凸函数的定义及有关定理

凸函数的定义及有关定理凸函数的定义及有关定理 f定义设为区间上的函数.如果,总有 ,,,,xxI,,0,1,I，，12 fxxfxfx,,,,，,,，,11 ，，，，，，，，，，1212 f则称在上为下凸函数. I f 如果上述不等式中“”改为“,”,则称在上为严格下凸函数. I, 如果,,,,xxI,,0,1,，总有，，12 fxxfxfx,,,,，,,，,11 ，，，，，，，，，，1212 f则称在上为上凸函数. I f 如果上述不等式中“”改为“,”,则称在I上为严格上凸函数. , ff 定理1 设为区间I上的二阶可导函数，...

凸函数的定义及有关定理 f定义设为区间上的函数.如果,总有 ,,,,xxI,,0,1,I，，12 fxxfxfx,,,,，,,，,11 ，，，，，，，，，，1212 f则称在上为下凸函数. I f 如果上述不等式中“”改为“,”,则称在上为严格下凸函数. I, 如果,,,,xxI,,0,1,，总有，，12 fxxfxfx,,,,，,,，,11 ，，，，，，，，，，1212 f则称在上为上凸函数. I f 如果上述不等式中“”改为“,”,则称在I上为严格上凸函数. , ff 定理1 设为区间I上的二阶可导函数，则在I上为下凸(或上凸)函数的充要条 ,,,,fx,0fx,0件是 (或), xI,.，，，，用定义直接来判断一个函数是不是凸函数,往往是很困难的.但用该定理来判断一个光滑函数是否凸,则是相当方便的. 在实际应用中常常先用导数来肯定函数的凸性,再反过来引出它必定满足凸性不等式. 关于凸函数，有重要的Jensen(詹森)不等式. [2]fI定理2(Jensen不等式) 若在区间上为下凸函数,则 n ,,,,,,xIin,01,2,,,1,,,有，，,iii,1i nn,, (1) fxfx,,,，，,,iiii,,ii,,11,, fxxfxfx,,,,，,，.证明用数学归纳法.当n,2时,由定义显然有，，，，，，11221122 NNN,,,,1.nN, 假设当时,有,其中 fxfx,,,，，,i,,iiii,,,1iii,,11,, NN，1,,,,nN,，1 当时, fxfxx,,,,，,,iiNNii，，11,,,,ii,,11,,,, N,,,x,iiN,,i,1,, fx,，,,,NNk，，11N,,k,1,,i,,i,1,, N,,,x,iiN,,i,1,, fxf,，,,，，,NNk，，11N,,k,1,,i,,i,1,, N fx,，，,iiNi,1,， fx,,，，,NNk，，11Nk,1,,ii,1 N，1 ,,fx ，，,iii,1 当且仅当时取等号. xxx,,,12n 在定理2中只要把“下凸”改为“上凸”即可得证: nn,, (2) fxfx,,,，，,,iiii,,ii,,11,, 凸函数的定义及有关定理 [1]f,,,,xxI,,0,1,I定义设为区间上的函数.如果,总有，，12 fxxfxfx,,,,，,,，,11 ，，，，，，，，，，1212 fI则称在上为下凸函数. fI 如果上述不等式中“,”改为“,”,则称在上为严格下凸函数. ,,,,xxI,,0,1,如果，总有，，12 fxxfxfx,,,,，,,，,11 ，，，，，，，，，，1212 fI则称在上为上凸函数. fI, 如果上述不等式中“”改为“,”,则称在上为严格上凸函数. ffII 定理1 设为区间上的二阶可导函数，则在上为下凸(或上凸)函数的充要条 ,,,,件是fx,0 (或fx,0), xI,.，，，， (《数学分析》教材已证，这里从略.) 用定义直接来判断一个函数是不是凸函数,往往是很困难的.但用该定理来判断一个光滑函数是否凸,则是相当方便的. 在实际应用中常常先用导数来肯定函数的凸性,再反过来引出它必定满足凸性不等式. 关于凸函数，有重要的Jensen(詹森)不等式. [2]f定理2(Jensen不等式) 若在区间上为下凸函数,则I n ,,,,,,xIin,01,2,,,1,,,有，，,iii,1i nn,, (1) fxfx,,,，，,,iiii,,ii,,11,, fxxfxfx,,,,，,，.证明用数学归纳法.当时,由定义显然有 n,2，，，，，，11221122 NNN,,,,1. 假设当nN,时,有,其中 fxfx,,,，，,i,,iiii,,,1iii,,11,, NN，1,,,, 当nN,，1时, fxfxx,,,,，,,iiNNii，，11,,,,ii,,11,,,, N,,,x,iiN,,i,1,, fx,，,,,NNk，，11N,,k,1,,i,,i,1,, N,,,x,iiN,,i,1,, fxf,，,,，，,NNk，，11N,,k,1,,i,,i,1,, N fx,，，,iiNi,1,， fx ,,，，,NNk，，11Nk,1,,ii,1 N，1 ,,fx ，，,iii,1 当且仅当时取等号. xxx,,,12n 在定理2中只要把“下凸”改为“上凸”即可得证: nn,, (2) fxfx,,,，，,,iiii,,ii,,11,,

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