§矩阵的乘法及其意义

§矩阵的乘法及其意义 ?平面上的線性變換與二階方陣 主題1,平面上的線性變換,平移、旋轉 , 1.平移運動,設點P(x,y)經平移=(h,k)後得到,因為=+ P'l(',')xy(',')xy(,)xy(,)hk xhx'，，，，，，所以用矩陣 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示如下,。 ，,,,,,,,yky'，，，，，， I (2).旋轉運動, Pxyi'('')，(a)旋轉中心為原點(0,0), , Pxyi()，///P(x+yi)P(x+yi) ) O R 設平面上有一點繞原點O旋轉,角度得到P', (',')xyPxy(,) 令=r,根據三角函數的定義, OP xr,cos,,可以得知, ,yr,sin,, ,,xrr,，,,cos()(coscossinsin),,,,,,xxy,,cossin,,,,, ,,,,yxy,，sincosyrrsin()(sincoscossin),，,，,,,,,,,,,, xx'，，，，,,,y)寫成如果將P(x,,寫成,則它們之間的關係可寫成 Pxy(,),,,,y'y，，，， ,,cossin,cossin',,,xx，，，，，，，，,,我們稱矩陣A=為旋轉矩陣。 ,,,,,,,,,sin,cos,sincos'yy,,，，，，，，，， ,,cos(,),sin(,)，，,1A[討論],旋轉矩陣A的反矩陣= ,,,,sin(,)cos(,)，， xcos()sin()',,,,,x，，，，，，,=。 ,,,,,,,ysin()cos()',,y,,，，，，，， 幾何解釋, 從向量的觀點來看, ,,,,,,,,, OPOP'若=繞原點O旋轉,成為=, (,)xy(',')xy ,,,,,,,,,cossin',,,xx，，，，，，OPOP'則與滿足。 ,,,,,,,sincos'yy,,，，，，，， 從複數的觀點來看, P'('')xyi，若在複數平面上P()xyi，繞原點O旋轉,得到, 則=(cos,+isin,) xyi''，()xyi， (b)旋轉中心為一般的點, 設平面上有一點P繞一點A旋轉,角度得到,那麼與間的關P'(,)xy(,)xy(',')xy(,)xy(',')xy00 ,,,,係是什麼,從向量的觀點來看,上述的旋轉運動可以視為=繞原點O旋轉,(,)xxyy,,AP00 ,,,,,xxxx,,'cossin,,,，，，，，，00成為=,所以可以得到關係式, ,(,)xxyy,,AP'00,,,,,,yyyy,,'sincos,,，，00，，，， O,3.旋轉,在坐標平面上一點,若將點以原點為中心依逆時鐘方向旋轉角,得一坐標PPxy(,) ,,,,x,點,則與滿足, Pxy(,)y ,xxcossin,,,cossin,,,，，，，，，，，,而就稱為旋轉矩陣, R[],,,,,,,,,,,,sincosyysincos,,,,，，，，，，，， ，,POX,【說明】設,且與軸正向方的夾角, OPr,OPx xr,cos,, 則, ,yr,sin,, ,,,，,，POX,,OPOPr,,OP 又且與軸正向方的夾角, x ,xrr,，,,cos()(coscossinsin),,,,,,, 則 ,,yrrsin()(sincoscossin),，,，,,,,,,, ,xxy,,cossin,,, , , ,,yxy,，sincos,,, 由矩陣的乘法運算得知 ,xxcossin,,,，，，，，， , ,,,,,,,,yysincos,,，，，，，， O,【註】若將點以原點為中心,依順時鐘方向旋轉角時,則旋轉矩陣為 Pxy(,) cos()sin(),,,,,，， , R(),,,,,sin()cos(),,,,，， 4.旋轉矩陣的特性, cossincossin,,,,,,cos()sin(),,,,，,，，，，，，，11221212,RRR()()(),,,,,,，(1),即, 1212,,,,,,sincossincossin()cos()，，,,,,,,,,1122，，，，，，1212 ncossincossin,,,,,,nn，，，，n,(2),即, [()]()RRn,,,,,,,sincossincosnn,,,,，，，， ※重要範例 ,1.在平面上,若點P(1,2)平移(3,2)後得點Q,Q再經過以原點為中心的旋轉30:後得R,則(1) Qd, 的坐標為____________, (2) R的坐標為____________, 33【解答】(1)(4,4);(2)(2, 2,2 ， 2) ,【詳解】(1)點P(1,2)經過平移(3,2)的變換得Q,Q的坐標為(1 ， 3,2 ， 2) , (4,4), d, (2)Q經過30:旋轉後的位置為R,R的坐標為(x,,y,), ，，31,,,，，4232,,,，，xcos30sin304:,:，，，，，，22,,,, 則, ,,,,,,,,,,,4,,,,sin30cos30::y413223，，，,,，，，，，，，，,,22，， 11,，，102.設A ,,試求A ,, ,,11，， 032,，，【解答】 ,,320，， 11，，,,，，,cossin,,,,,,11，，2244,,【詳解】, A,,,22,,,,1111,,,,，，,,sincos,,,,44，，22，， 1010,,,,，，，，,,cossincossin,,,,01032,,，，，，44221010, A,,(2)32,,32,,,,,,,,101010320,,,,,,,,，，，，sincossincos,,,,4422，，，， cossin,,,，，,12,3.