中值定理与导数的应用2(终)

中值定理与导数的应用2(终) ??4.求下列函数的最大值、最小值: 42y,x,8x，2, ,1,x,3(1); (2) ; y,sinx，cosx,[0,2π] 2y,ln(x，1),[,1,2](3) ; (4)。 y,x，1,x,,5,x,1 知识点:导数的应用。 ,,思路:求函数在闭区间上最值的基本方法是先求的点或者不存在的点，然后求这些点处f(x)y,0y的函数值及其闭区间端点处的函数值，比较函数值，最大的即是在该闭区间上的最大值，最小的即f(x) 是在该闭区间上的最小值。 f(x) 3,yxx,,,4160解:(1)在上令，得x,0，x,2; [,1,3]12 ? ，，，， y(,1),,5y(0),2y(2),,14y(3),11 42y,x,8x，2, ,1,x,3?比较可得的最小值为，最大值为。 y(2),,14y(3),11 5ππ,(2) 在上，令，得，; [0,2π]yxx,,,cossin0x,x,1244 5ππ?，，，， y(0),1y(2π),1y(),2y(),,244 5ππ?比较可得的最小值为，最大值为。 y,sinx，cosx,[0,2π]y(),,2y(),244 3211,,x,(3)在上，，得; [,5,1]x,y,,0421,x 35?，y(),，y(1),1， y(,5),,5，644 35?比较可得的最小值为，最大值为y(),。 y,x，1,x,,5,x,1y(,5),,5，644 2x,(4)在[,1,2]上令，得; y,,0x,02x，1 y(,1),ln2 ，y(0),0，y(2),ln5， ? 2y,ln(x，1),[,1,2]?比较可得的最小值为y(0),0，最大值为y(2),ln5。 ???5.求下列数列的最大项: 10,,nn,,n(1) ; (2)。 ,,n2,, 知识点:导数的应用。 x,xf(n)f(x)[1,，,)思路:求数列的最大项最小项问题可转化为求函数在区间内的最值问题;若0 f(n),f([x])f(n),f([x]，1)为在区间内的最小值点，则与中最小的一个为数f(x)[1,，,)00 x,xf(n),f([x])为在区间内的最大值点，则与列中的最小项;若f(x)[1,，,)00 f(n),f([x]，1)中最大的一个为数列中的最大项。 0 10910xxx(10ln2),,,解:设f(x)，则在区间内，令，得唯一驻点; fx()0,,x,[1,，,)xx22ln2 108,10()822xxx(9020ln2ln2),，10ln2,,,,由，得， fx(),f()0,,x102ln2ln22 1010,,(或者说:当时，;当时，) fx()0,fx()0,x,x,ln2ln2 1010x,?为f(x)在区间内唯一的极大值点，也是最大值点; x,[1,，,)xln22 1014 1410102?，，且， ,1.00323,1[],14[],141015ln2ln2152 10,,n?当时，取得最大项。 n,14,,n2,, 111ln,xxx,fxx()()0,,f(x),x(2)设，则在区间[1,，,)内，令，得唯一驻点; x,e2x ,,当时，有y,0，当时，有y,0， x,e0,x,e 1 x? 为f(x),x在区间内唯一的极大值点，也是最大值点; [1,，,)x,e 628n,,n?[e],2，[e]，1,3，且，?当时，取得最大项。 ,,1n,3393 ??6.从一个边长为a的正方形铁皮的四角上截去同样大小的正方形，然后按虚线把四边折起来做成一个 无盖的盒子(见图)，问要截去多大的小方块，才能使盒子的容量最大, x a 图3-5-6 知识点:求最值问题。 思路:根据题意建立数学函数模型，根据实际意义，确定自变量范围，在所确定的范围上求最值。特别地， xxf(x)在某个区间内可导且只有一个驻点，且是函数的极值点，则当是极大值时，f(x)f(x)000f(x)f(x)f(x)就是在该区间上的最大值;当是极小值时，就是在该区间上的最小f(x)f(x)000 xf(x)值;在某个区间内可导且只有一个驻点，且在该区间上确实存在最值，则就是f(x)f(x)00f(x)在该区间上的最值。 