质数·合数·质因数分解
质数?合数?质因数分解
1.(1)用2、3、4、5中的三个数码能组成哪些三位质数,
(2)求用1、2、4、5、8中的三个数码能组成的最大三位质数。
2.两个质数的和是39，求这两个质数的积。
3.A、B、C为三个质数，A+B=16，B+C=24，且A
数学
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竞赛。他说:“我的名次、分数和我 30.李明是个中学
的年龄乘起来是4074”。你能算出他得了多少分，获得第几名吗,
31.十几辆卡车运送315桶汽油，每辆卡车运的桶数一样多，且一次运完。问:共有多少辆卡车,
32.李老师带领同学们去种树，学生们按人数恰好等分成三组。已知他们共种了312棵树，老师与学生每人种的树一样多，并且不超过10棵。问:一共有多少个学生,每人种了几棵树,
个位数的乘法性质
33.四个连续自然数的积是3024，求这四个数。
34.三个连续自然数的积是32736，求这三个数。
35.证明:任意五个连续自然数的积的个位数字都是0。
36.100～=1×2×3×… ×99×100，这个数的结尾共有多少个0,
37.要使下面乘积的最后四位数都是0，在括号内最小应填什么数,
475×195×516×( )
38.有一列自然数:1、4、7、10、……、397、400，其中后面的数都比前面一个数大3。现在将这些数相乘，问:乘积的尾部有多少个0,
39.把自然数从1开始作连乘积，即
1×2×3×4×……
问:当乘到多少时，乘积的最末十位数字第一次全为0,
40.将一批图
书
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分给三个班，他们所得的本数一个班比一个班多3本，且各班所得图书本数的乘积为58968。问:三个班各得多少本图书,
41.某班同学做体操时正好可以排成一个行与列相等的方阵，做完操后，老师让班长按5人一组分组活动，班长算了一下就说:“5人一组分组还多两人”老师马上说:“你一定算错了”，你知道老师这样说的根据吗,
42.求出下列各数的个位数字:
10012823199 (1)2 (2)3 (3)7 (4)8
43.求出下列各数的个位数字:
999444 (1)999 (2)444
44.求下列各式所得结果的个位数字:
199219931994 (1)2+3+4
677631 (2)3×8+4
131712 (3)13+17-12
45.若1×2×3×……×n+4是两个相邻自然数的乘积，试确定n的值。
46.八个小于20的不同正奇数的连乘积，其个位数可能有哪些,
47.求出下列各数的后两位数字:
23109720 (1)6 (2)15 (3)21 (4)89
48.若(1×2×3×…×n)+3是一个自然数的平方，试确定n的值。
49.已知四个数35?2、3?57、3?36、?329，其中哪几个可以写成完全平方数，这几个完全平方数分别是几,
一个自然数的四次方的个位数字可能是哪些数, 50.
33 51.n是自然数，(n-n)×(n+n)的个位数字是几,
已知n是一个小于10的自然数，n4-1不能被5整除，求n。 52.
9999 53.证明:2+3能被5整除。
6622 54.证明:77-33是10的倍数。
p 55.形如2-1(p是质数)的质数称为梅森质数，现在人们已知的最大的梅
756839森质数是2-1，求它的个位数。
2n *56.形如2+1(n为非负整数)的数称为费尔马数。求证:当n?2时，费尔马数的个位数字为7。
2 57.是否存在自然数n，使得n+n+7是15的倍数,为什么,
2 58.证明:n+2n+4(n为自然数)不能被5整除。
整除性
59.请将下列各数分别按能被2、3、5、7、11、4、6、9、15、25整除分类:
1001，1155，2163，2375，2772，
2873， 2898， 3180， 8415， 8925。
60.五个连续自然数的和能分别被2、3、4、5、6整除，求满足此条件的最小的一组数。
61.三个数分别是375、766、950，请再写一个比994大的三位数，使这四个数的平均数是一个整数。
62.个位数是5，且能被3整除的四位数共有多少个,
64.求各位数字都是7，并能被63整除的最小自然数。
65.用3、8、8、3这四个数码能排成多少个四位数,其中有多少个能被11整除,
66.用1、9、9、3这四个数码能排成多少个四位数,其中有多少个能被7整除,
67.用1、2、3、4这四个数码可以组成24个没有重复数字的四位数，其中能被11整除的有哪些,
68.从2、3、5、7四个数中任选三个能组成哪些能被75整除的没有重复数字的三位数,如果是从2、3、5、7、8这五个数中任选四个呢,
69.请在四位数578?的个位上先后填入三个数字，使所得的三个四位数能分别被6、9、11整除。问:先后填入的三个数字之和是多少,
70.在?内填入适当的数，使得下列的六位数能被33整除(求出所有的解):
(1)?5549? (2)716??2 (3)?3?769
71.已知五位数8?6?5能被75整除，且各个数位上的数字各不相同，方框内的数字有几种填法,
72.在?内填入适当的数，使得下列的五位数能被72整除(求出所有的解):
(1)?14?6 (2)3?76?