設,且A ,,若A , I,求之值, 0,,,2,,sincos2,,，， ,,,【解答】0,,, 632 12cossincos12sin1210,,,,,,，，，，，，12【詳解】,所以cos12θ , 1且sin12θ , 0, A,,,,,,,,,sincossin12cos1201,,,,，，，，，， ,,,,因0 , θ ,,所以0 , 12θ , 6π,故12θ , 0,2π,4π,6π,即θ , 0,,,, 2632 cos75sin75cos45sin45:,:::，，，，隨堂練習.,I為單位矩陣,求 A,,,,,sin75cos75sin45cos45::,::，，，， n(1)使A , I的最小正整數n , ____________, , 1(2)A , ____________, ，，31,,22,,【解答】(1)12;(2) ,,13,,,22，， cos75sin75cos45sin45:,:::，，，，【詳解】(1) A,,,,,sin75cos75sin45cos45::,::，，，，cos75cos45sin75sin45cos75sin45sin75cos45::，::::,::，， ,,,sin75cos45cos75sin45sin75sin45cos75cos45::,::::，::，， cos30sin(30)cos30sin30:,::,:，，，， ,,,,,,sin30cos30sin30cos30::::，，，， cos(30)sin(30)10:，,:，nn，，，，n ,,?30: ， n , 360: ， k A,,,,,,sin(30)cos(30)01:，:，nn，，，， , ,n的最小值為12 cos30sin30:,:，，(2),又行列式值detA , 1 A,,,sin30cos30::，， ，，31,,cos30sin30::，，22,1,,A,, ,, ,,,::sin30cos30,,13，，,,,22，， 01,11,，，，，104., ,若,且,則k = (1) 8 (2) ,8 (3) 16 (4) ,16 (5) 32 Ak,，A,,,,,1011，，，， 【解答】5 11，，,,,11cos45sin45,:,:，，，，22,,A,,,22【詳解】 ,,,,1111sin45cos45::,,，，，，,,22，， cos450sin450cos90sin9001:,::,:,，，，，，，1010,,?k = 32, A,,,(2)3232,,,,,,sin450cos450sin90cos9010::::，，，，，， 5.設O(0,0),A(4,2)為平面上兩點 (1)若?AOB為正三角形且B在第一象限內,則B的坐標為____________, (2)若OABC為矩形,點C在第二象限內,且,則頂點C的坐標為____________, OCOA,2 33【解答】(1) (2 ,,2， 1);(2) (, 4,8) 【詳解】(1)?AOB , 60:,點B為A經過60:旋轉變換後的位置,設B(x',y'),則 ，，13,,,，，423,,xcos60sin604:,:，，，，，，，，22,,,, , ,,,,,,,,,,,2,,,sin60cos60::y231231，，，,,，，，，，，，，,,22，， 33 ?B(2 ,,2， 1), (2)點A經過90:旋轉後的位置為A'(x,y)時, xcos90sin9040142:,:,,，，，，，，，，，，，， , ,,,,,,,,,,,,,,,sin90cos9010::y224，，，，，，，，，，，， A'再經伸縮2倍的位置為C,則C的坐標為(, 4,8), 主題2,平面上的線性變換,鏡射 /P 1.鏡射運動, y 如圖,設平面上有一點P、過原點的直線L的斜角為,, (,)xy P , P點對於直線L鏡射的點為,令=r P'OP(',')xy , x O x'x=rcos,,y=rsin,,=rcos(2,,,),=rsin(2,,,) y' x'=rcos(2,,,)=r[cos2,cos,+sin2,sin,]=xcos2,+ysin2, =rsin(2,,,)=r[sin2,cos,,cos2,sin,]=xsin2,,ycos2, y' 所以可以將與的關係 (,)xy(',')xy cos2sin2',,xx，，，，，，寫成,, ,,,,,,,,sin2cos2'yy,,，，，，，， ,,cos2sin2，，我們稱為關於L的鏡射矩陣。 ,,sin2,cos2,,，， ,PLP2.鏡射,設,為坐標平面上的相異兩點,其垂直平分線為,則 ,,PLPLPP稱與對直線成對稱,同時稱為對於直線的對稱點,而 ,PLP對稱點,與直線的關係就像實體，影像與鏡面的關係,因此, ,PLP將平面上一點對應至直線的對稱點之變換就稱為鏡射,其中 L直線稱為鏡射軸,當鏡射軸為一條通過原點的直線時,我們便可以用矩陣來表示這樣的鏡射, 3.用矩陣表示鏡射, ,OLL設直線通過直角坐標的原點且與軸正向方的夾角為,若點對直線的鏡射變換xPxy(,)2 ,xxcossin,,cossin,,，，，，，，，，,,,至,則,其中就稱為鏡射矩陣, Pxy(,),,,,,,,,,,,sincosyysincos,,,,,，，，，，，，， xr,cos,,OPr,OP【說明】設且與x軸逆時鐘方向的夾角為,,則, ,yr,sin,, ,,,2(),，,,OPr,OP 又且與x軸逆時鐘方向的夾角為時, ,,,,2 ,xrrr,,,，cos()coscossinsin,,,,,,, , ,,yrrrsin()sincoscossin,,,,,,,,,,, ,xxy,，cossin,,, 得, ,,yxy,,sincos,,, 由矩陣的乘法運算可以得知 ,xxcossin,,，，，，，， , ,,,,,,,,yysincos,,,，，，，，， 4.