电子在磁场中的能量的计算

2007年第9卷第3期 巢湖学院学报 No.3.,Vol.9.2007 总第84期 JournalofChaohuCollege GeneralSerialNo.84 摘 要:研究正则系综中的配分函数与密度矩阵的关系,分别采用热力学统计物理中的配分 函数和量子力学中的密度矩阵与平均值原理,计算电子在磁场中的能量。当电子在磁场中的 自旋角动量的表示为二维和三维时,应用密度矩阵原理求解其能量更为简便。 关键词:配分函数;密度矩阵;平均值 中图分类号:O469 文献标识码:A 文章编号:1672-2868(2007)03-0062-03 电 子 在 磁 场 中 的 能 量 的 计 算 潘 桂 侠 1,2 (1安徽理工大学数理系,安徽 淮南 232001) (2安徽大学物理与材料科学学院,安徽 合肥 230039) 收稿日期:2007-03-05 作者简介:潘桂侠(1979-),女,安徽宿州人。安徽理工大学硕士研究生,研究方向:凝聚态物理。 1 引言 由于电子在磁场中运动时具有自旋磁矩, 所以当电子在磁场中运动时会产生附加能量。 在热力学.统计物理中,我们研究正则系综时引 入了配分函数,应用配分函数可以计算电子在 磁场中的能量 [1],也即关键是求出配分函数。 但当电子的自旋角动量的表示的维数更高时, 热力学统计物理的方法已不再适用。本文首先 研究配分函数与密度矩阵 [2]的关系,然后应用 矩阵求配分函数,这就解决了电子的自旋角动 量的表示为高维时传统的方法求配分函数的困 难。本文先用传统的方法求配分函数从而计算 电子在磁场中的能量;然后应用矩阵方法求配 分函数再结合密度矩阵、平均值原理计算电子 在磁场中的能量。通过比较,发现应用矩阵求 配分函数再结合密度矩阵、平均值原理计算电 子的自旋角动量的表示为高维时,电子在磁场 中的能量更加简单、实用。为了简便起见,本 文的研究对象是正则系综中的单电子。 2 计算和讨论 2.1配分函数和密度矩阵的关系 由热力学统计物理知识知,正则系综中的配 分函数[3]Q为:Q=! n e-!En,分布几率 " =e -!En Q 。 下面推导配分函数和密度矩阵的关系。 令 H ^ #n〉=En #n〉 ∵ " =e -!En Q = #n〉1Qexp(-!En )〈#n =1 Q n !e-!H^ #n〉〈#n =e-! H^Q n! #n〉〈#n = 1 Q e-!H^. ∴Tr"=Tr1 Q e-!H^ =1 Q n !〈#ne-!H^ #n〉=1Q n!e -!En〈#n|#n〉 =1 Q n !e-!En=1 ∴Q=Tre-!H^ 2.2 应用配分函数计算电子在磁场中的能 量 设电子在外磁场$"中运动,则由磁场引起的 哈密顿量[4]H ^ 为:H ^ =-%B!#·$"=%BB& ^ z(取"$的方 向平行e%z),由热力学。统计物理知,电子在磁场 中的能量E为: 62 E=F+TS=-(!!" lnQ )NV. 式中Q为正则系综的配分函数;上面已证得密度 矩阵 # =1 Q e-" H^ ,Q=Tre-" H^ 因此要计算能量E,关 键要求出Q,即求e-" H^。 ∵e-" H^=e"$%% &^z= ∞ j=0 ! 1 j! ("$%%) j (&^’) j = ∞ j∈偶数 ! 1 j! ("$%%) j I^+ ∞ j∈奇数 ! 1 j! ("$%%) j &^( =I^cosh(("$%%)+& ^ (sinh("$%%) . ∴Q=Tre-" H^ =Tr[I^cosh(("$%%)+& ^ ( sinh("$%%)] =Tr[I^cosh(("$%%)]+Tr[& ^ ( sinh("$%%)] =2cosh(("$%%)=e"$%%+e-"$%% ∴ E=F+TS=-(!!" lnQ)NV =!!" ln (e"$%%+e-"$%%)NV =-$%% e"$%%+e-"$%% e"$%%-e-"$%% =-$%% tanh("$%%) 上面推导配分函数 Q=e-" H^时主要利用了数 学知识及其&^(的特性,但是如果电子的自旋角 动量的表示为高维时,此方法就不再适用。