差分进化算法最优潮流

第 34 卷 第 8 期 电 网 技 术 Vol. 34 No. 8 2010 年 8 月 Power System Technology Aug. 2010 文章编号：1000-3673（2010）08-0123-06 中图分类号：TM 72 文献标志码：A 学科代码：470·4051 基于改进差分进化算法的电力系统最优潮流计算 赵树本，张伏生 （西安交通大学 电气工程学院，陕西省 西安市 710049） Solution of Optimal Power Flow Based on Differential Evolution and Its Modified Algorithm ZHAO Shu-ben, ZHANG Fu-sheng (School of Electrical Engineering, Xi’an Jiaotong University, Xi’an 710049, Shaanxi Province, China) ABSTRACT: The calculation of optimal power flow (OPF) is the process to solve a multi-dimensional nonlinear optimization problem. By means of adjusting active output and terminal voltage of generation units as well as transformer voltage ratio to make the fuel cost function minimized and ensure all constraint conditions satisfied. For this purpose, it is proposed to solve OPF by improved differential evolution algorithm. Calculation results of IEEE 30-bus system show that the algorithm utilized in this paper possesses good search ability and convergence performance, and the fuel cost for generation units can be effectively reduced by this algorithm than by other evolutional algorithms. KEY WORDS: optimal power flow; differential evolution(DE); control parameters; penalty function 摘要：电力系统的最优潮流计算问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 是一个多维非线性优化 问题。它通过调节发电机有功出力、机端电压、变压器变比 等使发电机组燃料成本函数最小，并保证所有的约束条件都 得到满足。提出了利用改进差分进化算法来解决电力系统的 最优潮流问题。IEEE 30 节点系统算例表明，与其他进化类 算法相比，文中算法能够有效减少发电机燃料费用，并有良 好的寻优能力和收敛特性。 关键词：最优潮流；差分进化；控制参数；罚函数 0 引言 最优潮流是当系统的结构参数及负荷给定时， 通过调节控制变量找到能满足所有指定的约束条 件，并使系统的一个或多个性能目标函数达到最优 时的潮流分布。根据采用的目标函数和选择的控制 变量及约束条件，最优潮流问题可分为有功最优潮 流、无功最优潮流和对有功及无功进行综合优化的 最优潮流等。由于它是一个高度约束并且多维的非 线性优化问题，计算的困难性限制了它在电力系统 运行中的应用。最优潮流算法按照所采用的优化方 法大致可分为经典优化算法和现代优化算法。经典 算法包括简化梯度法[1]、牛顿法[2]、解耦法[3]和内点 法[4-5]等。这类算法的特点是利用目标函数对控制变 量一阶或二阶梯度求解，由于这类算法对起始点非 常敏感，当搜索起始点在局部最优点的收敛域以内 时，常常收敛到局部最优解，所以这些传统的数学 优化方法难以解决大规模非线性优化问题。现代优 化算法主要是进化类算法。自 1960 年首次提出遗 传算法(genetic algorithm，GA)后，产生了很多其他 进化类算法，如进化规划[6]、差分进化(differential evolution，DE)[7]算法、粒子群优化(particle swarm optimization，PSO)[8-10]、蚁群优化[11-12]。这类算法 与导数无关，无需进行假设和近似，具有随机性， 容易跳出局部最优点，且具有内在并行性，能处理 非连续的、非光滑的、高度非线性解空间的复杂优 化问题，提高了处理复杂优化问题的速度和精度， 展现了良好的收敛特性和全局寻优能力。