,A恆成立。 配合課本P. 114 nn 註?,若A是一個m×n階矩陣,則AI,A,IA,A。 nm 4 45,2100，，，，,,316010設A,,I,,試驗證AI與IA,並觀察它們是否相等。 ,,333 ,,，，001,123，， 45,245,2100，，，，，， 316010316AI, ,,,, 3,,,,，，001，,123，，,123， 45,245,2100，，，，，， 316316010I,, A,,, 3 ,,,,，，001，,123，，,123， 所以AI,IA,A 33 100，，14710，，，，,,010演練 4. 設A,,I,,I,,試驗證AI與IA,並觀察它們是2332 ,,，，，，25801，，001 否相等。 高中選修數學(?)講義 59 100，，147147，，，，010AI, ,, ,,3，，，，258258，，001 10147147，，，，，，IA, ,, 2 ，，，，，，01258258 所以AI,IA,A32 第2章 矩 陣 60 矩陣乘法的代數性質 1. 設A是一個m×n階的矩陣,B是一個n×p階的矩陣,r是一個實數,則 r ( AB ),( rA ) B,A ( rB )。 配合課本P. 115 2. 設A、B、C分別是m×n、n×p、p×q階的矩陣,則 ( AB ) C,A ( BC )。 配合課本P. 116 註?,當A是n階方陣時,定義 k,123243k A,AA,A,AA,A,AA,…,A,AA ( k,N,k ? 2 )。 3. 設A是m×n階的矩陣,B與C都是n×p階的矩陣,D是p×q階的矩陣,則 (1) A ( B，C ),AB，AC。 (2) ( B，C ) D,BD，CD。 配合課本P. 118 5 25 , 1,3，，，， 3 6 設A,,B,,試求6 ( AB )。 ,,,45,11，， 22，， 6 3 25，， , 1,3，， 3 6 ,,6 ( AB ),A ( 6B ), ( 6 ) 45,,,,11 ，，22，， 6 3 1,11，，，，1,3，，4,5,, , ,,,21,10 45,,,,，，12，，22，10,6， 111 2 3 6 ，，，，23,125,,,,演練 5. 設A,,B,1 , ,求AB。 ,, 3 6 04,5，，,,112, , ，， 2 3 高中選修數學(?)講義 61 111 2 3 6 321，，，，，，，，23,123,1125,,64,5AB, 1 , , ( ) ,,,,,, 3 6 6 04,04,55，，，，，12,3,2，,,112, , ，， 2 3 321，，，，，，23,11219,111164,5 , ( ,, ), ,,,,6 6 04,5,3631,10，，，，，12,3,2， 19 11 2 , ，， 6 6 , ,, 31 5,6 , ，， 6 3 第2章 矩 陣 62 6 5,4，，，，313,20,2，，,,,,設A,,B,,C,,試求AC，BC。 ,,2,1,,,204，，12,3，，，，32 5,4，，，，313,20,2，，AC，BC,( A，B ) C,( ， ) ,,,,,,2,1,204，，12,3，，，，32 5,4，，111，，，，10,3 , , ,,,,,,2,1,121，，，，24，，32 ，，，，32,6,3,4545，，,,,,演練 6. 設A,,B,,C,,試求AB，AC。 ，，,,,,67,24,83,57，，，， ，，，，32,6,3,4545，，AB，AC,A ( B，C ), ( ， ) ,,,,，，67,24,83,57，，，， ，，，，0,2,15,13,945，， , , ,,,,，，671,1,17,19,13，，，， 7 13，，256,,設A,,試求,(1) A，A，I,(2) A。 2,1,2，， 131313，，，，，，102，，，， (1) A，A，I,,, ,,,,2，，01,1,2,1,2,1,2，，，，，， 13，，，，1000,2,3，，，， ,，，, ,,,,，，，，0100,1,2，，，，11 323(2) A,I,( A,I ) ( A，A，I ),O,故A,I, 2222 ，，,2,356318222 A,( A ),A,IA,A,,, 2 ，，11 12，，2432演練 7. 