例设整数集I上的模2同余关系为R,这是I上的等价关系。在

例：设整数集I上的模2同余关系为R,这是I上的等价关系。在R下，把I中所有与0有关系即与0等价的整数划分为一类，记为E；与1等价的所有整数划分为一类，记为O集合I中的元素或者属于E，或者属于O,且它们互不相交。由关系R把I分为两类：E和O，这就是I的一个划分。三、等价关系与划分定义2.14：设R是A上的等价关系,对于每个aA,与a等价的元素全体所组成的集合称为由a生成的关于R的等价类,记为[a]R,即[a]R={x|xA,xRa},a称为该等价类的代表元。在不会引起误解的情况下,可把[a]R简记为[a]。定义2.15：设R是A上的一个等价关系,关于R的等价类全体所组成的集合族称为A上关于R的商集,记为A/R,即A/R={[a]|aA}。例：整数集I上的模2同余关系R，其等价类为[0],[1]。其中[0]={…,-4,-2,0,2,4,…}=[2]=[4]=[-2]=[-4]=…[1]={…,-3,-1,1,3,…}=[3]=[-1]=[-3]=…因此A/R={[0],[1]}例:整数集I上的模n同余关系是I上的等价关系。I上关于R的等价类为：[0]={…,-2n,-n,0,n,2n,…}[1]={…,-2n+1,-n+1,1,n+1,2n+1,…}…[n-1]={…,-n-1,-1,n-1,2n-1,3n-1,…}这些类又称I上模n同余类。I上关于R的商集I/R={[0],[1],…,[n-1]}定理2.13：设R是A上的等价关系,则(1)对任一aA,有a[a];(2)若aRb,则[a]=[b];(3)对a,bA,如果(a,b)R,则[a]∩[b]=;此定理的(1)说明A中每个元素所产生的等价类是非空的定理的(2)、(3)说明：互相等价的元素属于同一个等价类，而不等价的元素其所对应的等价类之间没有公共元素定理的(4)说明：A上等价关系R所对应的等价类的并就等于A.由此定理说明A上等价关系R所对应的等价类集合是A的一个划分。该定理告诉我们，给定一个等价关系就唯一确定一个划分。 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 ：(1)对任一aA，因为R是A上的等价关系，所以有aRa(R自反)，则a[a]。(2)对a,bA,aRb,分别证明[a][b]，[b][a]。对任意x[a](目标证明x[b]，即xRb)。下面证明[b][a]对任意x[b](目标证明x[a]，即xRa)。(3)对a,bA,如果(a,b)R,则[a]∩[b]=采用反证法。假设[a]∩[b]≠，则至少存在x[a]∩[b]。例：设A={1,2,3,4}，R={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,3),(2,4),(3,1),(4,2)}为等价关系。其等价类为[1]={1,3}[2]={2,4}[3]={1,3}[4]={2,4}划分={[1],[2]}前面是给定等价关系唯一确定划分，反过来，给定一个划分，也可唯一确定一个等价关系。设非空集A上划分={A1,A2,…,An}，定义A上二元关系R：aRb当且仅当存在Ai,使得a,bAi。即R=(A1A1)∪(A2A2)∪…∪(AnAn)容易证明R是等价关系。定理2.14：集合A上的任一划分可以确定A上的一个等价关系R。例：设A={a,b,c}的一个划分={{a,b},{c}},由确定A上的一个等价关系R：R=({a,b}{a,b})∪({c}{c})={(a,a),(a,b),(b,a),(b,b),(c,c)}定理2.15:设R1和R2是A上的等价关系,R1=R2当且仅当A/R1=A/R2。定理2.13和定理2.15说明集合A上的任一等价关系可以唯一地确定A的一个划分。定理2.14和定理2.15说明集合A的任一划分可以唯一地确定A上的一个等价关系。集合A上给出一个划分和给出一个等价关系是没有什么实质区别的。设集合A上的等价关系为R1和R2,它们通过并和交运算而得到的关系是不是等价关系?若是,其对应的划分与原来的两个划分有何联系。四、划分的积与和1.划分的积定理2.16：设R1和R2是A上的等价关系,则R1∩R2是A上的等价关系。定义2.16：设R1和R2是A上的等价关系,由R1和R2确定的A的划分分别为1和2,A上的等价关系R1∩R2所确定的A的划分,称为1与2划分的积,记为1·2。定义2.17：设和'是A的划分,若'的每一块包含在的一块中,称'细分,或称'加细。例：'={{1},{2},{3,4}}，={{1,2},{3,4}}因为{1}{1,2}，{2}{1,2}，{3,4}{3,4}，所以'细分若'细分,则与它们对应的二元关系R'和R它们之间有何联系？