《线性代数》部分
一、判断题：
1.四阶行列式 D=
= abcd. (√ )
2.n阶行列式D=
=
( )
3.设A为n阶矩阵,k为不等于零的常数,则
( )
4.设A,B均为n阶矩阵,则
( )
5.若n阶矩阵A,B满足AB=0,则有A=0或者B=0. ( )
6.对n阶矩阵A,若存在n阶矩阵B,使AB=E(E为n阶单位矩阵),则A可逆且有
(√ )
7.设A,B均为n阶矩阵且A
,则A,B均可逆. ( )
8.若n阶矩阵A,B均为可逆矩阵,则A+B仍为可逆矩阵. ( )
9.设A,B均为n阶可逆矩阵,则
. ( √)
10.若n阶矩阵A为对称矩阵,则A为可逆矩阵. ( )
11.若n阶矩阵A为正交矩阵,则A为可逆矩阵. (√ )
12.若n阶可逆矩阵A=
,则
(√ )
13.若存在
使式子
成立,则向量组
线性无关. ( )
14.若向量组
线性相关,则
可用
线性表示. ( )
15.设
为基本单位向量组,则
线性无关. ( √)
16.若
是向量组
的一个极大无关组,则
均可用
线性表示. (√ )
17.等价向量组所含向量个数相同. ( )
18.若
是向量组的一个极大无关组,则此极大无关组与原向量组等价. (√)
19.若
矩阵A有一个r(r
标准
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形中1的个数. (√ )
21.任何一个齐次线性方程组都有基础解系. ( )
22.任何一个齐次线性方程组都有解. (√ )
23.若线性方程组AX=B(A为
矩阵,X=
)满足
Rank
则此方程组有解. (√ )
24若线性方程组AX=0(A为n阶矩阵,X同上)满足
,则此方程组无解. ( )
25.若线性方程组AX=B(A,X同24题,B=
满足
此方程组有无穷多解. ( )
26.若
都是AX=B(A,X,B同23题)的解,则
仍是此方程组的解. ( )
二、填空题：
1. 四阶行列式
_____________________.
2. 五阶矩阵
其中
则
_______,
________,
_____________.
3. 设A,B均为n阶矩阵,且
则
=_______________.
4. 设矩阵
,则
的余子式为_________________,
的代数余子式为________________,A的顺序主子式为__________________________.
5. 设三阶矩阵
则kA-E =________________(k为不等于零的常数,E为三阶单位矩阵),若
则
=________________.此时A在等价关系下的标准形为____________________.
6. 已知
当
为任意常数时,向量组
线性________关(相关还是无关).
_______(能还是不能)用
线性表示.
7.设
则向量
用向量
线性表示的表达式为_______________________.向量组
_____________(是或不是)线性相关.
8. n阶矩阵A可逆的充分必要条件是1)___________________________________, 2)___________________.
9. 设A为五阶矩阵,且
则
其中
为A的伴随矩阵.
10.设矩阵
其中
则
= ，
= ，
= 。
11 .设A为n阶正交矩阵,则Rank(A) =__________________,
__________________.
12. 设E为四阶单位矩阵,则初等矩阵E(1,3)=_______________, E(2(3))=________________.
13. 设A为四阶矩阵且
B是由A交换2,3行得到的等价矩阵,则
Rank(A)_______Rank(B)(等于,大于或小于).
14. 齐次线性方程组
的一个基础解系为___________________________,其全部解为____________________________________.
15. 设线性方程组为
,它的导出组的一个基础解系为_________________
_______________________,此方程组的全部解为________________________________.
16.设
矩阵A的秩为
都是线性方程组AX=B(X=
的解,则它的一个基础解系为___________,全部解为________________________________________________.
17. 设向量组
则实数t =________时,
线性相关.