設A,,試求,(1) A,5A,2I,(2) A,4A,8A，3A，6I。 22 ，，34 2(1) A,5A,2I2 121212101,1,1 ，，，，，，，， , ,5 ,2 ，，，，，，，，343434011,5,2:1,4,8,3,6 7105102000，，，，，，，，1,5,2 ,,,, ，，，，，，，，1522152002001,6,3 4321,5,2 (2) A,4A,8A，3A，6I2 ,1,5,6 ,1,5,2 4 高中選修數學(?)講義 63 22 ,( A,5A,2I ) ( A，A,I )，4I222 40，， ,4I, 2，，04 第2章 矩 陣 64 8 ，，，，cosθ,sinθcos nθ,sin nθ,,,,n(1) 設矩陣A,,試證A,,其中n為自然數。 ,,,,sinθcosθsin nθcos nθ，，，， ，，cosθ,sinθ10，，,,4(2) 設矩陣A,,且A,,若0,θ,π,求θ。 ,,，，01sinθcosθ，， ，，，，cosθ,sinθcos kθ,sin kθ1k(1) 當n,1時,A,A, 成立,設n,k時,A, 成立, ,,,,sinθcosθsin kθcos kθ，，，， ，，，，cos kθ,sin kθcosθ,sinθk，1k 則n,k，1時,A,AA, ,,,,sin kθcos kθsinθcosθ，，，， ，，，，cos kθcosθ,sin kθsinθ,cos kθsinθ,sin kθcosθcos ( ，k1 )θ,sin ( ，k1 )θ ,,,,,, ,sin kθcosθ，cos kθsinθ,sin kθsinθ，cos kθcosθsin ( ，k1 )θcos ( ，k1 )θ，，，， 故n,k，1時,原式也成立,由數學歸納法知,對所有自然數n,原式恆成立 ，，,cos 4θ,sin 4θcos 4θ,1104，，(2) A,,,故 , ,,,，，01sin 4θcos 4θsin 4θ,0，，, π 又0,θ,π,得0,4θ,4π,於是4θ,2π,即θ, 2 1 3 ，， , 2 2 ,,2008演練 8. 設A,,求A。 3 1,, ，， 2 2 ππ1 3 ，， , cos ,sin ，， 2 2 3 3 ,,A,,, ,, 3 1ππ,, ，，sin cos 2 2 ，， 3 3 2008π2008π4π4π 3 1，，，，cos ,sin cos ,sin , ，， 3 3 3 3 2 2 ,,,,2008故A,,, ,, 3 12008π2008π4π4π,,,,, , ，，sin cos sin cos ，，，， 2 2 3 3 3 3 9 ，，,1,3n98,,設A,,求,(1) 最小的自然數n,使得A,I,(2) A。 2，，12 ，，，，，，，，，，，，,10,1,3,1,3,2,3,2,3,1,3232(1) A,, ,,,,,,,A,AA,, ,,,,, ,,，，，，，，，，，，12121111120,1，， ，，，，,10,1010633，， A,AA, ,,I,故最小的自然數n為6 ,,,,2，，010,10,1，，，， ，，,2,39896222(2) A,AA,IA,A, ,,2 ，，11 01，，n100演練 ,, 9. 設A,,求,(1) 最小的自然數n,使得A,I,(2) A。 2 ,11，， 高中選修數學(?)講義 65 ，，，，010101,11,11，，,10，，，，，，232(1) A, ,,A,AA, ,, ,,,,,,,,,,,,,11,11,11，，，，，，0,1,10,10，，，，，， ，，，，,10,1010633，， A,AA, ,,故最小的自然數n為6 ,,,,，，010,10,1，，，， ，，0,1100964443(2) A,AA,IA,A,AA,,A, ,,2 1,1，， 10 1 3 ，， , 10，， 2 2 ,,,,有關矩陣A, 與矩陣B,,試問下列哪些選項是正確的, 0,1，， 3 1,, ，， 2 2 2211365(A) AB,BA (B) AB,BA (C) AB,BA 1271515(D) AB,A (E) ( ABA ),ABA 〈96.