解:设截去的小正方形的边长为，则根据题意，得 x dVaaa2V(x),x(a,2x)，;令，得(舍去)，;x,x,x,(0,),(a,2x)(a,6x),0262dx aa23V(0),0,V(),0,V(),a?，?可得，当一个边长为的正方形的四角上截去一块边长为 a2627 a的小方块，才能使盒子的容量最大。 6 ??7.欲制造一个容积为的圆柱形有盖容器，问如何设计可使材料最省, V 22解:设圆柱形容器的底为r，高为，则 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 面积，又，?得 S,2πrh，2πrV,πrhh 2V2， S(r),，2πr,0,r,，,r 3V2V,r,令，得唯一的驻点; Sr()40,,，,πr22πr 4V,,,,又由，知， Sr()120,,πSr()4,，π3V3r,r2π 3Vr,?为S(r)的极小值点，也是最小值点; 2π 3Vr,?当，时，可使材料最省，即圆柱形容器的底和半径相等时，可使材料最省。 h,2r2π R???8.从一块半径为的圆片中应切去怎样的扇形，才能使余下的部分卷成的漏斗(见图)容3,5,8 积为最大, 22R4π,,R,解:设漏斗的半径为，高为，容积为，根据题意，得，，从而有 rh,r,hV2π2π 3222,,R4π,12; V,(),πrh,,0,,,2,2324π 3222R,,4π,88,,,,,,,,令，得(舍去)，(舍去)，; ,,0V()0,,,23324π 最大值确实存在， ?漏斗的最大容积确实存在，即V(,)(0,,,2,) 又的驻点唯一， V(,)(0,,,2,) 88,,,,,2,?时，取得最大值，即当切去圆心角为的扇形时，余下的V(,)(0,,,2,)33 部分卷成的漏斗容积最大。 F???9.设有重量为5kg的物体，置于水平面上，受力的作用而开始移动(见图)，设磨擦系3,5,9 FF数μ,0.25，问力与水平线的交角为多少时，才可使力的大小为最小, α Pμ,(),0F,,,解:根据题意，得Fcosα,(P,Fsinα)μ，从而有， 即,,cossin2，,,, 1.25,(),0，令f(,),cos,，0.25sin,， F,,,,,cos0.25sin2，,, ,,则由f()sin0.25cos0,,,,,，,，得f(,)在内唯一的驻点α,arctan(0.25); (0,)2 ,1.251.25?，， F(0),,1.25F(),,5,,cos0，0.25sin02cos，0.25sin22 1.25F(arctan(0.25)),,1.213且 cos(arctan(0.25))，0.25sin(arctan(0.25))FFα,arctan(0.25)?力与水平线的交角时，才可使力的大小为最小。 49kg???10.有一杠杆，支点在它的一端，在距支点处挂一重量为的物体，加力于杠杆的另一端0.1m 5kg/m使杠杆保持水平(见图)，如果杠杆的线密度为，求最省力的杆长。 3,5,10 x解:设杠杆长为，则根据题意和力的平衡关系，得，即 xF,49，0.1，5x，x2 4.95x; F(x),，(x,0)x2 29.8495598.x.,,x,,1.4令，得唯一的驻点; Fx()0,,，,,(x,0)225xx22 ?最省力的杠杆长确实存在，?当杠杆长时最省力。 x,1.4m F ,, R O P,5kg 图3-5-9 图3-5-8 SA 0.1m a Fb xxMO , 49kg 图3-5-11 图3-5-10 A????11.光源的光线射到平面镜的哪一点再反射到点，光线所走的路径最短(见图SOx ), 3,5,11 解:设入射点为，则所走的路程 M,OM,xS 2222y,SM，MA,a，x，b，(τ,x)(0,x,τ) aτxτ,x,yx,令y,,,0，得在区间(0,τ)内的唯一驻点， 02222a，baxb，，,()τx aτMx,?