Jehle & Reny高级微观经济理论（第3版）-第1章消费者理论1.4-1.5节-东南大学曹乾

曹乾（东南大学 caoqianseu@163.com） 1 曹乾曹乾曹乾曹乾●●●●经济学译丛精品系列经济学译丛精品系列经济学译丛精品系列经济学译丛精品系列 Advanced Microeconomics Theory (3rd edition) Geoffrey A. Jehle (Vassar College) Philip J. Reny (University of Chicago) 高级微观经济理论（第 3 版） 杰弗里杰弗里杰弗里杰弗里 A.杰奥杰奥杰奥杰奥 菲利普菲利普菲利普菲利普 J.瑞尼瑞尼瑞尼瑞尼 （（（（美国美国美国美国.瓦萨学院瓦萨学院瓦萨学院瓦萨学院）））） （（（（美国美国美国美国.芝加哥大学芝加哥大学芝加哥大学芝加哥大学）））） 完美中文 翻译 阿房宫赋翻译下载德汉翻译pdf阿房宫赋翻译下载阿房宫赋翻译下载翻译理论.doc 版完美中文翻译版完美中文翻译版完美中文翻译版 第 1 章：消费者理论（1.4-1.5 节） 曹乾 译 (东南大学 caoqianseu@163.com) 曹乾（东南大学 caoqianseu@163.com） 2 1 消费者理论（续） 1.4 间接效用函数与支出 我们已经知道，普通效用函数 )(xu ，是定义在消费集 X 之上而且直接代表消费者的偏 好。因此将其称为直接效用函数 ．．．．．． （direct utility function）。给定价格向量p和收入 y ，消费 者选择效用最大化的商品束 ),( ypx 。因此， ),( ypx 是消费者在预算约束 y≤⋅ xp 下可以达 到的最高效用水平。不同的价格或收入，给出了不同的预算线，因此通常会导致消费者的不 同选择，从而达到不同的最大化效用水平。价格、收入和效用最大值之间的关系可用一个实 值函数 RRRv n →× ++: 表示，该函数的定义如下： ytsuyv nR ≤⋅= +∈ xpxp x ..)(max),( （1.12） 函数 ),( yv p 称为间接效用函数 ．．．．．． （indirect utility function）。这个函数是消费者效用最大 化问题对应的最大值函数。当 )(xu 连续时， ),( yv p 对于所有 0p >> 和 0>y 来说，是定义 清晰的函数，这是由于最大化问题（1.12）的解确实存在。此外，如果 )(xu 是严格拟凹的， 则解是唯一的，我们将这个唯一解写为 ),( ypx ，这就是消费者的需求函数。消费者面对价 格p和收入 y 时能实现的最大化的效用水平，是消费者选择 ),( ypx 而实现的效用水平。因 此， )),((),( yuyv pxp = （1.13） 在图形上，我们可以把 ),( yv p 看成当p和 y 给定时，消费者能达到的最高无差异曲线所代 表的效用水平，如图 1.13 所示。 图 1.13：在价格p和收入 y 时的间接效用函数 曹乾（东南大学 caoqianseu@163.com） 3 间接效用函数有几个性质。预算约束函数关于p 和 y 的连续性可充分保证 ),( yv p 在 ++ × RR n 上关于p和 y 是连续的（见 A2.4 节）。实际上， ),( yv p 的连续性可由下列事实推出： 在正的价格下，决定预算线位置的任何参数 ),( yp 的“微小变动”，只会导致消费者能达到 的最大效用水平的“微小变动”。在下列定理中，我们列出了 ),( yv p 的其他性质。 定理 1.6 间接效用函数的性质 若若若若 )(xu 在在在在 nR+ 上连续且严格递增上连续且严格递增上连续且严格递增上连续且严格递增，，，，则则则则（（（（1.12））））式定义的式定义的式定义的式定义的 ),( yv p 是是是是：：：： 1.在在在在 nn RR +++ × 上连续上连续上连续上连续，，，， 2.关于关于关于关于 ),( yp 是零次齐次的是零次齐次的是零次齐次的是零次齐次的，，，， 3.关于关于关于关于 y 是递增的是递增的是递增的是递增的，，，， 4.关于关于关于关于p是递减的是递减的是递减的是递减的，，，， 而且而且而且而且，，，，它还满足它还满足它还满足它还满足 5. 关于关于关于关于 ),( yp 是拟凸的是拟凸的是拟凸的是拟凸的；；；； 6.罗尔恒等式罗尔恒等式罗尔恒等式罗尔恒等式（（（（Roy’s identity）：）：）：）：若若若若 ),( yv p 在在在在 ),( 00 yp 可微且可微且可微且可微且 0/),( 00 ≠∂∂ yyv p ，，，，则则则则 yyv pyvyx ii ∂∂ ∂∂ −= /),( /),(),( 00 00 00 p pp ，，，， ni ,...,1= . 证明： 性质 1 可从 A2.4 节的最大化定理推出。此处省去细节。 性质 2 容易证明。我们必须证明对于所有 0>t 都有 ),(),( tytvyv pp = 。但 ]..)([max),( tyttsutytv ≤⋅= xpxp ， 这 个 等 式 的 右 端 显 然 等 价 于 ]..)([max ytsu ≤⋅ xpx ，因为我们在上面的约束条件中同除以 0>t ，丝毫不会改变满足 它的商品束集合（见图 1.14）。因此， ),(]..)