高斯公式曲面积分

高斯公式曲面积分高斯公式曲面积分 1. (1) ,s设有一块光滑的金属曲面S 。它的密度是不均匀的。在其点(x,y,z)处密度为f（x,y,z），并设f在S上连续,则金属曲面S的质量M ,f(x,y,z)ds,,S说明: () (2) ()设S 是一个光滑曲面， S 的方程是Z=f(x,y) , 22 f(x,y,z)ds,f(x,y,z(x,y))1，z，zdxdyxy,,,,sD 22,当 f1时可得空间曲面面积的计算公式，即 S,1，z，zdxdyxy,,D 222222x，y，z,R1．I=,S是半球面（）。...

高斯公式曲面积分 1. (1) ,s设有一块光滑的金属曲面S 。它的密度是不均匀的。在其点(x,y,z)处密度为f（x,y,z），并设f在S上连续,则金属曲面S的质量M ,f(x,y,z)ds,,S说明: () (2) ()设S 是一个光滑曲面， S 的方程是Z=f(x,y) , 22 f(x,y,z)ds,f(x,y,z(x,y))1，z，zdxdyxy,,,,sD 22,当 f1时可得空间曲面面积的计算公式，即 S,1，z，zdxdyxy,,D 222222x，y，z,R1．I=,S是半球面（）。 x，ydsz,0,,s 222222(x,y),D,D:x，y,R, z,R,x,y ,z,x,z,y , ,,222222,x,yR,x,yR,x,y ,z,zR221，()，(), 222,x,yR,x,y 2,R1R2222 xydsxydxdyRd,rrdr，,，,,,,,,,0022222RxyRr,,,sD 23,R= 2 2. (1) 磁通量问题。表示 Pdydz，Qdzdx，Rdxdy,,, 说明:() (2)() 用带入法计算时,一般应分成三个计算: Pdydz，Qdzdx，Rdxdy,,, ， ?（如果曲面积分取的上侧取R(x,y,z)dxdy,,R[(x,y,z(x,y)]dxdy,,,,,,Dxy 号，如果曲面积分取的下侧取-号）. , 类似有，?（如果曲面积分取的前侧取P(x,y,z)dydz,,P[(x(y,z),y,z)]dydz,,,,,,Dxy 号，如果曲面积分取的后侧取-号）。 , ，?（如果曲面积分取的右侧取Q(x,y,z)dzdx,,R[(x,y(z,x),z]dzdx,,,,,,Dxy 号，如果曲面积分取的左侧取-号）. , 2计算曲面积分，其中是圆面(z，x)dydz，2xydzdx,zdxdy,,,, 22x，y,1,z,0下侧。 z,0,进而dz,0 由于在上，，所以 , 2 (z，x)dydz，2xydzdx，(2,z)dxdy,(2,z)dxdy,,2dxdy,,2,,,,,,,,,D 本题展示的化简积分的方法是非常重要的。 2计算曲面积分，其中是旋转抛物面(z，x)dydz,zdxdy,,,, 122z,(x，y)介于平面及之间的下侧 z,2z,02 22: (z，x)dydz,zdxdy,(z，x)dydz,zdxdy,,,,,,,,, 2 可直接代公式计算, 而需要分成前后两部分分别计算. zdxdy(z，x)dydz,,,,,, 解:（略） (3) 3设 D 是R内的一个有界闭区域，其边界由光滑曲面或逐片光滑曲面组成，方向是外侧（相对于区域D而言）。又设函数P，Q，R都在D内关于 x,y,z有连续偏导数，则下列高斯公式成立： ,p,Q,R，，dxdydz,Pdydz，Qdzdx，Rdxdy,,,,,,x,y,zD,D 由Gauss公式可计算某些空间立体积分 1dxdydz,xdydz，ydzdx，zdxdy,,,,,3D,D V= 2222333x，y，z,a4 计算, 式中S为球面的内侧 xdydz，ydzdx，zdxdy,,S 由高斯公式知 333222xdydz，ydzdx，zdxdy,,3(x，y，z)dV,,,,,SV 2,,a42,,a4,,3d,d,,sin,d,,,3d,sin,d,,,d,000000,,,,,, 112,,5532,(cos,)a,a,,,,,,055= 5计算曲面积分 Ixzdydzzydzdxxydxdy,，，23,,,, 2y2zxz,,,,,1(01),其中为曲面的上侧。 4 ,本题曲面不封闭，可考虑先添加一平面域使其封闭，在封闭曲面所围成的区域内用高斯公式，而在添加的平面域上直接投影即可。 2y2,，,,:1,0xz1 补充曲面：，取下侧. 则 4 Ixzdydzzydzdxxydxdy,，，23,，，xzdydzzydzdxxydxdy23,,,,,，,,11 (2)3zzdxdydzxydxdy，，,,,,,,D = 2y2,1x，,1,,其中为与所为成的空间区域，D为平面区域 4. 30xydxdy,,, 由于区域D关于x轴对称，因此又 D. 11332(1).zdzdxdyzzdz,,,,,,(2)3zzdxdydzzdxdy，,,,,,00,,,,,,Dz,,= 2y2:1xz，,,D. 其中z4 （1）注意在计算过程中尽量利用对称性进行简化。本题也可通过直接投影进行计算，但计算过程比较复杂。（2）本题中的三重积分计算用“”法，若用“”法计算量是大的 6：计算 dydzdzdxdxdy2222，，,S:x，y，z,a,a,0外侧。 ,,xyzS 111P,,Q,,R,该题，它们在S所包围的区域内不连续(在原点xyz 没定义，偏导数不存在)，所以 dydzdzdxdxdydydzdzdxdxdy，，,，， ,,,,,,,,xyzxyzSSSS 由积分表达式及S的对称性知 dydzdzdxdxdy,, ,,,,,,xyzSSS 所以 dydzdzdxdxdydxdy，，, 3,,,,xyzzSS 记上半球（上侧）为S，记下半球（下侧）为S上下 dxdydxdydxdydxdydxdydxdy2,，,,,,,,,,,,,,,,,222222222zzza,x,y,a,x,ya,x,ySSSDDD下上 2,ar ,2d,dr,4,a,,022a,r0 dydzdzdxdxdy，，,12,a所以 ,,xyzS

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