3.4.1曲线与方程教案（北师大版选修2-1）
?4 曲线与方程
4.1曲线与方程
?三维目标
1(知识与技能
(1)了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系(
(2)初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念(
(3)学会根据已有的情景资料找规律，培养学生分析、判断、归纳的逻辑思维能力与抽象思维能力，同时强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法(
2(过程与方法
(1)通过直线方程的复习引入，加强学生对方程的解和曲线上的点的一一对应关系的直观认识(
(2)在形成曲线和方程概念的过程中，学生经历观察、分析、讨论等数学活动过程 ，探索出结论并能有条理的阐述自己的观点(
(3)能用所学知识理解新的概念，并能运用概念解决实际问题，从中体会转化化归的思想方法，提高思维品质，发展应用意识(
3(情感、态度与价值观
(1)通过概念的复习引入，从特殊到一般，让学生感受事物的发展规律(
(2)通过本节课的学习，学生能够体验几何问题可以转化成代数问题来研究，真正认识到数学是解决实际问题的重要工具(
(3)学生通过观察、分析、推断可以获得数学猜想，体验到数学活动充满着探索性和创造性(
?重点难点
重点:“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念(
难点:利用定义验证曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程(
本节课，学生容易对定义中为什么要规定两个关系产生困惑，可通过反例揭示两者缺一不可的关系(为了强化认识，可用集合相等的概念来解释曲线和方程的对应关系，这将有助于学生的理解(通常在由已知曲线建立方程的时候，不验证以方程的解为坐标的点是否在曲线上，就认为所求的是曲线方程(为了突破这个难点，可
设计
领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计
不同层次的问题，通过这些问题让学生进一步领会二者缺一不可(
?教学建议
本节课，学生已有了用方程
表
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示曲线的感性认识(二元一次方程表示直线)，现在要进一步研究平面内的曲线和含有二元方程之间的关系，是由直观上升到抽象的过程(所以本节课可采用复习引入课题、从特殊到一般的方法让学生易于接受(教学方法上，可采用启发探究式，以问题的提出、问题的解决为主线进行教学(在教学中，通过探究发现、合作交流、归纳反思等数学活动，倡导学生主动参与，让学习过程成为主动认知过程(在教学中，要循善诱，精心启发，创造思维情景让学生去观察、去探索、去发现问题、去解决问题，进而培养学生的创造性思维(
?教学
流程
快递问题件怎么处理流程河南自建厂房流程下载关于规范招聘需求审批流程制作流程表下载邮件下载流程设计
探究概括
设置情境导入新课.――?通过例子探究定义中两个条件缺一不可――?曲线与方程的定义
归纳
探究
――?求曲线方程的方法―?训练反馈―?归纳提升
1.能够结合已学过的曲线及其方程的实例，了
课标解读 解曲线与方程的对应关系，进一步感受数形
结合的基本思想((重点) 2.掌握求曲线方程的一般方法，进一步体会曲
线与方程的关系，感受解析几何的思想方
法((难点)
曲线与方程
【问题导思】
1(如果曲线与方程仅满足“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”，会出现什么情况,举例说明(
2 【提示】 方程y,1,x表示的曲线是半圆～而非整圆(
2(轨迹与轨迹方程这两个概念相同吗,
【提示】 不同～前者是图形～而后者仅指方程(
方程与曲线
一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系:
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解;
(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，那么，这条曲线叫作方程的曲线，这个方程叫作曲线的方程(
只有同时具备了上述两个性质，才能称为“方程的曲线”和“曲线的方
程”.
曲线与方程的关系判断
讨论过点A(2,0)且平行于y轴的直线l的方程是|x|,2吗,如果是，请说明理由;如果不是，应怎样改正,
【思路探究】 用曲线和方程概念中的两个条件来判断(
【自主解答】 满足条件(1)～不满足条件(2)～故直线的方程不是|x|,2～而是x,2.
若曲线是点集C～方程f(x～y),0的解集为F～则曲线和方程概念中的两个条件可以表示为:
?C?F,?F?C.
