多元函数极值与最值求法分析

多元函数极值与最值求法 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 多元函数的极值与最值的求法 摘要 在实际问题中 往往会遇到多元函数的最大值最小值问题多元函数的最大值最小值问题与极大值极小值有密切联系 求多元函数极值 一般可以利用偏导数来解决与一元函数相类似 可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值但是由于自变量个数的增加 从而使该问题更具复杂性 这里主要讨论二元函数 对于二元以上的函数极值可以类似加以解决 求多元函数的极值本文主要采用以下 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 1利用二元函数的偏导数求二元函数极值2拉格朗日乘数法求极值3用几何模型法求解极值4通过Jacobi 矩阵求条件极值 5 利用参数方程求极值 6 利用方向导数判别多元函数的极值 7 用梯度法求极值 对多元函数的最值问题我们主要采用的方法有1消元法2均值不等式法3换元法4数形结合法5柯西不等式法6向量法除此之外很重要的一种就是考虑极值与最值的关系运用极值法求最值 关键词多元函数极值最值方法 Methods for Calculating Extremum and the most Value of Multivariable Function AuthorChenlong Class 2007-2 Mathematics and Applied Mathematics Supervisor Huang Junhua Abstract In practical problems we often encounter imum and minimum problems of multivariable function Both of them have a close relationship with imum minimum values Similar to monad function we can use the extremum of Function to seek the imum and minimum value of function but due to the increased number of independent variable which make the issue more complicated Usually we can use the partial derivatives to get the extremum of multivariable function Here the thesis mainly discusses the duality function so that we can use the similar way to solve the extremum of duality function to the above To get the extreme of multivariable function the thesis adopts the following ways 1 Using the partial derivative of duality function to get the extreme 2 Lagrangian multiplier method to calculate the extremum 3 Geometric modeling method for solving extremum 4 Using Jacobi matrix to get the conditional extremum 5 Using parameter equation to calculate the extremum 6 Using directional derivative to identify the extremum of multivariable function 7 Using gradient method to get the extremum To calculate the most value of multivariable function the thesis takes several main ways as follow 1 Elimination method 2 The mean value inequality method 3 Substitution method 4 Method of numerical and shaping combination 5 Cauchy inequality method 6 Vector