(3)3?8?8 (4)?8?52
73.在?内填入适当的数，使得下列的六位数能被44整除(要求所有的解):
(1)?1992? (2)1?993? (3)19?9?4
74.在?内填入适当的数字，使得下列的五位数能被9整除，并且后两位数字能被7整除(求出所有的解):
(1)4?17? (2)?85?4 (3)37?3?
求出能被11整除，首位数字是4，其余各位数字均不相同的最大和最小 75.
的六位数。
76.已知自然数2*3*4*5*1能被11整除，问:*代
表
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数码几,
77.已知四位数7**1能被9整除，问:*代表数码几,
78.在8264的左右各添一个数码，使新得到的六位数能被45整除。
79.在358后面补上三个数码组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，这样的六位数中最小的是几,
80.在451后面补上三个数码组成一个六位数，使这个六位数能被783整除，应当怎样补,
81.一个自然数与19的乘积的最后三位数是321，求满足此条件的最小自然数。
82.有一个1993位的数A能被9整除，它的各位数字之和为a，a的各位数字之和为b，b的各位数字之和为c。求c等于多少,
83.从1,9这九个数中选出五个不同的数字组成一个五位数，要求它能被3、5、7、11整除，这个数最大是几,
84.从1,9这九个数中选出六个不同的数字组成一个能被11整除的六位数，求出这样的六位数中最大的与最小的两数之和。
85.用1,9这九个数码组成一个没有重复数字的能被11整除的九位数，这样的九位数有31680个，求出其中最大的和最小的。
从0、1、2、4、8、9六个数码中选出四个组成一个没有重复数字的四位 86.
数，其中能被11整除的有几个,能被11整除的数中最大数与最小数的差是多少,
87.用1、3、5、7、9这五个数码可以组成120个没有重复数字的四位数，把其中能被3整除或能被11整除的数按从小到大排列起来，第10个数是几,
88.111…11是各位数字都是1的自然数，并且是7的倍数，求这样的数中最小的。
90.已知A是一个自然数，它是15的倍数，并且它的各个数位上的数码只有0和8两种。问:A最小是几,
91.有一个四位数，它的十位和个位数字都是5，又知道这个数减去6就能被7整除，减去7就能被8整除，减去8就能被9整除。求这个四位数。
92.一个三位数的百位、十位、个位数字分别是5、a、b，将它接连重复写99次成为:
如果所成之数是91的倍数，问:这个三位数5ab是几,
93.用1,9这九个数字每个数字各一次，组成三个能被9整除的三位数，要求这三个数的和尽可能大，求这三个数。
94.三个数的和是555，这三个数分别能被3、5、7整除，而且商都相同，求这三个数及相同的商。
95.在1,13中任意取两个不同的数相乘，可以得到许多不相等的乘积，在所有这些不同的乘积中有多少个能被6整除,
小马虎买了72支同样的钢笔，可是发票不慎落水浸湿，单价已无法辩认， 96.