指考甲〉 1 3 1 3 , , ，，，，10，， 2 2 2 2 (A) AB, ,, ,,,,,,0,1，， 3 1 3 1 , , ，，，，2 2 2 2 1 3 1 3 , ，，，，10，， 2 2 2 2 BA, ,, ,,,,,,0,1，， 3 1 3 1 , ，，，， 2 2 2 2 故AB?BA,所以(A)不成立 1010，，，，10222，，(B) A, ,,I,AB,IB,B,BI,BA,故(B)成立 ,,,,222，，010,10,1，，，， ππ1 3 ，， , cos ,sin ，， 2 2 3 3 ,,(C) B,,, ,, 3 1ππ,, ，，sin cos 2 2 ，， 3 3 ，，cosπ,sinπ，，，，，，,10,10,10103633，， 故B,,,B,BB, ,,I, ,,,,,,,,2，，010,10,10,1sinπcosπ，，，，，，，， 1010，，，，,10，，，，,10113365 於是AB,AB,,, ,,,,BA,IA,A,,,, ,,20,10,1，，，，，，0,101，， 所以(C)不成立 12723127 23(D) AB,AI,A,又A,( A )A,IA,A,故AB,A,所以(D)成立22 222(E) ( ABA ),( ABA ) ( ABA ),ABABA,ABIBA,ABBA,ABA, 2 322223 ( ABA ),( ABA ) ( ABA ),ABAABA,ABIBA,ABBA,ABA, 2 433334 ( ABA ),( ABA ) ( ABA ),ABAABA,ABIBA,ABBA,ABA, 2 1515 同理可得 ( ABA ),ABA,故(E)成立 選(B)(D)(E) 第2章 矩 陣 66 1，，，，1112,1，，，，，，,,,, 10. 設A是2×2階方陣。已知A ,,A,,且B,,試問演練 ，，，，，，1341,1，，，，1 22AB,BA成立嗎, ，，11a,ba，b，，，，，，abab1,11,1，，，，設A,,則 ,,得 ,, ,,,,,,,,，，，，cdcd,11，，，，，，1111c,dc，d，， ,,a,b,1c,d,1即 , , ,解得a,0,b,,1,c,1,d,0, ,a，b,,1c，d,1,, ，，,10，，，，，，0,10,10,12故A,,,,於是A, ,, ,,,,,,，，，，，，0,1010101，， ，，，，,1,2,1,2，，，，,10,10121222，，，，故AB, ,,BA, ,, ,,,,,,,,，，，，34340,10,1,3,4,3,4，，，，，，，， 22所以AB,BA成立 轉移矩陣 aa…a11121n，， aa…a21222n,,1. 設A, 是一個n階方陣,且滿足 ,,,,, , , , ,,,,,, aa…a，n1n2nn， (1) a , 0 ( i,1,2,…,n,j,1,2,…,n ), ij n ,(2) a,a，a，…，a,1 ( j,1,2,…,n )。 ij1j2jnji,1 則稱A是一個轉移矩陣。 配合課本P. 121 x1，，x2,,2. 設X, 是一個n×1階的行矩陣,且滿足 ,, ,,, ，，xn (1) x , 0,i,1,2,…,n, i n ,(2) x,x，x，…，x,1。 i12ni,1 則稱X是一個機率矩陣,或機率向量,。 配合課本P. 123 3. 設A是一個n×n階的轉移矩陣,方陣,,且X是一個n×1階的機率矩陣,則AX也是一 高中選修數學(?)講義 67 個機率矩陣。 配合課本P. 123 11 假設某市鎮只有甲、乙兩種報紙,目前訂閱甲報的人數占訂報總人數的60,,訂閱乙報的人數占訂報總人數的40,。