常見的鏡射矩陣, cos0sin010::，，，，,,,:0(1)鏡射軸為軸時,,即,鏡射矩陣為, ,:0x,,,,,2sin0cos001:,:,，，，， cos180sin18010::,，，，，,,,:180(2)鏡射軸為軸時,,即,則鏡射矩陣為, ,:90y,,,,,2sin180cos18001:,:，，，， cos90sin9001::，，，，,,,:90(3)鏡射軸為時,,即。則鏡射矩陣為, ,:45xy,,0,,,,,2sin90cos9010:,:，，，， cos270sin27001::,，，，，,,,:270(4)鏡射軸為時,,即, 則鏡射矩陣為, ,:135xy，,0,,,,,2sin270cos27010:,:,，，，， 5.鏡射軸為的鏡射矩陣, ymx, ,,,若點對直線L,的鏡射變換到, ymx,Pxy(,)Pxy(,) 2,xx，，12,mm，，，，1則, ,,,,,,,22,yy1，m21mm,，，，，，， 【說明】由三角函數中可以得知, ,,,222cossin1tan,,,,,22222coscos(2)cossin,，,, , ,,,,,,222222cossin1tan，，222 ,,,2sincos2tan,,,222sinsin(2),， , ,,,,2sincos2,,,22222，，cossin1tan222 21,m,2mtan,m,,,cos,sin 當,則,, 222，1m1，m 2，，12,mm2,,22,,cossin，，12,mm，，111，，mm,,,, 得鏡射矩陣, ,,,,222sincos,1，m,,21mm,21mm,,,，，，，,22,,11，，mm，， 2,xx，，12,mm，，，，1, 故, ,,,,,,22,yy1，m21mm,，，，，，， ※重要範例 1.設L,x , 2y , 0,點P(4,, 1)對直線L鏡射後得點P'(x',y'),試求P'之坐標為____________, 819【解答】(,) 55 ,,1【詳解】已知直線的斜率,所以, m,tan,tan222 ,1,12,,2tan2,1tan1432224再由公式求,, sin,,,,,,cos,,11,,55221tan1，，，，1tan12424 348，，，， ,,,,,,cossin44，，，，，，555所以由鏡射變換公式知, ,,,,,,,,,,,,,,,sincos143119,,,,,,，，，，，，,,,,,555，，，， 819 即P'之坐標為(,), 55 2., ,設直線L是有向角30:的終邊所在的直線,點A(3,,4)對直線L鏡射後的坐標為 333333(1) (2) (3) (4) (3,23),，(33,123)，(23,23),，(3,13)，，222222 33(5) (23,23),,22 【解答】2 11,211,m123m3cos,,,,m,:,tan30,,,【詳解】,, sin22112，m，12m31，3 ，，133，，,23,,,,cossin33,,，，，，，，222,,,,,, ,,,,,,,,sincos443,,,,,,,31,,，，，，，，23，,,,,,2，，22，， 33即所求鏡射坐標為, (23,23),，22 隨堂練習., ,坐標平面上點P(6,,4),經直線L,鏡射後的點坐標為 yx,3(1) (2) (3) (4) (233,332),,,(233,332),，,(323,332),,,(233,32),，(5) (233,331),， 【解答】4 ,【詳解】L,,, yx,3m,,tan32 21131,,m2233m?, ,cos,,,,,,,,sin221132，，m，，1132m ，，13,,,，，xcossin66323,,,,，，，，，，，，22,,,,,,, ,,,,,,,,,,ysincos44,,,,,,,31233,，，，，，，，，，,,，，,,22，， 即所求鏡射坐標為, (323,233),,,， 3.某點P先以O為中心旋轉80:,再對於直線鏡射,其結果相當P點直(31)(31)0,,，,xy接對於直線y , (tanθ)x鏡射,0: < θ < 180:,求θ之值。 【解答】 155: 31,,m,,,,23tan【詳解】,,,為斜角, (31)(31)0,,，,xy31， 211(743)6433,,,,，m24231m,?, ,,cos,,,,sin,,,22221，m1，m1(743)843，,,1(743)，, ，，31,,cos80sin80:,:，，22,,,,鏡射矩陣,又旋轉矩陣, ,,,,,sin80cos80::13，，,,,，，22 ，，31,,cos80sin80:,:cos30sin30cos80sin80:::,:，，，，，，22,,? ,,,,,,,sin80cos80::,,sin30cos30sin80cos80:,:::13，，，，，，,,,，，22 cos80cos30sin80sin30sin80cos30cos80sin30::，::,::，::，， ,,,sin30cos80sin80cos30sin80sin30cos80cos30::,::,::,::，， cos50sin50cos310sin310:,:::，，，，2310,,:,,:155,?,, ,,,,,,,:,::,:sin50cos50sin310cos310，，，， 4., ,下列各選項何者為正確, ，，13,,,,x'x，，，，22 ,,,(1)以原點為中心,點P(x,y)作轉角為120:的旋轉變換得P'(x',y'),則 ,,,,y'y,,31，，，，,,,22，， 34，，,,,x'x，，，， 55(2)點Q(x,y)以直線2x – y = 0為鏡射軸的鏡射變換g得鏡像點Q'(x',y'),則 (3),,,,,,,y'y43,,，，，， ,,55，，點A(x,y)先經以原點為中心,轉角為120:的旋轉變換f再經以直線2x – y = 0為鏡射軸的鏡射變 ，，343433，,，,,x'x，，，，1010 ,,換g得點A'(x',y'),則 ,,,,,y'y,,,，,,433343，，，，,,1010，， (4)點B(x,y)先經以直線2x – y = 0為鏡射軸的鏡射變換g再經以原點為中心,轉角為120:的旋轉 ，，343433,,,,,x'x，，，，1010 ,,,變換f得點B'(x',y'),則 ,,,,y'y,,,,,，433343，，，，,,1010，， (5)點C(x,y)先經以直線2x – y = 0為鏡射軸的鏡射變換g再經此鏡射變換g得點C'(x',y'),則x'x10，，，，，， ,,,,,,,y'y01,，，，，，， 【解答】1234 ，，13,,,,x'xxcos120sin120:,:，，，，，，，，22,,,,【詳解】(1),?正確, ,,,,,,,,y'yysin120cos120::,,31，，，，，，，，,,,22，， 21143,,m,244m,cos,,,,(2) L,2x , y = 0,? ,, m,,tan2,,,,sin221145，，m2，，1145m 34，，,,,,,x'xxcossin，，，，，，，，55 ,,?正確, ,,,,,,,,,,,,y'yysincos43,,,,,，，，，，，，， ,,55，， ，，，，34343433，,，13，，,,,,,,,,,x'xx，，，，，，55101022,,,,(3)由(1)(2) ,,?正確, ,, ,,,,,,,,y'yy43,,,,31433343,，,,,,，，，，，，,,,,,,,55，，221010，，，， ，，，，34343433,,,13，，,,,,,,,,,x'xx，，，，，，55101022,,,,(4)由(1)(2) ,,?正確, ,,,,,,,,,,y'yy43,,,,31433343,,,，,,，，，，，，,,,,,,,55，，221010，，，， x'x10，，，，，，(5)鏡射偶數次會回到原C(x,y),即C' = C ,,?不正確, ,,,,,,,y'y01，，，，，， 5.設O(0,0),A(1,4),且?OAB為等腰三角形,其中?AOB , 45:,且?A , 90:, (1)而B在第一象限內,則B的坐標為____________, (2)又?AOB對y軸鏡射得?A'OB',而A'為A的鏡射點,B'為B的鏡射點,則A'的坐標為____________, 【解答】 (1)(5,3);(2)(, 1,4) 2【詳解】(1)如下圖,?AOB , 45:,?A , 90:,所以點B為A旋轉, 45:後再伸縮倍, 因此B的坐標(x,y), ，，x20cos(45)sin(45)1,:,,:，，，，，，, ,,,,,,,,sin(45)cos(45),:,:y402，，，，，，,,，， ，，22,,，，201，，1115，，，，，，22,,, ,B(5,3), ,,,,,,,,,,,,4,,,11430222,，，,,，，，，，，，，,,22，， (2)以y軸為鏡射軸,A的鏡射點A',A'的坐標為(, 1,4), 隨堂練習.設L,x , 2y , 0,L,x , 3y , 0,點P(x,y)對L鏡射後,再對L鏡射,最後得點P'(x',y'),1212 試以x,y表示x',y', 247,,xxy,，,,2525 【解答】,724,,yxy,,，,2525, 1,1,12【詳解】L,x , 2y , 0 ,,L,x , 3y , 0 ,, ,,,,mtanmtan12122232 111,2，21,m2m341412,, cos,,,,sin,,,,112211551，m1，m1111，，44 111,2，21,m2m433922sincos,,,,,,,,, 222211551m，1，m221，1，99 4334，，，， ,,,,xcossincossin,,,,x'x，，，，，，，，，，55552211, ,,,,,,,,,,,,,,,,3443ysincossincos,,y'y,,,,,,,,，，，，，，2211，，，，,,,,,,5555，，，， 247247，，，，xy，,,,,x，，25252525 , ,,,,,,,,724724y,,，，,,,,，xy,,,,25252525，，，， 247724,,?,, xxy,，yxy,,，25252525 6.