三、单项选择题：
1．下列5级排列是偶排列的是（ A ）。
A．32415 B．41523 C．51324 D．23154
2．n 阶行列式
=（ C ）。
A．
B．
C．
D．
3．设3阶行列式
，则
（ D ）。
A．2k B．6k C．18k D．
4． 已知4阶行列式D中的第2行的元素依次为1，0，-1，2，它们的余子式依次为3，8，5，4，则D =（ B ）。
A．6 B．10 C．-10 D．-6
5．如果线性方程组
有非零解，则k =（ C ）。
A．0或1 B．1或-1 C．-1或-3 D．-1或3
6．n阶矩阵A可逆的充分必要条件是（ D ）。
A．A = 0 B．A≠ 0 C．| A| = 0 D．|A|≠ 0
7．如果n阶矩阵A，B均可逆，则必有（ D ）。
A．
B．
C．
D．
8．如果n阶矩阵A可逆，则
=（ A ）。
A．
B．
C．
D．
9．设A，B都为n阶矩阵，如果|AB|= 0，则必有（ C ）。
A．AB = 0 B．A = 0或 B = 0 C．| A| = 0或| B | = 0 D．
10．当ad - cb =1时，
=（ B ）。
A．
B．
C．
D．
11．设A为m×n矩阵，如果r(A) = r （< min( m, n )），则（ B ）。
A．A有一个r阶子式不等于零，一个r + 1阶子式等于零。
B．A有一个r阶子式不等于零，所有r + 1阶子式都等于零。
C．A的所有r阶子式都不等于零，一个r + 1阶子式等于零。
D．A的r阶子式不全为零，一个r + 1阶子式等于零。
12．向量组
(m 2)线性相关的充分必要条件是（ A ）。
A．
中至少有一个向量可以用其余向量线性表示。
B．
中有一个零向量。
C．
中的所有向量都可以用其余向量线性表示。
D．
中每一个向量都不能用其余向量线性表示。
13．向量组
的部分组
是向量组
的一个极大无关组，则其必须满足（ C ）。
A．
线性无关，
中至少有一个向量可以用
线性表示。
B．
线性相关，
中所有向量都可以用
线性表示。
C．
线性无关，
中所有向量都可以用
线性表示。
D．
线性无关，
中所有向量都不可以用
线性表示。
14．设A为n阶矩阵，
，如果| A | = 0，则齐线性方程组AX = 0（ B ）。
A．无解 B．有非零解 C．仅有零解 D．不能确定是否有非零解
15．三元线性方程组
的全部解为（ A ）。
A．
（
为任意常数）
B．
（
为任意常数）
C．
（
为任意常数）
D．
（
为任意常数）
四、计算题：
1.解方程
.
2.设
, 求
3.计算n阶行列式 D =
.
4.设矩阵A，B分别为
A=
.求
.
5.设
其中
试求
6.求x，y，t，u，使得
7.求矩阵X使XA=B，其中
8.设X为n阶矩阵且满足AX - B = 0,试求X,其中
9.设向量组
,试求此向量组的秩和它的一个极大无关组.
10．设A=
求Rank（A）.
五、求解下列各题：
1.讨论齐次线性方程组AX=0，其中A=
1）当n为何值时，此方程组有唯一零解，或有非零解？
2）求出当n = 4时方程组的全部解.
2.当
取何值时，下面线性方程组有非零解，并求出此时的全部解.
.
3.试讨论下面方程组中
取何值时,它有唯一解,无穷多解或无解,并求出有解时的全部解:
4.设向量
1) 当
取何值时,
可用
线性表示;
2) 当
取何值时,
不能用
线性表示.
5.当a,b为何值时,方程组
有无穷多解?并求此时的全部解.
6.求线性方程组
的全部解.
7.求下面线性方程组的全部解:
8.当a,b取何值时,下面三元线性方程组有唯一解,无穷多解或无解?
六、
证明
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题：
1.若n阶矩阵A满足A
+ A- E = 0,其中E为n阶单位矩阵,试证矩阵A+E为可逆矩阵.
2.设A为n阶矩阵且A
= 0 (n为自然数)，则E- A是可逆矩阵且
=
(其中E为n阶单位矩阵).
3.设
线性无关,则
亦线性无关.
4.设向量组
与向量组
有相同的秩,则
可用
线性表示.
5.证明线性方程组
满足
时有解.
6.设A为正交矩阵,试证其伴随矩阵
亦为正交矩阵.
北京邮电大学高等函授教育、远程教育
《工程数学》综合练习解答
通信工程、计算机科学与技术专业（本科）
《线性代数》部分
一、判断题：
1.√ , 2.×, 3. ×, 4. ×, 5. ×, 6. √, 7. ×, 8. ×, 9. √, 10. ×, 11. √, 12. √,13. ×, 14. ×, 15. √ 16. √ 17. ×, 18. √, 19. ×, 20. √,21. ×, 22. √, 23. √, 24. ×, 25. ×, 26. ×.
二、填空题：
1. 0; 2. 7, -3, -21; 3. -12; 4. 3, -3, 1,2,-2;
5.
,
6. 无关, 不能; 7.
, 是;
8.
Rank(A)=n; 9.
; 81 ;10.
,
,
; 11. n,
,
1;
12.
13.
14.
,
15.
,
16.
,
17.
.
三、单项选择：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
选项
A
C
D
B
C
D
D
A
C
B
题号
11
12
13
14
15
选项
B
A
C
B
A
四、计算题：
1. 原式=
求得
2. D=
, 故有 D
=16.
3. D
=1+(-1)
=
.
4. 原式=
其中
A+B=
所以
=
5. 由于
则
所以
均可逆,且有
,
6. 由题意可得
则有
, 求得x=2, y=4, t=1, u=3.
7. 由 XA=B可得
, 其中
则
浙公网安备 33021202002483