經市場調查結果得知 1? 目前訂閱甲報的人,有80,明年會繼續訂閱甲報,有20,明年會改訂乙報。 2? 目前訂閱乙報的人,有60,明年會繼續訂閱乙報,有40,明年會改訂甲報。 如果這十年中總訂戶人數不變,而且每年甲、乙報的訂戶人數也依上述規律轉變,求三年後甲、乙報市場的占有率。 0.80.4，，根據題意,可得轉移矩陣A,, ，，0.20.6 0.6，，而目前甲、乙報市場占有率可表為機率矩陣P,, 0，，0.4 0.80.40.60.64，，，，，，則一年後甲、乙報市場占有率為P,, ,AP, 10，，，，，，0.20.60.40.36 0.80.40.640.656，，，，，， 二年後甲、乙報市場占有率為P,AP, ,, 21，，，，，，0.20.60.360.344 0.80.40.6560.6624，，，，，， 三年後甲、乙報市場占有率為P,AP, ,, 32，，，，，，0.20.60.3440.3376故知三年後甲、乙報市場占有率分別為66.24,、33.76, 第2章 矩 陣 68 演練 11. 有一個心理學家做了如下的老鼠實驗, 於前次的實驗裡, 走向右邊的老鼠中,有70,在下次實驗仍走向右邊,30,走向左邊, 走向左邊的老鼠中,有60,在下次實驗仍走向左邊,40,走向右邊。 如果老鼠總數不變,第一次實驗中有50,的老鼠走向右邊,50,的老鼠走向左邊, 試求第三次實驗中,走向右邊與左邊的老鼠所占的百分比。 0.70.4，，根據題意,可得轉移矩陣A,, ，，0.30.6 0.5，，而第一次實驗,老鼠走向右邊與左邊的百分比可表為機率矩陣P,, 1，，0.5 0.50.550.70.4，，，，，，故第二次實驗,老鼠走向右邊與左邊的百分比為P,,, AP, 21，，，，，，0.50.450.30.6 0.70.40.550.565，，，，，， 第三次實驗,老鼠走向右邊與左邊的百分比為P,AP, ,, 32，，，，，，0.30.60.450.435 故知第三次實驗,走向右邊與左邊的老鼠所占百分比分別為56.5,、43.5, 12 設A、B兩箱中,A箱內有兩球,一黑一白,B箱內有一白球。甲、乙兩人輪流取球,每次先由甲自A箱內任取一球,放入B箱內,再由乙自B箱內任取一球,放入A箱內,這樣稱為一局。那麼當第一局結束時,A箱內兩球為一黑一白的機率為何,當第三局結束時,A箱內兩球為一黑一白的機率為何, (1) 當A箱內有一黑球一白球,而一局結束後, 1113111 A箱內有一黑球一白球的機率為,×,，,×1,,,A箱內有兩白球的機率為,×,,, 2224224(2) 當A箱內有兩白球,而一局結束後, 1111 A箱內有一黑球一白球的機率為1×,,,,A箱內有兩白球的機率為1×,,, 2222 31 ，，,,42,,由(1)(2)知,甲、乙兩人取球試驗的轉移矩陣A,, ,,11 ,,，42， 高中選修數學(?)講義 69 又原始狀態為A箱內有一黑球一白球, 1，，因此,我們以P, 表原始狀態的機率矩陣, 0，，0 意即A箱內一黑球一白球的機率為1,兩白球的機率為0,於是 33331111 ，，，，，，，，，，,,,,,,,142442416,,,,,,,,,,，， P,AP, ,,P,AP, ,, 1021，，0,,,,,,,,,,1111511 ,,,,,,,，，，42，4，42，，4，，16， 311143 ，，，，，，,,,,421664,,,,,, P,AP, ,, 32,,,,,,15211 ,,,,，42，，16，，64， 3 所以第一局結束時,A箱內兩球為一黑一白的機率為,, 4 43 第三局結束時,A箱內兩球為一黑一白的機率為, 64 第2章 矩 陣 70 演練 12. 設A袋有2個紅球,B袋有3個白球。從A袋中任取一球與B袋中任取一球互換。 若這樣的互換進行三次,求A袋中恰有一紅球的機率。 經過互換之後,A袋內的球有三種情況,2紅球、1紅1白、2白球。 