([max),( yvytsutytv pxpxp =≤⋅= 。 在直觉上，性质 3 和性质 4 是说，对消费者预算约束的任何放松都不会使最大化效用水 平下降，而任何对预算约束的收紧都不会使最大化效用水平上升。 为了证明性质 3（以及为了练习拉格朗日方法），我们将作出一些额外的假设，尽管没 有这些假设性质 3 仍然成立。为简单起见，我们暂时假设（1.12）式的解是严格正并且是可 微的，其中： 0p >>),( y ； )(⋅u 是可微的，对于 0x >> 均有 0/)( >∂∂ ixu x 。 我们在前面说过，因为 )(⋅u 为严格递增，所以（1.12）的约束条件必然对最优解构成约 束。因此，（1.12）式等价于 ytsuyv nRx =⋅= +∈ xpxp ..)(max),( . (P.1) 曹乾（东南大学 caoqianseu@163.com） 4 (P.1)的拉格朗日函数为 )()(),( xpxx ⋅−+= yuL λλ （P.2） 现在，对于 0p >>),( y ，令 ),(* ypxx = 为（P.1）的解。由我们额外的假设可知， 0x >>* ， 根据拉格朗日定理定理可知，存在一个 R∈*λ 使得 .,...,1,0)(),( * *** nip x u x L i ii ==− ∂ ∂ = ∂ ∂ λλ xx （P.3） 注意，由于 ip 和 ixu ∂∂ /)( *x 均为正，因此 *λ 也为正。 由于我们还额外假设了（1.12）式的解是是可微的，因此我们可以使用包络定理证明 ),( yv p 对于 y 是严格递增的。根据包络定理 A2.21，最大值函数 ),( yv p 关于 y 的偏导数， 等于它的拉格朗日函数关于 y 的偏导数在 ),( ** λx 的值。 0),(),( * *** >= ∂ ∂ = ∂ ∂ λλ y L y yv xp （P.4） 因此 ),( yv p 关于 y（其中 0>y ）是严格递增的，这是因为 ),( yv p 是连续的，所以它在 0≥y 上是严格递增的。 对于性质 4，你也可以使用包络定理证明。然而，我们此处给出一种更基本的证明，这 种证明不需要作出任何额外的假设。现在考虑 10 pp ≥ 并且令 0x 表示当 0pp = 时的（1.12） 式的解。因为 00 ≥x ， 0)( 010 ≥⋅− xpp 。因此， y≤⋅≤⋅ 0001 xpxp ，因此当 1pp = 时， 0x 满足（1.12）式。我们断定 ),()(),( 001 yvuyv pxp =≥ ，这正是我们想要证明的。 性质 5 是说，消费者对两个极端预算集的任何一个的偏好，都超过了这两个极端预算 集的任何加权平均数。我们要证明 ),( yv p 对于 ),( yp 这个价格向量和收入的组合，是拟凹 的。证明的关键是重点分析预算集。 令 21 , BB 和 tB 是当价格和收入分别为 ),( 11 yp 、 ),( 22 yp 和 ),( tt yp 时的预算集，其中 21 )1( ppp ttt −+≡ 以及 21 )1( yttyyt −+≡ 。则， }{ 111 yB ≤⋅= xpx , }{ 222 yB ≤⋅= xpx , }{ ttt yB ≤⋅= xpx . 假设我们能够证明，消费者在面对预算 tB 时的每个可能选择，都是他在面对 1B 或 2B 时 原本可以选择但仍放弃了的选择。这意味着面对预算 tB 时他能实现的每个效用水平，在他 面对 1B 或 2B 时都能实现。因此，在他面对预算 tB 时能实现的最大最大最大最大 ．． 效用水平，至少至少至少至少 ．． 会小于 或等于下列效用水平中的一个：他面对预算 1B 时能实现的最大效用水平，或者他面对预算 2B 时能实现的最大效用水平。 曹乾（东南大学 caoqianseu@163.com） 5 这样，在他面对预算 tB 时能实现的最大效用水平，必定小于或者等于上述二者中较大较大较大较大 ．． 的那个。如果我们的假设是正确的，则 ].1,0[)],(),,(max[),( 2211 ∈∀≤ tyvyvyv tt ppp 这个式子等价于 ),( yv p 关于 ),( yp 是拟凹的这一论断。 下面我们将证明我们对预算集的这个假设是正确的。我们要证明：如果 tB∈x ，则 1B∈x 或 2B∈x 。然而若我们选择 t 的两个极端值即 0 或 1，则 tB 就是 1B 或 2B ，因此这 个关系显然成立。现在剩下证明这个关系对于所有 ]1,0[∈t 都成立。 用反证法。假设它不成立，则我们可以找到某个 ]1,0[∈t 以及某个 tB∈x 使得 1B∉x 且 2B∉x 。但若 1B∉x 且 2B∉x ，则 11 y>⋅ xp 并且 22 y>⋅ xp , 由于 ]1,0[∈t ，我们可以将第一式乘以 t ，将第二式乘以 )1( t− ，这样的做法不会改变上述 不等式的方向： 11 tyt >⋅ xp 22 )1()1( ytt −>⋅− xp . 将上面两个不等式相加并整理可得 2121 )1())1(( yttytt −+>⋅−+ xpp 或 tt y>⋅ xp . 但是上述最后一个不等式表明 tB∉x ，和我们的原假设 tB∈x 矛盾。因此，我们可以断定， 若 tB∈x ，则对于所有 ]1,0[∈t 均有 1B∈x 或 2B∈x 。