权重信息不完全的直觉模糊数多属性决策的TOPSIS方法

权重信息不完全的直觉模糊数多属性决策的TOPSIS方法 权重信息不完全的直觉模糊数多属性决策的TOPSIS方 法 //.paper.edu - <1 - 权重信息不完全的直觉模糊数多属性决策 的 TOPSIS方法 卫贵武 <1, 2 <1.西南交通大学经济管理学院，四川成都(6<1003<1) 2.川北医学院数学系，四川南充 (637007) 摘 要:针对属性权重信息不完全且属性值为直觉模糊数的多属性决策问题，提出了一种逼 近理想解的决策 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 方法。该方法依据传统的TOPSIS方法的基本思路，给出了解决属性权 重信息不完全的直觉模糊多属性决策问题的计算步骤，其核心是通过构建并求解一个单目标 最优化模型，得到每个 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 与正、负理想方案间的加权海明距离，进而计算出每个方案与正 理想方案间的相对接近度，即可得到所有方案的排序结果。最后，进行了实例分析,说明了 该方法的实用性和有效性。 关键词:多属性决策，TOPSIS，直觉模糊数，不完全权重 中图分类号: C934 文献 标志 禁止坐卧标志下载饮用水保护区标志下载桥隧标志图下载上坡路安全标志下载地理标志专用标志下载 码: A <1. 引言 从 <1965 年 Zadeh 教授建立了模糊集理论[<1]，数学的理论与应用研究范围便从精确问题 拓展到了模糊现象的领域。<1986年保加利亚学者 Atanassov进一步拓展了模糊集，提出了直 觉模糊集( Intuitionistic Fuzzy Sets)的概念，直觉模糊集是模糊集的推广，模糊集是直觉模糊 集的特殊情形[2-3]。<1993年 Gau和 Buehrer定义了 Vague集[4]，Bustince和 Burillo指出 Vague 集的概念与 Atanassov 的直觉模糊集是相同的[5]。由于直觉模糊集的特点是同时考虑隶属与 非隶属两方面的信息，使得它在对事物属性的描述上提供了更多的选择方式，在处理不确定 信息时具有更强的表现能力。因此直觉模糊集在学术界及工程技术界引起了广泛的关注。文 献[6]对直觉模糊集环境下的几何集结算子进行了研究，提出了直觉模糊加权几何(IFWGA) 算子，直觉模糊有序加权几何(IFOWGA)算子和直觉模糊混合几何(IFHG)算子，并且基于 IFHG算子，给出了相应的决策方法。文献[7]对直觉模糊集环境下的算术集结算子进行了研 究，提出了直觉模糊算术平均(IFAA)算子和直觉模糊加权算术平均(IFWAA)算子，并且基于 IFAA算子和 IFWAA 算子，给出了相应的群决策方法。本文对权重信息不完全的直觉模糊 数的多属性决策方法进行了研究，依据传统的 TOPSIS方法[8]，给出了一个单目标优化模型， 从而获得相应的属性权重，计算每个方案与正理想方案和负理想方案间的加权海明距离，进 而计算出每个方案与正理想方案间的相对接近度，从而对方案进行排序。最后进行了实例分 析。 2. 直觉模糊集基本理论 直觉模糊集( Intuitionistic Fuzzy Sets)由Atanassov提出[2-3]，是传统模糊集的一种扩充和 发展。直觉模糊集增加了一个新的属性参数:非隶属度 函数 excel方差函数excelsd函数已知函数     2 f x m x mx m      2 1 4 2拉格朗日函数pdf函数公式下载 , 它能够更加细腻地描述和刻画 客观世界的模糊性本质。 定 义 <1[2-3] 设 X 是 一 个 非 空 经 典 集 合 ， ( )<1 2, , , nX x x x= L ， X 上 形 如 ( ) ( ){ }, ,A AA x x x x X?? ν= ? 的 三 重 组 称 为 X 上 的 一 个 直 觉 模 糊 集 。 其 中 [ ]: 0,<1A X?? ? 和 [ ]: 0,<1A Xν ? 均为 X 的隶属函数，且 ( ) ( )0 <1A Ax x?? ν? + ? ，这里 //.paper.edu - 2 - ( ) ( ),A Ax x?? ν 分别是 X 上元素 x属于 A的隶属度和非隶属度，表示为支持元素 x属于集合 A的证据所导出的肯定隶属度的下界和反对元素 x属于集合 A的证据所导出的否定隶属度 的下界。例如 ( ) ( ) [ ], 0.5,0.2A Ax x?? ν =?? ???? ?? ，在投票模型中这可解释为在<10人中，有5人赞成， 2人反对，3人弃权。 对于 X 上的每一个直觉模糊集，称 ( ) ( ) ( )<1A A Ax x xπ ?? ν= ??1 ??1 为直觉模糊集 A中元素 ( )0 <1A xπ? ? ， x的直觉指数，表示元素 x属于 A的犹豫度。显然， x X? 。 定义2 [9] 设 ( ) ( ) ( )( )( )<1 <1 <1, <1,2, ,j j ja j n?? ν= =% L 和 ( ) ( ) ( )( )( )2 2 2, <1, 2, ,j j ja j n?? ν= =% L 为两组 直觉模糊数，则该两组直觉模糊数间的加权海明距离为 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )<1 2 <1 2 <1 2 <1 2 <1 <1, 2 n j j j j j j j j j j d a a w ?? ?? ν ν π π = ?? ??= ??1 + ??1 + ??1?? ???% % (<1) 3. 