这时如 果应用矩阵求配分函数再结合密度矩阵、平均值 原理计算电子的自旋角动量的表示为高维时的 电子在磁场中的能量会更加简便。下面应用此方 法分别计算电子的自旋角动量的表示为二维以 及三维时电子在磁场中的能量。 2.3电子的自旋角动量的表示为二维时,电 子在磁场中的能量的计算 由量子力学知,哈密顿量与能量是对应的,因 此下面我们计算电子在磁场中的哈密顿量。因 H ^ =-$B&#·%$=-$BB&^((取%$的方向平行e % z),本文 规定 ↑〉= 1’( 0 ,↓〉= 0 - ’ * 1 ∵&^( ↑〉=↑〉= 1+* 0 , &^( ↓〉=-↓〉=- 0 - ’ * 1 . H ^ ↑〉=-$BB&^( ↑〉==-$BB↑〉 H ^ ↓〉=-$BB&^( ↓〉=$BB ↓〉 ∴〈↑ e-" H^ ↑〉=〈↑ e"$%% &^ ( ↑〉=e "$%%〈↑ ↑〉 =e"$%% 同理求得其余各量 〈↑ e-" H^ ↓〉=e -"$%%〈↑ ↑〉=0 〈↓ e-" H^ ↑〉=e "$%%〈↑ ↓〉=0 〈↓ e-" H^ ↓〉=e -"$%%〈↓ ↓〉=e-"$%% ∴Tre-" H^=Tr 〈↑ e-" H^ ↑〉〈↑ e-" H^ ↓〉 〈↓ e-" H^ ↑〉〈↓ e-" H^ ↓ , -- . / 00 1〉 =〈↑ e-" H^ ↑〉+〈↓ e-" H^ ↓〉 =e"$%%+e-"$%% ∵Q=Tre-" H^=e"$%%+e-"$%% , # =1 Q e-" H^ ∴密度矩阵 #为:#= 1 e"$%%+e-"$%% e"$%% 0 0 e-"$% 2 3% 又∵任一力学量〈G ^ 〉的平均值[5]与密度矩阵的关 系为:〈G ^ 〉=Tr〈#G〉=Tr〈G#〉 ∴当H ^ =-$BB&^(时 , 〈H ^ 〉=〈-$BB&^(〉=-$BB〈& ^ (〉=-$BBTr(& ^ ( #) = -$BB e"$%%+e-"$%% Tr 1 0 0 - 2 3 1 e"$%% 0 0 e-"$% 2 3% =$BBtanh(" $BB) 可见计算结果与我们前面的结果一致。 2.4电子的自旋角动量的表示为三维时,电 子在磁场中的能量的计算 H ^ =-$BS4·B#=-$BBS ^ Z(取B#的方向平行e5Z), S ^ Z= 10 0 00 0 00- , - - . / 0 0 11 由 S ^ Z的形式可知,S ^ Z为对角矩阵[6]其三个本征 态分别为 1 0 , - - . / 0 0 10 , 0 0 , - - . / 0 0 10 , 0 0 - , - - . / 0 0 11 所以H ^ 有三个本怔态;令 |1〉= 1 0 , - - . / 0 0 10 ,|0〉= 0 0 , - - . / 0 0 10 , |-1〉= 0 0 - , - - . / 0 0 11 , 63 ElectronEnergyCalculatedInMagneticField PANGui-xia1,2 (1Dept.ofMathematicsandPhysics,AnhuiUniversityofScienceandTechnology,HuainanAnhui232001) (2SchoolofPhysicsandMaterialScience,AnhuiUniversity,HefeiAnhui230039) Abstract:Afterstudyingtherelationofdistributivefunctionanddensitymatrix,theelectronenergyis calculatedinmagneticfieldaccordingtothedistributivefunctioninthethermodynamicstatisticalphysics andthedensitymatrixaveragevalueprincipleinthequantum mechanics,respectively.Asthe representationoftheelectronspinangularmomentumistwo-dimensionalorthree-dimensional,theelectron