微分方程模型

微分方程模型 第三章 应用数学实验 实验十 微分方程模型 实验目的 借助Mathmstica软件，分析和解决微分方程问题. 实验环境 Mathmatica2.1软件 实验的基本理论和方法 模型,传染病模型 长期以来,建立传染病模型来描述传染病的传染过程，分析受感染人数变化规律，预报传染病的高潮的到来等等，一直是各国专家和官员关注的课题. 模型1(SI模型)假设条件为 1( 人群分为易感者(Susceptible)和已感者(Infictive).两类.时刻t这两类人在总人数中所占的比例分别记为s(t)和i(t). 2( 每个病人每天有效接触的平均人数是常数,称日接触率.当病人与健康者有效,, 接触时,使健康者受感染变为病人. ,s(t)Ni(t) 根据假设,每人每天可使个健康者变为病人,因为病人数为,所以每天共有,Ns(t)i(t)个健康者变为病人,既有: di N,,Nsi (1) dt s(t)，i(t),1 又因为 (2) i 初始时刻(t=0)病人比例为,则 0 - 77 - 实验十 微分方程实验 di,,i(1,i),, (3) dt, ,i(0),i0, 用Mathmatica软件解为: In[1]:= i'[t],,,i[t](1,i[t]),i[0],,i},i[t],t] DSolve[{ 0 Out[1]= 1 (4) i(t),1,t1，(,1)ei0 di 当时，用软件画出,(t)—t和--i的图形步骤如下: i,0.09,,,0.10dt In[2]:= i-1) Exp[-t]) , i=1/(1+(1/0 i=0.09 0 =0.1 , “见图1” Plot[i,{t,0,60},PlotRange->{0,1}] di 图1.,,曲线 图 2. --i曲线 idt In[3]:= i (1-i) , f= “见图2” Plot[f,{i,0,1}] 由(3),(4)式及图1,2可知 1di 第一,当时, 达到最大值; i,2dt 第二,当时,，即所有的人终将被传染，全变为病人，这显然不符合实际t,,i,1 情况，其原因是模型没有考虑病人可以治愈，人群中的健康者只能变为病人，而病人不会 变为健康者. - 78 - 第三章 应用数学实验 模型2.(SIS模型) 有些传染病如伤风、痢疾等愈后免疫力很底,有可能再次被传 染变为病人,所以这个模型称SIS模型. SIS模型的假设条件1,2与SI模型相同,增加条件为 13.病人每天被治愈的占病人总数的比例为,称为日治愈率,显然是这种传染病,, 的平均传染期. 不难看出,考虑假设3,SI模型(1)式应修改为: di (5) N,,Nsi,,Nidt (2)式不变,于是(3)式应改为 di,i(1i)i,,,,,, (6) dt, ,i(0)i,0, 用Mathmatica软件解得 时 ,,, In[3]:= DSolve[{i'[t],,,i[t](1,i[t]),,i[t],i[0],,i},i[t],t] 0 Out[3]= ,,1,(,,,)t,1 (7) ,，,i(t)[()e],,,,,,i0 ,,,时 Out[4]= 1 it,t， ()(,)i0 , 定义 (8) ,,, 1, 注意到和的含义，可知是一个传染期内每个病人有效接触的平均人数,称接触,, 数.由(7),(8)式容易得到,当时 t,,1,,1,,,1,i(,), (9) ,, ,,0,,1, 根据(7)-(9)式可以画出i(t)-t In[5]:= iii-u) t] (-u)/( - + Exp[(-u) t] -u); ,,,,,, f1=Exp[(000 - 79 - 实验十 微分方程实验 i =0.01; u=0.05; =0.7 ,0 “见图3” Plot[f1,{t,0,120},Axes->{0,0},AxesLabel->{"t","i"}] 图3. 时的-t 图4. 时的-t i(t)i(t),,1,,1 In[6]:= -u) t] 0.3 (-u)/( - 0.3+ Exp[(-u) t] 0.3-u) ,,,,,, f2=Exp[( iii-u) t] (-u)/( - + Exp[(-u) t] -u); ,,,,,, f1=Exp[(000 i=0.3;u=0.15;=0.7 , 0 “ 见图4” Plot[{f1,f2},{t,0,25},Axes->{0,0.3},AxesLabel->{"t","i"}] 接触数是一阀值.当时病人比例i(t)越来越少,最终趋于零.这是由于传染,,1,,1 期内经有效接触从而使健康者变成病人数不超过原来病人数的缘故;当时i(t)增减性,,1 1i(,),1,i,取决于的大小,但其极值随的增加而增加. 