二次函数根的分布8.24剖析_new

二次函数根的分布8.24剖析_new 2ax，bx，c,0专题一:一元二次方程根的分布 22设方程的不等两根为且，相应的二次函数为， axbxca，，,,00fxaxbxc,，，,0xx,xx,，，，，1212方程的根即为二次函数图象与轴的交点，它们的分布情况见下面各 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf (每种情况对应的均是充要条件) x 表一:(两根与0的大小比较即根的正负情况) 分两个负根即两根都小于0 两个正根即两根都大于0 一正根一负根即一个根小于0，布 情 一个大于0 xx,,0,0xx,,0,0xx,,0，，，，，，121212况 大 致 图 象) a,0 ) ,,0,,0,,得,,出bb,, ,,0,,0 ，，f0,0的,,2a2a结,,论 f00,f00,,,，，，，,,大 致 图 象) a,0 ) ,,0,,0,,得,,出bb,, ,,0,,0，，f0,0的,,2a2a结,,论 f00,f00,,,，，，，,,综 合,,0,,0,,结,,论bb,,) ，，,,0,,0a,f0,0 ,,不2a2a,,讨af,,00af,,00，，，，,,论,,a ) 1 表二:(两根与k的大小比较) 分kkkk两根都小于即 即 ，一个大于即 两根都大于一个根小于布 情 x,k,x,kx,k,x,kx,k,x121212况 大 致 图 象k)kka,0 ) ,,0,,0,,得,,出bb,, ,,k,,k ，，fk,0的,,2a2a结,,论 fk,0fk,0,,，，，，,,大 致 图 象) a,0 ) ,,0,,0,,得,,出bb,, ,,k,,k ，，fk,0的,,2a2a结,,论 fk,0fk,0,,，，，，,,综 合,,0,,0,,结,,论bb,,) ，，,,k,,ka,fk,0 ,,不2a2a,,讨afk,,0afk,,0，，，，,,,,论a ) 2 表三:(根在区间上的分布) 分内，另一根在一根在，，，，m,np,q内 两根有且仅有一根在，，m,n布两根都在内 ，，m,n情内， m,n,p,q(图象有两种情况，只画了一种) 况 大 致 图 象) a,0 ) ,,fm0,,0，，, ,,得fm,0fn,0，，，，,fmfn,0，，，，,,,出或 ,,, ，，，，fn,0fm,fn,0的fpfq,0，，fp,0，，，，，，,,,,结,,b论fq,0 ，，,mn,,,,2a,,大 致 图 象) a,0 ) ,,0,,,fm0，，,得fm,0,，，,fn,0，，出,fmfn,0，，，，,,, 或 fn,0，，，，fm,fn,0的，，,,,fpfq,0fp,0，，，，，，结,,,,b论 ,,mn,,,fq,0，，,2a,,综 合 结，，，，fmfn,0,论,)，，，，—————— fm,fn,0 ,不,，，，，fpfq,0讨,论a ) xmxn,,,，，m,n根在区间上的分布还有一种情况:两根分别在区间外，即在区间两侧，(图形分别如下)需满足12 的条件是 3 fm,0fm,0,,，，，，,,a,0a,0(1)时，; (2)时， ,,fn,0fn,0，，，，,,,, 对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明: (1)两根有且仅有一根在内有以下特殊情况: ，，m,n 1: 若或，则此时不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为或，fm,0fn,0fmfn ,0mn，，，，，，，， 2可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间内，从而可以求出参数的值。如方程mxmx,，，,220，，m,n，， 222在区间上有一根，因为，所以，另一根为，由得1,3f10,mxmxxmx,，，,,,221213,,，，，，，，，，，，mm2即为所求; ,,m23 ,,0,,02: 方程有且只有一根，且这个根在区间内，即，此时由可以求出参数的值，然后再将参数的，，m,n 值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。如方程2xmxm,，，,4260,3,0ff,,300 有且一根在区间内，求的取值范围。分析:?由即m，，，，，， 1532,,0m,,1m,,1141530mm，，,,,,,3m164260mm,，,m,得出;?由即得出或，当，，，，，，142 33m,,1x,,,,23,0m,x,,,33,0m,时，根，即满足题意;当时，根，故不满足题意;综上分析，，，，，22 15m,,1,,,,3m得出或 14 典例分析: 221210mxmxm，,，,,例1、已知二次方程有一正根和一负根，求实数的取值范围。 m，，，， 2210xmxm,，，,例2、已知方程有两个不等正实根，求实数m的取值范围。 ，， 2ymxmxm,，,，，，22433x例3、已知二次函数与轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求，，，，，， m实数的取值范围。 4 2例4、已知二次方程只有一个正根且这个根小于1，求实数的取值范围。 mxmx，,，,2340m，， 2例5、已知关于x的二次方程x+2mx+2m+1=0.若方程有两根，其中一根在区间(,1，0)内，另一根在区间 (1，2)内，求m的范围. 巩固练习: 1.已知方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 22(设有一元二次方程x+2(m-1)x+(m+2),0(试问: (1)m为何值时，有一正根、一负根( (2)m为何值时，有一根大于1、另一根小于1( (3)m为何值时，有两正根( (4)m为何值时，有两负根( (5)m为何值时，仅有一根在[1，4]内, . 