二元函数的极值问题

二元函数的极值问题 摘要 本文主要讨论了二元函数的极值问题，不仅介绍了二元函数极值方面的有关概念和定理，还给出了这些定理的证明，并举出了二元函数极值方面的几个理论问题，特别地对极值判别式进行了推广和求解条件极值的拉格朗日乘数法进行了一般化改进.本文以高教版数学分析教材为出发点，在讨论的过程中重温了书本上的定理，更对书中的定理进行升华，使定理能够更好解决实际问题，进而运用的更加广泛. 关键词: 二元函数;极大值;极小值 I 二元函数的极值问题 Abstract The extremum of function of two variables is expounded in this thesis. Not only are some relevant ideas and definitions are presented in this thesis, but also the relative proof to them. Furthermore, it exhibits several theoretical problems of the extremum of function of two variables as well. Particularly, it expands the discriminant of the extremum and generally improves Lagrangian Multiplier that is to find a minimum or a maximum of a function. On one hand, based on the teaching material of Advanced Mathematics, the thesis reviews the definitions in the textbook throughout the procedure of specification. On the other hand, it sublimates these definitions so that we can solve the practical issues better and use them more widely. Key words:function of two variables;maximun value; minimum value II 二元函数的极值问题 目录 摘要 ........................................................................ I Abstract ................................................................... II 目录 ...................................................................... III 1引言 ....................................................................... 1 2二元函数极值问题的相关概念 ................................................. 1 2.1二元函数定义 ......................................................... 1 2.2二元函数及其极大极小值的定义 ......................................... 2 3二元函数的极值问题 ......................................................... 2 3.1二元函数极值存在的必要条件 ........................................... 2 3.2二元函数极值存在的充分条件 ........................................... 3 3.3求二元函数极值的步骤 ................................................. 5 4特殊情况下二元函数极值 ..................................................... 