當A袋有2紅球的情況下,經過互換1次後, A袋有2紅球、1紅1白、2白球的機率分別為0、1、0, 當A袋有1紅1白的情況下,經過互換1次後, 111A袋有2紅球、1紅1白、2白球的機率分別為 、 、 , 6 2 3 當A袋有2白球的情況下,經過互換1次後, 21A袋有2紅球、1紅1白、2白球的機率分別為0、 、 。 3 3 10 0 6 ，，1，，12,,0因此,可得轉移矩陣A,1 ,又原始狀態對應的機率矩陣P,, ,,0 2 3 ，，0,,110 ，， 3 3 表示原始狀態A袋中有2紅球的機率為1,1紅1白以及2白球的機率都是0, 10 0 6 ，，10，，，，12,,01故P1,, ,AP, ,,,,10 2 3 ，，，，00,,110 ，， 3 3 110 0 6 6 ，，，，0，，121,,,,1 P,AP,1 , , ,,21 2 3 2 ，，0,,,,1110 ，，，， 3 3 3 1110 0 6 6 12 ，，，，，， 12123,,,,,, P,AP,1 , , 32 2 3 2 36 ,,,,,,11150 ，，，，，， 3 3 3 18 23所以互換三次後,A袋中恰有一紅球的機率是 36 高中選修數學(?)講義 71 自我練習題 12，，，，2,13,,,,01 1. 設A,,B,,求AB。 ,,，，204，，84 12，，，，26152,13，，01解,AB, , ,,,,，，3420，，204，，84 1，，,,2 2. 設A,,B,[ 3 2 1 ],求AB與BA。 ,,，，3 13211，，，，，， 26422解,AB, [ 3 2 1 ],,BA,[ 3 2 1 ] ,[ 10 ] ,,,,,,，，，，，，39633 12x2，，，，222 3. 設A,,B,,若 ( A，B ),A，2AB，B成立,則x,______。 ，，，，3439 222 ( A，B ),A，2AB，B,則AB,BA,即 〈基隆高中〉 解,若 ，，x，620，，12x2x212x，62x，8，，，，，，，， , ? ,, ,,,,，，，，，，，，34393934，，30423x，1242，， ,20,2x，8故, ,得x,6 3x，12,30, 10，，,451，，132，，,,21 4. 設A,,B,,C,,試驗證AC,BC。 ,,，，,,401,120，，，,12， 1010，，，，，，,4511325757,,,,，，，，，，2121,,BC,,, 證,AC, ,, ，，,,，，,,，，4013232,120，，,12,12，，，， 故得AC,BC 0010，，，， 5. 設A、B都是二階方陣,O,,I,,則下列何者正確, ，，，，0001 22(A) 若AB,O,則A,O或B,O (B) 若A,B,則A,B或A,,B 2(C) 若A,I,則A,I或A,,I (D) 若AB,O,則BA,O 22(E) ( A，I ),A，2A，I 0110，，，，解,(A) 不成立。舉反例,設A,,B,,則AB,O,但A?O,B?O ，，，，0200 第2章 矩 陣 72 ，，0,11022，，(B) 不成立。舉反例,設A,,B,,則A,I,B,但A?B,A?,B ,,，，01,10，， 10，，2(C) 不成立。舉反例,設A,,則A,I,但A?I,A?,I ,,0,1，， 3039，，，，13，，(D) 不成立。舉反例,設A,,B,,則AB,O,但BA,?O ,,,,，，26,10,1,3，，，， 22(E) ( A，I ),( A，I ) ( A，I ),AA，AI，IA，II,A，2A，I 選(E) 高中選修數學(?)講義 73 100000，，，，,,,,010000 6. 設A、B都是二階方陣,若A，B,I,,AB,O,,則下列何者正確, ,,,,，，，，001000 22244(A) B,,A (B) A,A (C) A,O或B,O (D) A，B,I (E) A，B,I 解,(A) A，B,I ? B,I,A 22(B) B,I,A,且AB,O ? A ( I,A ),O ? A,A,O,故A,A 100000，，，， 010000(C) 設A,,B,,則A，B,I,AB,O,但A?O且B?O ,,,, ，，，，000001 2222(D) 由(B)知A,A,同理B,B,故A，B,A，B,I 44222222(E) A，B,( A )，( B ),A，B,A，B,I 選(B)(D)(E) ,10，，02，，00，，，，,10,,,,,,,,04 7. 