当3m为何值时，方程有两个负数根, 24(已知关于x的方程x，2mx，2m，3=0的两个不等实根都在区间(0，2)内，求实数m的取值范围( 25. m取何实数值时，关于x的方程x+(m-2)x，5-m=0的两个实根都大于2, 26(已知关于x方程:x-2ax，a,0有两个实根α，β，且满足0,α,1，β,2，求实根a的取值范围( 227(已知关于x的方程(m-1)x-2mx，m+m-6=0有两个实根α，β，且满足0,α,1,β，求实数m的取值范围( 5 专题二,二次函数在闭区间上的最值 一、 知识要点: 一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为:对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况. 2设，求在上的最大值与最小值。 xmn,[]，fx()fxaxbxca()(),，，,0 2,,bb4acb,分析:将配方，得顶点为、对称轴为 x,,fx(),，,,2a2a4a,, 当时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m，n]上的最值: fx()a,0 2bb4acb,,,(1)当时，的最小值是的最大值是,,mn，f,,，fx()fx(),,,,,,2a2a4a 中的较大者。 fmfn()()、 b(2)当,,mn，时 ,,2a b若,,m，由在上是增函数则的最小值是，最大值是 mn，fx()fx()fm()fn(),,2a bn,,若，由在上是减函数则的最大值是，最小值是 mn，fx()fx()fm()fn(),,2a 时，可类比得结论。 当a,0 二、例题分析归类: (一)、正向型 是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形:(1)轴定，区间定;(2)轴定，区间变;(3)轴变，区间定;(4)轴变，区间变。 1. 轴定区间定 二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。 2例1. 函数在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。 yxx,,，,42 2223xx,练习. 已知，求函数的最值。 fxxx(),，，1 2、轴定区间变 二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。 2tt，，1例2. 如果函数定义在区间上，求的最小值。 fx()fxx()(),,，11,, 6 2xttt,，,[1]()，Rfx()fxxx()23,,，练习: 已知，当时，求的最大值( 3、轴变区间定 二次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”。 22例3 已知，且，求函数的最值。 x,1fxxax(),，，3a,,20 2练习: (1) 求在区间[-1,2]上的最大值。 f(x)x2ax1,，， (2) 求函数在上的最大值。 y,,x(x,a)x,[,1,1] ？ 4. 轴变区间变 二次函数是含参数的函数，而定义域区间也是变化的，我们称这种情况是“动二次函数在动区间上的最值”。 222yaxaa,,,4()(0),uxy,,，(3)例4. 已知，求的最小值。 (二)、逆向型(是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中参数的取值。) 2例5. 已知函数在区间[3,2],上的最大值为4，求实数a的值。 fxaxax()21,，， 7 2x例6.已知函数在区间上的最小值是3最大值是3，求，的值。 fxx(),,，mnmn[,]mn2 3，，2例7. 已知二次函数在区间上的最大值为3，求实数a的值。 f(x)ax(2a1)x1,，,，,,2,,2，， 三、巩固训练 21(函数,x，x，1在上的最小值和最大值分别是( ) y[,1,1] 113,,1 ,3 ,3 (C) ,3 (D), 3 (A)(B)424 22(函数在区间 上的最小值是 [1,4]y,,x，4x,2 8y,3(函数的最值为( ) 2x,4x，5 最大值为8，最小值为0 不存在最小值，最大值为8 (A)(B) (C)最小值为0, 不存在最大值 不存在最小值，也不存在最大值 (D) 24(若函数的取值范围是______________________ y,2,,x，4x,x,[0,4] 32fxaxaxa()()()[],，,,,2130?在区间，25(已知函数上的最大值是1，则实数a的值2为 26(已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是( ) m[0,m]y,x,2x，3 (A) (B) (C) (D) [1,，,)[0,2][1,2](,,,2] 27(若，那么的最小值为__________________ x,0,y,0,x，2y,12x，3y 2222x,2mx，1,m,08(设m,R,x,x是方程的两个实根，则的最小值______ x，x1212 29(设求函数f(x)的最小值g(t)的解析式。 f(x),x,4x,4,x,[t,t，1](t,R), a2,x,ax，10(已知f(x)，在区间[0,1]上的最大值为g(a)，求g(a)的最小值。 2 8 书中横卧着整个过去的灵魂——卡莱尔 人的影响短暂而微弱，书的影响则广泛而深远——普希金 人离开了书，如同离开空气一样不能生活——科洛廖夫 书不仅是生活，而且是现在、过去和未来文化生活的源泉 ——库法耶夫 书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者———史美尔斯 书籍便是这种改造灵魂的工具。人类所需要的，是富有启发性的养料。而阅读，则正是这种养料———雨果