所以曲线和方程的概念中的两个条件实际上是说明这两个集合相等～这是判断方程是否为所给曲线的方程～曲线是否为所给方程的曲线的标准(
2 (1)方程x，xy,x表示的曲线是( )
A(一个点 B(一条直线
C(一个点和一条直线 D(两条直线
图3,4,1
(2)下列方程表示如图3,4,1所示直线的是( )
A.x,y,0
22B(x,y,0
C(x,|y|,0
xyD(2,2,0
2【解析】 (1)由x，xy,x～得x,0或x，y,1,0.故选D
xyxy(2)由2,2,0～得2,2～?x,y.故选D(
【答案】 (1)D (2)D
点在曲线上的判断
22 (1)判定A(3，,4)和B(4,5)两点是否在曲线x，y,25上(
22(2)已知点A(2，m)在曲线C:x，y,5上，求m的值(
22【思路探究】 对于(1)～将A(3～,4)和B(4,5)分别代入到曲线x，y,25中～若能使
2222x，y,25成立～则点在曲线上～否则不在(对于(2)～将A(2～m)代入到x，y,5中即可
求出m.
22【自主解答】 (1)将A点坐标(3～,4)代入所给的方程得3，(,4),25～等式成立(
22即A点的坐标满足所给方程～所以点A(3～,4)在曲线x，y,25上,
22将B点坐标代入所给方程～得4，5?25～等式不成立(
22即B点的坐标不满足所给方程～所以点B(4,5)不在曲线x，y,25上(
2222(2)因为A(2～m)在曲线x，y,5上～所以有(2)，m,5～则m,?3.
点P(x～y)在曲线C:f(x～y),0上的充要条件是f(x～y),0. 0000
2 在曲线x,xy，2y，1,0上的点是( )
A((2，,2) B((4，,3) C((3,10) D((,2,5)
2【解析】 验证得(3,10)在曲线x,xy，2y，1,0上～故选C. 【答案】 C
求曲线的方程
22 设圆C:(x,1)，y,1，过原点O作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方
程(
【思路探究】 本题可用直接法～也可用定义法、坐标转移法、参数法求解(
【自主解答】 设OQ为过O的一条弦～P(x～y)为其中点～
则CP?OQ～
法一 (直接法)
1设OC中点为M(～0)～ 2
111122则|MP|,|OC|,～得方程(x,)，y,～ 2224由圆的范围知0
措施
《全国民用建筑工程设计技术措施》规划•建筑•景观全国民用建筑工程设计技术措施》规划•建筑•景观软件质量保证措施下载工地伤害及预防措施下载关于贯彻落实的具体措施
】 由曲线求方程时～要注意准确确定范围～应充分挖掘题目中的隐含条件、限制条件～求出方程后要考虑相应的限制条件～避免因考虑不全面致误(
222【正解】 设M(x～y)～易知直线恒过定点P(5,0)～再由OM?MP～得|OP|,|OM|，|MP|～
525222222?x，y，(x,5)，y,25～整理得(x,)，y,.?点M应在圆内～故所求的轨迹为圆内24
52522,，x,，，y,～,1624的部分(解方程组得两曲线交点的横坐标为x,,～故所求轨迹方程为522 ,,x，y,16
5251622(x,)，y,(0?x,)( 245
1(曲线和方程的关系:
(1)曲线上的点的坐标都是方程的解，无一例外(
(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，缺一不可，则这个方程叫曲线的方程，这条曲线叫方程的曲线(
2(判断点是否在曲线上，就是判断点的坐标是否适合曲线的方程(
3(用直接法求轨迹方程的一般步骤:
(1)建系;(2)设点;(3)列式;(4)化简;(5)证明(
4(求轨迹方程的常用方法:
(1)直接法;(2)定义法;(3)相关点法(代入法);(4)交轨法;(5)参数法.
