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衡阳县一中2016年上学期高一期中考试数学
试题
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分值：100分 时量：120分钟 命题人: 罗 烨
一.选择题:本大题共10小题,每小题3分,共30分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.下列命题正确的是（ ）
A.第一象限角是锐角 B.相等向量一定共线
C.终边相同的角一定相等 D.若
与
都是单位向量，则
2.sin(-3300)的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3.在下列四个
函
关于工期滞后的函关于工程严重滞后的函关于工程进度滞后的回复函关于征求同志党风廉政意见的函关于征求廉洁自律情况的复函
数中，在区间
上为增函数，且以
为最小正周期的偶函数是（ ）
A．y=tanx B．y=|sinx| C．y=sin2x D．y=cos2x
4.已知
，则
的值为( )
A．
B．
C．
D．
5.如图,
，
为互相垂直的单位向量，则向量
可
表
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示为( )
A．
B．
C．
D．
6.已知
,
, 则
的值为 ( )
A．
B．
C．
D．
7.已知函数
的部分图象如下图所示,
则函数
的解析式为( )
A.
B.
C.
D.
8.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设向量
，
，其中
＝(3,1)，
＝(1,3)．若
＝λ
＋μ
，且0≤λ≤μ≤1，则C点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是( )
9.若函数
的图象与x轴交于点A，过点A的直线l与函数的
图象交于 B、C两点，则
（ ）
A．－32
B.－16 C. 16 D. 32
10.函数
处分别取得最大值和最小值，且对于任
意
，则( )
A．函数
一定是周期为4的偶函数; B．函数
一定是周期为2的奇函数;
C．函数
一定是周期为4的奇函数; D．函数
一定是周期为2的偶函数;
二.填空题:本大题共5小题,每小题4分,满分20分.
11.设
一扇形的弧长为4cm，面积为4cm2，则这个扇形的圆心角的弧度数是 .
12.将函数
的图象向左平移
个单位，得到函数
的图象，则
__________.
13.已知
且
，则
在
方向上的投影为___________________.
14.已知
，且
，则
＝_______________ .
15.设函数
的图象为
，给出下列命题：
①图象
关于直线
对称；
②函数
在区间
内是增函数；
③函数
是
奇函数；
④图象
关于点
对称.
其中，正确命题的编号是 ____________________ .（写出所有正确命题的编号）
三.解答题:本大题共6小题,共50分.解答必需写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤.
16．（本小题满分8分）已知：向量
，且
.
（1）求向量
的夹角
；
（2）当
与
平行时，求实数
的值。
17.（本小题满分8分）已知函数
.
（1）求函数
的单调递增区间；
（2）求
的最大值及取最大值时
的集合.
18．（本小题满分8分）平面内有四边形ABCD，
＝2
，且AB＝CD＝DA，
＝
，
＝
，M是CD的中点．
(1)试用
，
表示
；
(2)若AB上有点P，PC和BM的交
点为Q，已知PQ∶QC＝1∶2，求AP∶PB和BQ∶QM
.
19．（本小题满分8分）已知向量
，函数
的图象的两相邻对称轴间的距离为
.
（1）求
的值；
（2）若
，且
有且仅有一个实根，求实数
的值.
20.（本小题满分
8分）如图，在平面直角坐标系
中，点
在单位圆
上，
，且
.
（1）若
，求
的值；
（2）若
也是单位圆
上的点，且
. 过点
分别做
轴
的垂线，垂足为
，记
的面积为
，
的面积为
.设
，求函数
的最大
值.
21．（本小题满分10分）如图，矩形花园
中，
,
，
是
的中点，在该花园中有一花圃，其形状是以
为直角顶点的
，其中
、
分别落在线段
和线段
上．分别记
为
（
），
的周长为
，
的面积为
.
（1）试求
的取值范围；
（2）
为何值时
的值为最小，并求
的最小值.