进化类算 法已经在电力系统领域的许多优化问题中得到了 成功应用。 差分进化算法用一系列浮点型编码个体通过 变异、交叉、选择等操作来有效地寻找全局最优解， 由于差分算法的鲁棒性非常好，它可以用来解决电 力系统中的各种优化问题。该算法原则上可以以较 大的概率找到优化问题的全局最优解，且计算效率 较高，已成功地应用于求解各种复杂的优化问题。 差分进化算法被用于求解电网规划[13-14]、无功优化 调度[15-16]以及谐波分析与电容器优化配置[17]等电 力系统优化问题，都取得了较好的效果。该方法能 在一个广泛约束和目标函数下寻优，并且对起点不 敏感，能够处理发电机耗量曲线这种非凸的、非光 滑的优化问题。本文提出应用改进差分进化算法求 解最优潮流问题，并将在 IEEE 30 节点系统上加以 验证。 124 赵树本等：基于改进差分进化算法的电力系统最优潮流计算 Vol. 34 No. 8 1 最优潮流的数学模型 电力系统有功最优潮流是一个多变量、非线 性、多约束的组合优化问题。其目标函数一般采用 发电燃料耗量最小或发电费用最小，数学上可表示为 min ( , )F X U (1) s.t. ( , ) 0g X U = ( , ) 0h X U < 式中：U 是控制变量，通常包括发电机有功出力、 机端电压和变压器变比；X 为状态变量，包括 PQ 节点电压、发电机无功出力等；F 是目标函数，如 发电燃料耗量或发电费用；g 是节点潮流方程等式 约束；h 为不等式约束，如发电功率约束、电压幅 值约束等。通过优化计算发电机的机端电压、有功 出力和变压器变比等，使目标函数最小[18]。 以发电成本最小为目标函数的有功最优潮流 模型可以表示为 G G 2 cost G G G 1 1 ( ) ( ) N N i i i i i i i i i F F P a P b P c = = = = + +∑ ∑ (2) 式中：Fi(PiG)为机组 i 的耗量特性，一般用二次函 数近似表示；ai、bi、ci为机组 i 的耗量特性参数； PiG为第 i 台发电机有功出力；NG为发电机总台数。 最优潮流是经过优化的潮流分布，必须满足基 本潮流方程。最优潮流的等式约束条件为 1 1 ( cos sin ) 0 ( sin cos ) 0 N i i j ij ij ij ij j N i i j ij ij ij ij j P V V G B Q V V G B θ θ θ θ = = ⎧ − + =⎪⎪⎨⎪ − − =⎪⎩ ∑ ∑ (3) 不等式约束条件主要是使可调控制变量在一 定的容许范围内，满足系统运行的安全性。其具 体有 min,G G max,G G min,G G max,G G min max min max T , 1,2, , , 1,2, , , 1,2, , , 1,2, , i i i i i i i i i i i i P P P i N Q Q Q i N V V V i N T T T i N ≤ ≤ =⎧⎪ ≤ ≤ =⎪⎨ ≤ ≤ =⎪⎪ ≤ ≤ =⎩ " " " " (4) 式中：PiG、QiG是每台发电机有功出力和无功出力； Pi、Qi 为节点 i 的注入有功功率和无功功率；Gij和 Bij 是线路的电导和电纳；Vi 和 Vj 分别是节点 i 和节 点 j 的电压幅值；θij 是节点 ij 之间的电压相角差； Pimax,G、Pimin,G分别为发电机有功上下限值；Qimax,G、 Qimin,G 分别为发电机无功上下限值；Vimax、Vimin 分 别为节点 i 电压幅值的上下限值；Timax、Timin 分别 为变压器变比的上下限值；N 为所有节点数；NT为 变压器数。式(3)为潮流方程，式(4)为机组出力约束、 节点电压约束和变比约束[19]。 U 是独立变量的向量。包括发电机有功出力 PG(平衡节点的 P1G除外)、发电机的机端电压 VG、 变压器变比 T，因此 U可表示成 G G T T 2G 3G 1G 2G 1 2[ , , , , , , , , , , , ]N N NP P P V V V T T T= " " "U 每个个体的控制变量都是严格按照给定范围 进行赋初值，所以满足了相应的不等式约束。 X是状态变量的向量，包括平衡节点有功出力 P1G、负荷母线电压 VL、发电机无功出力 QG、因此 X可表示成 pq G T 1G 1 2 G1 G2 G[ , , , , , , , , ]N NP V V V Q Q Q= … …X 通过牛顿–拉夫逊法进行潮流计算，得到所有 状态变量的值，采用罚函数方程来处理状态变量的 不等式约束问题。每个个体的状态变量有对应的罚 因子。当它们超过上下限时，每个惩罚项被乘以一 个罚系数。例如本文将负荷母线电压、发电机无功 出力、平衡节点有功出力等的罚函数方程考虑到每 个个体的目标函数中。