根据前面的论断，我们就证明了 ),( yv p 关于 ),( yp 是拟凹的。 最后，我们证明性质 6 即罗尔恒等式。这个恒等式是说消费者对商品 i 的马歇尔需求 函数，是两个偏导数的比率，但要改变符号（注意性质 6 中的负号）；这个比率的分子为间 接效用函数对 ip 的偏导数，分母为间接效用函数对 y 的偏导数。 我们需要再次假设（1.12）式的解为严格正且是可微的，目的仍然是可以运用包络定理。 （习题 1.35 让你在不做这些假设的前提下证明这个恒等式。）令 ),(* ypxx = 是（1.12）式 的严格为正的解，因此必然存在满足（P.3）的一个 *λ 。运用包络定理计算 ipyv ∂∂ /),(p 可 得 曹乾（东南大学 caoqianseu@163.com） 6 . ),(),( **** i ii x p L p yv λλ −= ∂ ∂ = ∂ ∂ xp （P.5） 然而，根据（P.4）， 0/),(* >∂∂= yyv pλ .因此，（P.5）变为 ),( /),( /),( * yxx yyv pyv ii i p p p == ∂∂ ∂∂ − ， 证毕。 ■ 例 1.2 在例 1.1 中，直接效用函数为 CES 形式， ρρρ /12121 )(),( xxxxu += ，其中 10 <≠ ρ 。在 例 1.1 中，我们计算出了马歇尔需求： .),( ,),( 21 1 2 2 21 1 1 1 rr r rr r pp ypyx pp ypyx + = + = − − p p （E.1） 其中 ).1/( −≡ ρρr 根据（1.13）式，将（E.1）代入直接效用函数即可得到间接效用函数。 代入并整理可得， .)( ])([ ])()[( ))),()),([(),( /1 21 /1 21 21 /1 21 1 2 21 1 1 /1 21 rrr rr rr rr r rr r ppy pp ppy pp yp pp yp yxyxyv − −− += + + = + + + = += ρ ρ ρρρ ρρρ ppp （E.2） 我们应该验证一下（E.2）是否满足定理 1.6 列举的间接效用函数的所有性质。容易看 出 ),( yv p 关于 ),( yp 是零次齐次的，因为对于任何 0>t ， ).,( )( )( ))()((),( /1 21 /1 21 /1 21 yv ppy ptptty tptptytytv rrr rrrrr rrr p p = += += += − − − 为了看清 ),( yv p 对 y 递增和对p递减，将（E.2）分别对收入和任何价格求偏导可得： ,0)(),( /121 >+=∂ ∂ − rrr pp y yv p （E.3） 曹乾（东南大学 caoqianseu@163.com） 7 .2,1,0)(),( 11)/1(21 =<+−=∂ ∂ −−− iyppp p yv r i rrr i p (E.4) 为了验证罗尔恒等式，用（E.4）除以（E.3）并利用（E.1）可得 .2,1),,( )( )()1(] /),( /),()[1( 21 1 /1 21 11)/1( 21 == + = + +− −= ∂∂ ∂∂ − − − −−− iyx pp yp pp yppp yyv pyv irr r i rrr r i rrr i p p p 我们将验证（E.2）是关于 ),( yp 的拟凹函数留作习题。 □ 1.4.2 支出函数 在刻画消费者市场行为方面，间接效用函数是一个简洁但威力强大的工具。一个与之相 伴的工具，即支出函数 ．．．． （expenditure function）也很有用。为了构建间接效用函数，我们固 定市场价格和收入，并寻找消费者能够实现的最大效用水平。为了构建支出函数，我们仍需 要固定市场价格，但是我们所问的问题不再是消费者能实现的效用水平。具体地说，我们问 的是：给定一组价格，消费者能够实现既定效用水平的最小货币支出水平最小货币支出水平最小货币支出水平最小货币支出水平 ．．．．．．．． 为多少？在构建支 出函数中，我们不考虑消费者受到的收入现值，而只是问为了达到某个既定效用水平，消费 者必须花费多少钱。 图图图图 1.15：：：：寻找能实现效用水平寻找能实现效用水平寻找能实现效用水平寻找能实现效用水平u 的最小支出水平的最小支出水平的最小支出水平的最小支出水平。 - 为了更好理解这个问题，考虑图 1.15 并将其与图 1.13 进行比较。图 1.15 中每条平行的 曹乾（东南大学 caoqianseu@163.com） 8 直线描述的是这样的所有商品束x ，即当价格 ),( 21 pp=p 时这些商品束的支出是相同的。 每条等支出线 ．．．． （isoexpenditure curve）可用 2211 xpxpe += 定义，当e（其中 0>e ）变化 时，等支出线会平行移动。每条等支出线的斜率因此是相等的，都等于 21 / pp− ，但是它们 的横截距 1/ pe 和纵截距 2/ pe 是不同的。位置越高的等支出线代表的支出越高，位置越低代 表支出越低。如果我们将效用水平固定为u ，则无差异曲线 uu =)(x 表示能给消费者产生相 同效用水平的所有商品束。 等支出线 3e 和无差异曲线u 无交点，这表明在这些价格下 3e 元钱无法实现效用u 。