第三章 几种常见的概率分布率

nullnullnullnullnull nullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnull2. 普阿松分布:----小概率事件( p≦ 0.1)符合普阿松式分布. 同样:把样本看作一个整体, 则: ∑f (x) =1 故: 式中任一项出现的概率为: μx μ----平均数 P (x) = e-μ x! x ----第x项为自然数 :1,2,3,… e ----常数 =2.718281… 3.Poisson分布的特征: 1).小概率事件.P ≦ 0.1. 2).n ∞,越大越好,但事实上不可能,因此,所得的分布是个近似分布. 3).μ = n p 大小适中,恰好为e-μ.即:与自然数e的负指数为宜. 4).样本平均数就是总体平均数.X = μ. 5).平均数等于方差.X = δ2 6).偏斜度: γ1 = 1/√ n 7).峭度: γ2 = 1/μ 4.Poisson 分布的应用: 例:麦田内杂草的分布:调查已知每10平方米有一株杂草. 问:100平方米有0株,1株,2株,3株…10株杂草的概率? null解: 100 μ = 10 = 1 0株null例:卢瑟福(Rutherford)物理实验: 观察在7.5秒时间间隔内放射性物质放射的质粒数到达某指定区域的质点数: X = ∑ f x/N =10086/2608 =3.8672 ≈ 3.87null五、 超几何分布: C x n C n -x N-K P (x) = C n N x------- 0, 1, 2, 3, …n N------总体中的个体数. K------两种类型中某一种类型的个体数. n------非放回式抽样的次数. n k x------在n次抽样中某一种类型的个体数. μ = N n k (N-K)(N-n) S2 = N2(N-1) n k N------群体大小的估计. N = x K------加有标记的个体数. n------第二次抽样抽中的个体数. x------在含有为n的样本中加有标记的个体数.^^例:某野外实习队用网捕捉到金丝燕100只,做好标记后仍放回大自然,一月后 重新捕捉到500只金丝燕,其中有24只带有标记.问:该山区金丝燕的群体数目? 解: K = 100 n = 500 x = 24 n k 100×500 . N = x = 24 = 2083^null5. 负二项分布:negative binomial distribution P (x) =CK-1x-1 p k q x-k 六、 核心分布----以某一中心作放射状分布,中央概率 p大,外围概率p逐渐减小的分布,称为核心分布. 大小相等的核心分布 可分为两种类型 大小不均等的核心分布 {大小均等大小不均等 由于这类分布具有明显的核心,故各核心的边缘,事件成功的概率极小, 而位于核心中央,事件成功的概率极大,因此,计算理论分布时,第0项以及第 一项以上的概率所采用的公式不一样.nullP (0) = e –m1 ( 1 –e –m2) m1.m2.e-m2 mk2 P (x) = x k![ ]. ∑[ .P(x-k-1)] 式中: X2 S2-X m1= S2-X m2= Xx------第x项 k------第x-1项 n------总项数(即实验次数) 例:茶葶子属植物在林地上的分布:nullX =87/80 =1.0875 S2= 2.41 m1=(1.0875)2/(2.41-1.0875)=0.8943 m2 =(2.41-1.0875)/1.0875 =1.2161null第一项: P (0) = e –m1 ( 1 –e –m2) = 2.7183-0.8943×(1-2.7183-1.2161) =0.533 第二项: m1.m2.e-m2 mk2 P (x) = x k! =[(0.8943×1.2161×2.7183-1.2161)1]×(1.2161)0/0!×p0 =0.3090 第三项: m1.m2.e-m2 mk2 P (x) = x k! m1.m2.e-m2 mk2 m12 = x 0! 1! =0.5797/2 ×(1/1×0.3090 +1.2161/1×0.533) =0.2775 第四项:=0.2024 第七项:=0.0503 第五项:=0.1345 第八项:=0.0288 第六项:=0.0843 第九项:=0.0178 注意:第二项和第三项的和约等于第一项,故从总体分布中减去这两项. [ ] ∑[ .P(x-k-1)] [ ] ∑[ .P(x-k-1)][ ] [ . P1 + .P0 ] null七 . 正态分布(常态分布 , 高斯分布) normal distribution 1).高斯公式(高斯定理) 设:空间二维单连通区域v的边界曲面是光滑的,则函数P( x, y, z); Q( x, y, z); R( x, y, z)在v及s上具有关于x, y, z的连续偏导数: ∂P ∂Q ∂R ∂x ∂ y ∂z = ∫∫[P c o s ( n, x) +Q c o s (n, y) +R c o s (n, z) ]d s = ∫∫[P d y d z + Q d z d x + R d x d y] ∫∫∫( + + ) d x d y d zVSS 这个公式具有立体感,意思是:P Q R函数的累计积分为V的空间区域.zyxn s2n s1Z = z2 ( x, y) Z =z1 (x, y)null 既然一个空间是各个位点函数的累计积分,那么,一个曲面也必然是各个微 分区间函数的积分. 即: S S1 + S2 + S3 +…….S x 则: S = ∫-∞ (函数)xSS1S2S3S xnullnull3). 标准正态分布 a. 平均数μ与正态分布的关系: 000b. 标准差与正态分布的关系:(μ的负正与x轴的左右摆动)μ<0μ=0μ>0标准差越小,曲线越陡,数据越集中 标准差越大,曲线越平坦,数据越分散null定义: 当μ =0 δ =1 时的正态分布称为标准正态分布. 代入公式: 1 1 则: φ (μ) = √2л×1 e-(μ-0)2/2×12 = √2л . e-μ2/2 (μ=0 , <μ <∞,δ=1) 表示 μ 变量区间范围内事件发生的概率. 而整个u分布的概率为: 1 φ (u) = √2п ∫u-∞ e-u2/2 d u 4). 正态分布的性质: a.在μ=0 时,分布函数 φ (μ) 值最大. b. μ不论是向正方远离或是向负方远离,e 的指数都变成一个绝对值愈来愈大 的负数因此, φ (μ) 减小 c.曲线纵坐标两侧对称 φ (μ) = φ (-μ) d.曲线在μ=-1 μ= 1 处有两个拐点. e.曲线和横坐标轴所夹的面积是1. f. 分布函数曲线旋转180度仍然对称 g. u=-1 到 +1 面积=0.6827 u=-2 到+2 面积=0.9543 u=-3 到+3 面积=0.9973 u=-1.96到+1.96 面积=0.95 u=-2.576到+2.576 面积=0.99nullX±1δ=68.27%±X±1.96δ=95%X±2.576δ=99%h. γ1=0 γ2=0例: 高粱”三尺三”的株高服成正态分布N(X =156.2,δ=4.82). 求: 1).X<161厘米的概率. 2). X>164厘米的概率. 3).X在152厘米到162厘米之间的概率.null x-μ 161-156.2 解:1). U= δ = 4.82 =1 P (x<161) =φ(u) =φ(1) =0.84134 2). x-μ 164-156.2 U= δ = 4.82 =1.62 P (x>164) =1-φ(u) =1-φ(1.62) =1-0.94738=0.05262 162-156.2 152-156.2 3). U1= 4.82 =1.20 U2= 4.82 =-0.87 P(152