这样目标函数就包括了机组 燃料成本和惩罚项，方程如下： pq G 2 2 2 cos t v q s 1 1 min N N i i F F V Q Pλ λ λ = = = + + +∑ ∑ (5) 2 min max( 1) , 0, i i iV V V V VV ⎧ − < >⎪= ⎨⎪⎩ 或者 其他 2 max max 2 min min ( ) , ( ) , i i i i Q Q Q QQ Q Q Q Q ⎧ − >= ⎨ − <⎩ 2 1G max 1G max 2 1G min 1G min ( ) , ( ) , P P P P P P P P P ⎧ − >⎪= ⎨ − <⎪⎩ 式中：V 为节点电压越限的罚函数项；Q 为发电机 节点无功出力越限的罚函数项；P 为平衡节点有功 出力越限的罚函数项；λv、λq、λs 分别为对应惩罚 项的罚系数[20]。 2 DE 算法的基本原理 2.1 DE 算法简介 DE 算法由 Price 和 Storn 于 1995 年共同提出， 是一种随机的直接寻优方法。它采用有 NP 个浮点 型实数编码个体的种群，基于自然进化理论，用来 优化非线性、不可微的连续空间方程，并且已经扩 展到可以处理混合有离散连续变量的优化问题。在 差分进化算法中，种群规模在整个优化过程保持不 变，每个个体是一个包括很多维数的向量，基本思 第 34 卷 第 8 期 电 网 技 术 125 想就是将 2 个随机选择个体的差作为第 3 个个体的 随机扰动。从产生随机偏差的个体中得到的距离和 方向信息导致了优秀的收敛性质。选择父代个体和 试验个体中适应度更好的个体进行进化。DE 包括 3 个步骤：变异、交叉、选择。DE 的核心思想就是 通过变异和交叉操作产生一个试验个体，再通过选 择操作决定目标个体和试验个体中的哪一个会被 传到下一代。它有着良好的收敛特性，且控制参数少。 2.2 变异操作 对于每个目标向量 Xi,M，变异向量 Xi, M+1 为 1 2 3, 1 , , , 1 2 3 ( ),i M r M r M r MF r r r i+ = + − ≠ ≠ ≠V X X X 式中：r1、r2、r3∈[1,NP]，为随机产生的互不相同的 整数，表示种群中不同个体的索引号，且与当前目 标向量索引 i 不同，所以 NP≥4。F 是一个实数，且 F∈[0,2]，它控制差分向量(Xr2,M −Xr3,M)的缩放；M 表示代索引。 2.3 交叉操作 种群中的目标向量 Xi,M 和变异向量 Vi,M+1 由下 面的 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 进行混合，产生试验 Ui,M+1。为保证个体 Xi,M 的进化，首先通过随机选择，使得 Ui,M+1 至少 有一位由 Vi,M+1 贡献，否则将不会产生新的父代向 量，种群将不会被改变，而对于其它位，可利用一 个交叉概率因子 CR，决定Ui,M+1中哪位由Xi,M贡献， 哪位由 Vi,M+1 贡献，方案如下： , 1 R , 1 , R , rand( ) rand ( ) , rand( ) rand ( ) ij M ij M ij M V j C j n i U X j C j n i + + ≤ =⎧⎪= ⎨ > ≠⎪⎩ 或 和 式中：rand(j)∈[0,1]为均匀分布的随机数；j 表示第 j 个基因；CR 为交叉概率常数，大小预先确定，通 常为[0,1]；randn(i)∈[1,2,…,D]为随机选择的维数变 量索引，以保证至少有一维变量由变异向量贡献。 2.4 选择操作 采用一种贪婪的选择模式，如下 , 1 , 1 , , 1 , , 1 , , ( ) ( ) , ( ) ( ) i M i M i M i M i M i M i M f f f f + + + + <⎧⎪= ⎨ ≥⎪⎩ U U X X X U X 当且仅当试验个体 Ui,M+1 的适应度优于目标个 体 Xi,M时，Ui,M +1 被选做子代，替换原来的 Xi,M， 否则 Xi,M被保留到下一代。上面的适应度函数是针 对最小化问题的。 3 改进 DE 算法 DE 涉及种群规模 NP，差分向量缩放因子 F 和 交叉概率 CR3 个控制参数，合适的参数通常与实际 问题相关，不同的优化问题对应不同的控制参数。 CR对问题的适应性和复杂性更为敏感，而 F 与收敛 速率密切相关。本文采用动态变化方法[21-22]并加以 改进。 差分向量实际上是对被变异的基向量 Xrb,M 各 维变量的扰动，F 控制扰动的大小。如果生成差分 向量的 2 个个体适应度趋于一致时，那么生成的差 分向量(Xr2,M −Xr3,M)比较小，从而 F 应该取较大的 值，保证全局搜索。反过来，如果 2 个个体适应度 相差较大，那么生成的差分向量(Xr2,M −Xr3,M)较大， 这时 F 就应该取较小的值，否则算法变成纯粹的随 机搜索而不能体现进化特性。因此 F 的取值应该根 据空间中生成差分向量的 2 个个体 Xr3,M和 Xr2,M的 相对位置来自适应的变化，动态调节差分向量的大 小，从而保持了良好的全局和局部寻优能力。