21(下列点中，在曲线x，25,y,0上的是( )
A((4,3) B((3，,4)
C((,4,3) D((5,0)
,x,,4,2,【解析】 经检验～只有是方程x，25,y,0的解( y,3,,
【答案】 C
2(到两定点A(0,0)，B(3,4)距离之和为5的点的轨迹是( ) A(椭圆 B(直线AB
C(线段AB D(无轨迹
【解析】 由于|AB|,5～所以点的轨迹是线段AB(
【答案】 C
???3(已知A(2，,1)，B(,1,1)，O为坐标原点，动点M满足OM,mOA，nOB，其中m，
22n?R，且2m,n,2，则M的轨迹方程为________(
,x,2m,n,,【解析】 设M(x～y)～则(x～y),m(2～,1)，n(,1,1),(2m,n～n,m)～?～ y,n,m,,
2x222又2m,n,2～消去m～n得,y,1. 2
2x2【答案】 ,1 ,y2
224(动点M在曲线x，y,1上移动，M和定点B(3,0)连线的中点为P，求P点的轨迹
方程(
【解】 设P(x～y)～M(x～y)?P为MB的中点～ 00
，3x0x,～,,x,2x,3～20,,?即 , y,y,2y.,00 y,～,2
22又?M在曲线x，y,1上～
22?(2x,3)，4y,1.
22?P点的轨迹方程为(2x,3)，4y,1.
一、选择题
21(“点M在曲线y,4x上”是“点M的坐标满足方程y,,2x的( ) A(充分不必要条件 B(必要不充分条件
C(充要条件 D(既不充分又不必要条件
2【解析】 设M(x～y)～由点M的坐标满足方程y,,2x～得y,,2x～?y,4x.000000
2?点M在曲线y,4x上 ～反之不成立～故选B(
【答案】 B
22222(方程x，(x，y,1),0表示的图形是( )
A(y轴和圆 B(x轴和圆 C(两点(0,1)，(0，,1) D(y轴和直线y,?1
2222【解析】 由x，(x，y,1),0
22得x,0且x，y,1,0～?x,0且y,?1～
故方程表示两点(0～,1)～(0,1)(
【答案】 C
22223(已知动点P(x，y)满足，x，2，，y,，x,2，，y,2，则动点P的轨迹是( ) A(双曲线 B(双曲线左支
C(双曲线右支 D(一条射线
2222【解析】 方程，x，2，，y,，x,2，，y,2的几何意义是动点P(x～y)到点(,2,0)
与(2,0)的距离之差为2～又因为2<4～所以动点P的轨迹是双曲线右支( 【答案】 C
4(已知两定点A(,2,0)、B(1,0)，如果动点P满足|PA|,2|PB|，则点P的轨迹所包围的
图形的面积等于( )
A(π B(4π C(8π D(9π
2222【解析】 设动点P的坐标为(x～y)～由已知|PA|,2|PB|～得，x，2，，y,2，x,1，，y～
222222两边平方～得x，4x，4，y,4x,8x，4，4y～化简得(x,2)，y,4. 所以P点的轨迹是半径为2的圆～所以面积是4π.
【答案】 B
22xy5(已知椭圆，,1(a,b,0)，M为椭圆上一动点，F为椭圆的左焦点，则线段MF2211ab
的中点P满足的曲线是( )
A(椭圆 B(圆
C(双曲线的一支 D(线段
【解析】 ?P是FM中点～ 1
O是FF中点～?|PF|, 121
11|MF|～|PO|,|MF|～ 1222
?|MF|，|MF|,2a,|FF|～ 1212
?2|PF|，2|PO|,2a,|FF|～ 112
1?|PF|，|PO|,a,|FF|,|FO|. 11212
?P点满足的曲线是以F～O为焦点的椭圆( 1
【答案】 A
二、填空题
6(在?ABC中，B(,3,0)，C(3,0)，若周长为16，则顶点A的轨迹方程为________( 【解析】 由|AB|，|AC|,10,|BC|～可知点A轨迹为椭圆～其中2a,10～即a,5～ 又B(,3,0)～C(3,0)～则c,3～?b,4.
设A点坐标为(x～y)～则y?0～
22xy所以～，,1(y?0)即为A的轨迹方程( 2516
22xy【答案】 ，,1(y?0) 2516
227(已知α?[0,2π]，点P(cos α，sin α)在曲线(x,2)，y,3上，则α的值为________(
22【解析】 由题意得(cos α,2)，sin α,3～
1π5π?cos α,～又α?[0,2π)～?α,或. 233
5ππ或 【答案】 33
8(下列结论正确的是________((填序号)
x?方程,1表示斜率为1，在y轴上的截距是2的直线; y,2
??ABC的顶点坐标分别为A(0,3)，B(,2,0)，C(2,0)，则中线AO的方程是x,0; ?到x轴距离为5的点的轨迹方程是y,5;
22?曲线2x,3y,2x，m,0通过原点的充要条件是m,0.