权重信息不完全的直觉模糊数的多属性决策的 TOPSIS方法 对于直觉模糊数的多属性决策问题，设 { }<1 2, , , mA A A A= L 为方案 集， { }<1 2, , , nG G G G= L 为属性集， ( )<1 2, , , Tnw w w w W= ?L 表 示评价属性的权重向量，其中 jw 表示属性 jG 的权重，满足 <1 <1 n j j w = =? 和 0jw ? ，<1,2, , nL 。W 表示属性权重信息不完 全的数学表达式的集合，一般分为 6类情形[<10,<1<1]:? i jw w? ;? i j iw w α??1 ? ;? i i jw wβ? ; ? i i i iwγ γ ε? ? + ; ? ( )i j i i jw wθ θ ε? + ; 或 ( ) , 0ii i i j j w w w θ θ ε? ? + ? ; ? i jw w??1 k lw w? ??1 ， j k l? ? ，其中， , , ,i i i iα β γ θ 和 iε 为非负常数。 则决策者对于方案 ( )<1 2, , ,i mA A A A A? L 关于属性 ( )<1 2, , ,j nG G G G G? L 进行测度， 属性值为直觉模糊数 ( ) ( ){ }, ,i ij A j A j jA G G G G G?? ν= ? ， <1,2, , , <1, 2, ,i m j n= =L L ， 其中 ( ) iA j G?? 表示决策者对于方案 iA关于属性 jG 的满足程度， ( )iA jGν 表示决策者对于方 案 iA 不 满 足 属 性 jG 的 程 度 ， 这 里 ( )iA jG?? 和 ( )iA jGν 的 取 值 应 满 足 条 件 ( ) [ ] ( ) [ ]0,<1 , 0,<1 i iA j A j G G?? ν?? ?? ， ( )( ) ( )( )0 sup sup <1i iA j A jG G?? ν? + ? ，为方便起见, 记直觉模糊数决策矩阵 ( ) ( ),ij ij ijm n m nR r ?? ν× ×= =% % 。 下面依据传统的TOPSIS方法的基本思想，给出解决权重信息不完全的直觉模糊数的多 属性决策方法的计算步骤。 步骤 <1 确定正理想方案和负理想方案。 ( ) ( ) ( )( )<1 <1 2 2, , , , , ,n nr ?? ν ?? ν ?? ν+ + + + + + +=% L (2) ( ) ( ) ( )( )<1 <1 2 2, , , , , ,n nr ?? ν ?? ν ?? ν??1 ??1 ??1 ??1 ??1 ??1 ??1=% L (3) //.paper.edu - 3 - 其中， ( ) ( ), max ,minj j ij ijii?? ν ?? ν+ + = ， ( ) ( ), min , maxj j ij iji i?? ν ?? ν??1 ??1 = <1,2, ,j n? L . 步骤2 计算每个方案与正、负理想方案间的加权海明距离。 ( ) <1 <1, 2 n i j ij j ij j ij j j d r r w ?? ?? ν ν π π+ + + + = ?? ??= ??1 + ??1 + ??1?? ???% % (4) ( ) <1 <1, 2 n i j ij j ij j ij j j d r r w ?? ?? ν ν π π??1 ??1 ??1 ??1 = ?? ??= ??1 + ??1 + ??1?? ???% % (5) 为了得到 ( ),id r r +% % 和 ( ),id r r ??1% % ，需要事先确定属性权 重 jw 。考虑到每个方案与正理想 而与负理想方案间的距离应尽可能大。为此，可方案间的距离应尽可能小， 建立下列多目标 最优化模型。 ( ) <1 <1min , 2 n i j ij j ij j ij j j d r r w ?? ?? ν ν π π+ + + + = (6) ?? ??= ??1 + ??1 + ??1?? ???% % ( ) <1 <1max , 2 n i j ij j ij j ij j j d r r w ?? ?? ν ν π π??1 ??1 ??1 ??1 = ?? ??= ??1 + ??1 + ??1?? ???% % (7) <1 . . , <1, 0, <1, 2, ,n j jjs t w H w w i m=? = ? =? L 。 由于各个方案是公平竞争的，不存在任何偏好关系，可将上面的多目标优化 问题转化为 如下单目标最优化问题。 ( ) ( ) <1 <1 <1min 2 m n j ij j ij j ij j ij j ij j ij j i j d w ?? ?? ν ν π π ?? ?? ν ν π π+ + + ??1 ??1 ??1 = = ?? ??= ??1 + ??1 + ??1 ??1 ??1 + ??1 + ??1?? ???? (8) <1 . . , <1, 0n j jjs t w H w w=? = ?? 解此简单的线性规划模型，将得到最优属性权重向量w。 3 计算每个方案与正理想方案间的相对接近度。 步骤 ( ) ( ) ( ) ( )( ), , , ,i i i ic r r d r r d r r d r r+ ??1 + ??1= +% % % % % % % % ， <1, 2, ,i m= L 。 (9) 式中 ( ),id r r +% % 和 ( ),id r r ??1% % 为由式(8)得到权重向量w后代入式(4)和(5)所得。 步骤4 按 ( ),ic r r +% % 由大到小的顺序排序，相应地，排在前面的方案最优。 4. 实例分析 假定有 4个备选方案 <1 2 3 4, , ,A A A A ,3个评价属性 <1 2 3, ,G G G 。