[设计]智爱高中数学 抽象函数的周期与对称轴

[设计]智爱高中 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 抽象函数的周期与对称轴 智愛高中數學 抽象函数的周期与对称轴 一. 内容:抽象函数的周期与对称轴 二. 重点:抽象函数周期与对称轴的相关结论。 难点:结论的推导证明～利用结论解决问题。 三. 具体内容 f(x),f(x，T)f(x)1. 若则的周期为T。 T,b,af(x，a),f(b，x)f(x)2. 若则的周期为 f(x),f(x，b,a)x,x,a证:令 ? T,2b,af(x，a),,f(x，b)f(x)3. 则的周期 f(x),,f(x，b,a)x,x,a证:令 ? ? f(x，a,b),,f(x)x,x,b 令 ? ? ,f[x，(a,b)],,f[x，(b,a)]由??得: T,2b,af[x，(a,b)],f[x，(b,a)]? ? a，bf(a，x),f(b,x)f(x)x,则图象的对称轴为4. 若2 a，ba，bf(，x),f(,x)证:要证原结论成立～只需证22 a，ba，bb,af(a，x),f(b,x)x,，xf(，x),f(,x)令代入 则 222 a，b(,0)f(a，x),,f(b,x)f(x)5. 若则的图象～以为对称中心2。 a，ba，bf(，x),,f(,x)证:方法一:要证原结论成立只需证22 b,aa，ba，bx,x，f(，x),,f(,x)f(a，x),,f(b,x)令代入 则222 y,f(x)方法二:设它的图象为C a，b,,P(x,y),CP(a，b,x,,y)(,0)0000则P关于点的对称点2 f(a，b,x),f[a，(b,x)],,f[b,(b,x)],,f(x)0000 f(x),yf(a，b,x),,y,P,C0000? ? ? 【典型例题】 y,f(x)x,R[例1] 对于～有下列命题。 y,f(1，x)y,f(1,x)x,1,1,在同一坐标系下～函数与的图象关于直线对称。 f(1，x),f(1,x)f(2,x),f(2，x)f(x),2,若且均成立～则为偶函数。 f(x,1),f(x，1)y,f(x),3,若恒成立～则为周期函数。 xf(x)y,f(a)a,0a,1,4,若为单调增函数～则,且,也为单调增函数～ 其中正确的为, 解:,2,,3, 3f(1，x),,f(1,x)f(2)，f(,2)f(x),(x，a),x,R[例2] 若函数有求。 f(1，x),,f(1,x)f(x)(1,0),x,R解:～知的图象关于对称 3P(,a,0)f(x),(x，a)a,,1而的对称中心 ? 33f(x),(x,1)f(2)，f(,2),1,(,3),,26? 则 f(x)f(x)，f(x，2),0,x,R[例3] 设是定义在R上的函数～均有当 f(x),2x,1f(x),1,x,11,x,3时～求当时～的解析式。 f(x),,f(x，2),x,RT,4有得 解:由 x,(1,3](x,2),(,1,1]设则 f(x,2),f(x,2，4),f(x，2),,f(x) f(x),,f(x,2),,[2(x,2),1],,2x，5? f(x),,2x，51,x,3? 时 f(x)f(x)，f(x,1),1x,[0,1][例4] 已知是定义在R上的函数且满足～当时2f(x),x有则 f(x),1,是周期函数且周期为2 2x,[1,2]f(x),2x,x,2,当时～ 3f(,2004,5),,3,其中正确的是, 4 解:,1,,2,,3, f(x)f(x，2),f(x,2)f(4，x),f(4,x)[例5] 已知满足～～ 2f(,4),,13f(x),x，bx，c,6,x,,2当时～且～ bcpp,f(11)m,f()n,f()mn若求、、的大小关系,32～～ x,4x,,4T,4解:由已知得～对称轴 ? 也为一条对称轴 bb,8,,,4 ?2 ? 4c,64f(,4),,13c,3,,13由 ? ? 4 83m,f()n,f()n,m,pp,f(11),f(3)23 ? ～～ ? f(x)f(x)[例6] 定义在R上的函数既是偶函数又是周期函数～若的最小正周期 ,5f(x),sinxx,[0,]f(,),是～且当时～求的值。32 5223,,,(),(，),(),(,),(),sin,fffff,,,,3333332解: y,f(x),m，n,Rf(m，n),f(m),f(n)x,0[例7] 设定义在R上～有且当 0,f(x),1时～ f(0),1f(x),1x,0,1,求证:且当时～ f(x),2,求证:在R上递减。 