6 5条件极值问题 ............................................................... 8 5.1代入法 ............................................................... 9 5.2拉格朗日(Lagrange)乘数法 ............................................. 9 6 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf ...................................................................... 13 参考文献 ................................................................... 14 III 二元函数的极值问题 1引言 函数极值问题是一个非常普通的数学问题，是经典微积分学最成功的应用，不仅在实际问题中占有重要地位，而且也是函数性态的一个重要特征.在一元函数中，可以利用函数的导数求得函数的极值，从而进一步解决一些有关最大，最小值应用问题.同样利用偏导数，也可以解决二元函数的极值问题. 2二元函数极值问题的相关概念 2.1二元函数定义 2RfP(x,y)D包含于,若按照某对应法则,D中每一点都有唯一定义1 设平面点集 fD确定的实数与之对应,则称为在上的二元函数.记作 z f:D,R, (1) ffPPD且称为的定义域;对应的为在点的函数值,记作 z z,f(x,y)z,f(P)或; ff(D),RP全体函数值的集合称为的值域,记作.通常还把的坐标与称为自变量，而yx 把称为因变量. z (x,y),Dz,f(x,y)当把和它所有的函数值一起组成三维数据组时，三维欧氏，，x,y,z 3R空间中的点集 3 ,,S,(x,y,z)|z,f(x,y),(x,y),D,R z,f(x,y)ffD便是二元函数的图像.通常的图象是一空间曲面，的定义域便是该曲面在xOy平面上的投影. 为了方便起见，我们把(1)式所确定的二元函数也记作 z,f(x,y)(x,y),D, , z,f(P)P,D或 ，, z,f(x,y)fD且当它的定义域不会被误解的情况下，也简单的说“函数”或“函数”. 1 二元函数的极值问题 2.2二元函数及其极大极小值的定义 f定义2 设函数在点的某领域内有定义，若对于任何点P(x,y)U(P)0000 ,成立不等式 P(x,y),U(P)0 (或)， f(P),f(P)f(P),f(P)00 ff则称函数是在点取得极小值(或极大值)，点称为的极小(极大)值点.极大值、PP00 极小值统称极值，极大值点、极小值点统称极值点. 注意:这里所讨论的极值点只限于定义域的内点. 2222g(x,y),1,x,yh(x,y),2xy例如，设，，.由定义直接知道，f(x,y),3x，2y (0,0)f坐标原点是的极小值点，是的极大值点，但不是的极值点.这是因为对于任何hg 22(x,y)f(x,y),f(0,0),0点,恒有;对任意，恒有,,(x,y),(x,y)|x，y,1g(x,y),g(0,0),1h(x,y),0;而对于函数h，在原点的任意小邻域内，既含有使的第一、 h(x,y),0h(0,0),0三象限中的点，又含有使的第二、四象限中的点，所以既不是极大值又不是极小值. f由定义可见，若在点取得极值，刚当固定时，一元函数必定(x,y)y,yf(x,y)0000在取得相同的极值.同理，一元函数必定在也取得相同的极值. 那么x,xf(x,y)y,y000 一般情况下如何求二元函数的极值呢,仿照一元函数的极值的讨论，我们得到二元函数极值存在的必要条件如下. 3二元函数的极值问题 3.1二元函数极值存在的必要条件 f定理1 若函数在点处存在偏导数，且函数在该点取得极值，则有P(x,y)000 f(x,y),f(x,y),0. x00y00 f(x,y)f(x,y)证明 因为点是函数的极值点，若固定中的变量，则(x,y)y,y000 是一个一元函数且在处取得极值，由一元函数极值的必要条件知z,f(x,y)x,x00 f(x,y),0，同理有. f(x,y),0y00x00 2 二元函数的极值问题 反之，凡是满足方程组 f(x,y),0,x ,f(x,y),0y, z,f(x,y)z,f(x,y)的点称为函数的驻点(定理说明，只要函数的两个偏导数存(x,y)00 在，那么它的极值点一定是驻点，反过来，驻点是不是一定为极值点呢, 22例如，函数，在点处的两个偏导数为0，即是驻点，但在的z,,x，y，，，，，，0,00,00,0 任一邻域内函数既有正值也有负值，所以不是极值点，即驻点不一定是极值点.