F 的 取值为 2 3 min max min ( ) ( ) ( ) r r f X F F F F f X = + − 式中 f(X)为个体的适应度。 交叉控制参数 CR 在原始 DE 算法中起着非常 重要的作用，合适的 CR容易找到一个比较好的解， 通常能在一个小范围内寻优，而不好的 CR 可能在 任何情况下都找不到最优解。通过交叉操作方程可 以看出，如果交叉常数 CR 越大，变异向量 Vi,M+1 对试验向量 Ui,M+1 的影响就越大，会更大程度上破 坏目标个体的优秀基因，反之，如果 CR 越小，变 异向量 Vi,M+1 对试验向量 Ui,M+1 的影响越小，所以 不易产生新的个体结构，使搜索过程变得缓慢，并 且变异向量 Vi,M+1 中好的基因不容易进入到试验向 量 Ui,M+1。所以为了动态适应 CR的值，我们采用一 种选择机制来处理变异向量Vi,M+1和目标向量Xi,M， 即比较它们的适应度大小，当变异向量 Vi,M+1 的适 应度劣于目标向量 Xi,M时，为了更大程度保留良好 基因，取较小的 CR，反之为了让更多的变异向量的 基因贡献到试验向量中，取较大的 CR，即 , , 1 R R min , , 1 R R max ( ) ( ) , ( ) ( ) , ij M ij M ij M ij M f X f V C C f X f V C C + + < =⎧⎪⎨ > =⎪⎩ 根据进化阶段的不同而实时调整进化参数，既 利于加快收敛速率和局部寻优，又保证了种群的多 样性和全局寻优，是一种良好的搜索策略。 4 最优潮流算法流程 改进DE算法的最优潮流算法流程如图1所示。 126 赵树本等：基于改进差分进化算法的电力系统最优潮流计算 Vol. 34 No. 8 读入系统信息和算法信息 初始化父代个体 潮流计算得到每个父代个 体的适应度 随机选出 3 个个体，更新 变异参数和交叉参数 交叉操作得到试验向量 潮流计算得到试验个体的适应度 选择操作产生下一代种群的个体 控制变量是否越限 重新在规定范围内初始化 达到事先设定的代数或适应度已达精度 得到最优适应度和最好个体各维变量 输出各控制变量的最优值和适应度 结束 进行变异操作 否 否 是 是 图 1 最优潮流流程 Fig. 1 Flow chart of optimal power flow 5 算例分析 IEEE 30 节点系统包括 6 台发电机、4 台变压 器、41 条线路、2 个并联电容器。本文控制变量有 15 个：5 个发电机的有功出力，6 个发电机母线电 压幅值，4 个变压器变比。为了简单起见，将变压 器变比当成连续变量考虑。算法相关信息在表 1 中 给出，发电机耗量系数在表 2 中给出。系统的详细 参数和变量均见参考文献[23]，所有的功率和电压 等均为标幺值，基准容量为 100 MVA，表 3 给出了 发电机有功、无功出力。 表 1 算法基本信息 Tab. 1 The information of the proposed algorithm λv λq λs Fmax Fmin CRmax CRmin NP 1 000 1 000 1 000 0.4 0.1 1.0 0.8 50 表 2 IEEE 30 节点系统发电机耗量系数 Tab. 2 Generator cost coefficients of IEEE 30-bus system 节点 ai bi ci 1 0.375 2.00 0 2 1.750 1.75 0 5 6.250 1.00 0 8 0.834 3.25 0 11 2.500 3.00 0 13 2.500 3.00 0 表 3 最优有功和无功出力 Tab. 3 Optimal active and reactive power generation 节点 有功出力/MW 无功出力/Mvar 1 177.54 −14.32 2 48.86 22.61 5 21.42 26.42 8 20.89 34.37 11 12.04 12.12 13 11.41 16.09 为验证 DE 及其改进算法的有效性，用 IEEE30 节点系统的最优潮流计算结果分别与原始状态和 遗传算法的优化结果进行了比较，并将它们的种群 规模都设为 50。表 4 给出了 IEEE 30 节点系统原始 条件和采用 3 种不同算法进行优化控制变量值。优 化前的燃料费用为 900.472 USD/h，GA 的燃料费用 为 800.982 USD/h，DE 和 MDE 的燃料费用分别为 800.293 USD/h 和 799.449 USD/h。 