f(m，n),f(m),f(n)f(1),f(1)f(0)m,1n,0解: ,1,在中～令～得 0,f(1),1f(0),1 ? ? x,0,x,0n,,xm,x 设～则令～代入条件式 1f(x),,1f(0),f(x)f(,x)f(0),1有而 ? f(,x) x,xx,x,00,f(x,x),1122121,2,设则 ? m,xm，n,xn,x,xf(x),f(x)f(x,x)12212121令～则代入条件式得 f(x)20,,1f(x),f(x)f(x)21即 ? 在R上递减? f(x)1 【模拟试题】 一. 选择 f(x)f(x，3),f(x)f(x)f(1),2x,R1. 已知满足～且是奇函数～若则 f(2000),, B , 2,23，23,2A. B. C. D. f(x)f(x，4),f(x)2. 已知是定义在R上的偶函数～且对任何实数均成立～ f(x),xf(x),0,x,2398,x,400当时～～当时～, C , x,400x,398400,x398,xA. B. C. D. ,,,f(x),3sin(,x，,)f(，x),f(,x)f(),x,R3. 若函数～都有则666 等于, D , ,3,3A. 0 B. 3 C. D. 3或 3y,cos(,,2x)4. 函数是, C , 2 2,,,A. 周期为的奇函数 B. 周期为的偶函数 C. 周期为的奇函数 D. 4,周期为的奇函数 f(x),2sin(2x，,)5. 的图象关于y轴对称的充要条件是, C , ,,2,k，,k，,,,,,,2k,，,,,k,，,22A. B. C. D. f(x，,),f(,x)f(x),f(,x)f(x)6. 如果且则可以是, D , sinxsinxsin2xcosxA. B. C. D. y,sin(x，,)，3cos(x,,)7. 为偶函数的充要条件是, B , ,,,,,k，,,,k,2,,,k,2,k,,,,,6663A. B. C. D. f(x)f(x，2),,f(x)f(x),x0,x,18. 设是R上的奇函数～当时～～则 f(7.5),, B , ,0.5,1.5A. 0.5 B. C. 1.5 D. 2f(2，t),f(2,t)f(x),x，bx，c,x,t9. 设～有那么, A , f(2),f(1),f(4)f(1),f(2),f(4)f(2),f(4),f(1)A. B. C. f(4),f(2),f(1)D. y,f(x)y,f(x,1)y,f(1,x)10. 定义在R上～则与的图象关于,D , y,0y,1x,0x,1A. 对称 B. 对称 C. 对称 D. 对称 二. 填空 f(x)f(x，2,),f(x)1. 是R上的奇函数～且～则 f(,)，f(2,)，f(3,)，？，f(2003,), 0 。 ,,y,sin(2x，)x,1232. 函数的图象的对称轴中最靠近y轴的是 。 f(x),xx,2f(x)f(x),x,0x,03. 为奇函数～且当时～则当时 。xx，2 f(x)(,,,0)4. 偶函数的定义域为R～且在上是增函数～则 3322f(,),f(a,a，1)f(,),f(a,a，1)44,1,,2, 3322f(,),f(a,a，1)f(,),f(a,a，1)44,3,,4, 中正确的是 ,2, 。 三. 解答题 1x,[0,]2,xf(x)x,1211. 设是定义在R上的偶函数～图象关于对称～、都f(x，x),f(x)f(x)f(1),a,01212有且 11f(x)f()f(),1,求、 ,2,证明:是周期函数24 1f(x，x),f(x),f(x),x,x,[0,]121212解:,1,? 都有 2 xxx,[0,1]f(x),f(),f(),0? 22 111112f(1),f(，),f(),f(),[f()]? 22222 11111111224f(),f(，),[f()]f(),af(),a ? ～?244424 f(x)f(x),f(1，1,x)x,1,2,由已知关于对称 ? f(x),f(2,x)f(x)f(,x),f(x)x,Rx,R即～ 又由是偶函数知～ f(,x),f(2,x)f(x),f(x，2)x,R,xx ? ～将上式中以代换得 f(x) ? 是R上的周期函数～且2是它的一个周期 y,f(x)x,b(a,b)x,a2. 如果函数的图象关于和都对称～证明这个函数 f[2(a,b)，x],f(x)满足 f(x)x,bx,a证:? 