【doc】关于无穷远点留数为零的判别定理
关于无穷远点留数为零的判别定理
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中国曼曩研究探讨(官然科学版)……]996年第一期(总第1期?27? /,
关于无穷远点留数为零的判别定理
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关键词;无穷远点,留数,不变换,不反变换j爿毒旋
在数字信号
分析
定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析
与处理领域,z变换是必不可少的数学工具.通过z变换,可将代表数字
系统的线性差分方程变换成代数方程,从而使数字信号分析与处理的整个运算大为简化.然
后,再通过z反变换求得所需要的最后结果.
序列x(n)的z变换定义为;
?
X(Z)=Ex(n)?Z一………………………………(1)
一.口
其中;z为复变量.
X(z)为复变函数.
z反变换定义为:
1
x(n)=x(z)?z一?dZ………………?……?(2)
lJ
其中:C是X(z)定义域内逆时针方向环绕坐标原点的任意闭合围线. 然而,直接求解(2)式中的闭环积分是很困难的.所以,对于z反变换的具体求解,需 要借助留数定理,即:
设:ax为被积函数X(z)?z在c内的极点,K=1,2,…M;
bK为被积函数X(z)?Zo-1在c外的极点,K=1,2.…N{ c是X(z)定义域内逆时针环绕坐标原点的任意闭合茸线. 则:x(n)一,
ERIx(z)?z,aK]
M1J._1
一U[x(z)'zIl.''(z—ax)']a……'(3)
其中:S为极点ax的阶数.
又因为,在z的全平面,包括坐标原点和无穷远点在内,所有极点的留数的总和等于
零.
所以,又有如下关系式;?
x(n)一一
.
;.RIX(z)?z,bK]--R..IX(z)?zn,,o.]h.J
N1Jl_】
一一面两U-IX(z)'z一'(z—b)']z~bK
--
Rc?IX(z)?z,
o.]………………………………………………………………………(4) 以上(3)式和(4)式是求解z反变换的两个十分有用的公r式. 但是,当n<O时,Z=O处为无限高阶极点,利用(3)式求解是很困难的.这时,利用
(4)式来求解将是非常有效的,因为它不需要考虑z=0的极点(无限高阶极点).过.这
9
,
96第=研究探讨
28?(总第1期)……'
中国人民警官大学
f自然科学版)
里要涉及到无穷远点的留数问题,如果这个问题容易解决,那么(4)式将足求解z反变换的
非常有效的公式.
我们注意到,在实际数字信号系统中,X(z)都是z的多项式或多项式之比的形式.同 时,我们在数学过程中发现,(2)式中的被积函数f(z)=x(z)?zn中,当分母多项式 的阶数比分子多项式的阶数高出2阶或2阶以上时,或者说被积函数的极点个数比零点个数
多出2个或2个以上时,则被积函数f(Z)=x(z)?z一在无穷远点的留数一定等于零. 因为被积函数f(Z)=x(Z)?,在n<0时,能够满足分母多项式的阶数比分子多 项式的阶数高出2阶.所以,在这种情况下,利用(3)式求解z反变换时,可按下面公式求
解:'一一'
x(n):一zR..[x(z)?z一,bK]
一
.
i[x(z)?zn?(z—b)']一…………(5)
其中:s为极点b的阶数.
这样,既避免了(3)式求解高阶极点的留数,又避免了(4)式求解无穷远点的留数,.从 而使运算大为简化.所以,若能证明无穷远点留数为零的判别定理,则可大大简化求解z反
变换的运算.而且,对于复变函数本身的理论,对于应用复变函数的其他领域,也将具有实
际意义.
下面,我们证明关于"无穷远点留数为零的判别定理"——如果复变函数f(z)为真分
式,并且其分母的幂次大于等于其分子的幂次加2,或者其极点个数大于等于其零点个数加2,
则f(z)在无穷远点的留数必为零.
证明如下:
因为f(z)是两个多项式之比,不妨设:
,=车击一器
其中:Q(z)为分母多项式,它的阶数等于n..'
P(z)为分子多项式,它的阶数等于In.
并且,n?m+2'
可以看出,Q(z)仅有n个零点:Zt,z,…z;故f(z)最多只有这n个极点,因而 存在某个R,使得f(Z)在R<IZl<+..内解析所以,对于充分大的z.必然满足以下
关
系:
l?l<1或者IbI+b-.+bnI<l, 从而
(下转56页)
Q(Z)z"(+等)
一..————.......——.—————————————————.————.—,
zn1+(bZ'+b2Z+…+bZ)
=?
.
(一1)?(bz+bz+…+bz,)
=Z,+CJZ一+C2Z一+…
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