【教学随笔】平面向量数量积公式的考查方向

【教学随笔】平面向量数量积公式的考查方向 金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 平面向量数量积公式的考查方向 一、基本知识要点回顾 1平面两向量数量积的坐标 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示 ,,,,,,a,(x,y)aa,bb,(x,y)b已知两个非零向量，，试用和的坐标表示 1122 ,,yij设是轴上的单位向量，是轴上的单位向量，那么 x ,,,,,,a,xi，yj， b,xi，yj1122 ,,,,,,,,,,,,22,xxi，xyi,j，xyi,j，yyja,b,(xi，yj)(xi，yj)所以 112212122112 ,,,,,,,,i,i,1j,j,1i,j,j,i,0又，， ,,a,b,xx，yy所以 1212 这就是说:两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和 2.平面内两点间的距离公式 ,,22222a,(x,y)||aaaxy,,,，|a|,x，y(1)设，则或 ,a(x,y)(x,y)(2)如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么1122,22|a|,(x,x)，(y,y)(平面内两点间的距离公式) 1212 3.向量垂直的判定 ,,,,,a,(x,y)xx，yy,0a,bb,(x,y)设，，则 11121222 0,,,,4.两向量夹角的余弦() ,,a,babab，1122,cos,a,b,= cos,=, ,2222|a|,|b|aabb，，1212 二、例题讲解 1(考查向量数量积坐标公式 AB,(k,1),AC,(2,3),则k例1在?ABC中，?A=90?，的值是 . 3ABACk,,,,(,1)(2,3)0解:由,得k= ,2 例2设向量a=(,1，2)，b=(2，,1)，则(a?b)(a+b)等于 ( ) A((1，1) B((,4，,4) C(,4 D((, 2，,2) 第 1 页 共 7 页 金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com 金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 解:(a?b)(a+b)=[-2+(-2)](1,1)=(-4,-4),选(B) xoyA(1,2)P(x,y)OP,OA,4例3直角坐标平面中，若定点与动点满足，则点P的 轨迹方程是__________。 x，2y,4,x，2y,4,0OP,OA,4知 解答:设点P的坐标是(x,y)，则由 2(考查两向量的夹角公式 例4| a |=1，| b |=2，c = a + b，且c?a，则向量a与b的夹角为 ( ) A(30? B(60? C(120? D(150? 【 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 】C 【详解】 , 设所求两向量的夹角为 2,,,,,,,,,,,,, cabca,，,　　 ？,，,，,caabaaab.()..0 ,,2,,,,||||1aa2,cos,,,,, 即: ？,,||||||cosaab,,,,2||||||abb o,,120. 所以 【名师指津】 ,,,, 对于abab.||||cos,,这个公式的变形应用应该做到熟练,另外向量垂直(平行) 的充要条件必需掌握. 例5(江西理科卷6)已知向量 5 ( ) a,(1,2),b(,2,,4),|c|,5,若(a，b),c,,则a与c的夹角为2 A(30? B(60? C(120? D(150? 【思路点拨】本题考查平面向量的运算及向量的夹角公式. 5cxy,(,)【正确解答】设，则，又 ()(1,2)(,)2abcxyxy，,,,,,,,,,2 1acxyac,,，,,,2||||cos,,,:120||5c,，所以，得，， ,,,cos2选C. ab,,ab,ab0【解后反思】设的夹角为,则,(1)当为锐角,有，cos,0,,,,,,,，||||ab ,,0,ab,ab,1ab0ab,,1且(2) 当为钝角,有且(3)当,共线且方向相同.(4)当,ab,0时, . ,,2 DAAC例6已知A(3，1)，B(6，1)，C(4，3)，D为线段BC的中点，则向量与的 第 2 页 共 7 页 金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com 金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 夹角为 ( ) 44,A( B( arccos,arccos255 44C( D(, arccos(,)arccos(,)55 DA,(2,1)AC,(1,2),解:?D(5,2),, 4ACDA,44AC?cos(180?-?DAC)=,???DAC=,即向量arccos(),,,55||||ACDA55 4DA与的夹角为,选(C) arccos(),5 3(考查两向量垂直的充要条件 PA,PB,PB,PC,PC,PA例7(湖南卷文科9)(P是?ABC所在平面上一点，若，则P是?ABC的( ) A(外心 B(内心 C(重心 D(垂心 答案:D [评述]:本题考查平面向量有关运算，及“点积为零，则两向量所在直线垂直”相关知识. PA,PB,PB,PC得PA,PB,PB,PC,0 [解析]:由. PB,(PA,PC),0,即PB,CA,0 即 PB,CA,同理PA,BC,PC,AB 则 ,ABC 所以P为的垂心. 故选D. axbx,,,5,3,2,ab,例8已知向量，且，则由x的值构成的集合是( ) ，，，， 2,326,1,6(A) (B) (C) (D) ,,,,,,,, ab,ab,解:由得=0,即(x-5)?2+3×x=0解得x=2,选(C) ,222a,(x,y)||aaaxy,,,，4(考查公式:设，则 已知向量a=(,2，2)，b=(5，k).若|a+b|不超过5，则k的取值范围是 ( ) A([,4，6] B([,6，4] C([,6，2] D([,2，6] 22222||28252(102)134abababkkkk，,，，,，，，,，,，，解:?,由题意得2k+4k+-12?0,解得-6?k?2,即k的取值范围为[-6,2],选(C) 三、例析向量的数量积公式与三角函数的交汇。 第 3 页 共 7 页 金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com 金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 3m,(1,1),例1(已知向量向量n与向量m夹角为，且m,n,,1. ,4 (1)求向量n; ,A2qpnn (2)若向量与向量=(1，0)的夹角为，求|2+|,(2sin,4cos)向量p,A22 的值. n,(x,y),由m,n,,1x，y,,1解:(1)设，有 ? 