然 而， 1e , 2e 和 *e 至少和无差异曲线u 有一个交点，表明这些等支出线可以实现效用u 。然而， 在构建支出函数时，我们寻找的是使消费者实现效用u 的最小支出最小支出最小支出最小支出 ．．．． ，或者说我们寻找的是一 条位置最低的等支出线，但这条线要和无差异曲线u 至少有一个接触点。显然，这条等支出 线就是 *e ，价格为p时，能够实现效用u 的支出最小的商品束为 )).,(),,(( 21 upxupxx hhh = 如 果我们用 ),( ue p 表示在价格p时能够实现效用u 的必要的最小支出，则这个最小支出水平 等于商品束 hx 的支出即 .),(),(),( *2211 euxpuxpue hh =+= ppp 更一般地，我们将支出函数 ．．．． （expenditure functions）定义为最小值函数：对于所有 0p >> 以及所有可达到的效用水平u ，都有 uutsue nR ≥⋅≡ +∈ )(..min),( xxpp x （1.14） 为了便于后来参考，令 })({ nRuU +∈= xx 表示可以达到的效用集。因此， )(⋅e 的定义域为 URn ×++ . 注意， ),( ue p 是定义清晰的函数，这是因为对于 nn RxR +++ ∈∈ ,p ，有 0≥⋅ xp 。因此， 数集 xp ⋅=ee{ ，其中x 满足 })( uu ≥x 的下界为 0。而且，由于 0>>p ，可以证明这个数 集也是闭的。因此它有最小值。 ),( ue p 就是这个最小值。注意，这个最小化问题的任何解 向量都是非负的，而且取决于参数p和u 。也要注意，若 )(xu 是连续的且为严格拟凹的， 则解是唯一的，因此我们可以将这个唯一解表示为函数 0px ≥),( uh 。我们已经知道，若 ),( uh px 是这个问题的解，则在价格p时能实现效用u 的最小支出正好等于商品束 ),( upxh 的支出，或者 ),(),( uue h pxpp ⋅= . (1.15) 我们已经看到，消费者的效用最大化问题是如何与他的市场行为密切相关的。的确， 效用最大化问题的解——马歇尔需求函数——表明当消费者面对不同的价格和收入时，我们 能观察到的他购买每种商品的数量。现在我们将把支出最小化问题的解 ),( uh px ，解释成另 外一种需求函数，但是这种需求函数是不可以直接观测到的。 考虑下面的假想出来的实验。如果我们将消费者的效用固定在任一效用水平u ，当我们 改变商品的价格时，他如何改变每种商品的购买量？我们想象出来的这种“需求函数”为效效效效 ． 用固定不变用固定不变用固定不变用固定不变 ．．．．． 的函数。我们完全不需要考虑消费者的货币收入水平以及他实际能够能够能够能够 ．． 实现的效用 水平。实际上，我们知道，当某个消费者拥有一定的收入时，如果我们改变商品的价格，通 曹乾（东南大学 caoqianseu@163.com） 9 常他购买的商品量会发生变化，因此导致效用水平也会变化。为了想象出如何构建我们的虚 拟需求函数，我们必须想象出下列这样的过程：当我们降低价格时，消费者的效用会增加， 我们对他的收入进行负的补偿即减少他的收入，从而使消费者的效用减小到恰好等于价格下 降前的效用水平上。类似地，当我们提高商品的价格时，会导致他的效用下降，我们必须想 象对他进行正的补偿即增加他的收入，从而使他的效用增加到恰好等于价格上升前的效用水 平。由于我们将价格变化引起的效用变动与收入的（假想出来的）调整联系起来，这个假想 出来的需求函数通常称为补偿需求函数 ．．．．．． （compensated demand functions）。然而，由于约翰. 希克斯（John Hicks,1939）是第一个作出如此分析的经济学家，补偿需求函数通常由叫做希 ． 克斯需求函数 ．．．．．． （Hicksian demand functions）。下面我们将说明支出最小化问题的解 ),( uh px 正是消费者的希克斯需求向量。 图 1.16：商品 1 的希克斯需求函数 为了将我们的思想表达的更清楚一些，请看图 1.16. 如果我们想把消费者的效用固定在 u 水平上并且使其面对价格 01p 和 0 2p （图 1.16(a)），那么他的预算线的斜率为 0201 / pp− 。注 意，在这种情形下他的效用最大化的选择和支出最小化的选择 ),,( 02011 uppx h 和 ),,( 02012 uppx h 是相同的。如果我们将商品 1 的价格降低为 0111 pp < ，但适当减少收入使消 费者仍然在效用为u 的无差异曲线上，他的新预算线的斜率为 02 1 1 / pp− ，他的效用最大化的 选择变为 ),,( 02111 uppx h 和 ),,( 02112 uppx h 。和以前一样，如果我们固定价格 02p ，并画出商品 1 自身的价格与商品 1 的补偿需求数量之间的关系（效用水平固定为u ），就得到了“类似 曹乾（东南大学 caoqianseu@163.com） 10 需求曲线”的图形（图 1.16（b））。这个图形就是给定效用水平u 时商品 1 的希克斯需求曲 线。显然效用水平不同希克斯需求曲线也不同不同不同不同 ．． 。然而，这些曲线的形状和位置总是取决于消 费者的偏好。 