最短的距离确实存在，?当入射点在上的点为时，光源的光线所走的路径最短;OxS0a，b β容易验证，此时入射角(记为α)等于反射角(记为)，即 aττ,τ,xxτa，b00， tanβ,,,,,tanαbba，ba 此为著名的光的反射定律。 ????12.甲船以每小时里的速度向东行驶，同一时间乙船在甲船正北里处以每小时里的速度208216向南行驶，问经过多少时间两船距离最近, 解:设两船的距离为，且经过小时两船距离最近，则根据题意得 tS 22S(t),(82,16t)，(20t)(t,0) 6561312t,,令，得在区间内唯一的驻点; S(t)(0,，,)St()0,,t,222(8216)(20),，tt 22?两船最短的距离确实存在，?时，Stttt()(8216)(20)(0),,，,取得最小值，即经过t,2 2小时后两船距离最近。 内容概要 名称 主要内容(3.6) 3.6 函渐近线的概念: 数图形1)水平渐近线:若函数的定义域是无穷区间，且，则称直线 limf(x),Cy,f(x)x,,的描绘 为曲线的水平渐近线; y,Cy,f(x) x,xxlimf(x),,2)铅直渐近线:若函数在处间断，且，则称直线为曲y,f(x)00x,x0 线的铅直渐近线; y,f(x) 3)斜渐近线:设函数，若lim[f(x),(ax，b)],0，则称为y,f(x)y,ax，bx,, f(x)的斜渐近线，其中。 y,f(x)a,lim(a,0),b,lim[f(x),ax]x,,x,,x fx()lim[f(x),ax]注:若不存在，或虽然它存在但不存在，则y,f(x)不存在斜limx,,x,,x 渐近线。 函数图形描绘的步骤: ,,,1)确定函数f(x)的定义域，求出函数的一阶导数fx()和二阶导数fx(); ,,,,,,2)求出fx()和fx()的全部零点，f(x)的间断点，fx()和fx()不存在的点;用这些 点把函数定义域划分成若干个部分区间; ,,,3)确定在这些部分区间内fx()和fx()的符号，并由此确定函数的增减性和凹凸性，极值 点和拐点; 4)确定函数图形的渐近线以及其他变化趋势; ,,,fx()fx()5)算出和的全部零点及其不存在时的点所对应的函数值，并在坐标平面内描出 相应的点，有时适当补充一些辅助点，根据以上步骤画出函数大致图形。 习题3-6 ?1.求下列曲线的渐近线: 1x,e,xxy,x，ey,(1); (2) ; (3) 。 y,e1，x 知识点:渐近线的概念。 思路:求出函数定义域;在间断点处或无穷大时，讨论的极限情况，用以求出的水平f(x)f(x)fx() f(x)渐近线和垂直渐近线;讨论、无穷大时的极限，用以求出斜渐近线。 f(x),axx 111,,,xxx解:(1)的定义域为;?，， y,e(,,,0):(0,，,)lime,，,lime,1,x,,x,0?为铅直渐近线，为水平渐近线，容易验证该函数没有斜渐近线。 y,1x,0 xxxeeey,,,lim,0lim(2) 的定义域为;?，， (,,,,1):(,1,，,)x,,1x,,,1，x1，xx1， ?为铅直渐近线，为水平渐近线，容易验证该函数没有斜渐近线。 y,0x,,1 ,x,xy,x，elim(x，e),,(3)的定义域为;?，?函数不存在铅直渐近线及水平(),,，,,x,,渐近线， ,xx，e,xlim,1,alim[(x，e),ax],0,b而，， x,，,x,，,x ,xy,x，ey,x?为函数的斜渐近线。 ???2.描绘下列函数的图形: 22(x,3)x2xy,y,(1) ; (2) ; (3); y,224(x,1)x,11，x lnx(4) ; (5)y,。 y,x3,xx 知识点:函数的性质及导数的应用。 思路:根据函数的定义域、周期性、奇偶性、单调性和极值、凹凸性和拐点、渐近线及其关键点的坐标， 描绘函数图形。 