§115 函数展开成幂级数

§115 函数展开成幂级数 ?11.5 函数展开成幂级数 一、泰勒级数 xx,如果在处具有任意阶的导数，我们把级数 fx()0()n,,,f(x)f(x)f(x)2n000f(x)，(x,x)，(x,x)，？，(x,x)，？ (1) 00001!2!n! xx,称之为函数在处的泰勒级数。 fx()0 n，1sx()它的前项部分和用记之，且 n，1 k()nfx()k0sx(),,()xx ,n，10k!k,0 ()0这里: 0!1,,,()()fxfx00 由上册中介绍的泰勒中值定理，有 fxsxRx()()(),， nn，1 Rx()当然，这里是拉格朗日余项，且 n n()，1f(),n，1Rx(),()()xx,在与之间xx。 ,n001()!n， Rxfxsx()()(),,由有 nn，1 。 lim()lim()()Rxsxfx,,,0nn，1n,,,,n 因此，当时，函数的泰勒级数 fx()lim()Rx,0nn,, ()n,,,fx()fx()fx() 2n000，,，,，，,，？？fx()()xx()xx()xx000012!!n!就是它的另一种精确的 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达式。即 ()nfx()fx()fx(),,,2 000n？？fxfx()(),，()xx,，()xx,，，,，()xx000012!!n! x,xf(x)这时，我们称函数在处可展开成泰勒级数。 0 x,0特别地，当时， 0 n(),,,f(0)f(0)f(0)n2f(x),f(0)，x，x，？，x，？ 1!2!n! f(x)这时，我们称函数可展开成麦克劳林级数。 t,x,xx,xf(x)将函数在处展开成泰勒级数，可通过变量替换，化归为00 f(x),f(t，x),F(t)t,0函数 在 处的麦克劳林展开。因此，我们着重0 讨论函数的麦克劳林展开。 【命题】函数的麦克劳林展开式是唯一的。 x,0证明:设在的某邻域内可展开成的幂级数 fx()(,),RRx 2n fxaaxaxax(),，，，，，？？012n 据幂级数在收敛区间内可逐项求导，有 n1, fxaaxnax()12？？,,，,，，,，,12n n2, fxannax()()211？？,,,，，,,，,,2n ？ ()n fxnnannax()()(),,,，，,，1112？？？，1nn ？ x,0把代入上式，有 fa()0, 0 fa()01,, ,1 fa()021,,, ,,2 ？ ()n fnna()()011,,,,？n ？ af,()0从而 0 f()0,a, 11! f()0,,a, 22! ？ n()f()0 a,nn! ？ x,0于是，函数在处的幂级数展开式其形式为 fx() ()nf()0f()0f()0,,,2n fxf()(),，0x，x，，，？？x 1!2!n! 这就是函数的麦克劳林展开式。 x,0这表明，函数在处的幂级数展开形式只有麦克劳林展开式这一种形式。 二、函数展开成幂级数 1、直接展开法 将函数展开成麦克劳林级数可按如下几步进行 ,求出函数的各阶导数及函数值 ()n ffff(),(),(),,(),0000？？,,, 若函数的某阶导数不存在，则函数不能展开; ,写出麦克劳林级数 ()nf()0f()0f()0,,,2n f()0，x，x，，，？？x 1!2!n! R并求其收敛半径。 ,考察当时，拉格朗日余项 xRR,,(,) n()，1fx(),,n，101Rx(),x(),, ,n1()!n， n,,当时，是否趋向于零。 若，则第二步写出的级数就是函数的麦克劳林展开式; lim()Rx,0nn,, 若，则函数无法展开成麦克劳林级数。 lim()Rx,0nn,, x【例1】将函数展开成麦克劳林级数。 fxe(), ()()nxn解: fxefn(),()(,,,),,,01012？ 2nxxx ？？于是得麦克劳林级数 1，，，，， !!!12n a111n，!,,,limlim,lim,0而 n,,nn,,,,()!!，，annn11n R,，,故 对于任意 ，有 x,,,，,(,) n，1x,,xexn!，01Rx(),,,,xe(),,, n11()!()!n，n， xe这里是与无关的有限数， 考虑辅助幂级数 n n，1,x , ()!，1nn,1 的敛散性。 由比值法有 nn，，21xxx()uxn，1 0lim,lim,lim, n,,n,,n,,212()()!()!，，，uxnnnn n，1x故辅助级数收敛，从而一般项趋向于零，即 ,0lim n,,，1()!n因此 ，故 lim()Rx,0nn,, n2xxxx？？() e,，，，，，,,,,，,1x !!!12n x,0【例2】将函数在处展开成幂级数。 fxx()sin, ,()n012？fxxnn()sin()(,,,),，,,解: 2 0024n,,,,？,,,()n,1nfn()sin()0,,, ,22,(),,,,,1135n？, 3521n,xxxxn,1,，,，,()1，？？于是得幂级数 135!!!