总之，支出最小化问题的解 ),( uxh p 正是希克斯需求向量，这是因为消费者面对的补偿 预算约束（见图 1.16）代表的支出，恰好等于在给定价格下为了达到既定效用水平而必须的 最小支出。 因此，（1.14）定义的函数包含着关于消费者的希克斯需求的重要信息。这个函数在分 析上的重要性稍后我们再介绍。此处我们仅关注能从支出函数中提取的信息。消费者的希克 斯需求可从支出函数中推导出，方法是求导。在下列定理中，我们详细给出了支出函数的这 个性质以及其他的一些重要性质。 定理 1.7 支出函数的性质 若若若若 )(⋅u 是连续且单调增的是连续且单调增的是连续且单调增的是连续且单调增的，，，，则则则则（（（（1.14））））定义的定义的定义的定义的 ),( ue p ：：：： 1.当当当当u 为为为为U 的最小效用水平时的最小效用水平时的最小效用水平时的最小效用水平时，，，，它为零它为零它为零它为零。。。。 2.在它的在它的在它的在它的定义域定义域定义域定义域 URn ×++ 上是连续的上是连续的上是连续的上是连续的。。。。 3.对于所有对于所有对于所有对于所有 0p >> ，，，，它是严格增而且在它是严格增而且在它是严格增而且在它是严格增而且在u 中无上界中无上界中无上界中无上界。。。。 4.关于关于关于关于p 单调增单调增单调增单调增。。。。 5.是是是是p 的一次齐次函数的一次齐次函数的一次齐次函数的一次齐次函数。。。。 6.是是是是p 的凹函数的凹函数的凹函数的凹函数。。。。 另外另外另外另外，，，，如果如果如果如果 )(⋅u 是严格拟凹的是严格拟凹的是严格拟凹的是严格拟凹的，，，，则则则则 7.Shephard 引理引理引理引理：：：： ),( ue p 在在在在 ),( 00 up 处关于处关于处关于处关于p 可导可导可导可导，，，，其中其中其中其中 0p >> ，，，，并且并且并且并且 .,...,1),,(),( 00 00 niux p ue h i i == ∂ ∂ pp 证明：证明性质 1。注意U 中的最小值为 )0(u ，这是因为 )(⋅u 在 nR+ 上是严格增的。因此 ))(,( 0p ue ，这是由于 0x = 的效用为 )(0u ，由此需要的支出为 0=⋅ 0p 。 性质 2 即连续性，由最大值定理可直接推出。 尽管在不需要进一步作出假设的情形下性质 3 也成立。附加一些假设虽然降低了一般性 但简化了证明。为此我们作出以下假设： 0p >>),( uxh 对于所有 0>>p 以及 )(0uu > 是可 微的； )(⋅u 可微且 0/)( >∂∂ ixu x ， i∀ 在 nR ++ 上。 现在，由于 )(⋅u 为连续且严格增，并且 0>>p ，(11.4)中的约束必定是有约束力的 曹乾（东南大学 caoqianseu@163.com） 11 （binding）。因为如果 uu >)( 1x ，存在充分接近于 1 的 )1,0(∈t 使得 utu >)( 1x 。而且 )(0uu ≥ 蕴涵 )()( 1 0x uu > ，因此 0x ≠1 。所以 11)( xpxp ⋅<⋅ t ，这是因为 01 >⋅ xp 。因而， 当（11.4）中的约束不具有约束力时，必定存在能满足这个约束条件的更便宜的商品束。所 以，在最优点，约束条件必定是具有约束力的。从而，我们可将（1.14）改写为 .)(..min),( uutsue nR =⋅≡ +∈ xxpp x （P.1） 这个问题的拉格朗日函数为 )].([),( xxpx uuL −+⋅= λλ （P.2） 现在对于 0p >> 和 )(0uu > ，可知 0xx >>= ),(* uph 是（P.1）的解。因此，根据拉 格朗日定理可知，存在 *λ 使得 .,...,10)(),( * * ** ni x up x L i i i == ∂ ∂ −= ∂ ∂ xx λλ （P.3） 接下来注意到由于 ip 和 ixu ∂∂ /)( *x 都为正，因此， *λ 也为正。在我们额外的假设前提下， 可以使用包络定理证明 ),( ue p 关于u 是严格增的。 根据包络定理，最小值函数 ),( ue p 关于u 的导数，等于拉格朗日函数关于u 的导数在 ),( ** λx 处的值。因此 .0),(),( * ** >= ∂ ∂ = ∂ ∂ λλ u L u ue xp 由于这个式子对于所有 )(0uu > 成立，而且由于 )(⋅u 是连续的，我们可以断言：对于所有 0p >> ， ),( ue p 在U 上（包含 )(0u ）关于u 是严格增的。 e 关于u 是上无界的，这个结论可从 )(xu 为连续且严格增的事实推出。我们将它留作 练习，请见习题 1.34。 由于性质 4 可从性质 7 推出，我们暂时推迟它的证明。性质 5 留作习题。 对于性质 6，我们必须证明 ),( ue p 是价格的凹函数。首先回顾一下凹函数的概念。令 1p 和 2p 是任意两个正的价格向量，令 ]1,0[∈t ，令 21 )1( ppp ttt −+= 为 1p 和 2p 的任意凸组 合。于是支出函数为价格的凹函数如果 ).,(),()1(),( 21 ueuetute tppp ≤−+ （P.4） 为了看清事实的确如此，我们只要理解了对于给定的价格支出达到最小是什么意思即可。假 设为了达到效用u ：当价格为 1p 时 1x 使支出最小，当价格为 2p 时 2x 使支出最小，当价格 为 tp 时 *x 使支出最小。