22xy,解:(1)1)的定义域为(,,,,1):(,1,1):(1,，,); 2x,1 224(1)224xxxxx,,,,,,y,,,02)令，得驻点;时y不存在;x,0x,,12222(1)(1)xx,, 2124x，,,y,,0无解; 23(1)x, 3)现列表讨论其单调性和极值，凹凸性和拐点: x ,101 (,,,,1)(,1,0)(0,1)(1,，,) 不存在 , 不存在 ,，， 0, fx() 不存在 , ,, 不存在 ，， ,, fx() 不存在? 不存在极大?,,? ? ,, f(x)值点 22222x2x2x2xlimlim,,,,，,lim,,,lim,，,4)，，，，2222，--，x,,1x,,x,x,111x1x1x1x1,,,, 2x2lim,2，?为铅直渐近线，为水平渐近线， y,2x,,12x,,x,1 22xy,容易验证，函数没有斜渐近线; 2x,1 22xy,5)根据以上讨论，可描绘出函数的图形如下: 2x,1 y 2 ,101 x 图3-6-2-1 (0,1):(1,，,)注:也可以利用函数的奇偶性，只讨论函数在内的情况，描绘出此区间上函数图形，然 后再利用图像的对称性，将函数图形补充完整。 x(2)1)的定义域为; y,(,,,，,)21，x 223xxxx，,,,12126xx,,,,y,,,0y,,0x,,12)令，得驻点;令，得1,2222223(1)(1)xx，，(1)x，x,0，; x,,353,4 x3)?为奇函数，?在内列表讨论其单调性和极值，凹凸性和拐点: y,(0,，,)21，x x1 (0,1) (1,3)3(3,，,) , , ,， 0, fx() , , , ， 0,, fx() 拐点 极大点 ?,?,? , f(x) f(1),1/23f(3), 4xx4)，?为水平渐近线，容易验证，函数没有斜渐近线; y,0y,lim,022x,,x1，x1， x5)根据以上讨论和函数的奇偶性，可描绘出该函数的图形如下: y,21，x y 1/2, ., 3/4 . x 013 图3-6-2-2 2(x,3)y,(3)1)(,,,1):(1,，,)的定义域为; 4(x,1) (3)(1)xx,，,y,,0x,,1x,32)令，得驻点，; 1224(1)x, 8,,,,x,1y,,0y时，不存在;无解; 334(1)x, 3)现列表讨论其单调性和极值，凹凸性和拐点: x ,113 (,,,,1)(,1,1)(1,3)(3,，,) , 不存,，， 00, fx()在 , , ,不存 ，，， ,, fx()在 不存 ? 极小极大点 ?,,? ? ,, f(x)在 点 22(x3),(x,3)lim,，,,,,lim4)，?为铅直渐近线， x,1，-x,x,114(x1)4(x,1), 2(x,3)y,容易验证，函数没有水平渐近线; 4(x,1) 222(3)1(3)(3)15x,x,x,lim,,alim[,ax],lim[,x],,而，， x,,x,,x,,4(1)44(1)4(1)44xx,x,x, 15?为斜渐近线。 y,x,44 又f(,1),,2 , f(3),0 5)根据以上讨论，可描绘出该函数的图形如下: y 0135,1 15 y,x, x44 ,5/4 ,2 图3-6-2-3 (,,,3](4) 1)的定义域为; y,x3,x ,,163x,,yxx,,，,,,30x,32)令，得驻点;时，y不存在; x,222323,,xx 1,,，,,33(63)xx312x,23,x在上无解; ,,(,,,3]y,,,032(3),x24(3),x3)现列表讨论其单调性和极值，凹凸性和拐点: x 23 (,,,2)(2,3) , 不存在， 0, fx() , , , 不存在 ,, fx() 极大值?,? ,0 f(x)点 4)容易验证，函数没有渐近线。 