設L,2x , 6y ， 5 , 0,依下列變換,求L'的方程式, (1)將L以原點為中心,旋轉30:得L', (2)將L對x ,3y , 0鏡射得L', 3333【解答】(1) (， 3) x ， (1 , 3) y ， 5 , 0;(2) (1 , 3) x ， (， 3) y ， 5 , 0 ，，31,,,,xxxcos30sin30:,:，，，，，，，，22,,,,【詳解】(1)因, ,,,,,,,,,yyysin30cos30::,,13，，，，，，，，,,22，， ,1，，，，，，,,31313xy，,,,,,,,,,xxx，，，，，，22222,,,,,, 所以, ,,,,,,,,,,,yyy,,,,,,,,13133,，xy，，，，，，,,,,,,,22222，，，，，， ,,,,3xy，,，xy3 將(x,y) , (,)代入L, 22 ,,,,3xy，,，xy3 33 得2() , 6() ， 5 , 0,即L'為(， 3) x ， (1 , 3) y ， 5 , 0, 22 1,,,3mtan,(2)因x y , 0的斜率,θ , 60:, 23 ，，13,,,xxxcos60sin60::，，，，，，，，22,,,, , ,,,,,,,,,yyysin60cos60:,:,,31，，，，，，，，,,,22，， ,1，，，，，，,,13133xy，,,,,,,,,xxx，，，，，，22222,,,,,, 得,,,, ,,,,,,,,yyy,,,,,,,,31313xy,，，，，，，,,,,,,,,22222，，，，，， ,,,,xy，33xy, 將(x,y) , (,)代入L, 22 ,,,,xy，33xy, 33 得2() , 6() ， 5 , 0,即得L'為(1 , 3) x ， (， 3) y ， 5 , 0, 22 7.設L,3x ， 5y , 4 , 0,依下列變換求L'的方程式, (1)將L以O(0,0)為中心旋轉60:而得L', (2)將L對x , 2y , 0鏡射而得L,, 353,533，【解答】(1) ()x ， ()y , 4 , 0;(2) 29x , 3y , 20 , 0 22 【詳解】設P(x,y) , L,P'(x',y') , L', ，，13,,,x'xxcos60sin60:,:，，，，，，，，22,,,,(1) θ = 60: ,, ,,,,,,,,y'yysin60cos60::,,31，，，，，，，，,,22，， ,1，，，，，，131313x'y',，,,,,,,xx'x'，，，，，，222222,,,,,, ?, ,,,,,,,,,yy'y',,,,,,313131，，，，，，,,，x'y',,,,,,，，，，，，222222 1331 代入L,3x ， 5y , 4 , 0,?, 3()5()40x'y'x'y'，，,，,,2222353,533，353,533， ?()x' ， ()y' , 4 , 0,即L',()x ， ()y , 4 , 0, 2222 213,m24m1,,,,,sincos,,(2) x , 2y = 0,?,,, ,,mtan2255，1m1，m22 34，， ,,,,x'xxcossin，，，，，，，，55 , ,,,,,,,,,,,,y'yysincos43,,,，，，，，，,,，，,,,55，， ,1343434，，，，，，x'y'，,,,,,,xx'x'，，，，，，555555,,, ?, ,,,,,,,,,,,,yy'y'434343，，,,，，,,，，,,,,,x'y',,,,,,555555，，，，，， 3443 代入L,3x ， 5y , 4 , 0,?, 3()5()40x'y'x'y'，，,,,5555293 ?,即L',29x , 3y , 20 , 0, x'y',,,4055 1228.求圓C,以直線為鏡射軸經鏡射後的圓方程式, yx,xyxy，,,,,223503 22【解答】 xyx，,,,450 22【詳解】圓C,,其圓心G(1, ),半徑為3, 3(1)(3)9xy,，,, ,,x,,:30鏡射軸的廣義角,圓心G鏡射後的位置(, ), y ，，1,，，，，，，xcos60sin602::則, ,,,,,,,,,,,ysin60cos600:,:3,,，，，，，，，， 2222,C因此圓C鏡射後的圓,其方程式為,即, (2)(0)9xy,，,,xyx，,,,450 主題3,平面上的線性變換,伸縮 1.伸縮運動,設O為平面上一個定點,k為大於0的定數, P ,,,,,,,,,/若將平面上的動點P變換到P,使得=k, OP'OP 則稱此運動為以O為中心的伸縮k倍的運動。 P' O 2.設P(x,y)經過以原點O為伸縮中心,伸縮k(k>0)倍得到, P'(',')xy ,,,,,,,,,x'因為=k,=k,=kx,=ky OP'OP(',')xy(,)xyy' kxx0'，，，，，，/P與P的關係用矩陣表示如下,。 ,,,,,,,0'kyy，，，，，， 223.伸縮,將單位圓上任一點的縱坐標保持不變, Pxy(,)xy，,1 ,,,, 而橫坐標放大為原來的2倍,得一對應坐標Pxy(,) 122,,,,xx,2xx,其中,,即,代入, yy,yy,xy，,12 122,,,,,xy，,1則滿足方程式, Pxy(,)4 其平面坐標上的圖形為一橢圓,像這樣的變換就稱為軸的伸縮變換。 x※也可以對y軸伸縮或同時對軸及y軸作伸縮。 x 4.用矩陣來表示伸縮, y設與皆為正數,若將坐標平面上任一點的坐標變為倍,坐標變為倍,得一sxsPxy(,)rr ,,,,,xrx,對應點,其中,,我們可以矩陣表示如下, Pxy(,)ysy, ,xrx0r0，，，，，，，，,其中就稱為伸縮矩陣, ,,,,,,,,,,0sysy0，，，，，，，， r0r0，，，，y【註】伸縮矩陣即將點的x坐標,坐標各伸縮倍,也可以稱將點Pxy(,)Pxy(,)r,,,,0r0r，，，，伸縮倍。 r 5.伸縮與旋轉, 例子, ,以O為中心伸縮2倍以O為中心旋轉60P',,,,,,,,,,,,,,(',')xy點P(x,y)點Q(m,n) 點 ,,mx'20xm，，cos60sin60,，，，，，，，，，， y 矩陣表示,,且 ,,,,,,,,,,,,,,,,ny'02ynsin60cos60，，，，，，，，，，/，， PQ ,,20'xx，，cos60sin60,，，，，，，P , ,,,,,,,,,,,02'yysin60cos60，，，，，，，，O x 主題4,平面上的線性變換,推移 1.