高中数学复习系列---柯西不等式

高中数学复习系列---柯西不等式 高中数学复习系列---柯西不等式 【柯西不等式的主要 内容 财务内部控制制度的内容财务内部控制制度的内容人员招聘与配置的内容项目成本控制的内容消防安全演练内容 】 1. 柯西主要贡献简介: 柯西(Cauchy)，法国人，生于1789年，是十九世纪前半叶最杰出的分析家. 他奠定了数学分析的理论基础. 数学中很多定理都冠以柯西的名字，如柯西收敛原理、柯西中值定理、柯西积分不等式、柯西判别法、柯西方程等等. ad22222abcdR,,,, 2.二维形式的柯西不等式: 若，则 当且仅当 时, 等号成立. ，，，，，，a，bc，d,ac，bd,cb ad0 2abcdR,,,, 变式1.若，则 当且仅当 时, 等号成立. (a，b)(c，d),(ac，bd),cb ad2222 当且仅当 时, 等号成立. ,a，bc，d,ac，bdcb ad2222 当且仅当 时, 等号成立. ,a，bc，d,ac，bdcb ad 当且仅当 时, 等号成立. ,a，bc，d,ac，bdcb 0 变式2.(三角形不等式)设为任意实数，则: x,y,x,y,x,y112233 222222 ，，，，，，，，，，，，x,x，y,y，x,x，y,y,x,x，y,y121223231313 2202222abcdR,,,, 变式3. 若，则; ，，，，a，b，c，d,a,c，b,d abR,,3. 一般形式的柯西不等式:设为大于1的自然数，(1,2,…,)，则: i,nnii nnn22bbb2n12ab,(ab),,？, .当且仅当 时, 等号成立. ,,,iiiiaaa,,,111iii12n (若时，约定，1,2,…,). a,0b,0i,nii n22aa,i()i0 ,,变式1. 设 则: .当且仅当时, 等号成立. aRbin,,,,0(1,2,,),iibbi,,ii1 2na()a,i0i变式2. 设 则:,. 当且仅当时,等号成立. abin,,,0(1,2,,),b,b,？,b,12niibabi,1,iii 如果一个定理与很多学科或者一个学科的很多分支有着密切联系，那么这个定理肯定很重要. 而柯西不等式与我们中学数学中的代数恒等式、复数、向量、几何、三角、函数等各方面都有联系. 所以, 它的重要性是不容置疑的～ ? 柯西不等式的应用: 2222,dabc,,abcd，，，,2365abcd，，，,3例1. 已知实数满足， . 试求的最值 a 1112,,222236bcdbcd，，，，,，，例1 解:由柯西不等式得，有 ，，，，,,236,, 1 222222236bcdbcd，，,，，53,,,aa 即 由条件可得， ，，，， 236bcd 解得，当且仅当 时等号成立， 12,,a,, 121316 111 代入时， b,,c,,d,a,2max236 21 时 a,1bcd,,,1,,min33 9,222xyz，，,,例2 在实数集内 解方程 4, ,,，,,862439xyy, 解:由柯西不等式，得 2222222，， ? xyzxyy，，,，，,,,，,86248624，，，，，，，，，， 92222222，， xyz，，,，，,8624,，，，，,6436414439，，，，，，，，，，4 222222222，，,，,,862439xyy又. xyzxyz，，,，，,,,，,86248624 ，，，，，，，，，，，， 即不等式?中只有等号成立. xyz,,从而由柯西不等式中等号成立的条件，得 ,,8624 6918,，,,862439xyy它与联立，可得 y,x,,z,,261313 abc,,PR 例3 设是三角形ABC内的一点，是到三边的距离，是ABC外接圆 的半径， xyz,,p 1222xyzabc，，,，，证明: 2R 证明:由柯西不等式得， 111111xyzaxbycz，，,，，,，，，，axbycz abcabc SABC记为的面积，则 abcabc axbyczS，，,,,2242RR 1abcabbcca，，1222,，，abc xyzabbcca，，,,，，2Rabc2R2R 故不等式成立。 2222a，b,1a1,b，b1,a,1,例4 (证明恒等式) 已知 求证:。 222222,,,,，，，，a1,b，b1,a,a，1,ab，1,b,1证明:由柯西不等式，得 2 2bb1, 当且仅当时，上式取等号， ,2aa1, 222222？ab,1,a,1,b, ab,，，，，1,a1,b, 22a，b,1 于是 。 1111，，，？，,0例5 (证明不等式)设 求证: a,a,？