为简单起见，备选方案的 评价属性都是效益型属性，每个备选方案对属性的满足程度用直觉模糊数表示，所得的直觉 模糊数评估矩阵为 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0.5,0.4 0.6,0.3 0.3,0.6 0.7,0.3 0.7,0.2 0.6,0.2 0.6,0.4 0.3,0.5 0.5,0.3 0.8,0.<1 0.6,0.3 0.3,0.4 R ?? ???? ???? ??= ?? ???? ???? ???? ?? % 若属性权重信息不完全，为 //.paper.edu - 4 - { }<1 2 3 <1 33 <1 0.<1 0.2,0.2 0.35,0.25 0.45,0.4 , 0, <1,2,3, <1j jj H w w w w w w j w= = ? ? ? ? ? ? ? ? = =? 为了确定最优方案，下面利用本文的方法给出具体的计算步骤。 步骤 <1正理想方案和负理想方案为 ( ) ( ) ( )( )0.8,0.<1 0.7,0.2 0.6,0.2r + =% ( ) ( ) ( )( )0.5,0.4 0.3,0.5 0.3,0.6r ??1 =% 步骤 2因为属性权重信息不完全，右式(8)建立下列线性优化模型 <1 2 3min 0.3 0.5 0.4D w w w= ??1 ??1 ??1 3 <1 . . , <1, 0, <1, 2,3.j jjs t w H w w j=? = ? =? 求解该模型，得到最优属性权重向量w为: ( )0.20 0.35 0.45 Tw = 步骤3 计算每个方案与正、负理想方案间的加权海明距离。 ( ) ( ) ( ) ( )<1 2 3 4, 0.275, , 0.040, , 0.245, , 0.<170d r r d r r d r r d r r+ + + += = = =% % % % % % % % ( ) ( ) ( ) ( )<1 2 3 4, 0.<105, , 0.360, , 0.<155, , 0.255d r r d r r d r r d r r??1 ??1 ??1 ??1= = = =% % % % % % % % 步骤 4计算每个方案与正理想方案的相对接近度。 ( ) ( ) ( ) ( )<1 2 3 4, 0.276, , 0.900, , 0.388, , 0.600c r r c r r c r r c r r+ + + += = = =% % % % % % % % 步骤 5 根据 ( ),ic r r +% % 值的大小对方案 iA进行排序。排序结果为: 2 4 3 <1A A A Af f f 。 因此最优方案为 2A 。 5. 结论 针对属性权重信息不完全且属性取值为直觉模糊数的多属性决策问题，本文依据传统的 TOPSIS方法，给出了一个单目标优化模型，从而获得相应的属性权重，计算每个方案与正 理想方案和负理想方案间的加权海明距离，进而计算出每个方案与正理想方案间的相对接近 度，从而对方案进行排序。最后进行了实例分析。本文的研究成果发展并完善了基于直觉模 糊数决策方法的研究。 //.paper.edu - 5 - 参考文献 [<1] Zadeh L A. 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Department of Mathematics, North Sichuan Medical College, Nanchong, China (637007) Abstract With respect to the problem of multiple attribute decision-making with incomplete information on attribute weights to which the attribute values are given in terms of intuitionistic fuzzy numbers, a modified TOPSIS analysis method is proposed. Then, based on the traditional TOPSIS method, calculation steps for solving intuitionistic fuzzy multiple attribute decision-making problems with incomplete weight information are given. As the key step, a single objective programming model is developed to determine the weighted Hamming distances between every alternative and positive ideal solution and negative ideal solution. Then, according to the weighted Hamming distances, the relative closeness degree to the positive ideal solution is calculated to rank all alternatives. Finally, an illustrative example is given to verify the developed approach and to demonstrate its practicality and effectiveness. Keywords: multiple attribute decision-making; TOPSIS; intuitionistic fuzzy numbers; incomplete weight; single objective programming