推移運動,設k是一個常數,在坐標平面上,若將動點P(x,y)的y坐標保持不變,而x坐標 x'變成x+ky,形成P',其中= x+ky,=y,我們稱這種運動為沿x坐標推移y坐標的(',')xyy' '1kx，，x，，，，k倍。用矩陣表示可為。 ,,,,,,, 01yy'，，，， y ，， 2 1倍時, 例如,沿x坐標推移y坐標的31 11,，，xx'xxy',，1，，，，,O 1 x ,, , ,33,,,,,,,yy'，，，，,yy',01,，， 這樣的運動將(0,0)、(1,0)、(0,1)、(1,1)、(0,2)、(1,2) 4251依序變成(0,0)、(1,0)、(,1),(,1),(,1),(,2),如右圖所示。 3333 2.設k是一個常數,在坐標平面上,若將動點P(x,y)的x坐標保持不變,而y坐標變成kx+y, x'P'形成,其中x=,=kx+y,我們稱這種運動為沿y坐標推移x坐標的k倍。用矩(',')xyy' 10'xx，，，，，，陣表示可為。 ,,,,,,,kyy1'，，，，，， OABCOAa,ABb,OABC3.推移,已知一長方形,其長,寬,若將固定,而另一長向右推 ,,rbOABCOABCy移單位,,而得一平行四邊形,如圖,,即將矩形上任一點Pay(,)的坐標保 ,xary,，,,,,yx持不變,而Pxy(,)坐標得依坐標的倍增加後變換成點,其中,像這樣的變換,r,,yy,, 就稱為推移變換, 4.用矩陣來表示推移, ,,,,,(1)設為一實數,則將平面上任一點對應到,其中,就稱為沿xPxy(,)Pxy(,)xxry,，yy,r ,xrx1，，，，，，軸方向推移坐標的倍,表示如下,, y,r,,,,,,,yy01，，，，，， ,,,,,xx,(2)設為一實數,則將平面上任一點對應到,其中,就稱為沿ysPxy(,)yysx,，Pxy(,) ,xx10，，，，，，軸方向推移坐標的倍,表示如下, , xs,,,,,,,,ysy1，，，，，， 1r10，，，，而二階方陣及皆稱為推移矩陣, ,,,,01s1，，，， 5.推移的特性, 在坐標平面上任一幾何圖形經由推移變換後,其圖形的形狀皆會改變,但面積不變, ,,OABCOABCOAa,ABb,【說明】如前敘中一長方形,其長,寬,經沿軸方向推移至,則長方x ,,OABC,，abOABC,，abOABC形的面積為長寬,而平行四邊形的面積為底高,以長方形，， ,,OABC的面積等於平行四邊形的面積, ※重要範例 ，，30,,1.求點A(1, 3),B(, 4)經伸縮矩陣的伸縮變換後位置之坐標, ,21,,0,,2，， 3,6【解答】A變換後的位置之坐標為(3, ),B變換後的位置之坐標為(, 2) 2 ，，，，303，，30,,26，，，，，，1,,,,,,【詳解】,, ,,113,,,,,,,,,,,,42300，，，，，，,,,,,,222，，，，，， 3,6故A變換後的位置之坐標為(3, ),B變換後的位置之坐標為(, 2), 2 22..求點A(3,)沿y軸方向推移x軸的倍之後位置的坐標, ,23 ，，3【解答】 ,,0，， ，，1033，，，，,,【詳解】, ,2,,,,,,,201，，，，,,3，， 3., ,.坐標平面上一點A(3,,4),若以原點O為旋轉中心,先旋轉60:,再沿x軸方向推移y 5103433,,,，,，5103433坐標的2倍,則新坐標為 (1) (2) (,)(,)2222 56343，，52343,,，,，,，563433(3) (4) (5) (,)(,)(,)222222 【解答】2 【詳解】設新坐標為(x,y) ，，13,,,x12cos60sin603123:,:，，，，，，，，，，，，22,,,,, ,,,,,,,,,,,,y01sin60cos604014::,,,,31，，，，，，，，，，，，,,22，， ，，，，123235103，,,，,,,,3，，222,,,,,, , ,,,4,,,,31433,，，，,,,,222，，，， ,，,，5103433即新坐標為, (,)22 隨堂練習.設P(6,4),依下列的變換,求變換後P'點之坐標, (1)以O為中心旋轉135:, 1(2)以O為中心伸縮倍, 2 (3)對L,( x , (y , 0鏡射, 31),31)， (4)沿y軸推移x坐標的3倍, 33【解答】(1)(, 5,);(2)(3,2);(3)(2 + 3,3 , 2);(4)(6,22) 22 ，，22,,,,，，x'cos135sin1356652:,:,，，，，，，，，22 ,,,,,【詳解】(1),?P'(, 5,), 22,,,,,,,,,,y'sin135cos13544::,,222，，，，，，，，,,，，,,,22，， 1，，0,,x'63，，，，，，2 (2),?P'(3,2), ,,,,,,,,,,y'142，，，，，，,,0,,2，， ,31,m,,,,tan23(3), 231， 2211(23)3,,,m24231m, ?, ,,cos,,,sin,,,2222221，m1，m1(23)，,1(23)，, ，，31,,，，x'6233，，，，，22 ,,,,33 ,,?P'(2 + 3,3 , 2), ,,,,,,y'4,,13323,，，，，,,，，,,,22，， x'1066，，，，，，，， (4),?P'(6,22), ,,,,,,,,,,y'31422，，，，，，，， 4.