关于和对称 f(x),f(2a,x)f(x),f(2b,x)? ～ f(2a,x),f(2b,x)2a,x,2(a,b)，A2b,x,A ? 令～则 f[2(a,b)，A],f(A)f[2(a,b)，x],f(x) ? 即 12f(1，t),f(1,t)f(x),x，bx，cf()3. 已知对任意实数t都有～比较与2 f(2)的大小。 2f(1，t),f(1,t)f(x),x，bx，c解:由知抛物线的对称轴是1 3132,f(),f()而222 ? 31f(x)(1,，,)f(2),f()f(2),f() 根据在上是增函数得即22 f(x)f(1，x),f(2,x)4. 定义在实数集上的函数～对一切实数x都有成立～f(x),0若方程仅有101个不同实根～求所有实根之和。 f(u),f(3,u)u,2,xx,2,u解:设即 ? 3303f(x),f(3,x),x,R101，, ? 有 ? 所有实根之和为22 y,f(x)f(x),f(2a,x)f(x),0,x,R注:一个结论:设～都有且有k个 (k,2)ka实根～则所有实根之和为 练 习 一. 选择 f(x)f(x，3),f(x)f(x)f(1),2x,R1. 已知满足～且是奇函数～若则 f(2000),, , 2,23，23,2A. B. C. D. f(x)f(x，4),f(x)2. 已知是定义在R上的偶函数～且对任何实数均成立～ f(x),xf(x),0,x,2398,x,400当时～～当时～, , x,400x,398400,x398,xA. B. C. D. ,,,f(x),3sin(,x，,)f()f(，x),f(,x),x,R3. 若函数～都有则666 等于, , ,3,3A. 0 B. 3 C. D. 3或 3y,cos(,,2x)4. 函数是, ,2 2,,,A. 周期为的奇函数 B. 周期为的偶函数 C. 周期为的奇函数 D. 4,周期为的奇函数 f(x),2sin(2x，,)5. 的图象关于y轴对称的充要条件是, , ,,,,2k,，,,,k,，,2,k，,k，,,,,A. C. B. D. 22 f(x，,),f(,x)f(x),f(,x)f(x)6. 如果且则可以是, , sinxsinxsin2xcosxA. B. C. D. y,sin(x，,)，3cos(x,,)7. 为偶函数的充要条件是, , ,,,,22,k,,k,,k,,k，,,,,,,,,A. B. C. D. 3666 f(x)f(x，2),,f(x)f(x),x0,x,18. 设是R上的奇函数～当时～～则 f(7.5),, , A. 0.5 B. ,0.5 C. 1.5 D. ,1.5 2f(2，t),f(2,t)f(x),x，bx，c,x,t9. 设～有那么, , f(2),f(1),f(4)f(1),f(2),f(4)A. B. f(2),f(4),f(1)f(4),f(2),f(1)C. D. y,f(x)y,f(x,1)y,f(1,x)10. 定义在R上～则与的图象关于, , y,0y,1x,0x,1A. 对称 B. 对称 C. 对称 D. 对称 二. 填空 f(x)f(x，2,),f(x)1. 是R上的奇函数～且～则 f(,)，f(2,)，f(3,)，？，f(2003,), 。 ,y,sin(2x，)32. 函数的图象的对称轴中最靠近y轴的是 。 f(x),xx,2f(x)f(x),x,0x,03. 为奇函数～且当时～则当时 。 f(x)(,,,0)4. 偶函数的定义域为R～且在上是增函数～则 3322f(,),f(a,a，1)f(,),f(a,a，1)44,1,,2, 3322f(,),f(a,a，1)f(,),f(a,a，1)44,3,,4, 中正确的是 。 三. 解答题 1,xf(x)x,[0,]x,1121. 设是定义在R上的偶函数～图象关于对称～、都2f(x，x),f(x)f(x)f(1),a,01212有且 11f(x)f()f(),1,求、 ,2,证明:是周期函数 24 y,f(x)x,b(a,b)x,a2. 如果函数的图象关于和都对称～证明这个函数 f[2(a,b)，x],f(x)满足 12f(1，t),f(1,t)f(x),x，bx，cf()3. 已知对任意实数t都有～比较与2f(2)的大小。 f(x)f(1，x),f(2,x)4. 定义在实数集上的函数～对一切实数x都有成立～ f(x),0若方程仅有101个不同实根～求所有实根之和。