【解析】 ??不满足曲线与方程概念中的条件(1),?不满足曲线与方程概念中的条
件(2),只有?正确(
【答案】 ?
三、解答题
9(画出方程(x，y,1)x,1,0表示的曲线(
【解】 当x,1>0时～x，y,1,0.
当x,1,0时～x，y,1?R.
所以～方程(x，y,1)x,1,0表示的曲线如右图(
22xy10(已知P是椭圆，,1上一动点，O为坐标原点，试求线段OP中点Q的轨迹方48
程(
xPx,～,2【解】 设P(x～y)～Q(x～y)～由中点坐标公式得 PP,yP y,,2
22,x,2x～P,xy,?又点P在椭圆，,1上～ 48y,2y～,,P
222，2x，，2y，y2?，,1～即x，,1. 482
11(A为定点，线段BC在定直线l上滑动，已知|BC|,4，A到l的距离为3，求?ABC
的外心的轨迹(
【解】 建立平面直角坐标系～使x轴与l重合～A点在y轴上(如图所示)～则 A(0,3)(
设外心P(x～y)(
?P在BC的垂直平分线上～
?B(x，2,0)～C(x,2,0)(
?P也在AB的垂直平分线上～?|PA|,|PB|～
2222即x，，y,3，,2，y.
2化简～得x,6y，5,0.
2故外心的轨迹方程为x,6y，5,0.
2所以～?ABC的外心的轨迹是抛物线x,6y，5,
0
(教师用
书
关于书的成语关于读书的排比句社区图书漂流公约怎么写关于读书的小报汉书pdf
独具)
2已知?ABC，A(,2,0)，B(0，,2)，第三个顶点C在曲线y,3x,1上移动，求?ABC的重心M的轨迹方程(
2【思路探究】 设点C的坐标为(x3x,1)～利用重心坐标同A、B、C的关系代入求解( 1,1
2【自主解答】 设?ABC的重心坐标为M(x～y)～点C的坐标为(x3x,1)～则由重心1,1的几何性质可知
,2，0，x1x,～ ?,3 2,0,2，，3x,1，1 y, ?,3
2由?得x,3x，2～代入?得9x，12x,y，3,0. 1
1(相关点法求曲线方程时一般有两个动点～一个是主动的～另一个是次动的～如本题中C是主动点～M是次动点(
2(当题目中的条件同时具有以下特征时～一般可以用相关点法求其轨迹方程( (1)某个动点C在已知方程的曲线上移动,
(2)另一个动点M随C的变化而变化,
(3)在变化过程中C和M满足一定的规律(
??2 设λ>0，点A的坐标为(1,1)(点B在抛物线y,x上运动，点Q满足BQ,λQA，经
??
过点Q与x轴垂直的直线交抛物线于点M，点P满足QM,λMP，求点P的轨迹方程(
??
【解】 由QM,λMP知Q～M～P三点在同一条垂直于x轴的直线上～故可设P(x～y)～
222Q(x～y)～M(x～x)～则x,y,λ(y,x)～即 00
2y,(1，λ)x,λy.? 0
??
再设B(x～y)由BQ,λQA～即(x,x～y,y),λ(1,x,1,y)(解得 111010
,x,，1，λ，x,λ～1,,? y,,，1，λ，y,λ.,10
将?式代入?式～消去y～得 0
,x,，1，λ，x,λ～1,,? 22 y,，1，λ，x,λ，1，λ，y,λ.,,1
22222又点B在抛物线y,x上～所以y,x.再将?式代入y,x得(1，λ)x,λ(1，λ)y,λ,1111
2[(1，λ)x,λ].
22222(1，λ)x,λ(1，λ)y,λ,(1，λ)x,2λ(1，λ)x，λ. 2λ(1，λ)x,λ(1，λ)y,λ(1，λ),0.
因λ>0.两边同除以λ(1，λ)～得2x,y,1,0. 故所求点P的轨迹方程为y,2x,1.4.2 圆锥曲线的共同特征
浙公网安备 33021202002483