設M為3×2階矩陣,而M ,30,M ,,,試求 ,,0,1，，，，00,,，，08,50，，01，，M 。 ，，10 ad，， be解,設M,,,,則 ，，cf ,10,a0,10，，，，，，ad，，，，,10be,, ,,,,30 ? ,b0,,30 ? a,1,b,3,c,5 ,,,,,,，，00，，cf，,50，，,c0，，,50， 0,d，，ad0202，，，，，，00，，be0404又 ,, ,,,,, ? 0,e,,, ? d,,2,e,,4,f,,8 ,,0,1，，，，，，，，cf0808，0,f， 1,2,21，，，，0101，，，，於是M ,3,4 ,,43 ,,,,，，，，1010 ，5,8，，,85， 42，，2 8. 設a、b?Q,A,,若A，aA，bI,O,求數對 ( a , b ),______。 〈彰化高中〉 2，，13 424218142，，，，，，解,,, A, ，，，，，，1313711 2因A，aA，bI,O, 2 18144a2ab000，，，，，，，，故 ，，,, ，，，，，，，，711a3a0b00 第2章 矩 陣 74 ，，18，4a，b14，2a00，，即 ,, ,,，，007，a11，3a，b，， 18，4a，b,0 ,14，2a,0 ,解得a,,7,b,10, ,7，a,0 ,11，3a，b,0 所以 ( a , b ),(,7 , 10 ) 高中選修數學(?)講義 75 5π5π，，sin cos 12 12 10,,，，n 9. 設A,,若A,,求最小的自然數n之值。 ，，01,5π5π, ,cos sin ，， 12 12 5π5πππnπnπ，，，，，，sin cos cos sin cos sin 12 12 12 12 12 12 ,,,,,,n解,A,,,故A,, 5π5πππnπnπ,,,,,,,cos sin ,sin cos ,sin cos ，，，，，， 12 12 12 12 12 12 nπ,cos ,1,nπ 12 依題意得 ,故 ,2kπ,k為整數, , 12 nπ,sin ,0, 12 當k,1時,自然數n之最小值為24 10. 某國政府長期追蹤全國國民的經濟狀況,依訂定的標準將國民分為高收入、中收入和低收入三類。統計發現下列規律, 1? 高收入的人口中, 每年有70,仍是高收入,有20,會轉變為中收入,有10,會轉變為低收入。 2? 中收入的人口中, 每年有10,會轉變為高收入,有80,仍是中收入,有10,會轉變為低收入。 3? 低收入的人口中, 每年有10,會轉變為高收入,有30,會轉變為中收入,有60,仍是低收入。 目前該國的人口中,有30,是高收入、50,是中收入、20,是低收入,如果在這十年中,總人口數不變,而且每年的高、中、低收入也依上述規律轉變,請問三年後,該國人口中,高、中、低收入的占有率分別是多少, 〈仿92.指考甲〉 0.70.10.10.3，，，， 0.20.80.30.5解,設A,,P,, ,,,,0，，，，0.10.10.60.2 第2章 矩 陣 76 0.30.280.70.10.1，，，，，， 0.20.80.30.50.52則 P,AP, ,, ,,,,,,10，，，，，，0.10.10.60.20.2 0.70.10.10.280.268，，，，，， 0.20.80.30.520.532 P,AP, ,, ,,,,,,21，，，，，，0.10.10.60.20.2 0.70.10.10.2680.2608，，，，，， 0.20.80.30.5320.5392 P,AP, ,,,, ,,,,32，，，，，，0.10.10.60.20.2 故三年後,該國人口中,高、中、低收入的占有率分別為26.08,、53.92,、20,