2020年高考数学（文）二轮复习精品考点学与练3函数的应用（考点解读）（原卷）

专题3函数的应用求方程的根、函数的零点的个数问题以及由零点存在性定理判断零点是否存在，利用函数模型解决实际问题是高考的热点；备考时应理解函数的零点，方程的根和函数的图象与x轴的交点的横坐标的等价性；掌握零点存在性定理．增强根据实际问题建立 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 模型的意识，提高综合分析、解决问题的能力．1．函数的零点与方程的根(1)函数的零点对于函数f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数f(x)的零点．(2)函数的零点与方程根的关系函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．(3)零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0,这个c也就是方程f(x)＝0的根．注意以下两点：①满足条件的零点可能不唯一；②不满足条件时，也可能有零点．(4)二分法求函数零点的近似值，二分法求方程的近似解．2．应用函数模型解决实际问题的一般程序读题建模求解反馈文字语言?数学语言?数学应用?检验作答与函数有关的应用题，经常涉及到物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题．解答这类问题的关键是确切的建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答．3．在求方程解的个数或者根据解的个数求方程中的字母参数的范围的问题时，数形结合是基本的解题方法，即把方程分拆为一个等式，使两端都转化为我们所熟悉的函数的解析式，然后构造两个函数f(x)，g(x)，即把方程写成f(x)＝g(x)的形式，这时方程根的个数就是两个函数图象交点的个数，可以根据图象的变化趋势找到方程中字母参数所满足的各种关系.高频考点一函数的零点判断例1、【2019年高考全国Ⅲ卷文数】函数f(x)2sinxsin2x在[0，2π]的零点个数为（）A．2B．3C．4D．5【方法技巧】函数零点的求法(1)判断函数在某个区间上是否存在零点，要根据具体题目灵活处理．当能直接求出零点时，就直接求出进行判断；当不能直接求出时，可根据零点存在性定理判断；当用零点存在性定理也无法判断时可画出图象判断．(2)已知函数的零点个数求解参数范围，可以利用数形结合思想转化为函数图象交点个数；也可以利用函数方程思想，构造关于参数的方程或不等式进行求解．(3)对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个函数图象，然后数形结合，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．【变式探究】设f(x)＝lnx＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)高频考点二、二次函数的零点例2、（2018年浙江卷）已知λ∈R，函数f(x)=，当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是___________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．【变式探究】已知函数f(x)＝x2＋ax＋2，a∈R.(1)若不等式f(x)≤0的解集为[1,2]，求不等式f(x)≥1－x2的解集；(2)若函数g(x)＝f(x)＋x2＋1在区间(1,2)上有两个不同的零点，求实数a的取值范围．【方法技巧】解决二次函数的零点问题：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；(3)利用二次函数的图象列不等式组．【变式探究】已知f(x)＝x2＋(a2－1)x＋(a－2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a的取值范围．高频考点三、函数的实际应用例3、(2019·高考北京卷)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度5E1来描述．两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝2lgE2，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1，2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为()A.1010.1B.10.1C.lg10.1D.10－10.1【举一反三】【2016高考四川文科】某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12％，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是()(参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30)(A)2018年(B)2019年(C)2020年(D)2021年【方法技巧】解决函数实际应用题的两个关键点(1)认真读题，缜密审题，准确理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学地抽象概括，将实际问题归纳为相应的数学问题．(2)要合理选取参变量，设定变量之后，就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系，建立相应的函数模型，最终求解数学模型使实际问题获解．【变式探究】某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润(单位：万元)为2y1＝4.1x－0.1x，在B地的销售利润(单位：万元)为y2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是()A．10.5万元B．11万元C．43万元D．43.025万元【举一反三】某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是()(参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)A．2018年B．2019年C．2020年D．2021年1、【2019年高考全国Ⅲ卷文数】函数f(x)2sinxsin2x在[0，2π]的零点个数为（）A．2B．3C．4D．5x,x02．【2019年高考浙江】已知a,bR，函数f(x)1312．若函数x(a1)xax,x032yf(x)axb恰有3个零点，则（）A．a<–1，b<0B．a<–1，b>0C．a>–1，b<0D．a>–1，b>03.(2019高考北京卷·)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足5E1m2－m1＝2lgE2，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1，2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为()10.1A.10B.10.1C.lg10.1D.10－10.11.（2018年浙江卷）已知λ∈R，函数f(x)=，当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是___________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．2.（2018年江苏卷）若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为________．3.（2018年全国卷Ⅱ）已知函数．（1）若，求的单调区间；（2）证明：只有一个零点．4.（2018年天津卷）设函数，其中,且是公差为的等差数列.（I）若求曲线在点处的切线方程；（II）若，求的极值；（III）若曲线与直线有三个互异的公共点，求d的取值范围1.【2017北京，文8】根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物M质的原子总数N约为1080．则下列各数中与最接近的是（参考数据：lg3≈0.48）N33537393（A）10（B）10（C）10（D）10x2,xD,2.【2017江苏，14】设f(x)是定义在R且周期为1的函数，在区间[0,1)上,f(x)其中集x,xD,n1合Dxx,nN*，则方程f(x)lgx0的解的个数是▲.n3x13.【2017江苏，11】已知函数f(x)x2xe,其中e是自然数对数的底数.若ex2f(a1)f(2a)≤0,则实数a的取值范围是▲.1.【2016高考山东文数】若函数yf(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称yf(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是（）x3（A）ysinx（B）ylnx（C）ye（D）yx32.【2016高考山东文数】已知函数f(x)的定义域为R.当x＜0时，f(x)=x-1；当-1≤x≤1时，f(-x)=—f(x)；111当x＞时，f(x+)=f(x—).则f(6)=（）222（A）-2（B）-1（C）0（D）23.【2016高考四川文科】某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12％，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是()(参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30)(A)2018年(B)2019年(C)2020年(D)2021年x20.【2016高考北京文数】函数f(x)(x2)的最大值为_________.x1x2(4a3)x3a,x021.【2016高考天津文数】已知函数f(x)(a0且a1)在R上单调递减，且loga(x1)1,x0x关于x的方程|f(x)|2恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是_________.322.【2016高考上海文科】1已知aR，函数f(x)=log2(a).x（1）当a1时，解不等式f(x)>1；2（2）若关于x的方程f(x)+log2(x)=0的解集中恰有一个元素，求a的值；1（3）设a>0，若对任意t[,1]，函数f(x)在区间[t,t1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a2的取值范围.