![[关键词] 丢番图方程算术](https://swf.iask.com/WQj9sKjyBKv.svg?ssig=TLlLMOCtQi&Expires=1719495040&KID=sina,ishare&range=0-7167)
[关键词] 丢番图方程算术
[科目] 数学
[关键词] 丢番图/方程/算术
[文件] sxbj27.doc
[标题] 丢番图方程一瞥
[内容]
丢番图方程一瞥
丢番图是古希腊亚历山大里亚时期的数学家，对他的生平人们知之甚少。传说公元4世纪的一部诗集中有一首短诗，以谜语体裁叙述了他的经历;又传说在一本问题集里有一道解方程问题，反映了他的生平;还传说在他的墓志铭中讲述了他的一生。所有这些传说，无非是如下一段文字:
111此人一生中，幼年占，青少年占，又过岁月结婚，婚后5年喜得子，但先父46127
年而卒，寿为其父之半。
1111这段文字可以列成方程++=5++4=x,解之得x=84。丢番图活了84岁。 xxxx61272
丢番图对数学有两大贡献，其一是采用缩写方式简化数学表达，人称缩写代数，推进了数学符号的采用;其一是求解不定方程，人称丢番图方程，开辟了数论研究的一个重要领域，这个领域后来被称为丢番图分析。丢番图曾写过三部书，其中13卷本的《算术》最为出色，后失传。大约在1463年雷琼蒙塔努力发现了这部书的6卷，1560年，帕茨发现了这部书原稿抄本，1621年出版了《算术》的拉丁文、希腊文版本。《算术》中大部分问题是求解不定方程的，其解法非常巧妙，很少给出一般法则，即使性质相近的题，其解法也会大不相同。著名数学家汉克尔说:“研究丢番图100道题后，去解第101道，仍然感到困难重重。”
请看3道例题:
例1“对于给定的两个数分别加上某个数，使它们成为两个平方数。”
丢番图的解法用现代记号可表示如下(后同):
设方程组
2 a+x=y
2 b+x=z
取a=2,b=3;构成差(3+x)-(2+x)=1;找两个数，令其乘积等于这个差，
1取4和，; 4
2211,,,,4,4，,,,,44,,,,设2+x=或3+x=; 22,,,,,,,,,,,,
97由此解得x=，为所求。 64
例2“已给定一个数为两个平方数之和，把它分成另外两个平方数之和。”
设方程
2222 x+y=z+z12
例3 “求四个数，使这四个数之和的平方加上或减去这四个数中的任意一个数，
所得的仍是一个平方数。”
丢番图的解法如下:
设方程组
取四组勾股数65，32，52，39;65，60，25;65，56，33;65，63，16;
解之得
以上3例，我们可以看到丢番图在解不定方程时的高超技巧。不定方程之不定，是因为未知量的个数大于方程的个数，要害在于消元。所以，我们在研究丢番图的解法时，要特别注意其中消元的技巧:
例1的解法可以表示为
即可得
例2的解法可以表示为
设
即即得。
222例3的解法的关键在于，直角三角形的斜边(c)与两直角边(a、b)有c?2ab=a+b?2ab=(a?b)的关系，于是这个问题归结为求四个具有相同长斜边的不同的直角三角形。
余韵请读者细细品味。
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