methodBesides a very important method we should take into consideration is to consider the relations of extremum and most value using extremum method to calculate most values Key words multivariable function extremum the most value method 目 录 引言 1 1 多元函数的极值的求法1 11 利用二元函数的偏导数求二元函数极值1 12 利用拉格朗日Lagrange乘数法求极值2 13 利用几何模型法求解极值3 14 通过雅可比 Jacobi 矩阵求条件极值 5 15 利用参数方程求解条件极值11 16 利用方向导数判别多元函数的极值12 17 用梯度法求极值15 2 多元函数最值的求法17 21 消元法18 22 均值不等式法18 23 换元法19 24 数形结合法 20 25 柯西不等式法21 26 向量法22 27 利用极值求最值23 小结 25 致谢 25 参考文献 25 引言 多元函数的极值及其求法是高等数学学习过程中的一大难点主要原因有1对拉格朗日乘数法中参数的困惑2求可能极值点过程中繁琐的计算3对极值存在的必要条件及其充分条件的理解 最值问题是中等数学中永恒的话题也是每年高考必不可少的热门考点因此怎样求最值是师生们非常关注和必须解决的问题也是学生必须具备的解题技能而在最值求解中尤以求多元函数的最值问题因其技巧性强难度大方法多灵活多变而具有挑战性成为最值求解中的难点和热点 1 多元函数极值的求法 11 利用二元函数的偏导数求二元函数极值 例111 求由方程 所确定的函数的极值 解 将方程两边分别对求偏导数 1 2 解出 令求得 1 -1将他们带入原方程得 下面考察函数在点1-16及点1-1-2的邻域内取值情况 令 由于 所以原方程分别在点 1-16 和1-1-2的邻域内确定函数 又方程1对x求偏导得 方程1对y求偏导得 方程2对y求偏导得 在点1-16有且A 0所以是极大值 在点1-12处有且A 0所以是极小值 综上所述 知由方程在点1-16的某邻域内确定的函数是极大值在点1-12的某邻域内确定的函数是极小值 如把本题所给的方程化成 这是球面方程 半径球心在点1-12对于的一组值有两个z与之对应因此 从整体来看 该方程并不确定一个单值函数 从几何图形上看 z在 1-1 取得极大值6与极小值-2是然显的 因为球面上最高点与最低点的坐标分别为 1-16 与1-1-2 12 利用拉格朗日Lagrange乘数法求极值 例121 求函数在条件下的极值 解本题是条件极值问题用Lagrange乘法设函数为 解得 故得驻点 又 所以 故 是极小值点 极小值 13 用几何模型法求解极值 本节利用多元函数微分法在几何上的应用得到了求解多元函数条件极值的方法 131 z f xy 在满足条件下的极值 引理 设空间曲线的方程以的形式给出是曲线上的一个点则曲线在点M处 的切线方程为 由空间解析几何知方程组1 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示一条空间曲线 在满足条件下的极值即为曲线 上点P的坐标的极大值与极小值如果曲线上 处处都有切线则z 坐标取极大值与极小值的点p处的切平面必平行于坐标面亦 即垂直于z轴 由1知的方程为设其切向量为 则有,又 即 定理 三点共线定理勾股定理的证明证明勾股定理共线定理面面垂直的性质定理 设函数在某一邻域内均有连续的一阶偏导数且雅克比行列式则为在 满足条件下的极值点的必要条件为 例131 求函数在附加条件下的极大值 解因为 所以 即 1 又 2 解得为从而 由题意知的极大值为 例132 抛物面被平面原点到这椭圆的最长与最短距离 解因为 所以设目标函数为 1 限制条件为 2 3 由 1 2 3 知即求 在限制条件下的极值 因为 所以 即 4 由 1 2 3 解得 由题意知最长距离为最短距离为 132 在满足条件下的最值 基本过程1在满足条件下的可能极值点 2求一元函数的最值 例133 求内接于椭球的体积最大的长方体的体积长方体的各个面平行于 坐标面 解设内接于椭球且各个面平行于坐标面的长方体在第一卦限的顶点坐标为 则长方体的体积为V 8xyz且 任意固定 首先求 1 满足条件时的极值点 因为 由得得3 由23解得 则由 由 解得 时 最大 此时长方体在第一卦限的顶点坐标为 用上述定理给出的解决多元函数条件极值问题的方法可避免利用拉格朗日 乘数法过程中繁琐的计算 同时对工科学生而言也比较容易理解 14 通过雅可比 Jacobi 矩阵求条件极值 141 问题的提出 设方程 1 在某邻域内满足隐函数存在定理的所有条件它确定的隐函数为又设约束方程组为 2 其中 