已打印高一数学必修2第一章 空间几何体及其表面积与体积测试题(二)

高一数学必修2第一章 空间几何体的表面积与体积 基础自测 1.如图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是          . 2.如图所示，在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是A1B1上一点，且PB1=A1B1，则多面体P-BCC1B1的体积为      . 3.已知正方体外接球的体积为,那么正方体的棱长等于        . 4.若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是          . 5三棱锥S—ABC中，面SAB，SBC，SAC都是以S为直角顶点的等腰直角三角形，且AB=BC=CA=2，则三棱锥S—ABC的表面积是          . 例题精讲 1．  如图所示，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=a，BC=b，BB1=c，并且a＞b＞c＞0. 求沿着长方体的表面自A到C1  的最短线路的长. 2． 如图所示,半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴,旋转一周得到一几何体, 求该几何体的表面积(其中∠BAC=30°)及其体积. 3 . 如图所示，长方体ABCD—A′B′C′D′中，用截面截下一个棱锥C—A′DD′， 求棱锥C—A′DD′的体积与剩余部分的体积之比. 4．  如图所示，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，∠DAB=60°， E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起， 使A、B重合，求形成的三棱锥的外接球的体积. 巩固练习 1.如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面为直角三角形，∠ACB=90°， AC=6，BC=CC1=.P是BC1上一动点，则CP+PA1的最小值是        . 2.如图所示，扇形的中心角为90°，其所在圆的半径为R，弦AB将扇 形分成两个部分，这两部分各以AO为轴旋转一周，所得旋转体的体积 V1和V2之比为      . 3.如图所示，三棱锥A—BCD一条侧棱AD=8 cm，底面一边BC=18 cm， 其余四条棱的棱长都是17 cm，求三棱锥A—BCD的体积. 4.如图所示，已知正四棱锥S—ABCD中，底面边长为a,侧棱长为a. （1）求它的外接球的体积； （2）求它的内切球的表面积. 课后作业 一、填空题 1. 如图所示，E、F分别是边长为1的正方形ABCD边BC、CD的中点，沿线AF，AE，EF折起来，则所围成的三棱锥的体积为        . 2.长方体的过一个顶点的三条棱长的比是1∶2∶3，对角线长为2，则这个长方体的体积是        . 3.已知三棱锥S—ABC的各顶点都在一个半径为r的球面上，球心O在AB上，SO⊥底面ABC，AC=r，则球的体积与三棱锥体积的比值是            . 4.（2007·辽宁文，15）若一个底面边长为，侧棱长为的正六棱柱的所有顶点都在一个球的面上，则此球的体积为      . 5.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是        . 6.一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是          . 7.（2008·四川理，15）已知正四棱柱的对角线的长为，且对角线与底面所成角的余弦值为，则该正四棱柱的体积等于        . 8.（2008·上海春招）已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1， 其平面展开图如图所示，则该凸多面体的体积V=          . 二、解答题 9.一个正三棱台的上、下底面边长分别是3 cm和6 cm,高是 cm, （1）求三棱台的斜高； （2）求三棱台的侧面积和表面积. 10.如图所示，正△ABC的边长为4，D、E、F分别为各边中点，M、N、P 分别为BE、DE、EF的中点，将△ABC沿DE、EF、DF折成了三棱锥以后. （1）∠MNP等于多少度？ （2）擦去线段EM、EN、EP后剩下的几何体是什么？其侧面积为多少？ 11.如图所示，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=BC=1，BB1=2， E是棱CC1上的点，且CE=CC1. （1）求三棱锥C—BED的体积； （2）求证：A1C⊥平面BDE. 12.三棱锥S—ABC中，一条棱长为a,其余棱长均为1，求a为何值时 VS—ABC最大，并求最大值. 参考答案 基础自测 1. 12        2.         3.          4. 9          5.  3+ 例题精讲 1.解 将长方体相邻两个面展开有下列三种可能，如图所示. 三个图形甲、乙、丙中AC1的长分别为： =， =， =， ∵a＞b＞c＞0,∴ab＞ac＞bc＞0.