反比例函数 指数函数 对数函数 对号函数[教学]

反比例函数 指数函数 对数函数 对号函数[教学] 反比例函数 1、反比例函数图象:反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线 反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交(K?0)。 2、性质: 1.当k>0时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，y随x的增大而减小;当k<0时，图象分别位于二、四象限，同一个象限内,y随x的增大而增大。 ,,,2.k>0时，函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数;k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。 定义域为x?0;值域为y?0。 3.因为在y=k/x(k?0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交。 4. 在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2则S1,S2=|K| 轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称5. 反比例函数的图象既是 轴 y=x y=-x(即第一三，二四象限角平分线)，对称中心是坐标原点。 6.若设正比例函数y=mx与反比例函数y=n/x交于A、B两点(m、n同号)，那么A B两点关于原点对称。 7.设在平面内有反比例函数y=k/x和一次函数y=mx+n，要使它们有公共交点，则n^2+4k?m?(不小于)0。 8.反比例函数y=k/x的渐近线:x轴与y轴。 9.反比例函数关于正比例函数y=x,y=-x轴对称,并且关于原点中心对称. ,,,10.反比例上一点m向x、y分别做垂线，交于q、w，则矩形mwqo(o为原点)的面积为|k| 11.k值相等的反比例函数重合，k值不相等的反比例函数永不相交。 12.|k|越大，反比例函数的图象离坐标轴的距离越远。 ,,,13.反比例函数图象是中心对称图形，对称中心是原点 指数函数 概念:一般地，函数y=a^x(a,0，且a?1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R。 注意:?指数函数对外形要求严格，前系数要为1，否则不能为指数函数。 ?指数函数的定义仅是形式定义。 指数函数的图像与性质: 规律:1. 当两个指数函数中的a互为倒数时，两个函数关于y轴对称，但这两个函数都不具有奇偶性。 2.当a,1时，底数越大，图像上升的越快，在y轴的右侧，图像越靠近y轴; 当0,a,1时，底数越小，图像下降的越快，在y轴的左侧，图像越靠近y轴。 在y轴右边“底大图高”;在y轴左边“底大图低”。 3.四字口诀:“大增小减”。即:当a,1时，图像在R上是增函数;当0,a,1时， 图像在R上是减函数。 4. 指数函数既不是奇函数也不是偶函数。 比较幂式大小的方法: 1. 当底数相同时，则利用指数函数的单调性进行比较; 2. 当底数中含有字母时要注意分类讨论; 3. 当底数不同，指数也不同时，则需要引入中间量进行比较; 4. 对多个数进行比较，可用0或1作为中间量进行比较 底数的平移: 在指数上加上一个数，图像会向左平移;减去一个数，图像会向右平移。 在f(X)后加上一个数，图像会向上平移;减去一个数，图像会向下平移。 对数函数 1.对数函数的概念 x由于指数函数y=a在定义域(-?，+?)上是单调函数，所以它存在反函数， x我们把指数函数y=a(a,0，a?1)的反函数称为对数函数，并记为y=logx(a,0，a?1).a x因为指数函数y=a的定义域为(-?，+?)，值域为(0，+?)，所以对数函数y=logx的a定义域为(0，+?)，值域为(-?，+?). 2.对数函数的图像与性质 对数函数与指数函数互为反函数，因此它们的图像对称于直线y=x. 据此即可以画出对数函数的图像，并推知它的性质. 为了研究对数函数y=logx(a,0，a?1)的性质，我们在同一直角坐标系中作出函数a y=logx，y=logx，y=logx,y=logx,y=logx的草图 2101011 210 由草图，再结合指数函数的图像和性质，可以归纳、 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 出对数函数y=logx(a,0，aa?1)的图像的特征和性质.见下 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf . a,1 a,1 图 象 (1)x,0 性 (2)当x=1时，y=0 质 (3)当x,1时，y,0 (3)当x,1时，y,0 0,x,1时，y,0 0,x,1时，y,0 (4)在(0，+?)