另外，，，0,0 22z,x，y极值点也可能是偏导数不存在的点.比如，上半锥面在点的偏导数不存，，0,0在，但是函数的极小值点，函数极小值为0. ，，0,0 3.2二元函数极值存在的充分条件 f(x,y)f判断二元函数在取得极值的充分条件，我们假定函数有二阶连续P(x,y)000 偏导数，并记 ff(P)，fP()，f，，xy0xyxx0xxHp= = , (),,,,f0f(P)ffP()fyx0,yx,yy0yy，，，，P0 f称它为在的黑塞矩阵. P(x,y)000 f定义3 若函数在点的某邻域具有直到n，1阶的连续偏导数，则对P(x,y)U(P)0000 ,,(0,1)内任一点，存在相应的，使得 U(P)(x，h,y，k)000 ,,f(x，h,y，k),f(x,y)，(h，k)f(x,y)，000000,x,y 1,,1,,2n(h，k)f(x,y)，？，(h，k)f(x,y)， 00002!,x,yn!,x,y 1,,n，1(2) (h，k)f(x，h,y，k).,,00(n，1)!,x,y f(2)式称为二元函数在点的泰勒 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 ，其中 P0 mm,,,miim,i. ，,(hk)f(x,y)Cf(x,y)hk,0000mim,i,,,,xyxy0i, f定理2 (极值充分条件)设二元函数在点的某邻域具有二阶连续偏P(x,y)U(P)0000 3 二元函数的极值问题 ff导数，且为的稳定点，则当为正定矩阵时，此函数在有极小值;当H(P)H(P)PPf0f000为负定矩阵时，在有极大值;当为不定矩阵时，在不取极值. H(P)PPf000 f证明 由在的二阶泰勒公式，并注意到条件，有 f(P),f(P),0Px0y00 1T22. f(x,y),f(x,y),(,x,,y)H(P)(,x,,y)，;(,x，,y)00f02 (,x,,y),(0,0)由于正定，所以对任何恒使二次型 H(P)f0 TQ(,x,,y),(,x,,y)H(P)(,x,,y),0. 0f 22,x,,y因此存在一个与无关的正数，使得.则对于充分小的qQ(,x,,y),2q(,x，,y) (x,y)只要，就有 UP()UP(),00 222222， f(x,y),f(x,y),q(,x,,y)，;(,x，,y),(,x,,y)(q，;(1)),000 f即在取极小值. P(x,y)000 f同理可证为负定矩阵时，在取极大值. H(P)P(x,y)f0000 ff最后，当H(P)不定时，在不取极值.假设取极值(因为不失一般性，所以我Pf00 们不妨设为取极大值)，对任何过的直线 P0 ，， x,x，t,xy,y，t,y00 在t=0也取极大值.由一元函数取极值的充分条件，f(x,y),f(x，t,x,y，t,y),,(t)00 ,,,,,(0),0,,(0),0是不可能的(否则在t=0将取极小值)，故.而又有 ,,(t),,xf，,yf， xy 22,,,(t),f(,x)，2,x,yf，f(,y)， xxxyyy T,,,(0),(,x,,y)H(P)(,x,,y)， 0f 这 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 明H(P)为负半定的. f0 ffH(P)同理，倘若取极小值，则将导致为正半定.也就是说，当在取极值时，Pf00H(P)H(P)必须是正半定或负半定，但这与不定相矛盾.证毕. f0f0 ff若函数如定理2所设，设P是的稳定点，则我们可以将定理2写成如下比较实用0 4 二元函数的极值问题 的形式: 2(ff,f)(P),0f,当，时，在点取得极小值; f(P),0Pxxyyxy0xx00 2(ff,f)(P),0f,当，时，在点取得极大值; f(P),0Pxxyyxy0xx00 2(ff,f)(P),0f,当时，在点不能取得极值; Pxxyyxy00 2(ff,f)(P),0f,当时，不能肯定在点是否取得极值. Pxxyyxy00 3.3求二元函数极值的步骤 第一步，首先求出偏导数，，，，; fffffyyyxyxxx 第二步，然后解方程组 ,0f,x ,f,0y, P求出驻点; 2(ff,f)(P)P第三步，求出二元函数在驻点处、f(P)、f(P)的值及的f(P)xxyyxyyyxyxx 符号，再根据定理2判定出极值点; 第四步，求出二元函数的极大值或者极小值. 