这意味着同样达到效用u ，当价格为 1p 时， 1x 的支出不会大于其他其他其他其他 ．． 任何任何任何任何 ．． 消费束的支出；类似地，同样达到效用u ，当价格为 2p 时， 2x 的支出不会大于其他任 曹乾（东南大学 caoqianseu@163.com） 12 何消费束的支出。现在如果正如我们所说，则 xpxp ⋅≤⋅ 111 且 xpxp ⋅≤⋅ 222 对于达到效用u 的任何消费束 x 都成立。而且，这些关系对于 *x 也必然成立，这是因为 *x 也 能达到效用u 。因此，仅仅根据在给定价格时达到效用u 的最小支出的这一性质，我们就可 以得到 *111 xpxp ⋅≤⋅ 且 *222 xpxp ⋅≤⋅ 现在我们稳操胜券。因为 0≥t 以及 0)1( ≥− t ，所以我们可将上面的第一个式子乘以 t ，将 第二个式子乘以 )1( t− ，不等式的符号不会改变。然后我们将这两个新不等式相加，可得 *2*12211 )1()1( xpxpxpxp ⋅−+⋅≤⋅−+⋅ tttt 最后将 tp 的定义代入上式可得 .)1( *2211 xpxpxp ⋅≤⋅−+⋅ ttt 当价格分别为 1p 和 2p 时，为了达到效用u ，相应的最小支出分别为 11 xp ⋅ 和 22 xp ⋅ ，因此 上式左端只不过是这两个最小支出的凸组合；上式右端是说当价格为 1p 和 2p 的凸组合价格 时，为了达到效用u 所必需的最小支出。简而言之，这个式子和（P.5）是相同的，由此可 知 ].1,0[),(),()1(),( 21 ∈∀≤−+ tueuetute tppp 这正是我们想要证明的结果。 证明性质 7。我们再次使用包络定理，但是现在对 ip 微分，可得 ).,(),(),( * ** u p L p ue h ii ii pxxxp ≡= ∂ ∂ = ∂ ∂ λ 这正是我们要证明的。由于 0),( ≥uh px ，这也证明了性质 4。（习题 1.37 要求读者在不附 加其他假设的前提下证明性质 7。另外，在不附加其他假设前提下证明性质 4。）■ 例 1.3 假设直接效用函数为 CES 形式 ρρρ /12121 )(),( xxxxu += ，其中 10 <≠ ρ 。我们想推导 出它的支出函数。由于偏好是单调的，我们可以将支出最小化问题（1.15）表达为 .0,0,0)(..min 21/1212211 , 21 ≥≥=+−+ xxxxutsxpxp xx ρρρ 它的拉格朗日函数为 ].)([),,( /121221121 ρρρλλ xxuxpxpxxL +−++= （E.1） 曹乾（东南大学 caoqianseu@163.com） 13 假设两种商品都是内部解，约束最小化问题的一阶条件保证解值 λ,, 21 xx 满足下列等式 ,0)( 111)/1(211 1 =+−= ∂ ∂ −− ρρρρλ xxxp x L （E.2） ,0)( 121)/1(212 2 =+−= ∂ ∂ −− ρρρρλ xxxp x L （E.3） .0)( /121 =+−=∂ ∂ ρρρ λ xxu L （E.4） 消去λ ，可得到包含两个未知数的两个方程， )1/(1 2 1 21 )( −= ρp p xx （E.5） .)( /121 ρρρ xxu += （E.6） 将（E.5）代入（E.6）可得 ρρρρρρρρ /1)1/( 2 1 2 /1 2 )1/( 2 1 2 ]1)[(])([ +=+= −− p p xx p p xu 求出 2x 并令 )1/( −≡ ρρr ，可得 .)( ][]1)[( 1 2 1)/1( 21 )1/(1 2 /1)1/( 2 )1/( 1 /1 2 )1/( 2 1 2 −− − − −− −− += +=+= rrrr pppu pppux p p ux ρρρρρρρρρρ （E.7） 将（E.7）代入（E.5）可得 .)( )(][ 1 1 1)/1( 21 1 2 1)/1( 21 /1)1/(1 2 )1/(1 11 −− − −− −−− += ++= rrrr rrrr pppu pppppux ρρρ （E.8） （E.7）和（E.8）的解取决于最小化问题的参数p和u 。这两个函数为希克斯需求，所以我 们可以将（E.8）和（E.7）改写为 1 1 1)/1( 211 )(),( −−+= rrrrh pppuux p （E.9） 1 2 1)/1( 212 )(),( −−+= rrrrh pppuux p （E.10） 为了得到支出函数，我们使用（1.15）式并将（E.9）和（E.10）代入（E.1）中的目标 函数，可得 .)( ))(( )()( ),(),(),( /1 21 1)/1( 2121 1 2 1)/1( 212 1 1 1)/1( 211 2211 rrr rrrrr rrrrrrrr hh pp ppppu pppuppppup uxpuxpue += ++= +++= += − −−−− ppp （E.11） 曹乾（东南大学 caoqianseu@163.com） 14 (E.11)正是我们想要得到的支出函数。我们将验证该函数具有常见的性质的任务留作习题。 □ 1.4.3 间接效用函数和支出函数之间的关系 尽管间接效用函数和支出函数是不同的概念，但是二者之间明显存在着密切的关系。马 歇尔需求函数和希克斯需求函数也是这样的。 特别地，固定 ),( yp 并且令 ),( yvu p= 。根据 v的定义，这个式子是说当价格为 p 时， u 是消费者的收入为 y 时能达到的最大效用。因此，当价格为p时，如果消费者希望至少至少至少至少 ．． 达 到效用u ，则收入 y 应该足够大才能达到这样的效用水平。但是我们知道 ),( ue p 是为了至 少达到效用u 所必需的最小最小最小最小 ．． 支出。因此，我们必然有 yue ≤),(p 。所以，v和e的定义使我 们得到了下面的不等式： .),()),(,( 0ppp >>∀≤ yyyve （1.16） 接下来，固定 ),( up 并且令 ),( uey p= 。根据 e的定义，这个式子是说当价格为p时， 收入 y 是至少达到效用u 所必需的最小支出。因此，当价格为p时，如果消费者的收入为 y ， 那么他至少可以达到效用u 。因为 ),( yv p 是当价格为p、收入为 y 时，消费者能达到的最最最最 ． 大大大大 ． 效用水平，这意味着 uyv ≥),(p 。因此，v和e的定义又意味着 .),()),(,( URuuuev n ×∈∀≥ ++ppp （1.17） 下面的定理表明，如果对偏好施加一些我们熟悉的条件，上述两个不等式必定成为等 式。 定理 1.8 间接效用函数和支出函数的关系 令 ),( yv p 和 ),( ue p 分别为某个消费者的间接效用函数和支出函数，而且该消费者的效 用函数为连续且严格增的。则对于所有 0p >> ， 0≥y 以及 Uu ∈ 来说均有： 1. .)),(,( yyve =pp 2. .)),(,( uuev =pp 证明：因为 )(⋅u 在 nR+ 上是严格增的，它在 0x = 处达到最小值，但没有达到最大值。而且 由于 )(⋅u 是连续的，消费者可实现的效用值的集U 必定是一个区间。因此，对于 )(0uu > ， ]),([ uuU 0= ，其中u 可以是有限的也可以为 ∞+ 。 证明性质 1。固定 +++ ×∈ RRy n),(p 。根据（1.16）可知， .)),(,( yyve ≤pp 我们必须证 明上式事实为等式。反证，假设不是，即假设 yue <),(p ，其中 ),( yvu p= 。根据 )(⋅v 的 定义可知， Uu ∈ ，因此 uu < 。根据 )(⋅e 的连续性（定理 1.7）可知，我们可以选择充分小 的 0>ε 使得 uu <+ ε 且 yue <+ ),( εp 。 曹乾（东南大学 caoqianseu@163.com） 15 令 ),( εε += uey p ，（1.17）意味着 .),(),( εε +≥> uyvyv pp 但是 ),( yvu p= ，因此 这意味着 .ε+≥ uu 矛盾。因此， .)),(,( yyve =pp 证明性质 2。固定 ]),([),( uuRu n 0p ×∈ ++ 。根据（1.17）可知， .)),(,( uuev ≥pp 我们 还是用反证法证明。假设 .)),(,( uuev >pp 我们需要考虑两种情形： )(0uu = 以及 )(0uu > 。 此处我们只分析第二种情形而将第一种情形留作习题。令 ),( uey p= ，我们有 uyv >),(p 。 现在由于 0))(,( =0p ue 且 )(⋅e 是效用的严格增函数（定理 1.7）， 0),( >= uey p 。由于 )(⋅v 是连续的（定理 1.6），我们可以选择充分小的 0>ε 使得 0>− εy 且 uyv >− ),( εp 。因此， 价格为p时，收入 ε−y 足以实现比u 大的效用。因此，必有 ε−≤ yue ),(p 。但这与事实 ),( uey p= 矛盾。■ 直到现在，如果我们想推导出消费者的间接效用函数和支出函数，我们必须解两个独 立的约束最优化问题：一个是最大化问题，另一个是最小化问题。然而定理 1.8 指明了一条 捷径：如果我们知道一个就可以容易地解出另一个。因此这个定理只要求我们求解其中一个 最优化问题即可，而将具体选择求解哪一个最优化问题留给我们自行选择。 为了明白怎么做此事，假设我们已求解出效用最大化问题并且由此得到了间接效用函 数。我们知道间接效用函数是收入变量的严格增函数。于是我们可以将价格维持不变，将间 接效用函数仅看成收入的函数，因此我们必然可以求出它的反函数。在前面我们已知道 .)),(,( uuev =pp 因此我们可以将反函数（称之为 ):(1 tv p− ）应用到上式的两侧，可得 ):(),( 1 uvue pp −= （1.18） 不管（1.18）右侧的表达式是什么样的，我们都知道它正好就是消费者的支出函数——如果 我们求解支出最小化问题并将其代入目标函数，我们也正好得到这个表达式。 相反，假设我们先求解的是支出最小化问题并得到了支出函数 ),( ue p 。在这种情形下， 我们知道 ),( ue p 是u 的严格增函数。再次假设价格固定不变，将支出函数仅看成效用的函 数，我们也能求出它的反函数，用 ):(1 te p− 表示。将这个反函数应用到定理 1.8 中第一个式 子的两侧，就可以直接得到间接效用函数。