1计算下列定积分
第九章 定积分
1(计算下列定积分:
221e1,xdx1dx(2x，3)dx,2,0e,xlnx1，x01); (2); (3); (
x,x9,11ee,2(x，)dx;3dx,tanxdx,40,x20(4); (5) (6)
e41dx2(lnx)dx;1,,0x，1xe(7) (8)( 2(利用定积分求极限:
133，，，nlim(12);4n,,n(1)
，，111nlim;，，，,,222n,,nnnn(1)(2)()，，，，，(2)
111n，，，lim();222n,,nnn，，1(2)2(3)
121,,n,lim(sinsinsin)，，， n,,nnnn(4)(
,,,,,,,,,abf则在上也可积3. 证明:若在上可积，. f[,]ab,,,,,,
4. 设)均为定义在上的有界函数(证明:若仅在中有限个点处fg[,]ab[,]ab
bb则当在上可积时，在上也可积，且. fxdxgxdx()(),gfxgx()(),,f[,]ab[,]ab,,aa
,,，，5.设在上有界，,,证明:在上只有为其a,a,b,an,1,2,？f[,]ablim.ac,[,]abnnn,,n
间断点，则在上可积. f[,]ab
6.不求出定积分的值,比较下列各对定积分的大小:
,,11222 (1) (2)( xdx与xdx;xdxxdx与sin,,,,0000
7.证明下列不等式:
,1dx,,x22 (1),,; (2); 1,,edxe,,0022121sin,x2
,4esinxdx,lnx2 (3) (4) ,,1dx36.edx,,,,0ex2;x
b28.设在上连续,且不恒等于零,证明 fxdx,0.f[,]abfx()，，，，,a9.设与都在上可积,证明 fg[,]ab
Mxfxgxmxfxgx()max(),(),()min(),(),,,,,,xab,,xab,,,,,,
上也都可积. 在[,]ab
110.设在上可积,且在上满足证明在上也可积. fxm()0.,,f[,]ab[,]ab[,]abf
与都在上可积,且在上不变号,、分别为在11.证明:若Mmfg[,]abgx()[,]abfx()
上的上、下确界,则必存在某实数,使得 [,]ab,()mM,,,
bb f(x)g(x)dx,,g(x)dx.,,aa
12(求下列极限:
x22t()edtx1,20 (1) (2) tdtlim.limcos;x,2,0,,x0x2txedt,013(设为连续函数，证明: f
,,
22(1) f(sinx)dx,f(cosx)dx;,,00
,,,(2) xf(sinx)dx,f(sinx)dx.,,002
14. 证明施瓦茨(Schwarz)不等式:若和在上可积，则 fg[,]ab
2bbb22,, f(x)g(x)dx,f(x)dx,g(x)dx.,,,,,aaa,,15. 利用施瓦茨不等式证明:
(1)若在上可积，则 f[,]ab
2bb2,,; f(x)dx,(b,a)f(x)dx,,,,aa,,
(2)若在上可积，且，则 f[,]abfxm()0,,
bb12 ; f(x)dx,dx,(b,a),,aaf(x)
(3)若、都在上可积，则有闵可夫斯基(Minkowski)不等式: fg[,]ab
111bbb222222，，，，，， ( (f(x)，g(x))dx,f(x)dx，g(x)dx,,,,,,,,,aaa，，，，，，
16(证明:若在上连续，且，则 f[,]abfx()0,
bb11,,, . lnf(x)dxlnf(x)dx,,,,aa,,baba,,
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