y,x3,x 又 f(2),2 , f(3),0, f(0),0 5)根据以上讨论，可描绘出该函数的图形如下: y 032 x 图3-6-2-4 lnx(5)1)的定义域为; y,(0,，,)x 31ln,x2ln3x,2,,,x,ex,e2)令，得驻点;令，得; y,,0y,,01223xx 3)现列表讨论其单调性和极值，凹凸性和拐点: 33 xe3(0,e) 222(e,e)(e,，,) e ，, , , 0,fx() , ,, ， 0,,fx() 拐点 ? 极大值?,,? , f(x)点 xxlnln4)，?为铅直渐近线，为水平渐近线;函数无斜渐近线。 y,0,,lim,0limx,0x,0x,，,xx 5)根据以上讨论，可描绘出该函数的图形如下: y ,1 e 3/2 3/2e x 3/2 e0 e 图3-6-2-5 内容概要 名称 主要内容(3.7) 3.7 /2ds,1，(y)dx弧微分计算公式:，其中为弧函数，其性质为单调增加。 s,s(x) 曲率 曲率计算公式:设曲线方程为，具有二阶导数，则曲线在点处y,f(x)f(x)y,f(x)x //y 的曲率计算公式为K,。 3/22(1，(y)) M1) 曲率圆与曲率半径:设曲线在点处的曲率为，在点处y,f(x)M(x,y)K(K,0) 1DD,的曲线的法线上，在凹的一侧取点，使得。以为圆心，为半径DM,,,K MDM的圆成为曲线在点处的曲率圆。曲率圆的圆心称为曲线在点处的曲率圆心。曲率 M,圆的半径称为曲线在点处的曲率半径。 2) y,f(x)在点M(x,y)处的曲率圆的圆心记为(,,,)，则其计算公式为: //2,，y(1(y)),,,x,//y,。 ,/2，1(y),,，,y//,y, 习题3-7 ???1.求曲线的最大曲率。 y,lnx 知识点:曲率的计算公式及最值的应用。 思路:根据曲率计算公式，计算函数的导数及其二阶导数，代入公式，得关于的曲率函数，然后求该函x数的最大值，便得原来函数的最大曲率，最小值便为原来函数的最小曲率。 11,,,解:?，，?得函数在处的曲率为 y,lnxxy,,y,2xx 1 2,,yxx， Kxx()(0),,,,333122222,(1())(1)(1)，，，yx2x 的最大值: 下面求Kxx(),(0), 22213212，,xx,x,,x,,由，得;舍去 Kxx()()0,，,,,35522222222(1)2(1)(1)，，，xxx 22,,0,,xx,当时，;当时，， Kx()0,Kx()0,22 222x,?当时，在内取得极大值，也是在内的最K(x)(0,，,)K(x)(0,，,)K(),2233 2大值，即曲线的最大曲率为。 y,lnx 33 2y,x，3x，2?2.求抛物线在点处的曲率和曲率半径。 x,1 知识点:曲率和曲率半径的计算公式。 思路:利用曲率及曲率半径的公式即可。 2,,,y,x，3x，2解:?，，?函数在处的曲率和曲率半径分别为 yx,，23y,2x ,,y12R(x),，， Kx(),,33K(x)2222,(1())(1(23))，，，yx 1K,R,1326将分别代入K(x)、R(x)中，得曲率和曲率半径为，。 x,11326 x,a(t-sint),π??3.计算摆线在t,处的曲率。 ,y,a(1,cost)2, ,dyytt()sin解:? ， 1,,,πππ,,,ttt,dxxtt()1cos,222 22dyttttsin1cos(1cos)sin11,,,; ,,,,,,()πππ22,,,ttt,dxtxttata1cos()(1cos)(1cos),,,222 1 ,,yaπ2? 在处的曲率为。 t,K,,,3324a222,(1())(11)，，y ???4.曲线弧上的哪一点处的曲率半径最小,求出该点处的曲率半径。 y,sinx(0,x,π) 知识点:同1。 思路:同1。 ,,,，，?得函数在处的曲率半径为 解:?yx,cosyx,,siny,sinxx 332222,1(1())(1cos)，，yxRxx()(0),,,,,π， ,,Kxyx()sin ?和的单调性一致，?