上是增函数 (4)在(0，+?)上是减函数 补设y=logx y=logx其中a,1，b,1(或0,a,1 0,b,1) 1a2b 充 当x,1时“底大图低”即若a,b则y,y12 性当0,x,1时“底大图高”即若a,b，则y,y 12 质 比较对数大小的常用方法有: (1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断. (2)若底数为同一字母，则按对数函数的单调性对底数进行分类讨论. (3)若底数不同、真数相同，则可用换底公式化为同底再进行比较. (4)若底数、真数都不相同，则常借助1、0、-1等中间量进行比较. 3.指数函数与对数函数对比 名称 指数函数 对数函数 x一般形式 y=a(a,0，a?1) y=logx(a,0，a?1) a定义域 (-?，+?) (0，+?) 值域 (0，+?) (-?，+?) 当a,1时， 当a,1时 函 ,1(x,0),0(x,1),,数 ,,xa,1(x,0)logx,0(x,1) ,,a值 ,,,1(x,0),0(x,1),,变 化 当0,a,1时， 当0,a,1时， 情 ,1(x,0),0(x,1),,况 ,,xa,1(x,0)logx,0(x,1) ,,a ,,,1(x,0),0(x,1),, x单调性 当a,1时，a是增函数; x是增函数; 当a,1时，logax当0,a,1时，a是减函数. 当0,a,1时，logx是减函数. a x图像 y=a的图像与y=logx的图像关于直线y=x对称. a 幂函数 幂函数的图像与性质 n随着的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取按性质和图像分幂函数nyx, 11n类记忆的方法(熟练掌握，当的图像和性质，列表如下(n,,,,2,1,,,3yx,23 从中可以归纳出以下结论: 1,1? 它们都过点，除原点外，任何幂函数图像与坐标轴都不相交，任何幂函，， 数图像都不过第四象限( 110,，,a,,,1,2,3? 时，幂函数图像过原点且在上是增函数(，,32 10,，,a,,,,,1,2? 时，幂函数图像不过原点且在上是减函数(，，2 ? 任何两个幂函数最多有三个公共点 nyx, 奇函数 偶函数 非奇非偶函数 y y y n,1 x x x O O O y y y 01,,n x x x O O O y y y n,0 x x O O x O 123,1yx, 2yx,yx,yx, yx, xx|0,xx|0,,,,,定义域 R R R 奇偶性 奇 奇 奇 奇 非奇非偶 在第?象限的增减在第?象限在第?象限在第?象限在第?象限在第?象限性 单调递增 单调递增 单调递增 单调递增 单调递减 ,yx,x,,幂函数(R，是常数)的图像在第 一象限的分布规律是: ,yx,x,,?所有幂函数(R，是常数)的图 (1,1)像都过点; 1,1,2,3,,,yx,2?当时函数的图像都过原 (0,0)点; ,cyx,,,12?当时，的的图像在第一象限是第一象限的平分线(如); ,c,,2,3yx,1?当时，的的图像在第一象限是“凹型”曲线(如) 1,,,cyx,23?当时，的的图像在第一象限是“凸型”曲线(如) ,c(0,0)yx,,,,14?当时，的的图像不过原点，且在第一象限是“下滑”曲线(如) ,yx,,,0当时，幂函数有下列性质: (0,0),(1,1)(1)图象都通过点; (2)在第一象限内都是增函数; ,,10,,,1(3)在第一象限内，时，图象是向下凸的;时，图象是向上凸的; (1,1)(4)在第一象限内，过点后，图象向右上方无限伸展。 ,yx,,,0当时，幂函数有下列性质: (1,1)(1)图象都通过点; (2)在第一象限内都是减函数，图象是向下凸的; yx(3)在第一象限内，图象向上与轴无限地接近;向右无限地与轴无限地接近; ,(1,1)(4)在第一象限内，过点后，越大，图象下落的速度越快。 ,yx,,无论取任何实数，幂函数的图象必然经过第一象限，并且一定不经 过第四象限。 对号函数 by,ax，函数(a>0,b>0)叫做对号函数，因其在(0，+?)的图象似符号“?”x bbbax，,2而得名，利用对号函数的图象及均值不等式，当x>0时，(当且仅当ax,xxa bb+x,y,ax，即时取等号)，由此可得函数(a>0,b>0,x?R)的性质:xa bbb+x,y,ax，2当时，函数(a>0,b>0,x?R)有最小值，特别地，当a=b=1xaa bbby,ax，时函数有最小值2。函数(a>0,b>0)在区间(0，)上是减函数，在区间(，xaa +?)上是增函数。 bb-y,ax，y,ax，因为函数(a>0,b>0)是奇函数，所以可得函数(a>0,b>0,x?R)xx 的性质: bbb-x,,当时，函数(a>0,b>0,x?R)有最大值-，特别地，当a=b=1y,ax，2xaa bb时函数有最大值-2。函数(a>0,b>0)在区间(-?，-)上是增函数，在区y,ax，xa b间(-，0)上是减函数。a