22=f(x,y)例1 求的极值点. x,xy，y,2x，y 解 由方程组 f,2x,y,2,0,x ,f,2y,x，1,0y, f得的稳定点为，由于 P(1,0)0 , f(P),2,0xx0 f(P),2, yy0 f(P),,1， xy0 2(ff,f)(P),3,0, xxyyxy0ff(1,0),,1ff故在P取极小值.又因为处处可微，所以P为的惟一极值点. 00 33例2 求的极值. z,x，y,3xy 5 二元函数的极值问题 解 由方程组 2,f,3x,3y,0,x ,2f,3y,3x,0,y, f得的稳定点为、，由于、、，所以 f,6yf,,3f,6xP(1,1)P(0,0)yyxyxx12 2(ff,f)(P),27,0. xxyyxy1ff(1,1),,1故在取极小值. P1 又因为 2(ff,f)(P),,9,0， xxyyxy2 f所以不是的极值点. P2 2f(x,y)例3 讨论=是否存在极值点. y,xy，6 解 由方程组 f,,y,0,x ,f,2y,x,0y, 2(ff,f)(P),,1,0ff得稳定点为原点.又,故原点不是的极值点.又因为在P(0,0)xxyyxy00 f定义域内处处存在偏导数，所以没有极值点. 22例4 讨论在原点是否取得极值. f(x,y),(x,y)(x,2y) 2ff,f,0f解 容易验证原点为其稳定点，但在原点,所以无法判定在原点是否xxyyxy 取得极值. 2222f(x,y)但是，我们又很容易发现，当时，<0;当或时，y,x,2yx,2yx,y f(x,y)f>0.所以函数不可能在原点取得极值. 4特殊情况下二元函数极值 2M,(ff,f)(P),0对于一个二元函数来说，当为稳定点，判别式时，P(x,y)xxyyxy0000 f在点取得极小值、极大值或不能取得极值.但是，在判别式为零的时候，就可以判定P0 没有肯定的答案了，下面我们就来讨论一下判别式为零时的情形. P(x,y)根据极值的定义可知，要判定是否为极值点，只要判定在P(x,y)P(x,y)000000 f的某邻域内变化时，是否保持定号，并由此来判断.假设的UP(),f,f(x,y),f(x,y)000 6 二元函数的极值问题 ,f所有二阶偏导数连续，则可以利用泰勒公式来讨论的符号. f(x,y)f(x,y)定理3 设点是二元函数的稳定点，，若在f,f,f,0P(x,y)xxyyxy000 f的某邻域内具有三阶连续偏导数，且至少有一个不为零时，则在无极值. PP00证明 由所给的泰勒展开式有 1,f,f333 f(x,y),f(x,y),[h,k]f(x,y)，;(,x，,y),00006,x,y 33f其中，而为当时的无穷小量.所以，对h,x,x,k,y,y(x,y),(x,y);(,x，,y)0000的充分小的邻域，只要当时，就能保证 于PUP()(x,y),U(P)000 1,f,f3与 [h,k]f(x,y)f(x,y),f(x,y)00006,x,y 同号.这是因为 1,f,f3 [h,k]f(x,y)006,x,y 3333,,,,,,f(x,y)f(x,y)f(x,y)f(x,y)1322300000000， ,,,，，，h3hk3hkk3223,,6,,,,,,xxyxyy,,f(x,y)若在的某邻域内三阶连续偏导数至少有一个不为零，即 P0 22223333，，，，，，，，,f(x,y),f(x,y),f(x,y),f(x,y)00000000， ，，，,0,,,,,,,,3223,x,x,y,x,y,y，，，，，，，， 我们来分情况讨论 3,f(P),01若时，取，则 h,x,x,y,y()0003,x 3h,0当时，h,0则; x,x0 3h<0当时，h,0则; x,x0 33,f,f3fh(P)(P),0从而的符号是不确定的.即当时，在无极值. P00033,x,x 3,ff2若时，取x,x,k,y,y，同理可得在P无极值. (P),0()00003,y 7 二元函数的极值问题 3333,f,f,f,f(P),0若，，则，或.不妨设3(P),0(P),0(P),0()00003322,x,y,x,y,x,y 3,f，此时 (P),002,x,y 33,fxy,fxy(,)(,)10000， fxy,fxy,h，k(,)(,)[]0022,x,y,x,y2 33,f(x,y),f(x,y)0000取充分小,使得，则的符号是由k,0f(x,y),f(x,y)h,k0022,x,y,x,y 3,fxy(,)200决定.