可通过求的最值得到的最值 Rx()ln()Rxln()RxRx() 32 ln()ln(1cos)lnsin,(0)Rxxxx,，,,,π2 2232cossincoscos(3sin1cos),，，xxxxxx,(ln())0Rx,，,,,, 2221cossin(1cos)sin，，xxxx π得唯一的驻点; x,2 ππ,,当时，;当时，; (ln())0Rx,(ln())0Rx,0,x,,x,π22 ππ?当时，ln()Rx也是Rx()在(0,π)内取得极小值，也是R(x)在(0,π)内的最小x,R(),122 ππ值，即曲线弧y,sinx(0,x,π)在处的曲率半径最小，且该点处的曲率半径为。 x,R(),122 注:此题也可通过求曲率Kx()的最大值点和最大值得到结果。 2?5.求曲线在(0,0)处的曲率。 y,ln(x，1，x) dy1,,1解:? ， x,0x,02dx1，x 2dyx,,,0; x,0x,023dx22x(1，) ,,y02? 曲线y,ln(x，1，x)在(0,0)处的曲率为。 K,,,033222,(1())(11)，，y ????6.汽车连同载重共，在抛物线拱桥上行驶，速度为，桥的跨度为，拱的矢高为5t21.6km/h10m ，求汽车越过桥顶时对桥的压力。 0.25m 知识点:曲率在物理中的应用。 思路:根据题意，利用数学知识，结合物理问题，建立数学模型。 2y,ax(a,0)y解:取桥顶为原点，垂直向下为轴正向，则抛物线方程为，从而桥端点坐标为 0.252,,,y,0.01x在抛物线上，?，;?， (5,0.25)y,y.(0)0(0)002,,a,,0.0125 322,(1())，yR()050,,?顶点处抛物线的曲率半径; 0x,,,y 233mv5，1021.6，102F,,(),3600(N)利用物理知识，得顶点处汽车的离心力， R5060，60 3,5，10，9.8,3600,454009(N)?得汽车越过桥顶时对桥的压力为。 G,mg,F ??7.求曲线在其与轴的交点处的曲率圆方程。 y,lnxx 知识点:曲率圆的概念和计算公式。 思路:先根据曲率半径公式，计算曲率圆半径，然后再根据渐屈线的方程求曲率圆的圆心，得出曲率圆方 程。 11,,,解:? 与轴的交点为，，， y,lnx(1,0)xyy,,,,,,11xx,,11xx,,112xx ,,y11，?曲率圆的半径为;又由渐屈线方程的参数方程得 R,,22K,,3K2222,(1())，y 2,,,yy(1())，ξ,,,x3,,(10)(10),,,y,，即曲率圆的圆心为(3,,2)， ,2,1，(y),η,，,,y2,,(10)(10),,,y, 22(x,3)，(y，2),8从而曲线在其与轴的交点处的曲率圆方程为。 y,lnxx 2y,2px??8.求曲线的渐屈线方程。 知识点:渐屈线的概念。 思路:根据渐屈线的参数方程公式求方程。 2,,pypp2,,,,y,,,y,2pxy,22yyp,解: 由，得，，; 23yyy 22222,,yy(1())，(py)(1(py))y3y2p，，ξ,,x?， ,,,23,,y2p2ppy, 223,1()1()，，ypyy，即所求渐屈线的参数方程为: η,，,，,,yy232,,ypyp, 22,，3y2p,ξ,2p,y(为参数)。 ,3y,,,η2,p, 总习题三 ??1.证明下列不等式: n,1nnn,1nb(a,b),a,b,na(a,b)(1) 设，证明:; a,b,0,n,1 a,baa,b(2)设，证明:。 ,ln,a,b,0abb 知识点:拉格朗日中值定理。 fbfa()(),,,思路:关键是寻找，用公式，当确定了的范围， y,f(x)f(),f()ξ,ba, fbfa()(),即可定的范围，从而证明结论。 ba, nn,1,fxx(),fxnx(),证明:设 ，易见在连续，在可导，且， 由拉格朗日中fx()[,]ba(,)ba nnn,1,a,b,nξ(a,b)值定理可知，至少存在一使 即， ,,(,)bafafbf()()(),,, n,1nnn,1nb(a,b),a,b,na(a,b)又 ，故 。 