故最短线路的长为. 2. 解  如图所示,过C作CO1⊥AB于O1, 在半圆中可得∠BCA=90°,∠BAC=30°,AB=2R, ∴AC=R,BC=R,CO1=R,∴S球=4R2, =×R×R=R2, =×R×R=R2,∴S几何体表=S球++ =R2+R2=R2,∴旋转所得到的几何体的表面积为R2. 又V球=R3,=·AO1·CO12=R2·AO1=BO1·CO12=BO1·R2 ∴V几何体=V球-（+）=R3-R3=R3. 3. 解 已知长方体可以看成直四棱柱ADD′A′—BCC′B′. 设它的底面ADD′A′面积为S，高为h，则它的体积为V=Sh. 而棱锥C—A′DD′的底面面积为S，高是h, 因此，棱锥C—A′DD′的体积VC—A′DD′=×Sh=Sh.余下的体积是Sh-Sh=Sh. 所以棱锥C—A′DD′的体积与剩余部分的体积之比为1∶5. 4. 解  由已知条件知，平面图形中AE=EB=BC=CD=DA=DE=EC=1. ∴折叠后得到一个正四面体 方法一  作AF⊥平面DEC，垂足为F，F即为△DEC的中心. 取EC的中点G，连接DG、AG，过球心O作OH⊥平面AEC. 则垂足H为△AEC的中心∴外接球半径可利用△OHA∽△GFA求得. ∵AG=，AF==，在△AFG和△AHO中， 根据三角形相似可知， AH=.∴OA===. ∴外接球体积为×OA3=··= 方法二  如图所示，把正四面体放在正方体中.显然，正四面体 的外接球就是正方体的外接球.∵正四面体的棱长为1， ∴正方体的棱长为，∴外接球直径2R=·， ∴R=，∴体积为·=. ∴该三棱锥外接球的体积为.    巩固练习 1.    5            2.  1∶1 3. 解  取BC中点M，连接AM、DM，取AD的中点N，连接MN ∵AC=AB=CD=BD，∴BC⊥AM，BC⊥DM， 又∵AM∩DM=M，∴BC⊥平面ADM，BC=18， AC=AB=DB=DC=17.∴AM=DM=4， ∴NM⊥AD，∴MN=8.∴S△ADM=·MN·AD =·8·8=32.∴VA—BCD=VB—ADM+VC—ADM =×S△ADM×（BM+CM）=×32×18=192（cm3）. 4. 解  （1）设外接球的半径为R，球心为O，则OA=OC=OS， 所以O为△SAC的外心，即△SAC的外接圆半径就是球的半径. ∵AB=BC=a，∴AC=a.∵SA=SC=AC=a，∴△SAC为正三角形. 由正弦定理得2R=，因此，R=a，V球=R3=a3. （2）设内切球半径为r，作SE⊥底面ABCD于E， 作SF⊥BC于F，连接EF，则有SF= =. S△SBC=BC·SF=a×a=a2. S棱锥全=4S△SBC+S底=（+1）a2. 又SE===，∴V棱锥=S底h=a2×a=. ∴r=,S球=4r2=a2. 课后作业 1.       2.  48      3. 4      4. 4 5. 24      6.      7.  2        8. 1+ 9. 解  （1）设O1、O分别为正三棱台ABC—A1B1C1的上、下底面正三角形的中心，如图所示，则O1O=，过O1作O1D1⊥B1C1，OD⊥BC，则D1D为三棱台的斜高；过D1作D1E⊥AD于E， 则D1E=O1O=，因O1D1=×3=,OD=×6=,则DE=OD-O1D1=-=. 在Rt△D1DE中, D1D===. (2)设C、C′分别为上、下底的周长，h′为斜高， S侧=（C+C′）h′= (3×3+3×6)×=(cm2), S表=S侧+S上+S下=+×32+×62= (cm2). 故三棱台斜高为 cm,侧面积为 cm2，表面积为 cm2. 10. 解  （1）由题意，折成了三棱锥以后，如图所示， △MNP为正三角形，故∠MNP=∠DAF=60°. （2）擦去线段EM、EN、EP后，所得几何体为棱台， 其侧面积为S侧=SE—ADF侧-SE—MNP侧 =3××22-3××12=. 11. （1）解  ∵CE=CC1=，∴VC—BDE=VE—BCD=S△BCD·CE =××1×1×=. (2)证明  连接AC、B1C，∵AB=BC，∴BD⊥AC. ∵A1A⊥底面ABCD,∴BD⊥A1A.∵A1A∩AC=A， ∴BD⊥平面A1AC.∴BD⊥A1C.∵tan∠BB1C==, tan∠CBE==,∴∠BB1C=∠CBE.∵∠BB1C+∠BCB1=90°, ∴∠CBE+∠BCB1=90°,∴BE⊥B1C.∵BE⊥A1B1，A1B1∩B1C=B1， ∴BE⊥平面A1B1C，∴BE⊥A1C.∵BD∩BE=B，BE平面BDE，BD平面BDE， ∴A1C⊥平面BDE. 12. 解  方法一  如图所示，设SC=a，其余棱长均为1， 取AB的中点H，连接HS、HC，则AB⊥HC，AB⊥HS， ∴AB⊥平面SHC. 在面SHC中，过S作SO⊥HC，则SO⊥平面ABC. 在△SAB中，SA=AB=BS=1，∴SH=， 设∠SHO=，则SO=SHsin=sin， ∴VS—ABC=S△ABC·SO=××12×sin=sin≤. 当且仅当sin=1，即=90°时，三棱锥的体积最大. a=SH=×=，Vmax=.∴a为时，三棱锥的体积最大为. 方法二  取SC的中点D，可通过VS—ABC=S△ABD·SC，转化为关于a的目标函数的最大值问题，利用基本不等式或配方法解决.