从而取正负号时导致在的任意小邻域可k(x,y)hkf(x,y),f(x,y)00002,x,y 33,f,f(P),0取正可取负.因此，的符号不确定.即当，， f(x,y),f(x,y)(P),0000033,x,y 33,f,fff而时，在无极值.在时，同理可得在无极值. PP(P),0(P),0000022,x,y,x,y 综上，定理得证. 323例5 讨论函数在原点是否有极值. f(x,y),2x,3xy，5y f(x,y)解 函数在原点处的一，二阶偏导数f,f,f,f,f,0，而xyxxxyyy f(x,y)f,12,0，由定理3可得，函数在原点不取极值. 3x 5条件极值问题 在大量二元函数取极值的问题中，有一类问题是经常碰到的，即所谓求函数“条件极值”的问题.例如，要设计一个容量为V的长方形开口容器，那么，当容器的长，宽，高各等于多少时，其表面积最小, a、b、c为了解决上面这个问题，我们不妨设容器的长、宽、高分别为,则该容器表的面积为 S(a,b,c),ab，2bc，2ac. S由此不难看出，上述表面积函数a、b、c的自变量,不仅要符合定义域的要求 a,0,b,0,c,0， V,abc而且还须满足条件.像上面这类附有约束条件的极值问题，称为条件极值问题(不带约束条件的极值问题不妨称为无条件极值问题). z,f(x,y)g(x,y),0一般地，求二元函数的条件极值，在讨论二元函数在约束条件下 8 二元函数的极值问题 的极值问题时，我们主要使用下面两个方法. 5.1代入法 g(x,y),0x,,(y)y,,(x)在约束条件中，如果能解(或), 即(或),将它代入yx z,f(x,y)z,f(,(y),y)z,f(x,,(x))z,f(x,y)中，那么(或)，这样就把二元函数在约 g(x,y),0z,f(,(y),y)z,f(x,,(x))束条件下的极值问题，转化为求一元函数(或)的 极值问题了，而一元函数的极值问题已经在微积分中得到圆满解决. x，y,1例5 求在约束条件的极值. z,xy 2y,1,x解 由约束条件代入中，得到， z,x(1,x),x,xz 1,令，解得， x,z,1,2x,0x2 1,,又因为，所以为极大值点. x,z,,2,0xx2 111故函数的极大值为z(,),. z224 5.2拉格朗日(Lagrange)乘数法 g(x,y),0在某些情况下，要想在约束条件中解出(或)不总是可能的,下面我们介yx绍一种不直接依赖消元而求解条件极值问题的有效方法: (1)引入辅助变量,和辅助函数 L(x,y,,),f(x,y)，,g(x,y); L(x,y,,)x,y,,(2)求出对的一阶偏导数，并令它们都为零，然后联立组成方程组即: ,,,L(x,y,),f(x,y)，g(x,y),0(3) xxx,,,(4) L(x,y,),f(x,y)，g(x,y),0 ,yyy ,(5) ,L(x,y,),g(x,y),0,, (i,1,2？？)z,f(x,y)g(x,y),0解上面这个方程组，得出解，都是在约束条件下(x,y)ii 的驻点，这是因为由(3)和(4)得 ,,,f(x,y),,g(x,y)(6) xx (7) ,,f(x,y),,,g(x,y)yy 由(6)和(7)得 9 二元函数的极值问题 ,g(x,y)x,, f(x,y),f(x,y),0xy,g(x,y)y 再由(5)得 ,,, g(x,y)，g(x,y)y,0xyx 所以有 ,g(x,y)x, y,,x,g(x,y)y 于是 ,,, f(x,y)，f(x,y)y,0xyx 这样我们就容易得到 ,,,, z,f(x,y)，f(x,y)y,0xxyx (i,1,2？？)z,f(x,y)g(x,y),0所以说都是在约束条件下的驻点.这里需要说明(x,y)ii z,f(x,y)g(x,y),0一点，如果在实际问题中，能判定函数在约束条件下只有一个极大值或极小值，并且上面的方程组也只有惟一的解，那么点就是极大值或极小(x,y)(x,y)0000值.当然,在不能判定的情况下，我们还要继续下面的步骤; (i,1,2？？)z,f(x,y)(3)为了判断是否是极值点，我们设有连续的一阶、(x,y)ii 二阶偏导数，y对的一阶、二阶导数存在，那么 x ,,,,,,,,,,,,,,,z,f(x,y)，[f(x,y)，f(x,y)，f(x,y)y]y，f(x,y)y xxxxxyyxyyxxyxx由一元函数极值的第二判别法得 ,,z,f(x,y)g(x,y),0,当时，在约束条件下有极大值; z(x,y),0z,f(x,y)xxiiii ,,z,f(x,y)g(x,y),0,当时，在约束条件下有极小值. z(x,y),0z,f(x,y)xxiiii L,上面这种方法就是拉格朗日乘数法，辅助函数称为拉格朗日函数，辅助变量称为拉格朗日乘数.