0, 模型3(SIR模型) 大多数传染病如天花、流感、肝炎、麻疹等治愈后均有很强的免疫力,所以病愈的人既非健康者,也非病人,他们已经退出传染系统.这种情况下的模型假 设条件为: 1.人群分为健康者、病人和病愈免疫的移出者(removed)三类，称SIR模型.三类人在总人数N中占的比例分别记为s(t),i(t),r(t). , 2.病人的日接触率为,日治愈率为,传染期接触数为. ,,, 由条件1显然有 s(t)+i(t)+r(t)=1 (10) 根据条件2方程(5)仍成立.对于病愈移出者而言应有 dr ,,i (11) dt is 再记初始时刻的健康者和病人的比例分别为和,由(5),(10),(11)式,SIR模型的00 - 80 - 第三章 应用数学实验 方程可以写为 di,,,sii,,,dt,ds, (12) ,,si,,dt, ,,,i(0)i,s(0)s00,, 方程(12)无法求出s(t)和i(t)的解析解,我们转到相平面s-i,上来讨论解的性质.相轨线的定义域(s,i)应为 ,D (13) ,D,(s,i)s,0,i,0,s，i,1} , 在方程(12)中消去dt并注意到的定义(8),可得 di1,,,1,ds,s (14) , ,,ii0s,s0, 利用Mathmatica解得 In[7]:= 1i'[s],,,1,i[s],,i00 DSolve[{},i[s],s] ,s Out[7]= 1s(s，i),s，ln{{i[s]-> }} (15) 00,s0 定义域D内,(15)式 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示的曲线即为相轨线,在不同的初值的情况下,其图形见图5.作图步骤如下: In[8]:= iss+-s+1/a Log[s/] i=000 f1=Plot[1-s,{s,0,1}] In[9]:= is=0.3; =0.65; =1 ,00 f2=Plot[i,{s,0,1},Axes->{0.05,0},PlotRange->{0,1}] In[10]:= is=0.4; =0.35; =1 ,00 f3=Plot[i,{s,0,1},Axes->{0.05,0},PlotRange->{0,1}] In[11]:= - 81 - 实验十 微分方程实验 is =0.5; =0.45; =1 ,00 f4=Plot[i,{s,0,1},Axes->{0.05,0},PlotRange->{0,1}] In[12]:= is=0.7; =0.25; =1 ,00 f5=Plot[i,{s,0,1},Axes->{0.05,0},PlotRange->{0,1}] In[13]:= Show[{f1,f2,f3,f4,f5}] “见图5” 图 5.SIR模型的相轨线 下面根据(12),(15)式和上图分析时,和的变化情况. s(t),i(t)r(t)t,, si 1.不论初始条件如何,病人终将消失,既 0,0 i,0 , ss2.最终未被感染的健康者的比例是，在(15)式中令i=0得到，是方程 ,, 1s(，),，ln,0sis (16) ,00,s0 11s在(0，)内的单根。在图形上是相轨线与s轴在(0，)内交点的横坐标. ,,,群体免疫和预防 1s, 根据对SIR模型的分析，当时传染病不会蔓延。所以为制止蔓延，除了提高卫生0, 1s和医疗水平，使变大以外，另一个途径是降低，这可以通过譬如预防接种使群体免疫0, 的办法得到. 1s, 忽略病人比例的初始值,有.于是传染病不会蔓延的条件可以表为 is,1,r0000, 1 r,1, (17) 0, - 82 - 第三章 应用数学实验 r 这就是说,只要通过群体免疫使初始时刻的移出者比例满足上式,就可以制止传染0 病的蔓延.这种办法生效的前提条件是免疫者均匀分布在全体人口中,实际上这是难以做到 r的.据世界卫生组织报告,即使花费大量的资金提高,也因很难做到免疫者的均匀分布,0 ,使得天花直到1977年才在全世界根除,而有些传染病的更高,根除就更加困难. 习题与思考 根据经验当一种新商品投入市场后，随着人们对它的拥有量的增加，其销售量的s(t)下降速度与成正比。广告宣传可给销量添加一个增长速度，它于广告费成正比，s(t)a(t)但广告只能影响这种产品在市场上尚未饱和的部分(设饱和量为M).建立销售的模型.s(t) ,若广告宣传只进行有限时间,且广告费为常数a,问s(t)如何变化. - 83 - 实验十 微分方程实验 - 84 -