衡阳县一中2016年上学期高一期中考试数学试题
分值：100分 时量：120分钟 命题人: 罗 烨
一.选择题:本大题共10小题,每小题3分,共30分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.下列命题正确的是（ B ）
A.第一象限角是锐角 B.相等向量一定共线
C.终边相同的角一定相等 D.若
与
都是单位向量，则
2.sin(-3300)的值为（ C ）
A．
B．
C．
D．
3.在下列四个函数中，在区间
上为增函数，且以
为最小正周期的偶函数是（ B ）
A．y=tanx B．y=|sinx| C．y=sin2x D．y=cos2x
4.已知
，则
的值为( D )
A．
B．
C．
D．
5.如图,
，
为互相垂直的单位向量，则向量
可表示为( C )
A．
B．
C．
D．
6.已知
,
, 则
的值为 ( A )
A．
B．
C．
D．
7.已知函数
的部分图象如下图所示,则函数
的解析式为( D )
A.
B.
C.
D.
8.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设向量
，
，其中
＝(3,1)，
＝(1,3)．若
＝
λ
＋μ
，且0≤λ≤μ≤1，则C点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是 ( A )
9.若函数
的图象与x轴交于点A，过点A的直线l与函数的图象交于
B、C两点，则
（ D ）
A．－32 B.－16 C. 16 D. 32
10.函数
处分别取得最大值和最小值，且对于任意
，则( A )
A．函数
一定是周期为4的偶函数 B．函数
一定是周期为2的奇函数
C．函数
一定是周期为4的奇函数 D．函数
一定是周期为2的偶函数
二.填空题:本大题共5小题,每小题4分,满分20分.
11.设一扇形的弧长为4cm，面积为4cm2，则这个扇形的圆心角的弧度数是 2 .
1
2.将函数
的图象向左平移
个单位，得到函数
的图象，则
.
13.已知
且
，则
在
方向上的投影为
.
14.已知
，且
，则
＝
.
15.设函数
的图象为
，给出下列命题：
①图象
关于直线
对称； ②函数
在区间
内是增函数；
③函数
是奇函数； ④图象
关于点
对称.
其中，正确命题的编号是 ① ② .（
写出所有正确命题的编号）
三.解答题:本大题共6小题,共50分.解答必需写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤.
16．（本小题满分8分）已知：向量
，且
.
（1）求向量
的夹角
；
（2）当
与
平行时，求实数
的值。
解：（1）
，由
得
0
即
，故
；…………2分
（2）由
，
当
平行时，
，从而
。 …………8分
17.（本小题满分8分）已知函数
.
（1）求函数
的单调递增区间；
（2）求
的最大值及取最大值时
的集合.
解：由已知，
.
（１）由
,
，得增区间为
.
（２）当
，
，即
时，
取最大值
，
此时
的集合为
.
18．（本小题满分8分）平面内有四边形ABCD，
＝2
，且AB＝CD＝DA，
＝
，
＝
，M是CD的中点．
(1)试用
，
表示
；
(2)若AB上有点P，PC和BM的交点为Q，已知PQ∶QC＝1∶2，求AP∶PB和BQ∶QM.
＝
＋
(
＋
)＝
＋
＝
t
＋
·2
＝
(a＋tb)，…………5分
设
＝λ
＝
a＋
b，…………6分
由于
，
不共线，则有
，解方程组，得λ＝
，t＝
. …………7分
故AP∶PB＝2∶1，BQ∶QM＝4∶5. …………8分
19．（本小题满分8分）已知向量
，函数
的图象的两相邻对称轴
间的距离为
.
（1）求
的值；
（2）若
，且
有且仅有一个实根，求实数
的值.
解：由题意，
，
（1）∵两相邻对称轴间的距离为
，∴
， ∴
.
（2）
，且余弦函数在
上是减函数， ∴
，
令
=
，
，在同一直角坐标系中作出两个函数的图象，可知
.
20.（本小题满分8分）如图，在平面直角坐标系
中，点
在单位圆
上，
，且
.
（1）若
，求
的值；
（2）若
也是单位圆
上的点，且
. 过点
分别做
轴
的垂线，垂足为
，记
的面积为
，
的面积为
.设
，求函数
的最大值.
解：（1）由三角函数的定义有
∵
，∴
，
∴
. ………3分
（2）由
，得
．由定义得
，
，
又
，于是，
∴
=
=
=
=
，即
． ……8分
21．（本小题满分10分）如图，矩形花园
中，
,
，
是
的中点，在该花园中有一花圃，其形状是以
为直角顶点的
，其中
、
分别落在线段
和线段
上．分别记
为
（
），
的周长为
，
的面积为
.
（1）试求
的取值范围；
（2）
为何值时
的值为最小，并求
的最小值.
浙公网安备 33021202002483