这个方法虽然看起来很烦琐，但是它很好的解决了代入法的不足之处，在解决二元函数条件极值问题方面应用非常广泛.现在我们就用拉格朗日乘数法来重新求 x，y,1z,xy在约束条件的极值. ,引入辅助变量和辅助函数 L(x,y,,),f(x,y)，,g(x,y),xy，,(x，y,1); L(x,y,,)x,y,,然后求出对的一阶偏导数，并令它们都为零组成方程组,即 10 二元函数的极值问题 ,,,Lxyy(,,),，,0x,Lxyx(,,),，,0,, ,y ,xy，,1,0, 11y,,,，由于当时，，故，则函数必解方程组得唯一驻点z,xy,,,(,)x,,,z22 11111.当然，我们还可以用步骤三去判断是否是极值点.很在此处取得极大值z(,),(,)22422 ,,,,,,,,,,容易求得、、、、、f(x,y),xf(x,y),f(x,y),1f(x,y),0f(x,y),yf(x,y),0yxyyxyyxxx ,,,、，所以， y,,1y,0xxx 11,,,,,,,,,,,,,,,， z(,),f(x,y)，[f(x,y)，f(x,y)，f(x,y)y]y，f(x,y)y,,2,0xxxxxyyxyyxxyxx22 11111故在点取得极大值z(,),. z,xy(,)22422 22求函数z,f(x,y),x，y例6 在条件下的极值. x，y,2 解 引入辅助变量,和辅助函数 22 L(x,y,,),x，y，,(x，y,2)L(x,y,,)x,y,,求出对的一阶偏导数，并令它们都为零组成方程组,即 ,,,Lxyx(,,),1，2,0x, Lxyy(,,),1，2,0,,,y ,22xy，,2, 解方程组得到两个驻点和.又有， ，，，，1，1,1，,1 x,,,,,,,,,,,y,,f(x,y),f(x,y),1,f(x,y),f(x,y),0,f(x,y),f(x,y),0,,xxyxxyyxyyxy x，yx22,,yxy，yx2yx,,，所以， ,,,,,,,,yxx2233yyyy ,,,,,,,,,,,,,,,z(1,1),f(x,y)，[f(x,y)，f(x,y)，f(x,y)y]y，f(x,y)y,,2,0 xxxxxyyxyyxxyxx函数z,f(x,y)z(1,1),2那么，在点取得极大值; ，，1，1 又因为 ,,,,,,,,,,,,,,,z(,1,,1),f(x,y)，[f(x,y)，f(x,y)，f(x,y)y]y，f(x,y)y,2,0 xxxxxyyxyyxxyxx函数z,f(x,y)z(,1,,1),,2那么，在点取得极小值. ，，,1，,1 11 二元函数的极值问题 22求函数x，y,4,0例7 在条件下的极值. z,f(x,y),x，y 解: 引入辅助变量和辅助函数 , 22 L(x,y,,),x，y，,(x，y,1)L(x,y,,)x,y,,求出对的一阶偏导数，并令它们都为零组成方程组即: ,,,L(x,y,),2x，,0x,L(x,y,,),2y，,,0 ,y ,x，y,4,0, ,,,,(2,2)解方程组得到惟一的驻点.又有，，，f(x,y),2yf(x,y),2xf(x,y),2yxxx,,,,,,,,,，，，，所以， f(x,y),f(x,y),0f(x,y),2y,,1y,0xyyxyyxxx ,,,,,,,,,,,,,,, z(2,2),f(x,y)，[f(x,y)，f(x,y)，f(x,y)y]y，f(x,y)y,4,0xxxxxyyxyyxxyxx z,f(x,y)(2,2)那么，函数在点取得极大值. z(2,2),8xx 12 二元函数的极值问题 6总结 本文主要讨论数学分析中二元函数的极值问题.把一元函数的极值问题推广到多元函数的情形，得到了一些新的结果，并给出了一些未推广前不能求解，而利用推广后的结论可以求解的例子.本文先证明稳定点为极值点的充分条件，并给出其判别式，再分析判别式为零的情形，来解决与此相关的数学问题. 13 二元函数的极值问题 参考文献 [1] 华东师范大学数学系.数学分析( 下册 数学七年级下册拔高题下载二年级下册除法运算下载七年级下册数学试卷免费下载二年级下册语文生字表部编三年级下册语文教材分析 第三版)[M].北京:高等教育出版社，2003. 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