高等数学中求极限的方法小结

宁波大红鹰学院学生数学课程论文 高等数学中求极限的方法小结 2.求极限的常用方法 2.1 利用等价无穷小求极限 这种方法的理论基础主要包括：(1)有限个无穷小的和、差、积仍是无穷小.(2)有界函数与无穷小的乘积是无穷小.(3)非零无穷小与无穷大互为倒数.(4)等价无穷小代换(当求两个无穷小之比的极限时，分子与分母都可用等价无穷小代替).[3] 设 、 且 ；则： 与 是等价无穷小的充分必要条件为： ． 常用等价无穷小：当变量 时， EMBED Equation.DSMT4 ． 例1 求 ． 解 ， 故，原式 例2 求 ． 解 ,因此: 原式 ． 例3 求 ． 解 EMBED Equation.DSMT4 ，故:原式= ． 例4 求 ． 解 ,故: 原式 ． 例5 试确定常数 与 ，使得当 时， 与 为等价无穷小． 解 而左边 ， 故 即 ． 2.2 利用洛必达法则求极限 利用这一法则的前提是：函数的导数要存在；为0比0型或者 型等未定式类型. 洛必达法则分为3种情况：（1）0比0，无穷比无穷的时候直接用.（2）0乘以无穷，无穷减去无穷（无穷大与无穷小成倒数关系时）通常无穷大都写成无穷小的倒数形式,通项之后，就能变成（1）中形式了.（3）0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方，对于（指数,幂函数）形式的方法主要是取指数的方法，这样就能把幂函数指数位置的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了. 洛必达法则中还有一个定理：当 时，函数 及 都趋于0；在点 的某去心邻域内， ﹑ 的导数都存在且 的导数不等于0； 存在，那么 . [1] 求极限有很多种方法如洛必达法则，夹逼定理求极限的秘诀是：强行代入，先定型后定法. [3] 例6 求 . 分析 秘诀强行代入，先定型后定法. （此为强行代入以定型）. 可能是比 高阶的无穷小，倘若不这样，或 或 . 解 ， 由洛必达法则的 . 例7 求 . 解 . 例8 求 . 解 原式 .（二次使用洛必达法则）. 例9 求 . 解 原式 . 例10 求 . 解 原式 原式= . 例11 求 . 解 原式 . 例12 求 . 解 原式 . 例13 求 . 解 原式 “ ”型： 例14 求 . 解 原式 . “ ”型： 例15 求 . 解 ， 故原式 . “ ”型： 例16 求 . 解 原式 . “ ”型： 例17 求 . 解 原式 . “ ”型： 例18 求 . 解 原式 ， 而 ，因此：原式=1. 2.3 泰勒公式 （含有 的 次方的时候，尤其是含有正、余弦的加减的时候要特别注意） 泰勒中值定理定理：如果函数 在含有 的某个开区间 内具有直到 阶的导数，则对任一 ，有 EMBED Equation.DSMT4 + ( - )+ ( - ) +……+ ( - ) + ( ) 其中 ，这里 是 与 之间的某个值. [1] 例19 利用带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式，求极限 . 解 由于公式的分母 ，我们只需将分子中的 代入计算， 于是 ，对上式做运算时，把两个 高阶的无穷小的代数和还是记作 . 例20 ， ， . 2.4 无穷小与有界函数的处理方法 面对复杂函数，尤其是正、余弦的复杂函数与其它函数相乘的时候，一定要注意这个方法.[3] 例21 求 . 解 原式 . 2.5 夹逼定理 主要介绍的是如何用之求数列极限，这个主要是看见极限中的通项是方式和的形式，对之放缩或扩大.[1] 例22 求 . 解 ， ， ， 根据夹逼定理 . 2.6 等比等差数列公式（ 的绝对值要小于 ） [1] 例23 设 ，证等比数列1， ， EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ，…的极限为0. 证 任取 ，为使 ，而 ，使 ，即 ， 当 ，当 时，即 ， 即 ， 由定义知 . 因此,很显然有: . 2.7 各项以拆分相加[3] 将待求的和式子的各项拆分相加来消除中间的大多数，主要应用于数列极限,可以使用待定系数来拆分简化函数. 例24 求 . 解 原式 = . 2.8 求左右极限的方式 例25 求函数 ，求 时， 的极限. 解 ， ， 因为 ，所以，当 时， 的极限不存在. 例26 . 解 ， ， 因为 ，所以,原式=0. 2.9 应用两个重要极限 ， 例27 求 . 解 记 ，则 原式= . 例28 求 . 解 原式= = . 例29 求 . 解 原式= = . 2.10 根据增长速度 例30 求 . 解 原式= = . 例31 求 . 解 . 同函数趋近于无穷的速度是不一样的， 的 次方快于 （ 的阶乘）快于指数函数，快于幂函数，快于对数函数. 所以增长速度： . 故以后上述结论可直接在极限计算中运用. 2.11 换元法 例32 . 解 令 ， 则原式= EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 = 2.12 利用极限的运算法则[1] 利用如下的极限运算法则来求极限： 如果 那么 若又有 ，则 （2）如果 存在，而 为常数，则 （3）如果 存在，而 为正整数，则 （4）如果 ，而 ，则 （5）设有数列 和 ，如果 那么， EMBED Equation.DSMT4 当 且 时， 2.13 求数列极限的时候可以将其转化为定积分[1] 例33 已知 ,在区间 上求 （其中将 分为 个小区间 , ， 为 中的最大值）. 解 由已知得: . （注释：由已知可以清楚的知道，该极限的求解可以转化为定积分,求函数 在区间 上的面积）. 在有的极限的计算中，需要利用到如下的一些结论、概念和方法： （1）定积分中值定理：如果函数 在积分区间 上连续，则在 上至少有一个点，使下列公式成立： ； （2）设函数 在区间 上连续，取 ，如果极限 存在，则称此极限为函数 在无穷区间 上的反常积分，记作 ，即 ； 设 在区间 上连续且 ，求以曲线 为曲线，底为 的曲边梯形的面积 ，把这个面积 表示为定积分： 的步骤是： 首先，用任意一组的点把区间 分成长度为 的 个小区间，相应地把曲线梯形分成 个窄曲边梯形，第 个窄曲边梯形的面积设为 ，于是有 ； 其次，计算 的近似值 ； 然后，求和，得 的近似值 ； 最后，求极限，得 . 