,a,a,12nn，1,,,,aaaaaaaa1223nn1，n，11 分析:这道 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 初看似乎无法使用柯西不等式，但改变其结构，我们不妨改为证: ，，111 aa？，，,,，，，,1,1n，1,,aaaaaa,,,1223nn，1，， 证明:为了运用柯西不等式，我们将写成 a,a1n，1 于是 ，，，，，，a,a,a,a，a,a，？，a,a1n，11223nn，1 ,,111,,a,a，a,a，，a,a,，，，,,，，，，，，？？1223nn，1,, a,aa,aa,a1223nn，1,, 2,n,1. ,,111,,，，1a,a,，，？，,1n，1,,a,aa,aa,a1223nn，1,, 即 1111,？，，？，,a,aa,aa,aa,a1223nn，11n，1 1111 故 ，，？，，,0.aaaaaaaa,,,,1223nn，1n，11 【同步训练】 1，22221.已知aaaR,,,,，求证: aaaaaa，，，,，，，()12nnn1212n 2222abcd,,,abcdabbccdda，，，,，，，2.已知是不全相等的正数，求证: 3 2223.已知. xyzxyz，，,，，231,求的最小值 222xxx1n124.设 求证: x,x,xR,,且x，，，,xx1,，，，,12n，12n1x111，，，，xxn12n 22222abcde,,,,5.已知实数满足abcde，，，，,8, 求的取值范围. abcde，，，，,16,e 149xyz，，,1,，，,366.已知 且 求证: xyzR,,,,，xyz 4111112,,，,，，,,17.若n是不小于2的正整数，试证:。 72342122nn, 4 参考 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 2222222 1(证:(111)()(111)，，，，，，,,，,，，,aaaaaann1212 2222 ? naaaaaa()()，，，,，，，nn1212 12222 ? aaaaaa，，，,，，，()nn1212n 22222222证明:()()acdbcda，，，，，，2 (),，，，abbccddaabcd2、 abcd,,,,是不全相等的正数不成立？,,,bcda222222？，，，,，，，()()abcdabbccdda2222即 a，，，,，，，bcdabbccdda 2222222解:()(123)(23)1xyzxyz，，，，,，，,1222？，，,xyz14xyz113 3( 当且仅当即时,,,,,xyz,,123147141222xyz，，取最小值14 222xxxn12证明:(1)()n，,，，，111，，，xxx12n22xx12 (1x11)(,，，，，，，,，，xx12n11，，xx12 4、2 xxxn12 )(11，,，,，，,xx121x，11，，xxn12x22n 1x)()1，，，,,，，，,xxxnn121，xn 2222解: 4(a)，，，bcd2222 (1111)(),，，，，，，abcd2 5( (abcd),，，，2222即即4(16)(8),6446416,,,,,,，eeeee162？,,,,5160,0eee故5 证法一用柯西不等式:149149，，,，，，，()()xyzxyzxyz1232,,，,，,,()36xyz 6( xyz 11111222当且仅当即时xyzxyz,,,,,,,,,49632等号成立. 证法二代入法:149149，，,，，，，，，，，()()()xyzxyzxyzxyzxyzyxzxzy4949,，，，，，，14()()() xyxzyz,，，，,14461236111当且仅当即时等号成立yxzxxyz,,,,,2,3,,,,632 5 111111111111 7(证明:证明: 1(1)2(),，,，，,,，，，，，,，，，2342122342242nnnn, 111 ,，，，nnn，，122 41112,，，，, 所以求证式等价于 71222nnn，， 1112 由柯西不等式有 ()[(1)(2)2]，，，，，，，，,nnnnnnn，，122 211124n 于是: ，，，,,,1nnnnnn，，，，，，，122(1)(2)273，n 111111222 又由柯西不等式有 ，，，,，，，，，，(111)(222nnnnnn，，，，122(1)(2)(2) 111112 ,，，，,,,nn[()nnnnnnnn(1)(1)(2)(21)222，，，, 6