“正难则反”策略在数学解题中的应用举例

“正难则反”策略在数学解题中的应用举例 “正难则反”策略在数学解题中的应用举例 摘要:解题策略是解答数学问题时，总体上采取的原则、方针或方案。解题策略不同于具体的解题方法,它是指导方法的原则,是解题途径的概括性认识和宏观把握。在数学解题时,人们思考的习惯大多是正面的、顺向的。可是有些数学问题如果正面的、顺向进行,则难以解决,这时就应该转为反面的、逆向思考,这就是正难则反策略。这种策略提醒我们,顺向推导有困难时就逆向推导,正面求解有困难时就反面求解,直接求解不奏效时就间接进行，有着四两拨千斤之巧妙。本文通过例题对“正难则反”解题策略进行了分析,充分体现了“正难则反”策略在解题时的强大功效。 关键词:解题策略;正难则反;逆向思维 为了修建一座动物园，决策者特意举行了专家论证会。关于“怎样才能捉住老虎”这个问题，有专家建议找最勇敢的人并配置最先进的装备 ;有专家建议挖最隐蔽的陷阱并投放最美味的诱饵;还有的专家建议花重金到别的动物园购买老虎幼仔„„但决策者对这些建议均感到不满意。 “我只需要用一个拓扑变换，把笼子内部变成外部，而把外部变成内部。不管哪里有老虎，都可以用这种办法捉到。”一位拓扑学家的话使决策者恍然大悟:即使没有办法把老虎关在动物园的笼子里，却完全可以把动物园建到有老虎的地区，让老虎在自然环境下生活，把参观者关进活动的“笼子”，使之在密封的汽车里游览。 要把老虎关进笼子里，的确不是件容易的事，但把游人关进“笼子”里却很简单。这种思维方式称为“正难则反”。有许多数学问题，从正面入手不容易找到解决途径，有时虽有线索，但困难重重。如果改由反面入手，通过逆向的探索常常能出奇制胜。 在数学解题时，人们的思维习惯大多是正面的、顺向的。但是，有些数学问题正面或顺向进行难以解决，则不妨进行正面或逆向思考。这就是上面故事中提到的“正难则反”策略。这种策略提醒我们，从正面解决问题困难时可考虑反面求解，直接解决问题复杂时可考虑间接求解，顺推困难时可考虑逆推。这种思维实际上就是逆向思维，体现了思维的灵活性。正确巧妙运用“正难则反”策略求解数学问题，常常使人茅塞顿开，突破思维定势，从而使思维进入高一阶的境界。 下面就从几个例子来谈谈这种“正难则反”策略在 高中 高中语文新课程标准高中物理选修31全套教案高中英语研修观课报告高中物理学习方法和技巧高中数学说课稿范文 数学解题中的应用。 2,AxxmxmxR,,，，,,{4260,}例1:已知集合，若，求实数的AR:,,m取值范围( 解题分析:集合是方程 A 2xmxm,，，,4260 ? ,的实数解组成的集合，意味着方程?的根有:(i)两负根;(ii)一负根、一零AR:,, 根;(iii)一负根、一正根三种情况(分别求解相当麻烦(上述三种情况虽可概括为方程?的较小的根 24(4)4(26)mmm,,,，， ,02 ,,但求解此不等式也并不简单，如果考虑的反面:，则可先求方程AR:,,AR:,, ,?的两根均非负时的取值范围，然后运用“正难则反”策略求解时的取mAR:,,m值范围( 32解: 设全集 Ummmmmm,,,,,,,,,,{168240}{1}或2 2xmxm,，，,4260方程的二根均非负时的等价条件是: xx,12 3,m,,,或m12,,,,,，,164(26)0,mm2,, xxmm，,,,40,0即,,12 ,,xxmm ,，,,,260,312,, , 3? m,2 3,?时，实数的取值范围是 AR:,,m{}mm,2 3,{1}mm,,U?时，实数的取值范围是关于的补集 AR:,,m{}mm,2 ,{1}mm,,?时，实数的取值范围是 AR:,,m 在讨论比较复杂的情况时，可考虑先求解问题的反面，采用“正难则反”的解题策略(具 UU体地说，就是将研究对象的全体视为全集，求出使问题反面成立的集合，则的补集即为所求( 一般地说，当“结论”的反面比“结论”本身更简单、更具体、更明确时，宜考虑用“正难则反”解题策略。 22例2:已知三条抛物线， ，yxxm,,,yxmx,，，24 2中至少有一条与轴相交，试求实数的取值范围。 ymxmxm,，，,1xm 解题分析:运用“正难则反”策略，即补集思想，从全集中去掉那些不合题意的的解集，“结论”的反面，三条抛物线都不和轴相交相对于命题本身更简单明确，这样就转化为我x 们比较熟悉的二次函数根的问题。 