(1)若'细分,则与它们对应的二元关系R'和R满足R'R。证明：对任意(a,b)R‘，目标是(a,b)R(2)若R'R，是否有'细分？证明：对任意S‘’,目标是SS‘S定理2.17：设',是A的划分,它们确定A上的等价关系分别为R,R',则'细分当且仅当R'R。定理2.18：设1,2是A的划分,则(1)1·2细分1与2。(2)设'是A的划分,若'细分1与2,则'细分1·2。证明：(1)设1和2分别对应的A上关系是R1和R2，则1·2对应的关系为R1∩R2。(2)设'对应A上关系是R'，1和2分别对应的A上关系是R1和R2，则1·2对应的关系为R1∩R2。2.划分的和设集合A上的等价关系为R1和R2,容易证明R1∪R2是A上的自反和对称关系,但不是A上的等价关系。然而R1∪R2的传递闭包是A上的等价关系。定理2.19:设R1和R2是集合A上的等价关系,则(R1∪R2)+是A上的等价关系。定义2.18:设R1和R2是A上的等价关系,R1和R2确定A的划分分别为1和2。A上的等价关系(R1∪R2)+所确定A的划分称为1与2划分的和,记为1+2。定理2.20：设1,2是A的划分,则(1)1与2细分1+2；(2)设'是A的划分,若1与2细分',则1+2细分'。证明：(1)设1和2分别对应的A上关系是R1和R2，则1+2对应的关系为(R1∪R2)+。(2)设'对应A上关系是R'，1和2分别对应的A上关系是R1和R2，则1+2对应的关系为(R1∪R2)+。2.7次序关系集合中还有一种重要的关系：次序关系。它可用来比较集合中元素的次序,其中最常用的是偏序关系和全序关系。1.偏序关系定义2.19,2.20:设R是集合A上的二元关系,若R是自反的,反对称的和传递的,则称R是A上的偏序关系。又记为≤(注意,此符号在这里并不意味着小于或等于)。若集合A具有偏序关系R,则称A为偏序集,记为(A,R)。实数集R上的小于或等于关系≦；正整数集Z+上的整除关系；集合A的幂集P(A)上的包含关系。由于它们都是偏序关系，因此(R,≦)(Z+,|),(P(A),)都是偏序集。偏序集必须有一个具体给定的偏序关系例：A={1,2},P(A)={,{1},{2},{1,2}},则A的幂集P(A)上的包含关系{(,),(,{1}),(,{2}),(,{1,2}),({1},{1}),({1},{1,2}),({2},{2}),({2},{1,2}),({1,2},{1,2})}定义：对于集合A上的偏序关系R,如果A中两个元素a,b有aRb,则称a与b是可比较的。在上例中，与,{1},{2}与{1,2}都是可以比较的，而{1}与{2}无包含关系，故不可比较由此可见：偏序集合中任意两个元素不一定可比较的。但对于实数集上的小于或等于关系≦，对任意两个实数x,y,或者x≦y,或者y≦x，必有一个成立，故x和y是可以比较的。全序关系定义2.22,2.23：设≤是集合A上的二元关系,如果对于A中任意两个元素a,bA,必有a≤b或b≤a,则称≤是A上的全序关系(或称线性次序关系)。而该集合称为全序集或线性次序集,记为(A,≤)。整数集I上的小于或等于关系≦是全序关系,但I上的整除关系/不是全序关系。而前面给出的幂集P(A)上的关系也不是全序关系。2．Hasse图偏序集(A,R)可以通过图形表示,该图叫哈斯图。是对关系图的简化。(1)由于偏序关系是自反的，即对每个元素a,都有aRa，因此在图上省去自环(2)由于偏序关系是传递的，即若有aRb,bRc则必有aRc,因此省去a与c之间的连线(3)对于aRb, 规定 关于下班后关闭电源的规定党章中关于入党时间的规定公务员考核规定下载规定办法文件下载宁波关于闷顶的规定 b在a的上方，则可省去箭头。这样的图称为哈斯图。A={1,2},画出A的幂集P(A)上的包含关系的哈斯图P(A)={,{1},{2},{1,2}}例A={2,3,6,12,24,36},画出偏序集(A,/)的哈斯图。设A上的小于等于关系≦,A={1,2,3,4,5,6},画出偏序集(A,≦)的哈斯图。3.拟序关系定义2.21:集合A上的二元关系R是反自反的和传递的,称R为A上的拟序关系。称(A,R)为拟序集,或记为(A,<)(注意,此符号<在这里也不意味着小于)。常见的拟序关系有：实数集R上的小于关系<；集合A的幂集P(A)上的真包含关系。定理2.22:集合A上的二元关系R是拟序的,则R必为反对称的。证明：假设R不是反对称的由此定理,我们可知拟序关系实际上是满足反自反的,反对称的和传递的。定理2.23：设R是A上的二元关系,则(1)若R是A上的拟序关系,则r(R)=R∪IA是A上的偏序关系。(2)若R是A上的偏序关系,则R-IA是A上的拟序关系。作业:p4219,25(2),26,28,35,38,39