在平面上有一定點P作下列各變換後得另一點P'(, 4,3),試求P點之坐標, ,1倍, (4)以原點為中心,縮短為(1)平移向量(1,2), v,2 1(5)沿y軸方向推移x坐標的倍,(2)以原點為中心,旋轉45:, 3 (3)對直線x ， 2y , 0鏡射, ,17,24713【解答】(1) P(, 5,1);(2) P(,);(3) P(,);(4) P(, 8,6);(5) P(, 4,) 22535 ,x,,415xx1,41x，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，【詳解】(1),,,即P(, 5,1), ,，,，,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,32yyy2y 321，，，，，，，，，，，，，，，，，，，， 11,，， ,,,,4xxxcos45sin45:,:，，，，，，，，，，22,,(2), ,,,,,,,,,,,,,311yyysin45cos45::,,，，，，，，，，，，,,22，， ,111,111,，，，，，， ,,,,,,x,4,4，，，，,17，，22222,,,,,, ,,即P(,), ,,,,,,,,,y113,113722,,,,,,，，，，，，,,,,,,22222，，，，，， 1190180:,,:,(3) x ， 2y , 0之斜率為,, ,,,,tan22 ,213,4cos,,,,sin ,,,,, ,,,sin2,cos25555 34，，,,,,,4xxxcos2sin2,,，，，，，，，，，，55 , ,,,,,,,,,,,,,,,343yyysin2cos2,,,,,，，，，，，，，，，,,,,55，， ,1343424,，，，，，，,,,,,,,,x,4,4，，，，，，,24755555 ,,即P(,), ,,,,,,,,,,,,,,,y433433755,,,,,,，，，，，，,,,,,,,,,,55555，，，，，， 11，，，，00,,,,,xx,4xx2048,,，，，，，，，，，，，，，，，，22(4),,,,即P(, 8,6), ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,yy131yy0236,,，，，，,,，，，，，，，，，，，，00,,,,2，，2，， 1010，，，，,xx,4x，，，，，，，，,,,,,,(5), 11,,,,,,,,,,,,,3yyy11，，，，，，，，,,,,33，，，， ,110104,，，，，，，x,4,4，，，，，，13,,,,,, ,,即P(, 4,), ,,,1113,,,,,,,,,,,,y331,13，，，，，，,,,,,,333，，，，，， 5., ,下列各方陣所定義的平面變換何者正確, (1)對直線y = 2x鏡射的方陣表示為 34，，,,,0110，，，，55 (2)以原點為中心旋轉90:的方陣表示為 (3)表示在鉛直方向伸張4,,,,,,43,1004,,,，，，，,,55，， 倍,再對x軸做鏡射 (4)若坐標平面上有一正方形面積為a,則在(x,y) ? (x + 3y,y)的變換下,此正 1方形變換成平行四邊形,其面積仍為a (5)若?ABC在(x,y) ? (2x,y)的變換下,變換成?A'B'C',2則?ABC與?A'B'C'的面積相等 【解答】1345 34= 2 , cos2θ =,sin2θ =, 【詳解】(1) tanθ ,55 ,34，， ,,,,cos2sin2，，55 ?對y = 2x之鏡射方陣為,?正確, ,,,,,sin2cos243,,,,,，， ,,55，， cos90sin9001:,:,，，，，(2)以原點為中心旋轉90:之方陣為,?不正確, ,,,,,sin90cos9010::，，，， 101010，，，，，，(3),即鉛直方向伸張4倍,再對x軸做鏡射,?正確, ,,,,,,,040104,,，，，，，， (4) (x,y) ? (x + 3y,y)表原圖形做水平推移3y此變換面積不變,?正確, 1(5)令A(x,y),B(x,y),C(x,y)作(x,y) ? (2x,y)的變換後, 1122332 111,,, ,,, Axy(2,)Bxy(2,)Cxy(2,)112233222 1122xxyy,,2121xxyy,,111212122 ,,,,2||,|| ?A'B'C'面積?ABC面積, 11xxyy,,222313122xxyy,,313122 ?正確, 10，，隨堂練習., ,有關二階方陣所對應的平面變換,下列敘述何者為真, (1)為對,,01,，， 01,10，，，，y軸鏡射的變換 (2)為對直線x = y鏡射的變換 (3)為對原點作對稱的變換 ,,,,01,10，，，， 20，，14，，,,(4)?ABC經作伸縮變換後,面積保持不變 (5)?ABC經方陣作推移變換後,面積保1,,,,001，，,,2，， 持不變 【解答】2345 x'xx10，，，，，，，， 【詳解】(1), P'(x',y') = (x,,y),?對稱x軸,不正確, ,,,,,,,,,,y'yy01,,，，，，，，，， x'xy01，，，，，，，， (2), P'(x',y') = (y,x),?對稱x = y ,正確, ,,,,,,,,,,y'yx10，，，，，，，， x'xx,,10，，，，，，，， (3), P'(x',y') = (,x,,y),?對稱原點,正確, ,,,,,,,,,,y'yy01,,，，，，，，，， 20 ||1,(4)?,?面積不變,正確, 102 14(5)?,?面積不變,正確, ||1,01 12，， 6.