凸函数的几个定义及关系[权威资料]
凸函数的几个定义及关系
摘 要:凸函数是一重要的概念，它在许多学科里有重要的应用，在研究生入学试题中，也时有涉及。本文主要是概述凸函数的几种不同的定义及它们的关系。
关键词:凸函数;严格凸函数;等价
1.凸函数几种不同的定义
定义111(凸函数)设f为定义在区间I上的函数，若对I上的任意两点x1，x2和任意实数λ?(0，1)，总有
fλx1+1-λx2?λfx1+1-λfx2(11)
则称f为I上的凸函数。
如果(11)中不等式改为严格不等式，则相应的函数称为严格凸函数[1]。
现代数学多数采用这种定义，除此之外，还有其他形式的定义。
定义112 fx在区间I上有定义，fx称为I上的凸函数，当且仅当:x1，x2?I，有
fx1+x22?fx1+fx22(12)
如果(12)式中不等式改成严格不等式便是严格凸函数[2]。
定义113 fx在区间I上有定义，fx称为是凸函数，当且仅当x1，x2，……，xn?I有
fx1+x2+……xnn?fx1+fx2+……+fxnn(13)
如果(13)式中不等式改成严格不等式便是严格凸函数的定义[2]。
定义114 fx在区间I上有定义，当且仅当曲线y=fx的切线恒保持在曲线以下，则称fx为凸函数。若除切点之外，切线严格保持在去线的下方，则称fx为严格凸函数[3]。
2.几个定义的关系
定理211 定义112与定义113等价
证明 1定义112定义113
这里采用反向归纳法，其要点是:(1)证明命题对于自然数的某个子序列成立;(2)证明命题当n=k+1成立时，必对n=k也成立。
1由式(12)知式(13)当n=2时成立，现证n=4时式(13)成立
事实上，x1，x2，x3，x4?I，由式(12)，我们有
fx1+x2+x3+x44=x1+x22+x3+x422
?fx1+x22+fx3+x422
?fx1+fx2+fx3+fx44
此即式(13)对n=4成立，一般来说，对任一自然数k，重复上面方法，应用(12)式k次，可知
fx1+x2+……+x2k2k?fx1+fx2+……+fx2k2k
这说明式(13)对一切n=2k皆成立。
2[证明式(13)对n=k+1成立时，必对n=k也成立]记
A=x1+x2+……+xkk，则x1+x2+……+xk=kA，所以
A=x1+x2+……+xk+Ak+1
由式(13)对n=k+1成立，故
fA=fx1+x2+……+xk+Ak+1
?fx1+fx2+……+fxk+fAk+1
不等式两边同乘以k+1，减去fA，最后除以k，我们可以得到
fx1+x2+……+xkk?fx1+fx2+……+fxkk
此式表示(13)对n=k成立。
1定义113定义112 显然
定理212 若fx连续，则定义111、112、113等价
证明1(定义111定义112、113)在定义1中令λ=12，则由式(11)得
fx1+x22=f[λx1+(1-λ)x2]
?λfx1+1-λfx2
=fx1+fx22x1，x2?I
此式表明(12)式成立，所以定义111蕴涵定义112，而定义112、113等价，故定义111也蕴涵定义113
2(定义112、113定义111)设x1，x2?I为任意两点，为了证明式(11)对于任意实数λ?0，1成立，我们先来证明:式(11)当λ为有理数时则λ=mn?0，1，(m
lt;n为自然数)时成立，则:
fλx1+1-λx2=fmnx1+1-mnx2
=fmx1+n-mx2n
=fx1+x1+…+x1mn+x2+x2+…x2n-mn、
?f(x1)+fx1+…fx1mn+fx2+fx2+…+fx2n-mn
=mfx1+n-mfx2n
=λfx1+1-λfx2
λ为有理数的情况获证。
若λ?0，1为无理数，则存在有理数λn?0，1，n=1，2，…使得λn?λ(当n??时)
从而由fx的连续性
fλx1+1-λx2=flimn??λnx1+1-λnx2
=limn??fλnx1+1-λnfx2
对于有理数λn?0，1，n=1，2，…，上面已证明有
fλnx1+1-λnx2?λnfx1+1-λnfx2
此式中令n??取极限，联系上式，有
fλx1+1-λx2?λfx1+1-λfx2
即式(11)对任意无理数也成立λ?0，1也成立。
这就证明了定义112、113蕴涵定义111。
注 上述证明里可以看到从定义111定义112、113无需连续性，定义112、113定义111才需要连续性，可见定义111强于定义112、113。
定理123 若fx处处可导，则定义111，定义112，定义113，定义114等价。(作者单位:西安汽车科技职业学院)
参考文献:
[1] 华东师范大学数学系编，数学
分析
定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析
(上)[M].北京:高等教育出版社.2001.148―149.
[2] 裴礼文编，数学分析中的经典问题与方法[M]].北京:高等教育出版社.2006.269―270.
[3] 企方勤编，数学分析(上)[M].北京:高等教育出版社.1986.132―133.
[4] 程士宏编.高等概率[M]北京:北京大学出版社.1996.
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