巧用基本不等式
杨文喜
[摘 要]基本不等式的运用使得初等代数的许多问MATCH_
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的证明变得更为容易。
[关键词]初等代数; 基本不等式; 思路; 方法
已知: a, b都是正数,
求证: 2
1
a
+
1
b
[ a+ b
2
[ a
2+ b2
2
这是高二教材中的一道练习题, 它给出了 2
1
a
+
1
b
,
a+ b
2
,
a2+ b2
2
这三个量的大小关系, 合理运用它们的大小
关系,在不等式的证明中可以起到事半功倍的效果。
问题 1:
设 a> b> c,求证 : 1
a- b
+
1
b- c
\ 4
a- c
分析:证明该式的方法较多,我们用上述不等式来证明
它
不等式的左侧是两个分式的和; 不等式的右侧是
一个分式, 它们的关系不明显, 我们令 a- b = x , b
- c= y, 则 a- c= x+ y, 于是原式变为
1
x
+
1
y
\ 4
a+ y
, 而 2
1
a
+
1
b
[ a+ b
2
的倒数为 1
a
+
1
b
\ 4
a+ b
,问题迅速解决。(证明略)
问题 2:
a, b, c都是正实数, 求证: 1
2a
+
1
2b
+
1
2c
\ 1
b+ c
+
1
a+ c
+
1
a+ b
分析:不等式的左侧是三个分式的和; 不等式的右侧是
三个分式和,它们的关系不明显而 2
1
a
+
1
b
[ a+ b
2
的倒数为
1
a
+
1
b
\ 4
a+ b
,只需 1
a
+
1
b
\ 4
a+ b
的左右两侧乘以 1
4
就可
得到右侧不等式的一项, 于是我们把左侧的每一项拆成两
项,三次运用即可证明不等式。(证明略)
问题 3:
a, b, c都是非负实数
求证: a2+ b2+ b2+ c2+ a2+ c2 \ 2( a+ b+ c)
分析:不等式的左侧是一个根式, 被开方数是一个二次
式;不等式的右侧是一个一次式;抓住式子的这一特征, 运用
a+ b
2
[ a
2+ b2
2
的关系, 我们可以迅速的解决该问题, 只需
将a+ b
2
[ a
2+ b2
2
形变为 a2+ b2 \ 2
2
( a+ b)即可, 于是问
题变为证明不等式a+ b
2
[ a
2+ b2
2
。(证明略)
问题 4:
a, b 都是正数, a+ b= 1
求证: ( a+ 1
a
) 2+ ( b+
1
b
) 2\ 25
2
分析:不等式的左侧是两个完全平方的和; 不等式的右
侧是值25
2
,问题解决的关系是用好条件: a+ b= 1, 实质是找
到它们的联系,考虑到它们在指数上的联系, 我们直接运用
a+ b
2
[ a
2+ b2
2
来证明该不等式。
以下对不等作略证。
证明: ¹ 证明a+ b
2
[ a
2+ b2
2
成立;
º ( a+
1
a
) 2+ ( b+
1
b
) 2
2
\
a+
1
a
+ b+
1
b
2
=
1+
1
ab
2
( a
= b 时, / = 0成立)
^ a+ b= 1,易证 1
ab
\4( a= b 时, / = 0成立)
_ ( a+ 1
a
) 2+ ( b+
1
b
) 2 \ 25
2
问题得证。
[作者单位:山西省大同市二中 责任编辑:胡彦威]
解 2:设复数 Z为椭圆上任一点,则以 X1 , X2 为焦点的椭
圆方程为| Z- Z1 | + | Z1- Z2| = 2a
^ Z= 0 即原点在椭圆上, _ | 0- Z1 | + | 0- Z2| = 2a,
即| Z1 | + | Z2| = 2a
^ Z1, Z2为共扼复数, _ | Z1 | = | Z2| 且 Z2=
Z1
但^ Z1#Z2= q, _ | Z1 | 2= q ] | Z1| = q
_ 2a= 2| Z1| = 2 q
例 7,试求过定点( 1, 0) ,且与定圆( x+ 1) 2+ y2= 9 相切的
圆的圆心轨迹。
解析:一般要先设与定圆相切的圆的方程, 再利用已知条
件/所设圆过定点( 1, 0)及与定圆相切0, 求得所设圆心轨迹。
但这样较烦琐。其实所求圆心轨迹为动点与两定点( - 1, 0)、
( 1, 0)距离之和等于 3, 由椭圆定义知此动点轨迹为椭圆。
解:由题意 2a= 3] a= 3
2
; 2c= 1- ( - 1) = 2 ] c= 1
从而 b2= a2- c2= 9
4
- 1=
5
4
_ 所求圆心轨迹方程为 x 2
9
4
+
y2
5
4
= 1,即4x2
9
+
4y2
5
= 1
例 8,用圆锥曲线统一定义解方程| | x- 5| - | x+ 5| | = 8
解析: 将 代 数 问 题 化 为 几 何 问 题。 | x - 5 | 视 为
( x- 5) 2+ ( 0- 0) 2 , 即点( x , 0)到( 5, 0)的距离; | x+ 5| 视为
( x+ 5) 2+ ( 0- 0) 2 , 即点( x , 0)到( - 5, 0)的距离
故原方程
表
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示点( x, 0)到点( - 5, 0)、( 5, 0)距离的差为 8。
由双曲线定义知: 点( x , 0)应是以点( - 5, 0)、( 5, 0)为焦点, 2a
= 8 的双曲线的顶点。
解: ^ 2a= 8] a= 4, _ 双曲线顶点为( 4, 0) , ( - 4, 0)
从而 x 1= 4, x 2= - 4, _ 原方程的解为 x= ? 4
以上是利用构造发散、迁移发散、转化发散、解法发散等
思维方法来解决平面解析几何中的一些问题,限于篇幅, 只举
几例加以分析解答。
[作者单位: 山西煤炭工业学校 责任编辑:高巍]
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山/西/财/经/大/学/学/报
Journal of ShanXi Finance and Economics U niversity
Apr. , 2001
Vol. 23 SU PPLEMENT2 0 0 1 年 4 月
第 2 3 卷 增 刊
浙公网安备 33021202002483