表 4 各种情况下的控制变量 Tab. 4 Control variables for different conditions 控制变量 优化前/pu GA/pu DE/pu MDE/pu V1 1.060 1.095 1.093 1.100 V2 1.045 1.073 1.070 1.087 V5 1.010 1.034 1.042 1.060 V8 1.010 1.045 1.048 1.067 V11 1.082 1.058 1.095 1.100 V13 1.071 1.047 1.083 1.100 T1 0.932 1.046 0.999 0.992 T2 0.978 1.028 0.978 1.012 T3 0.969 1.049 1.037 0.961 T4 0.968 0.994 0.964 0.957 P1 0.986 84 1.757 14 1.771 52 1.775 43 P2 0.800 00 0.480 89 0.483 89 0.488 55 P5 0.500 00 0.212 19 0.218 05 0.214 24 P8 0.200 00 0.206 66 0.208 32 0.208 93 P11 0.200 00 0.118 24 0.120 66 0.120 43 P13 0.200 00 0.148 58 0.121 02 0.114 09 GA 算法的节约费用百分比为 save 900.472 800.982 100% 11.05% 900.472 F −= × = DE 算法的节约费用百分比为 save 900.472 800.293 100% 11.13% 900.472 F −= × = 第 34 卷 第 8 期 电 网 技 术 127 MDE 算法的节约费用百分比为 save 900.472 799.449 100% 11.22% 900.472 F −= × = 与传统方法不同的是，所提方法得到的解的质 量不依赖于种群初值。在可行域内的任何一点搜 索，算法都能保证收敛到最优解。通过 100 次运算， 对比了几种方法发电费用的最大值、最小值和平均 值，结果见表 5。通过表 5 可以看出，所提出的改 进方法不管在何种初值条件下都能得到最优解。 表 5 3 种算法运行 100 次的发电费用对比 Tab. 5 Comparison of generation cost of 100 runs with three algorithms 算法 最大值/(USD/h) 最小值/(USD/h) 平均值/(USD/h) GA 800.991 800.982 800.985 DE 800.529 800.293 800.426 MDE 800.378 799.449 799.768 表 6 给出了 3 种方法执行结果的比较，同样是 每个优化方法运行 100 次，最大代数为 300。 表 6 3 种方法运行结果比较 Tab. 6 Comparison of the results of three methods 算法 寻到最优解次数 平均进化代数 GA 78 85 DE 91 46 MDE 96 40 从表 6 可以看出，遗传算法能找到最优解的概 率只有 0.78，而差分进化算法是 0.91，改进的差分 进化算法则达到 0.96，接近于 1。改进差分进化算 法平均进化 40 代就能寻到最优解，在 3 种算法中 显然是最理想的。 图 2 给出了几种算法的收敛曲线。从图 2 也可 以清晰看到DE及其改进算法在迭代40次左右就能 收敛到较为满意的解，它能快速逃离局部最优，收 敛到全局最优解，并能保持很好的收敛精度，有一 个较为平稳的收敛过程，显示了良好的鲁棒性，是 一种可行的方法。 GA DE MDE 8.6 8.5 8.4 8.3 8.2 8.1 8.0 7.9 0 20 40 60 80 100 迭代次数 适 应 度 图 2 不同算法的收敛曲线 Fig. 2 Convergence curves with different algorithm 6 结论 本文采用改进差分进化算法进行了最优潮流 计算，并在 IEEE30 节点系统中得到了验证。对比 其他启发式算法：该算法优点建模灵活、并能准确 可靠地收敛到全局最优解、计算时间短、进化代数 少、得到最优解的概率高。可以将该算法应用于含 有几千个节点的大规模电力系统或考虑了环境约 束的最优潮流中。 参考文献 [1] Dommel H W，Tinney W F．Optimal power flow solutions [J]．IEEE Trans on Power Apparatus and Systems，1968，87(10) ：1866-1876． [2] 陈恳．直角坐标牛顿–拉夫逊法潮流计算新解法[J]．电力系统及其 自动化学报，1999，11(4)：66-69． Chen Ken．New power flow solution for rectangular coordinate Newton–Raphson[J]．Proceedings of the CSU-EPSA，1999，11(4)： 66-69(in Chinese)． [3] 候芳，吴政球，王良缘．基于内点法的快速解耦最优潮流算法[J]．电 力系统及其自动化学报，2001，13(6)：8-12． 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