总价数字也不全，只能认出:?11.4?元(?表示不明数字)。你能帮助小马虎找出不明数字吗,
97.小明买了六支铅笔、两支圆珠笔、三本笔记本和七块橡皮，总共用去二元九角钱。已知圆珠笔三角九分一支，橡皮六分一块，售货员算错帐了吗,
98.商店里有六箱货物，分别重15、16、18、19、20、31千克，两个顾客买走了其中五箱。已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2倍。问:商店剩下的一箱货物重多少千克,
99.有一水果店进了六筐水果，分别装着香蕉和桔子，重量分别为8、9、16、20、22和27千克。当天只卖出一筐桔子，在剩下的五筐中香蕉的重量是桔子重量的2倍。问:这天水果店进了多少千克香蕉,
100.减数、被减数与差三者之和除以被减数，商是多少,
101.55个苹果分给甲、乙、丙三人，甲的苹果个数是乙的2倍，丙最少但也多于10个。问:三人各得多少苹果,
102.四名学生做加法练习:任写一个六位数，把它的个位数字(不等于0)拿到这个数最左边一位数字的左边得到一个新的六位数，然后与原六位数相加，他们的得数分别为172535、568741、 620708、845267，结果只有一名同学做对了。问:正确
答案
八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案
是几,
103.五年级七个班都有同学参加了春游，一至七班参加的人数依次为4、6、7、8、9、12、17，其中有六个班的同学爬山和划船，爬山的人数是划船人数的4倍，另外一个班的同学去观赏植物。问:观赏植物的是哪个班,
104.证明:任意两个连续奇数的和一定是4的倍数。
105.证明:任意两个连续偶数的乘积是8的倍数。
106.证明:任意三个连续偶数的和一定是6的倍数。
107.证明:任意三个连续奇数的和一定是3的倍数。
108.证明:任意三个连续自然数的乘积是6的倍数。
109.证明:任意两个自然数的和、差、积中，至少有一个能被3整除。
110.证明:一个三位数减去它的各个数位的数字之和后，必能被9整除。
111.一个三位数减去它的各个数位的数字之和，其差还是一个三位数
112.证明:任何一个三位数，连着写两遍得到一个六位数，这个六 质数与合数
自然数是同学们最熟悉的数.全体自然数可以按照约数的个数进行分类.
像2、3、5这样仅有1和它本身两个约数的自然数，称为质数(或素数).
像4、6、8这样除了1和它本身以外，还有其它约数的自然数，称为合数.
1只有一个约数，就是它本身.1既不是质数也不是合数、称为单位1.
因此，全体自然数分成了三类:数1;全体质数;全体合数.
任何一个合数都可以分解成若干个质因数乘积的形式，并且分法是唯一的，这个结论被称为算术基本定理.
问题17.1 24有多少个约数,这些约数的和是多少,
分析 24,23×3.
323 2的约数:1，2，2，2共4个.
3的约数:l，3共2个.
根据乘法原理，24的约数个数为:
(3，1)×(1，1),4×2,8.
这8个约数为:l、2、4、8、3、6、12、24.它们的和为:
1，2，4，8，3，6，12，24
,(1，2，4，8)，3×(1，2，4，8)
,(1，2，4，8)×(1，3)
23 ,(1，2，2，2)×(1，3)
,15×4,60.
3 解 24,2×3.
(3，1)×(1，1),8.
23 (1，2，2，2)×(1，3),15×4,60.
答:24有8个约数，这些约数的和是60. 问题17.2 有8个不同约数的自然数中，最小的一个是多少, 分析 8,2×4,2×2×2.因此，约数个数是8的自然数，有三种类型:P71、P1
×P32、P1×P2×P3，其中P1、P2、P3是不同的质数.
解 8,2×4,2×2×2.
73 ?2,128，3×2,24， 2×3×5,30.
?有8个约数的最小自然数为24.
问题17.3 分别判断103、437是质数还是合数.
分析 对于一个不很大的自然数N(N,1，N为非完全平方数).可用下面方法去判断它是质数还是合数:
2 先找出一个大于N的最小的完全平方数K，再写出K以内的所有质数;若这些质数都不能整除N，则N是质数;若这些质数中有一个质数能整除N，则N为合数.(请同学们想想这其中的道理)
2 103,11.而11以内的质数2、3、5、7都不能整除103，故103是质数. 解
2 437,21.而21以内的质数有:
2、3、5、7、11、13、17、19.
?437?19,23， ?437是合数.
问题17.4 将下面八个数分成两组，使这两组数各自的乘积相等.
14，33，35，30，75，39，143，169.
分析 把八个数分成两组后，应使每组数的乘积所含的质因数一样.
解 把已知的八个数分解质因数:
14,2×7，33,3×11.
35,5×7，30,2×3×5.
2 75,3×5，39,3×13，
2 143,11×13，169,13.
2 ?14×75,35×30,2×3×5×7，
2 39×143,33×169,3×11×13，
?分成的两组为:
,169，33，35，30,与,39，143，75，14,
或,169，33，75，14,与,39，143，35，30,. 问题17.5 一个数是5个2、3个3、2个5、1个7
的连乘积，这个数的两位数的约数中，最大的是几,
532分析 设这个数为N，则 N,2×3×5×7.两位数中的最大数为99，其它数依次
为98，97，….那么可以从两位数中最大的数开始找.
532 解 N,2×3×5×7.
2 99,3×11，不是N的约数.
2 98,2×7，不是N的约数.