()!21,n R,，,容易求出，它的收敛半径为 对任意的，有 x,,,，,(,) ,n，1sin(),,，,xnx，!n2Rx(),,,x(),,01 ,n()!()!n，11n， n，1x 由例一可知，，故 ,0lim()Rx,0limnn,,n,,，1()!n 因此，我们得到展开式 3521n,xxxxn,1sinx,,，,，,？？()，,,,，,x(,)1 135!!!()!21n, 直接展开法的缺陷 ()n,不 易 求 函 数 的 高 阶 导 数f()0 n,,, 讨 论 当 时, 余 项n fx(),()，1n,01Rx(),x(),,，1n,1()!n， 是 否 趋 向 于 零 十 分 地 困 难. 2、间接展开法 利用一些已知的函数展开式以及幂级数的运算性质( 如:加减，逐项求导， 逐项求积)将所给函数展开。 【例3】将函数展开成的幂级数。 fxx()cos,x 解:对展开式 n,3521xxxxn,1 1sinx,,，,，,？？()，,,,，,x(,) 13521!!!()!n,两边关于逐项求导， 得 x 2422n,xxxn,1cosx,,，,，,1？？()1，,,,，,x(,) 24!!()!22n,【例4】将函数展开成的幂级数。 fxx()ln(),，1x 1 fx(),解: , 1，x 123nn,,，,，，,，,,,xxxxx？？()()而 1111 ，x1 0将上式从到逐项积分得 x n231，xxxnln()()1，,,，,，,xx？？1， 23n，1x,1当时，交错级数 111n1,，,，,？？()1， n23，1 收敛。 23n，1xxxnln(1，x),x,，,？，(,1)，？(,1,x,1)故 23n，1 间接展开法的优点 ,避免了求高导与余项是否趋于零的讨论; ,函数展开式与展开式的成立区间同时获得, 避免了求幂级数收敛半径. 下面，我们介绍十分重要牛顿二项展开式 ,【例5】将函数展开成的幂级数，其中为任意实数。 ,fxx()(),，1 ,,1解: fxx()(),1,，, ,,2 fxx()()(),,11,,，,, ？ ()nn,, fxnx()()()(),,,，，,,,111？ ？ ()n ffffn(),(),()(),,()()(),01001011,,,,,,,,,,,,,，？？？,,, 于是得到幂级数 ()()()n,1,,，11？,,,,,,2nxxx1，,，，，？，？ !!n!12 ,an,n，1,,,limlim,1 n,,n,,，1ann 因此，对任意实数，幂级数在内收敛。 ,(,),11 ,下面，我们证明，该幂级数收敛的和函数就是函数。 fxx()(),，1设上述幂级数在内的和函数为，即 (,),11Fx() ,,,,,,(),1()(),,，11？n2n Fxxx(),，,，1，，？x，？ 1!2!n! 111(),()(),,，？n,,,,,,n,1 Fxx()？x？,，，，，, 0!1!!()!n, ,,,,111,,，？()()()n，，n,1,，,1，，？，？ xx,,,1!!()!n，，两边同乘以因子，有 ()1，x ()()1，xFx, ,,,,,(),112()(),,()(),,1？n，，2n,，,1，？，，？xxx,,2!!!n!，， ,111,,，？()()()n，，,,,2n，，，，？，？xxx,,,,1!!()!n，， ,,,,,,()()()n,1,,，11？，，2nxxx ,，，1，，？，？,,,!!n!12，， ,,,Fx() 即 ()()()1，xFxFx,,,, Fx() 引入辅助函数 Gx(),,()1，x ,,,1()()()()11，xFxxFx,，,,Gx(),, 2,()1，x ，,()()()1xFxFx,, ,, 0,，1，()1x GxcG()()(),,,常数01 Fx(), ,,,，GxFxx()()()11,()1，x 因此，在内，我们有展开式 (,),11 ,,,,,,(),1()(),,，？11n,2n ()11，,，,，xxx？，，x，？ 1!2!n! 注记 x,,1 在区间端点处的敛散性，要看实数,的取值而定，这里，我们不作进一步地介绍。 ,,,()(),,，11？n,,,, 若引入广义组合记号 ，牛顿二项展开式可简,,n,,n! 记成 ,,,,,n()11，,，x,x ,,,n,,n,1 ()xx,最后，我们举一个将函数展开成的幂级数形式的例子。 0 1 fx(),【例6】将函数展开成的幂级数。 ()x,12xx，，43 tx,,1xt,，1解:作变量替换，则 ，有 11 fx(),, ()()()()xxtt，，31，，42 11 ,, 22()()tt，24， 11 ,, tt 41()()，81， 24 n,tt11,,n,,(),,,而 111,,,t,,422,0n()，41 2 n,tt11,,n,,(),,,111 ,,,t,,844,0n()，81 4 nn,,11tt,,,,nn于是 1122fx()()(),,,,,,,t,,,,,,,,,,4284n,00n,,11，，nn ,,,()()1xx,,,,,113,nn，，223,,，，22n,0 作业:P223 习题11—4 2(3)(4)(5)、3(1)、5、6