它是我们求解支出函数在任意收入水平 y 时的反 函数 ).:(),( 1 yeyv pp −= （1.19） （1.18）和（1.19）再次说明了效用最大化和成本最小化之间的关系。这两个概念正如 硬币的两面。在数学上，间接效用函数和支出函数都是对方的反函数。 例 1.4 我们可用前面例的结果来说明这些过程。在例 1.2 中，我们发现对于任何p和价格水平 y ，CES 直接效用函数给出的间接效用函数为 曹乾（东南大学 caoqianseu@163.com） 16 .)(),( /121 rrr ppyyv −+=p （E.1） 对于等于 ),( ue p 的收入水平 y ，必有 .))(,()),(,( /121 rrr ppueuev −+= ppp （E.2） 接下来，由定理 1.8 的第二个式子，我们知道对于任何p和效用水平u .)),(,( uuev =pp （E.3） 联立（E.2）和(E.3)可得 .))(,( /121 uppue rrr =+ −p （E.4） 从上式解出 ),( ue p 可得支出函数的表达式 rrr ppuue /121 )(),( +=p （E.5） 在例 1.3 中我们是通过直接求解消费者的支出最小化问题来求支出函数的。将此处的结果与 例 1.3 的结果比较一下可知，它们是相同的。 相反，假设我们已知道支出函数的表达式，想求出间接效用函数。通过例 1.3 我们知道， 对于任何p和效用水平u ，CES 直接效用函数给出的支出函数为 rrr ppuue /121 )(),( +=p （E.6） 于是对用效用水平 ),( yv p ，我们有 rrr ppyvue /121 ))(,(),( += pp （E.7） 由定理 1.8 中的第一式可知，对于对于任何p和收入水平 y ， yyve =)),(,( pp （E.8） 联立（E.7）和（E.8）可得 yppyv rrr =+ /121 ))(,(p （E.9） 从上式中解出 ),( yv p 可得间接效用函数的表达式 rrr ppyyv /121 )(),( −+=p （E.10） 比较此处的结果与例 1.2 的结果可知，这个结果证实我们直接通过求解消费者效用最大化问 题而得到的间接效用函数。 □ 我们把注意力暂时从效用最大化和支出最小化问题的各自的解上移开，而放在这两个 最优化之间的关系上，因为我们想进一步分析二者之间的关系。效用最大化问题的解为马歇 尔需求函数，支出最小化问题的解为希克斯需求函数。由于这两个最优化问题之间存在着密 切关系，因此我们自然怀疑它们的解之间也存在着密切的关系。下列定理给出了希克斯需求 和马歇尔需求之间的关系。 曹乾（东南大学 caoqianseu@163.com） 17 定理 1.9 马歇尔需求函数和希克斯需求函数之间的对偶关系 在在在在 1.2 的假设下的假设下的假设下的假设下，，，，对于对于对于对于 niUuy ,...,1,,0,0 =∈≥>>p ，，，，马歇尔需求函数和希克马歇尔需求函数和希克马歇尔需求函数和希克马歇尔需求函数和希克 斯需求函数之间存在以下关系斯需求函数之间存在以下关系斯需求函数之间存在以下关系斯需求函数之间存在以下关系：：：： 1. )),(,(),( yvxyx hii ppp = 2. )).,(,(),( uexux ihi ppp = 第一个关系是说，当价格为p收入为 y 时的马歇尔需求，等于当价格为p且效用最大（价 格为p收入为 y 时能达到的最大效用水平）时的希克斯需求。第二个关系是说，当价格为p 效用为u 时的希克斯需求，等于价格为p且收入最小（为达到该效用水平u 时必需的最小收 入）时的马歇尔需求。 大致来说，定理 1.9 是说：（1.12）的解同时也是（1.14）的解，反之亦然。更准确地说， 如果 *x 是（1.12）在 ),( yp 处的解，该定理断言 *x 也是（1.14）在 ),( up 的解，其中 )( *xuu = 。 相反，如果 *x 是（1.14）在 ),( up 处的解，则 *x 也是（1.12）在 ),( yp 处的解，其中 *xp ⋅=y 。 图 1.17 说明了该定理。在这个图中，显然 *x 既可以看成（1.12）的解又可以看成（1.14）的 解。正是在这种意义上，我们说 *x 具有对偶对偶对偶对偶 ．． （dual）性质。 图 1.17：支出最小化与效用最大化 证明：我们只证明第一个关系，而将第二个关系的证明留作习题。 根据假设 1.2 可知， )(⋅u 为连续且严格拟凹的，因此（1.12）和（1.14）的解是唯一的。 所以，马歇尔需求函数和希克斯需求函数是定义清晰的。 曹乾（东南大学 caoqianseu@163.com） 18 为证明第一个关系，令 ),( 000 yxxx = ，令 )( 00 xuu = 。于是根据 )(⋅v 的定义可知 000 ),( uyv =p ，以及 000 y=⋅ xp ，这是由于 )(⋅u 为严格增的（假设 1.2）。根据定理 1.8， 0000 )),(,( yyve =pp ，或者等价地， 000 ),( yue =p 。但是由于 )( 00 xuu = 且 000 y=⋅ xp ， 这意味着当 ),(),( 00 uu pp = 时， 0x 是（1.14）的解。因此， ),( 000 yh pxx = ，从而 )).,(,(),( 00000 yvy h ppxpx = ■ 例 1.5