97是质数，不是N的约数.
5 96,2×3，是N的约数.
所以，所求最大的两位数的约数是96.
问题17.6 有这样的质数，它分别加上10和14仍
为质数，你会求这个质数吗,
分析 从最小的质数开始找，可以很快地找到3是符合条件的质数，还有没有符
合条件的别的质数呢,没有.
解 因为3，10,13，3，14,17，所以3是符合条件的质数.
因为2，10,12，2，14,16，所以2是不符合条件的质数.
我们将一切大于2的自然数按照被3除的余数分为3n、3n，1、3n，2(n?1的整数)这三类.因为(3n，1)，14,3×(n，5)不是质数，(3n，2)，10,3×(n，4)不是质数，而3n仅当n,1时才是质数.
所以，3是唯一符合条件的质数.
问题17.7 在乘积
1000×999×998×…×3×2×1 ?
中，末尾连续有多少个零,
分析 不必真的算出这个乘积，而可以从分析末尾的零是怎样产生的入手.因为2×5,10，所以末尾的零只能由乘积?中的质因数2与5相乘得到.因此，只需计算一下，把乘积?分解成质因数的连乘积以后，有多少个质因数2，有多少个质因数5，其中哪一个的个数少，乘积?的末尾就有多少个连续的零. 解 先计算?中的质因数5的个数.
在1，2，…，1000中有200个5的倍数，它们是:5，10，…，1000.在这
2200个数中，有40个能被25,5整除，它们是25，50，…，1000.在这40个数
3中，有8个能被125,5整除，它们是125，250，…，1000.在这8个数中，有
41个能被625,5整除，它是625.所以，?中的质因数5的个数等于200，40，8，1,249.
而?中的质因数2的个数，显然多于质因数5的个数.所以，乘积1000×999×998×…×3×2×1中，末尾连续有249个零.
问题17.8 把一个两位数质数写在另一个两位数质数后边，得到一个四位数，它能被这两个质数之和的一半整除.试求出所有这样的质数对.
分析 先利用已知条件，求出这两个质数之和.
所以198x能被x，y整除.又因为x是质数，所以198能被x，y整除，即x，y是198的约数.因为x与y均为两位数质数，所以一定是两位奇数，从而x
列举出198的两位或三位偶数约数: ，y一定是两位或三位偶数.
198，66，18.
因为198与18都不能写成两个两位数质数之和，所以不符合题目要求.而66,13，53,19，47,23，43,29，37，故符合题目要求的质数对为:
(13，53)、(19，47)、(23，43)、(29，37).
问题17.9 在101与300之间，只有3个约数的自然数有几个, 分析 只有3个约数的自然数必是质数的平方，反之亦然.
解 在101至300之间的平方数:
2222222 11、12、13、14、15、16、17.
222 其中11、13、17是质数的平方，它们分别只有3个约数.
所以，只有3个约数的自然数有3个，即121、169、289. 问题17.10 新河村农民用几只船分三次运送405袋化肥.已知每只船载的化肥袋数相等且至少载7袋.问每次应有多少只船，每只船载多少袋化肥,(每只船至多载50袋)
分析 因为每只船载的化肥袋数相等，且分三次把405袋化肥运完，所以每次运送105袋.又每次运送的总袋数105应为每只船上载的化肥袋数与船数的积，即每次运化肥的船数与每只船上的化肥袋数都是105的约数.所以只要把105分解质因数.就可以求出船数和每只船载的化肥袋数.
解 105,3×5×7.
因为每只船上载的袋数相等且至少载7袋，所以每次用的船数和每只船上所载的化肥袋数有以下几种情况:
(1)用3只船，每只船载35袋化肥.
2)用5只船，每只船载21袋化肥. (
(3)用7只船，每只船载15袋化肥.
(4)用15只船，每只船载7袋化肥.
(因为每只船至多载50袋，故每次不能用1只船载105袋.)
练习17
1.72有多少个约数,这些约数的和等于多少,
2.求不大于200的只有15个约数的所有自然数.
3.分别判断107、493是质数还是合数.
4.有学生3496人，分成人数相等的小组参加劳动，每组人数限定在20以上，40以下，求每组人数及可分的组数,
5.一个人买了2元1角6分钱的铅笔，如果一支铅笔的价格少1分，那么他可以用这些钱多买3支铅笔.问他原来可以买几支铅笔,
6.一个自然数可以分解为3个质因数的积，果这3个质因数的平方和为39630，求这个自然数.
浙公网安备 33021202002483