例34 设函数 连续，且 ，求极限 . 解 = ， . 例35 计算反常积分: . 解 = = = . 2.14 利用函数有界原理 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 极限的存在性，利用数列的逆推求极限 （1）单调有界数列必有极限； （2）单调递增且有上界的数列必有极限，单调递减且有下界的数列必有极限.[3] 例36 数列 : ， ， ，……．极限存在吗？ 解 由已知可得 单调递增且有界，由单调有界原理，知 存在． 又 ， 记 ， 即可证 ，得到 . 2.15 直接使用求导的定义求极限 当 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 目中告诉你 时， 的导数等于0的时候，就是暗示你一定要用导数定义： （1）设函数 在点 的某个领域内有定义，当自变量 在 处取得增量 （点 仍在该领域内）时，相应的函数取得增量 ；如果 与 之比 时的极限存在，则称函数 在点 处可导，并称这个极限为函数 在点 处可导，并称这个极限为函数 在点 处的导数，记作 ，即 ； （2）在某点处可导的充分必要条件是左右导数都存在且相等. 例36 ，求 . 解 . 例37 若函数 有连续二阶导数且 ， ， ， 则 . A:不存在 B：0 C：-1 D：-2 解 EMBED Equation.DSMT4 . 所以， 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 为D. 例38 若 ，求 . 解 . 2.16 利用连续性求极限[1] 例39 设 在 处有连续的一阶导数，且 ，求 . 解 原式 . 2.17 数列极限转为函数极限求解 数列极限中是 趋近，而不是 趋近.面对数列极限时，先要转化成求 趋近情况下的极限，当然 趋近是 趋近的一种情况而已，是必要条件.（还有数列极限的 当然是趋于正无穷的）.[1] 例40 求 . 解 令 ,则原式 ， 所以在 时， 与 等价，因此，原式 EMBED Equation.DSMT4 . 28 _1234568017.unknown _1234568081.unknown _1234568145.unknown _1234568177.unknown _1234568193.unknown _1234568209.unknown _1234568217.unknown _1234568225.unknown _1234568229.unknown _1234568233.unknown _1234568235.unknown _1234568237.unknown _1234568238.unknown _1234568239.unknown _1234568236.unknown _1234568234.unknown _1234568231.unknown _1234568232.unknown _1234568230.unknown _1234568227.unknown _1234568228.unknown _1234568226.unknown _1234568221.unknown _1234568223.unknown _1234568224.unknown _1234568222.unknown _1234568219.unknown _1234568220.unknown _1234568218.unknown _1234568213.unknown _1234568215.unknown _1234568216.unknown _1234568214.unknown _1234568211.unknown _1234568212.unknown _1234568210.unknown _1234568201.unknown _1234568205.unknown _1234568207.unknown _1234568208.unknown _1234568206.unknown _1234568203.unknown _1234568204.unknown _1234568202.unknown _1234568197.unknown _1234568199.unknown _1234568200.unknown _1234568198.unknown _1234568195.unknown _1234568196.unknown _1234568194.unknown _1234568185.unknown _1234568189.unknown _1234568191.unknown _1234568192.unknown _1234568190.unknown _1234568187.unknown _1234568188.unknown _1234568186.unknown _1234568181.unknown _1234568183.unknown _1234568184.unknown _1234568182.unknown _1234568179.unknown _1234568180.unknown _1234568178.unknown _1234568161.unknown _1234568169.unknown _1234568173.unknown _1234568175.unknown _1234568176.unknown _1234568174.unknown _1234568171.unknown _1234568172.unknown _1234568170.unknown _1234568165.unknown _1234568167.unknown _1234568168.unknown _1234568166.unknown _1234568163.unknown _1234568164.unknown _1234568162.unknown _1234568153.unknown _1234568157.unknown _1234568159.unknown _1234568160.unknown _1234568158.unknown _1234568155.unknown _1234568156.unknown _1234568154.unknown _1234568149.unknown _1234568151.unknown _1234568152.unknown _1234568150.unknown _1234568147.unknown _1234568148.unknown _1234568146.unknown _1234568113.unknown _1234568129.unknown _1234568137.unknown _1234568141.unknown _1234568143.unknown _1234568144.unknown _1234568142.unknown _1234568139.unknown _1234568140.unknown _1234568138.unknown _1234568133.unknown _1234568135.unknown _1234568136.unknown _1234568134.unknown _1234568131.unknown _1234568132.unknown _1234568130.unknown _1234568121.unknown _1234568125.unknown _1234568127.unknown _1234568128.unknown _1234568126.unknown _1234568123.unknown _1234568124.unknown _1234568122.unknown _1234568117.unknown _1234568119.unknown _1234568120.unknown _1234568118.unknown _1234568115.unknown _1234568116.unknown _1234568114.unknown _1234568097.unknown _1234568105.unknown _1234568109.unknown _1234568111.unknown _1234568112.unknown _1234568110.unknown _1234568107.unknown _1234568108.unknown _1234568106.unknown _1234568101.unknown _1234568103.unknown _1234568104.unknown _1234568102.unknown _1234568099.unknown _1234568100.unknown _1234568098.unknown _1234568089.unknown _1234568093.unknown _1234568095.unknown _1234568096.unknown _1234568094.unknown _1234568091.unknown _1234568092.unknown _1234568090.unknown _1234568085.unknown _1234568087.unknown _1234568088.unknown _1234568086.unknown _1234568083.unknown _1234568084.unknown _1234568082.unknown _1234568049.unknown _1234568065.unknown _1234568073.unknown _1234568077.unknown _1234568079.unknown _1234568080.unknown _1234568078.unknown _1234568075.unknown _1234568076.unknown _1234568074.unknown _1234568069.unknown _1234568071.unknown _1234568072.unknown _1234568070.unknown _1234568067.unknown _1234568068.unknown _1234568066.unknown _1234568057.unknown _1234568061.unknown _1234568063.unknown _1234568064.unknown _1234568062.unknown _1234568059.unknown _1234568060.unknown _1234568058.unknown _1234568053.unknown _1234568055.unknown _1234568056.unknown _1234568054.unknown _1234568051.unknown _1234568052.unknown _1234568050.unknown _1234568033.unknown _1234568041.unknown _1234568045.unknown _1234568047.unknown _1234568048.unknown _1234568046.unknown _1234568043.unknown _1234568044.unknown _1234568042.unknown _1234568037.unknown _1234568039.unknown _1234568040.unknown _1234568038.unknown _1234568035.unknown _1234568036.unknown _1234568034.unknown _1234568025.unknown _1234568029.unknown _1234568031.unknown _1234568032.unknown _1234568030.unknown _1234568027.unknown _1234568028.unknown _1234568026.unknown _1234568021.unknown _1234568023.unknown _1234568024.unknown _1234568022.unknown _1234568019.unknown _1234568020.unknown _1234568018.unknown _1234567953.unknown _1234567985.unknown _1234568001.unknown _1234568009.unknown _1234568013.unknown _1234568015.unknown _1234568016.unknown _1234568014.unknown _1234568011.unknown _1234568012.unknown _1234568010.unknown _1234568005.unknown _1234568007.unknown _1234568008.unknown _1234568006.unknown _1234568003.unknown _1234568004.unknown _1234568002.unknown _1234567993.unknown _1234567997.unknown _1234567999.unknown _1234568000.unknown _1234567998.unknown _1234567995.unknown _1234567996.unknown _1234567994.unknown _1234567989.unknown _1234567991.unknown _1234567992.unknown _1234567990.unknown _1234567987.unknown _1234567988.unknown _1234567986.unknown _1234567969.unknown _1234567977.unknown _1234567981.unknown _1234567983.unknown _1234567984.unknown _1234567982.unknown _1234567979.unknown _1234567980.unknown _1234567978.unknown _1234567973.unknown _1234567975.unknown _1234567976.unknown _1234567974.unknown _1234567971.unknown _1234567972.unknown _1234567970.unknown _1234567961.unknown _1234567965.unknown _1234567967.unknown _1234567968.unknown _1234567966.unknown _1234567963.unknown _1234567964.unknown _1234567962.unknown _1234567957.unknown _1234567959.unknown _1234567960.unknown _1234567958.unknown _1234567955.unknown _1234567956.unknown _1234567954.unknown _1234567921.unknown _1234567937.unknown _1234567945.unknown _1234567949.unknown _1234567951.unknown _1234567952.unknown _1234567950.unknown _1234567947.unknown _1234567948.unknown _1234567946.unknown _1234567941.unknown _1234567943.unknown _1234567944.unknown _1234567942.unknown _1234567939.unknown _1234567940.unknown _1234567938.unknown _1234567929.unknown _1234567933.unknown _1234567935.unknown _1234567936.unknown _1234567934.unknown _1234567931.unknown _1234567932.unknown _1234567930.unknown _1234567925.unknown _1234567927.unknown _1234567928.unknown _1234567926.unknown _1234567923.unknown _1234567924.unknown _1234567922.unknown _1234567905.unknown _1234567913.unknown _1234567917.unknown _1234567919.unknown _1234567920.unknown _1234567918.unknown _1234567915.unknown _1234567916.unknown _1234567914.unknown _1234567909.unknown _1234567911.unknown _1234567912.unknown _1234567910.unknown _1234567907.unknown _1234567908.unknown _1234567906.unknown _1234567897.unknown _1234567901.unknown _1234567903.unknown _1234567904.unknown _1234567902.unknown _1234567899.unknown _1234567900.unknown _1234567898.unknown _1234567893.unknown _1234567895.unknown _1234567896.unknown _1234567894.unknown _1234567891.unknown _1234567892.unknown _1234567890.unknown