函数在上述邻域内具有连续偏导数 且彼此独立 现在要求方程 1 给出的目标函数在约束方程组 2 下的条件极值利用拉格朗日乘数法 设拉格朗日函数 则目标函数具有条件极值的必要条件是 3 有解 这就是说若目标函数在点取得条件极值 则 满足方程组 3 142 问题的分析 若方程组 3 有解将代入 3 的前个方程的偏导函数中 并用表示点处的各偏导数值 并以为未知数构造线性方程组 4 显然方程组 4 有非零解故方程组 4 的系数矩阵的秩 其中 由此可知方程组 3 的前个方程的所有解对应的函数矩阵 也满足 因此矩阵A的后列元素对应的函数矩阵 是函数对于一切自变量的偏导数所组成的雅可比矩阵的转置矩阵由函数的彼此独立性知故所以 目标函数具有条件极值的必要条件是 将函数矩阵A 看作是在所讨论的某邻域内某点处的各偏导数所组成的数值矩阵 进行如下初等变换 将A的第1列乘以加到第2列 将A的第1列乘以加到第3列直至将A的第1列乘以加到第1列可得与A等价的矩阵 其中 由隐函数存在定理知 对方程所确定的隐函数 有 故 再将的第1列乘以得矩阵 故 且 143 问题的解决 因为函数矩阵的秩为 故中必有一个m阶子式不恒为零 不失一般性可设的右上角的阶子式其中 而且中所有包含的个1阶的加边行列式都等于零 其中 5 由此可知 若由方程 1 所确定的目标函数在点取得满足约束方程组 2 的条件极值 则点必满足方程组 5 综合以上 可得求方程 1 所确定的目标函数满足约束方程组 2 的条件极值的如下方法 ? 选定不恒为零的阶子式D写出方程组 5 即 ? 解方程组 5 与方程组 2 及方程 1 的联立方程组 ? 对解出的可能的条件极值点加以判断 例141 求椭球面的内接最大长方体体积 解 设椭球面的内接长方体在第一卦限内的顶点为则其体积为 现求方程所给出的目标函数在约束方程组下的条件极值 由 与可得 与解联立方程组 可得 由实际意义知椭球面的内接最大长方体体积是存在的而且求得唯一的可能条件极值点 故点为所求条件极值点所求内接最大长方体体积为 从以上讨论和计算可知 对于目前函数是显函数的情形 不必化为隐函数可直接计算 例142 从斜边长为的一切直角三角形中求有最大周长的直角三角形 解 设直角三角形的两直角边边长分别为 则周长且 现求目标函数在约束方程下的条件极值 由得得解联立方程组得 由实际意义知斜边为定长的直角三角形的最大周长是存在的而且求得唯一的可能极值点 故点为所求的条件极值点因此所求直角三角形为等腰直角三角形 两直角边均为 15 利用参数方程求解条件极值 在求由参数方程所确定函数的极值点会出现以下二例的情形 例151 设函数由确定求函数的极值点 解 令得到对应唯一驻点 当 左侧 右侧 所以是函数的极大值点 注意t -1时不存在 函数有定义 t -1左侧右侧 但即却不是函数的极值点考察在的性态因为 所以是的唯一极小值点也是其最小值点 对应的是函数定义区间的左端点它不是函数的极值点 极值点应为定义区间的内点 例152 设由确定了函数求并求函数的极值点 解 对应 1 由 1 可见时不存在但函数在 处的导数仍存在 事实上由导数定义可得 2 于是 3 由 2 可见是的连续不可导点不是的极值点对应的是函数定义区间的内点 由 3 可见 是的唯一极小值点 由以上三例可见由于参数方程所确定的函数与自变的关系是通过参数t来沟通的在求解此类问题时应注意 1 即使中有一个不存在对 或对 的导数仍可以存在只是不能用公式来求此时可用导数定义求 2 即使在 或 不存在的 对应 的左右两侧 或 变号 也不能确定它是函数的极值点 或拐点 需要进一步考察切勿妄下结论 3(若有同时成立而中至少有一个不为0则点称为曲线的奇异点 见菲赫金哥尔茨《微积分教程》一卷二分册 16 利用方向导数判别多元函数的极值 161 引理 设函数在平面区域D上可微L是D内的光滑曲线 当点在L上移动时函数沿L的前进方向的方向导数满足 1 则函数在L上单调增加 2 则函数在L上单调减少 3 则函数在L上为常数 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 设曲线L的方程为且没有垂直于X轴的切线在L上任意两点 移动时先经过点 对于定义在L上的一元函数应用微分中值定理 在与之间 1 及 a为L的切线与X轴的夹角 于是 2 当时 当时故与同号如果当时从而所以函数在L上眼前进方向是单调增加的 同理可证 2 3 成立 如果曲线L有铅直切线则可设其方程为证法类似 162 极值存在的二个充分条件 定理1 设函数在点的某邻域内可微且如果函数在该邻域任一点处沿直线方向的方向导数满足 1 则为的极大值 2则为的极小值 证明 设为领域内任意一点L为领 域内过点和的直线段由假设知函数在点处沿方向的导数且在L上点与之间的何点处该方向的方向导数均为负由引理知 在L上单调减少即 由的任意性 是 极大值情形2同理可证 定理2 