energyiscalculatedsimplierbythetheoryofdensitymatrixandaveragevalue. Keywords:distributivefunction;densitymatrix;averagevalue S ^ Z|1〉= 1 0 0 0 0 0 1 0- ! " "" # $ % %% &1 1 0 ! " "" # $ % %% &0 = 1 0 ! " "" # $ % %% &0 =|1〉 S ^ Z|0〉= 1 0 0 0 0 0 0 0- ! " "" # $ % %% &1 0 0 ! " "" # $ % %% &0 = 0 0 ! " "" # $ % %% &0 =|0〉 S ^ Z|-1〉= 1 0 0 0 0 0 0 0- ! " "" # $ % %% &1 0 0 - ! " "" # $ % %% &1 = 0 0 ! " "" # $ % %% &1 =- 0 0 - ! " "" # $ % %% &1 =-|-1〉 ∴〈1e-! H^ 1〉=〈1e!"## S^z 1〉=e !"##〈1|1〉=e!"## 〈1e-! H^ 0〉=e !"##〈1|0〉=0, 〈1e-! H^ -1〉=e -!"##〈1|-1〉=0 〈0e-! H^ 1〉=e !"##〈0|1〉=0, 〈0e-! H^ 0〉=e !"##〈0|0〉=e!"## 〈0e-! H^ -1〉=e -!"##〈0|-1〉=0, 〈-1e-! H^ 1〉=e !"##〈-1|1〉=0 〈-1e-! H^ 0〉=e !"##〈-1|0〉=0, 〈-1e-! H^ -1〉=e -!"##〈-1|-1〉=e-!"## 故有 Tre-!H^=Tr 〈1e-! H^ 1〉 〈1e-! H^ 0〉 〈1e-! H^ -1〉 〈0e-! H^ 1〉 〈0e-! H^ 0〉 〈0e-! H^ -1〉 〈-1e-! H^ 1〉〈-1e-! H^ 0〉〈-1e-! H^ -1 ! " " "" # $ % % %% &〉 =Tr e!"## 0 0 0 e!"## 0 0 0 e!"# ! " " # $ % % &# =2e!"##+e-!"## ∵Q=Tre-! H^=2e!"##+e-!"## , $ =1 Q e-! H^ ∴ 密度矩阵 $为: $=1 Q 〈1e-! H^ 1〉 〈1e-! H^ 0〉 〈1e-! H^ -1〉 〈0e-! H^ 1〉 〈0e-! H^ 0〉 〈0e-! H^ -1〉 〈-1e-! H^ 1〉〈-1e-! H^ 0〉〈-1e-! H^ -1 ! " "" # $ % %% &〉 = 1 2e!"##+e-!"## e!"## 0 0 0 e!"## 0 0 0 e-!"# ’ ( # ∵ H ^ =-"BS)·B*=-"BBS ^ Z ∴ 〈H ^ 〉=〈-"BBS ^ Z〉=-"BB〈S ^ Z〉=-"BBTr(S ^ Z$) = -"BB 2e!"##+e-!"## Tr 100 000 00- ! " " # $ % % &1 e!"## 0 0 0 e!"## 0 0 0e-!"# ! " " # $ % % &# =-"BB· e !"##-e-!"## 2e!"##+e-!"## 同理,应用矩阵的方法求配分函数,然后结 合密度矩阵、平均值原理,可以计算电子的自旋 角动量的表示为更高维时电子在磁场中的能量。 参考文献 : [1]汪志诚.热力学.统计物理学[M].第二版.北京:高等教育出版社,2003. [2]龙桂鲁.量子力学中的密度矩阵与具有相同密度矩阵的系综的可区分性[J].原子核物理评论,2005, 22(4):354-357. [3]高执棣,郭国霖.统计热力学导论[M].北京:北京大学出版社,2004. [4]张启仁.统计力学[M].北京:北京大学出版社,2004. [5]曾谨言.量子力学(卷二)[M].北京:科学出版社,2001. [6]曾谨言.量子力学(卷一)[M].北京:科学出版社,2000. 责任编辑:宏 彬 64