解:从题设的反面“三条抛物线都不和轴相交相”出发，设三条抛物线的判别式分别x 为 ,,,,,123 ,,,,140m,1,2则有: ,,,,4160m,2 ,2,,,,,mmm4(1)03, 4解之得 ,,m23 2m,0? 为抛物线 ? ymxmxm,，，,1 ,,4故的取值范围是 mmmmm,,,或且20,,3,, 例3:若()()22,,abbc，02,,a，，02,,c，求证:，()2,ca不02,,b 能同时大于1。 证明:由题意知202020,,,,,,abc，， ()21,,ab, ,假设有 ()21,,bc, ,()21,,ca, ()2,，ab那么 ,,,()21ab 2 ()2,，bc同理， ,1 2 ()2,，ca ,1 2 ?，?，?，得矛盾，假设不成立。 33, 故，，不能同时大于1。 ()2,ca()2,ab()2,bc 33例4:若，求证:。 pqpq,,，,002，，pq，,2 333证明:假设，则，即。 pq，,2()pq，,8pqpqpq，，，,38() 33因为所以 pq，,2pqpq()，,2 3322故 pqpqpqpqppqq()()()，,,，,，,，2 又，，即 p,0q,0pq，,0 222?，即，不成立。 pqppqq,,，()pq,,0 故假设不成立，即。 pq，,2 BA: 如图1，正方形的边长为4，求阴影部分的面积。 例5PQ CD (图1，例5) 本题思路:根据题目条件，正方形面积可求，空白部分面积易求，用正方形面积减空白 部分面积可得解。 说明:此题所求阴影部分为不规则图形，若从正面入手，无法求解，若从反面入手，将整个正方形看成一个全集，则空白部分为所求阴影部分的补集，显然，易得空白部分面积为正方形面积的一半。 11111例6:求代数式++++„„+的值. 10224168 (图2，例6) 解题思路:利用数形结合思想，如右图，将边长为1的正方形纸板 11111上，依次贴上面积为，，，，„„，的小长方形纸片，则正方形被覆盖部分10224816 111111面积即为代数式++++„„+的值。又易求正方形中未覆盖部分面积为，所10102224816 11102310231111以被覆盖部分面积为1-=即++++„„+=。 1010222416102410248 说明:本题利用数形结合思想，将正方形看成一个全集，则正方形中未被覆盖部分可看 11111成被覆盖部分面积(即代数式++++„„+的值)的补集，显然，易得未覆盖10224816 部分的面积。 例7:如图，AB是圆O的直径，PC是圆O的切线，C是切点，作PE?AB,交AC于F,交AB于点E,交圆O于点G。 求证:?PFC=?PCF. (图3，例7) 分析:不能够直接证明?PFC=?PCF，因此需分别找出与它们相关的桥梁，把已知条件与结论联系起来。 因为PC是圆O的切线，?PCF是弦切角，可以考虑作铺助线BC。 倒推如下: 假设?PFC=?PCF, ?PFC=?AFE ，由于PC是圆O的切线，AB是直径，所以?PCF=?ABC, 0 0?ACB=90??AFE+?A=90 ?PE?AB 这样，将上例过程逆推就可以得到本题的证明。 证明:? PE?AB 0 ??AFE+?A=90 ??PFC=?AFE 0 ??PFC+?A=90 ?PC是圆O的切线 ??PCF=?ABC 又?AB是圆O的直径 0 ??ACB=90 0 ??ABC+?A=90 00 ??PCF+?A=90,由?PFC+?A=90 ??PFC=?PCF 说明:本题的逆向思维是结合一些已知条件的推理，最后推理出另一已知条件，在考虑各步的可逆性时要灵活变动援用过的已知条件，使各步均可逆推。 “正难则反”策略解题是数学解题中很重要的方法，是一种迂回策略，它要求我们在解题时必须解放思维、拓宽思路、灵活应对。本文旨在抛砖引玉，引起大家的思考，发现数学的魅力，期待大家共同思考。 参考文献: ?曹莉;逆向思维在数学解题中的运用[J];连云港教育学院学报;1997年03期 ?施维生，杜平;数学解题的逆向探求[J];数学通讯;1996年03期 ?刘文贵;;例说运用逆向思维解数学题[J];新疆石油教育学院学报;2005年06期 罗增儒;从“曹冲称象”的解题愚蠢说起——例说解题过程的改进[J];中学数学教学? 参考;2000年09期 ?正难则反[J];中学生数学;2004年03期