设函数在平面区域D上可微曲线L完全属于D且在曲线L上的一阶偏导数为零如果在曲线L上各点的法线上函数沿法线向外方向的方向导 数满足 1 在该弧段的邻近均为负则函数在该弧段上取得弱极大值 2 在该弧段的邻近均为正则函数在该弧段上取得弱极小值 证明 1 设为曲线L上某弧段内一点又设s为过的任一曲线点为s上某邻域内的任意一点 如果点在上根据引理知 如果点不在上则点必在上某点的法线上由假设知线段各点沿的方向导数为负由引理知函数在线段上单调减少所以 故 由点p的任意性知在点的某邻域内总有即函数值即函数值为的弱极大值 2 类似可证 163 应用举例 利用上述充分条件判别极值的一般步骤 1 求出函数的驻点用射线及曲线里将的邻域划分成若干区域 2 及上和各部分区域内判断方向导数各项符号进而判断方向导数的符号 3 根据定理12判断该驻点是否为极值点 例161 求函数 极值 解 令得驻点2-2方向导数 在点 2-2 邻近各项符号如下表 所以由定理1点 2-2 为极大值 例162 求函数的极值 解 得驻点 0为一直线方向导数驻点直线 0与轴的夹角 直线上各点的法线与轴夹角为或此时在直线 0的上方法线方向为且在直线 0的下方法线方向为其邻近各点沿法线方向的方向导数为 由定理2函数在直线 0上取得弱极小值 17 用梯度法求极值 171 引言 设为实n维欧氏空间是以中子集为定义域的一个n 维实数 定义1 设 若并且在某邻域内有定义当极限 存在称这个极限为函数在关于的偏导数记为 或 定义2 若函数在存在对所有自变量的偏导数则称向量为在的梯度记为 定义3 设为开集若存在线性变量使 则称函数f在处可微线性变量为f在的微分 显然当f可微时在处存在并且0 重要结果 定理1 设函数在凸形域内可微并且其中L为常数则在上一致连续 证明当是闭区域时结论显然成立设为中点由于是凸形域则线段PQ整个都落 在内令考察一元函数由于在凸形域内可微我们有 于是 所以 故对于取当时有 所以在上一致连续 定理2 若n元函数在某邻域梯度向量存在并且则在点连续 定理3 设函数在邻域内连续在内可微 1 当有则在点取极大值 2 当则在点取极小值 例171 求的极值 解 令得其稳定点为11 由于Hessn矩阵无法判断其极值而 所以稳定点11取极小值 2 多元函数最值的求法 求最值问题是中等数学永恒的话题其中多元函数求最值是难点求多元函数最值的常用方法有消元法均值不等式法换元法数形结合法柯西不等式法向量法等结合例题将这些方法加以总结 最值问题是中等数学中永恒的话题也是每年高考必不可少的热门考点因此怎样求最值是师生们非常关注和必须解决的问题也是学生必须具备的解题技能而在最值求解中尤以求多元函数的最值问题因其技巧性强难度大方法多灵活多变而具有挑战性成为最值求解中的难点和热点 现将多元函数求最值的常用方法和技巧总结介绍如下 21 消元法 消元法是指通过消去变量 或未知数 从而达到解题目的的方法当题中有两个或两个以上的变量 或未知数 时要同时求出它们是做不到的如果能先消去一 些变量 或未知数 使其减少到一个使数量关系单一化则便于找到解题途径多元函数最值难求关键在于变量较多如果能够采取合理的手段消元使变量减少甚至只剩下一个变量则问题往往迎刃而解消元法是求多元函数最值的最基本方法遇到此类问题时首选之法就是消元法 例21 已知求的最值 解由条件知 ? 1 又 ? ? 而 函数S在[03]上是增函数 ?当时 当 需特别提醒的是消元后留下的元 变量或未知数 的取值范围往往并不是任意的而要根据题设条件挖掘出来而这往往成潍解题成败的关键 22 均值不等式法 均值不等式 设ai i 1 2 3 n 0 则 当且仅当时等号成立 在实际中经常使用的只是n 2 和n 3 的情况它的最大用途在于求最值 在将均值不等式应用于求最值时要求比较高可概括为一正二定三相等即 1 所涉及的量必须都正数 2 这些正数的和或积是定值当积为定值时可以求和的最小值当和为定值时可以求积的最大值 3 这些正数必须相等这三点缺一不可 否则所求的最值是不可能正确的 均值不等式是解决多元函数求最值的行之有效的方法只要满足了一正二定三相等的条件就屡试不爽但在具体解题时因其技巧性较强需要合理拆分项或恰当配凑因式创设使用均值不等式的条件因此需要多做题细揣摩才能把握好 例22 已知x ?y 0 求的最小值 解 3 当且仅当 即时 本题通过恰当配凑达到积是定值的条件并且配凑后三个正数会相等 23 换元法 所谓换元法就是在一个比较复杂的数学式子中用新的变量去代替原来的部分 或全部 变量或改造原来的式子利用新元架起未知通向已知的桥梁换元的实质是转化目的是化繁为简化生为熟使问题易于解决其关键是构造元和设元换元的方法有局部换元三角换元均值换元等换元时要尽可能地用新元把分散的条件联系起来把隐含的条件显露出来换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法和技巧通过换元可以使复杂问题简单化使一些看似一筹莫展的问题柳暗花明 