設直線L在方陣的推移變換下,得一新直線L',若L之方程式為4x ， 3y , 5 , 0,則L'之,,01，， 方程式為____________, 【解答】4x , 5y , 5 , 0 ,,,,xxxy122，xxy,，2xxy,,2，，，，，，，，,,【詳解】,, ,,,,,,,,,,,,,,,yy,yyy01yy,,，，，，，，，，,代入4x ， 3y , 5 , 0 , 4(x' , 2y') ， 3y' , 5 , 0 , 4x' , 5y' , 5 , 0, 即L'之方程式為4x , 5y , 5 , 0, 7.設平面上有一直線L,4x , 3y , 5, (1)若將直線L,以原點為中心,作轉角為, 30:的旋轉變換,得一新直線L',則L'之方程式為____________, (2)若將直線L,對直線2x , y , 0作鏡射變換,得一新直線L',則L'之方程式為____________, (3)若將直線L,沿x坐標方向推移y坐標的2倍,沿y坐標方向推移x坐標的, 3倍,得一新直線 L',則L'之方程式為____________, 33【解答】(1) (4, 3)x , (4 ， 3)y , 10;(2) 24x , 7y ， 25 , 0;(3) 5x ， 11y ， 35 , 0 ,xxcos(30)sin(30),:,,:，，，，，， 【詳解】(1)設L'上之動點P'(x',y') , ,,,,,,,,yysin(30)cos(30),:,:，，，，，， ，，，，,,313xy,,1,,,,,,,xxxcos(30)sin(30),:,,:，，，，，，，，222,,,,,, ,, ,,,,,,,,,,y,,,,,yysin(30)cos(30),:,:,133xy'，，，，，，，，，,,,,222，，，， ,,,,33xyxy,，, 3y , 5 , 由4x 435,,,,22 33,333 , (4)x' , (4 ， 3)y' , 10,即L',(4, 3)x , (4 + 3) y , 10, ,(2) θ為直線2x , y , 0之斜角, tanθ , 2,0 , θ , 2 1234 , cosθ ,,sinθ ,, cos2θ ,,sin2θ ,, ,5555 ,,3434,，xy，，，，,,,,,,,xxxxcos2sin2,,，，，，，，，，，，555 仿(1),代入L, ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,yyxy4343，yysin2cos2,,,,,,,，，，，，，，，，， ,,,,555，，，， ,,,,,，，3443xyxy , , 24x' ， 7y' , 25 , 24x' , 7y' ， 25 , 0, 435,,,,55 即L',24x , 7y ， 25 , 0, 1212,，，，，1,1(3)按題意,矩陣A ,, A , ,,,,31,317，，，， ,,xy,2，， ,,,xx12,，，，，，，17 ,代入L, ,,,,,,,,,,,,,yyxy313，7,,，，，，，， ,,7，， ,,,,xyxy,，23 , , 5x' , 11y' , 35 , 5x' ， 11y' ， 35 , 0, 435,,,,77 即L',5x ， 11y ， 35 , 0, 228.設圓C,x ， y , 9,以O為中心伸縮5倍,求變換後的圖形方程式, 22【解答】x ， y , 225 【詳解】設P'(x',y')為變換後圖形上的動點 x'xx505，，，，，，，，11,,?,, xx',,,yy',,,,,,,,,y'yy05555，，，，，，，， 112222代入x + y = 9,? ()()9x'y'，,55 2 222, x' + y' = 25 ， 9 = 225,即所求方程式為x + y = 22 9.設A為平面上的線性變換,試寫出滿足下列各條件的方陣A, (1)若A將(1, 0),(0, 1)分別映射至(3, 4),(5, 6), (2)若A將(1, 0),(0, 1)分別映射至(, 2),(3,), ,4,1 ，，35，，,13【解答】(1);(2) ,,,,4624,，，，， ，，，，13，，，，05，，35A,A,A,【詳解】(1),,即, ,,,,,,,,,,041646，，，，，，，，，， ，，，，03，，,13，，，，11,A,A,A,(2),,即, ,,,,,,,,,,14,24,02，，，，，，，，，， ，，1aA,隨堂練習.設線性變換,將點(1, 2)映射至點(, 7),點(,)映射至點(c, d),求c,d之,2,1,1,,b2，， 值, c,,1d,,8【解答】, ，，，，，，，，11121aa，,a,,1b,3,,【詳解】,故,, ,,,,,,,,bb2247，，，，，，，，， ，，，，，，1121,,,,故c,,1,d,,8, ,,,,,,,3218,,，，，，，， ，，13A,隨堂練習.設,求直線L,經A變換後圖形的方程式, 230xy,，,,,,12，， 【解答】 37150xy,，, 【詳解】P(, 1),Q(2, 7)在直線L上, ,1 ，，，，，，1312,，，，，，，13223,,,, ,,,,,,,,,,,,,1213,12712，，，，，，，，，，，，過(2, 3)與(23, 12)的直線方程式為, 37150xy,，,故直線L變換後圖形的方程式為, 37150xy,，, ，，12D,10.設A(1, 2),B(, 3),若線段經線性轉換之後的圖形長度, AB,2,,43，，【解答】 82 ，，，，，，1215，，，，，，1224,,,【詳解】,, ,,,,,,,,,,,,432104331，，，，，，，，，，，， 22,,,,(54)(101)82,，,,ABA,B變換後得(5, 10),(4, 1),線段之長, AB