33m,n,|m|,|n|,cos由m与n夹角为，有. ,,44 22|n|,1,则x，y,1.??… x,,1,x,0,,,|n|,(,1,0)n,(0,,1).由??解得 ?即或 或,,y,0.y,,1.,, n与qn,(0,,1). (2)由垂直知 A2 2n，p,(2sinA,4cos,2),(2sinA,2cosA),2 22|2n，p|,4sinA，4cosA,2? 例2(已知向量 xxxx,,,. a,(2cos,tan(，)),b,(2sin(，),tan(,)),令f(x),a,b2242424 求函数f(x)的最大值，最小正周期，并写出f(x)在[0，π]上的单调区间. xxxx,,,解: f(x),a,b,22cossin(，)，tan(,)tan(,)2242424 xx1tantan1，,xxx2222,，，,22cos(sincos)xx222221tan1tan,， 22 xxx2,，,2sincos2cos1222 ,sinx，cosx ,=. 2sin(x，)4 ,,,2,,f(x)的最大值为2所以，最小正周期为上单调增加，上单f(x)在[0,][,]442 调减少. ab例3、已知向量 = (3 sinωx，cosωx)，=( cosωx，cosωx)，其中ω,0，记 第 4 页 共 7 页 金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com 金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com fx()f(x)ab函数=，已知的最小正周期为π( , (?)求ω; πfx(?)当0,x? 时，试求的值域( ，，3 2fx()解:(?)=3 sinωxcosωx，cosωx 13 =sin2ωx， (1+cos2ωx) 22 π1=sin(2ωx+ )+ 62 2π? ω>0，?T=π= ，?ω=1( 2ω π1fx()(?)由(1)，得=sin(2x+ ) + , 62 πππ5π?0,x? , ? ,2x+ ? ( 3666 3fx()??[1， ]( 2 例4、已知向量 82m,(cos,,sin,)和n,(2,sin,,cos,),,,(,,2,),且m，n,， 5 ,,求的值. cos(，)28 解法一: ,,m，n,(cos,,sin,，2,cos,，sin,) ,,22,4，22(cos,,sin,)m，n,(cos,,sin,，2)，(cos,，sin,) ,, ,4，4cos(,，),21，cos(,，)44 ,782cos(,，),m，n, 由已知，得 4255 ,,,2 又 cos(,，),2cos(，),1428 16,,2cos() 所以 ，,2825 5,,,9,,, ？,,,,2,,？,，,？cos(，),0828828 第 5 页 共 7 页 金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com 金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com ,,4 ？cos(，),, 285 解法二: ,,,,,,,,,,,,22222m，n,(m，n),m，2m,n，n,m，n，2m,n 2222222,(cos,，sin,)，((2,sin,)，cos,)，2[cos,(2,sin,)，sin,cos,] ,,,2 422(cossin)4[1cos()]8cos(),，,,,,，,，,，428 ,,482cos(，),由已知，得 m，n,2855 5,,,9,,, ？,,,,2,,？,，,？cos(，),0828828 ,,4？cos(，),, 285 点评:本题是以向量的模的定义为背景，考查了三角函数求值的有关知识。 3x3xxx3,,例5、 已知向量 a,(cos,sin),b,(cos,,sin),且x,[,].222222 a,b及|a，b|(1)求; f(x),a,b,|a，b|(2)求函数的最小值. 3xx3xx3xx解答:(1) a,b,coscos，sin(,sin),cos(，),cos2x222222 3xx3xx a，b,(cos，cos,sin,sin)2222 |a，b| ?= 3xx3xx222 (cos，cos)，(sin,sin),2，2cos2x,4cosx,2|cosx|2222 3,,?， ? |a，b|,,2cosxx,[,]22 (2) f(x),a,b,|a，b|,cos2x,(,2cosx),cos2x，2cosx 1322 2cos2cos12(cos)x，x,,x，,22 3,, ?， x,[,]22 13,1,cosx,0? ?当 cos,()x,,时fx,,min22 第 6 页 共 7 页 金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com 金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com ?例6、已知二次函数f (x)对任意x?R，都有f (1,x) = f (1，x)成立，设向量a= ( sinx , 2 ) ， 1???????b= (2sinx , )，c= ( cos2x , 1 )，d=(1,2)，当x?[0,π]时，求不等式f (a?b),f (c?d)2 的解集. 解析:设f(x)的二次项系数为m，其图象上的两点为A(1,x,y)、B(1，x, y)，因为 12(1,x)，(1，x)=1 f (1,x) = f (1，x)，所以y= y 122 由x的任意性得f(x)的图象关于直线x=1对称，若m,0，则x?1时，f(x)是增函数 ; 若m,0，则x?1时，f(x)是减函数。 1??2?a?b=(sinx，2)?(2sinx, )=2sinx，1?1 2 ??c?d=(cos2x，1)?(1,2)=cos2x，2?1 ????2,?当m,0时，f (a?b),f (c?d)f(2sinx，1), f(cos2x，2) 2,, 2sinx，1,cos2x，21,cos2x，1,cos2x，2 3,,,, cos2x,02kπ，,2x,2kπ，,k?z 22 3,,,kπ，,x,kπ，, k?z 44 3,,?0?x?π ?,x, 44 3,,当m,0时 同理可得0?x,或,x?π 44 ????综上所述，不等式f (a?b),f (c?d)的解集是: 3,,当m,0时，为{ x|,x, } ; 44 3,,当m,0时，为{ x|0?x,或,x,π}。 44 第 7 页 共 7 页 金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com