例23 设a b c 0 求的最小值 解令 则 ? - 17 4 即 由于给出的关于a bc 的函数表达式比较繁杂特别是分母但通过本题的换元强制性地简化了分母当把表达式整理成关于x y z 的解析式后其结论水到渠成另外特别注意换元后的新元的取值范围不一定是任意的题设条件或其自身将可能影响新元的范围这正是很多使用换元法解题不正确的原因所在 24 数形结合法 数形结合就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题它包含以形助数和以数解形两个方面一方面许多数量关系的抽象概念和解析式若赋予其几何意义往往可以变得非常的直观形象另一方面一些图形的属性又可以通过数量关系的研究使得图形的性质更丰富更精确更深刻数形结合的实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来使抽象思维和形象思维结合起来它兼有数的严谨与形的直观之长利用它可使复杂问题简单化抽象问题具体化是优化解题过程的重要途径之一 例24 设0 u v 0 求的最小值 解设则此时P 的轨迹是 Q 的轨迹是 在平面直角坐标系中做出动点P Q 的轨迹 如图 则 即 OQ min 可得v 3 又 OP 2 ? PQ ? OQ - OP ? 即当时 数形结合解题时的一般方法是第一步先把已知条件与待求结论的代数式 或量 都化成形第二步观察图形得到解题方法进而得出结论 25 柯西不等式法 柯西不等式设均 是实数则有 等号当且仅当 为常数 时取得 柯西不等式是一个非常重要的不等式其结构和谐应用灵活广泛灵活巧妙地运用它可以使一些较为困难的问题迎刃而解在使用时往往要采取一些方法 如巧拆常数巧变结构巧设数组等 构造符合柯西不等式的形式及条件继而达到使用柯西不等式解决有关的问题 例25 设且求u 的最小值 解由柯西不等式可得 由及可得 此时 本题通过巧用常数1构造出了符合柯西不等式的形式及条件继而达到解题目的 26 向量法 在求有些多元函数的最值时恰当构造向量模型利用向量的坐标及内积常可使复杂问题变得简单明了使繁琐的解题显得巧妙与自然 例26 已知 求的最大值 解由已知可取点设是圆 上任一点 为原点则 ? ?的最大值是 向量知识是新近出现在高中数学中的内容对其在解题中的重要作用的认识和使用远未到位向量的内积公式在求最值时非常管用只要根据题设条件恰当地设出坐标再利用向量的内积公式及余弦函数的有界性便可顺利求解 27 利用极值求最值 定理1 若函数在上有唯一的极大小值点则该点为最大小值点则该点必为最大小值点 证明 先求的驻点为此解方程组 1 以下分三种情况进行讨论 ? 若方程组1无解则无极值从而无最值因为在上的最值比为极值 ? 若方程组1有唯一解则直线与不平行所以即其中若则无极值也无最值若则在取极值时取极小值时取极大值下证是的最值点 有泰劳公式知 当且时为正定二次型恒有是的最小值点当且时为负定二次型恒有是的最大值点 ? 若方程组1有无穷多组解则此时有无限多个驻点对的任意一个驻点由泰劳公式知 记由于所以秩 若秩则此时既无极值也无最值 若秩则可通过变量变换把化为二次型这里P是一个二阶可逆矩阵当时恒有当时恒有所以每一个驻点都是极值点也是最值点 综上所述定理1的结论得证 从定理3的证明不难得出下述结论 推论1 函数在区域D上的极大小值必为最大小值 求函数在的最值 解 函数有驻点又 所以是的极大值点有推论1知是的最大值点 小结 多元函数极值与最值的求法种类可能还有很多而且随着数学的发展可能会更加丰富更加有趣此因本人能力有限研究出了以上的方法本文采取不同的形式论述各种求值方法在论述简单的方法时只是运用实例加以论述比较难些的引用定理甚至推论再辅以例题论述对于更难的采用更加详细的提出分析解决的步骤使论述更加浅显易懂在实际生活中极值与最值的关系是非常紧密的在此把求极值作为求最值的一种方法来显现两者关系 致谢 弹指一挥间四年的大学生活过去了在这四年中我有幸得到了玉林师范学院数计系各位老师的谆谆教诲再一次体验了学习的辛苦与快乐可以这么说这四年是我学习工作倍感进步的四年在此我真诚地对以下各位表示谢意 感谢我的导师黄副教授 感谢诸多文献的作者他们的研究成果给了我很多启发有的已经成为论文重 要部分 虽然论文已经完稿然而对于这篇论文我是不满多于自足现仅将这个尽心尽 力同时还有待进一步完善的作品献给以上给予我关心支持和帮助的各位领导老 师和朋友们 参考文献 [1] 王惠珍等二元函数极值的一种新判断方法[J]高等教学研究2000 1 18-19 [2] Chen FulaiLiao Jiawu Existence of Positive Periodic Solution to a Class of Neutral Delay Competition Model[J]Ann of Diff Eqs200622 1 13-20 [3] Wang Haiqing Periodic Solutions for Higher Order Delay Functional Differential Equation of Neutral Type with Linear Restoring Teams [J] Ann of Diff Eqs200622 1 62-68([5] Lu ShipingOn the Existence of Positive Periodic Solutions for Neutral Functional Differential Equation with Multiple Deviating Arguments [J]J Math Anal Appl2003280321-333 [6] 周先锋王晓佳关于三元函数极值的探讨[J]合肥学院学报2008 2 12-19 [7] TM菲赫 金哥尔茨微积分教程 第一卷第二分册 人民教育出版社 1956 年 [8] 同济大学数学教研室主编高等数学 第四版下册 高等教育出版社1996 年 [9] 同济大学数学教研室主编 高等数学 第三版 高等教育出版社 [10] 山东大学数学教研室主偏 吉来多雄奇习趁集 山 东科学技术出版社 [11] 合肥工业大学工科数学1995年第1期 [12] 华东师范大学数学系数学分析[M]高等教育出版社 [13] 王全庆求多元函数的一类方法[A]大连民族学院学报20046 3 61-66 袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肃芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀荟袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁罴肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肃芁荟螁膅莃蛳聿膄蒆薇罗腽蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羁腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肃芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀荟袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁罴肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肃芁荟螁膅莃蛳聿膄蒆薇罗腽蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羁腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肃芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀荟袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁罴肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肃芁荟螁膅莃蛳聿膄蒆薇罗腽蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羁腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肃芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀荟袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁罴肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肃芁荟螁膅莃蛳聿膄蒆薇罗腽蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羁腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肃芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀荟袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁罴肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肃芁荟螁膅莃蛳 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