baab,,,,,,()0 ,???2.设f(x)在[0,1]上可导，且0,f(x),1，对于任何x,(0,1)，都有fx()1,，试证:在(0,1)内，有且仅有一个数，使f(ξ),ξ。 ξ 知识点:零点定理，罗尔中值定理或者单调性的应用。 思路:从结论出发构造辅助函数，利用零点定理证明存在性，利用反证法和罗尔中值定理证明唯一性;或者是利用单调性证明唯一性。 证明:1)存在性。设Fxfxx()(),,，易见函数在[0,1]上连续， Ff(0)(0)0,,Ff(1)(1)10,,,且 ，， ,,(0,1)F()0,,f(,),,由零点定理可知，至少存在一点，使 ，即。 2)唯一性。 ,,(0,1),f(,),,Fx()[,]([,]),,,,假设存在另一点，使，则在上连续，在相应开区间内可导， ,FF()()0,,,,,,(,,,),(0,1)F()0,,且，由罗尔定理可知，至少存在某，使，从而 /,,f(x),1f()10,,,f()1,,f(ξ),ξ，，这与矛盾，故有且仅有一个数，使。 ξ ,,,???3.若时，可微函数有，则方程f(x)fafb,fa,fb()()0()0()0,,,,fx()0,a,b 在内() (a,b) (A) 无实根; (B) 有且仅有一实根; (C) 有且仅有二实根; (D)至少有二实根。 知识点:极限的保号性，零点定理，罗尔中值定理。 思路:根据保号性及零点定理，可得在内有零点，再两次利用中值定理便得结论。 f(x)(a,b) f(x),f(a),解:由得 fa,()0,lim,0,，x,ax,a b-af(x),f(a)，δ,0()a,x,a，δδ,根据保号性，知，当时，有 ,0,0002x,a x,(a,a，δ)f(x),0，取，则有; 从而有f(x),f(a),0000 b-a,δ,()，δ,0b,δ,x,b同理，由可知，，当时，有， fb()0,f(x),f(b),01112 x,(b,δ,b)f(x),0取，则有; 111 ξ,(x,x)由零点定理，至少有一点，使; f(ξ),001 易知，f(x)在[a,ξ]、在上连续，在(a,ξ)、(ξ,b)内可导， [ξ,b] ,,f()0ξ,f()0ξ,ξ,(a,ξ)ξ,(ξ,b)?由罗尔中值定理，知至少有一点、，使得，; 1212 故选(D)。 ???4.设f(x)于[0,π]上连续，于(0,π)内可导，求证:存在ξ,(0,π)，使得 ,f()()cotξ,,fξξ 知识点:罗尔定理 思路:设置辅助函数，使其满足罗尔定理。 解:设Fxfxx()()si,n，则Fx()在[0,,]上连续，在(0,,)内可导， 且F(0),f(0)sin0,0， F(π),f(π)sinπ,0FF(0)(),,，即; ,,由罗尔定理，至少存在一,,(0,,)，F()0,,，即ff()sin()cos0,,,,， ，, /f(ξ),,f(ξ)cotξ又sin0,(0,),,,,,，故。 ,fxx()cos,fxfxx()()cot,,,,,注:辅助函数可通过如下推导获得:? fxx()sin ,,,, ,,,[ln()][lnsin]fxx,,,,[ln(()sin)]0[()sin]0fxxfxx ?设Fxfxx()()sin, ???5.设在上连续，在可导，且，试证:对任意给定的正数在f(x)[0,1](0,1)f(0),0,f(1),1a,b abab，,，内存在不同的，使。 (0,1),,,,,f()()ξf, 知识点:拉格朗日中值定理。 思路:证明在至少存在不相等的，满足某种关系式，一般不构造辅助函数，而是依据结论中(a,b),,, 各部分的特点分别利用微分中值定理。 a证明:显然，;又由在上连续，且， f(x)[0,1]f(0),0,f(1),10,,1a，b a根据介值定理，至少存在一点，使f(τ),; τ,(0,1)a，b易知在、上满足拉格朗日中值定理，从而存在，分别使 f(x),,(0,,),,,(,,1)[0,τ][τ,1] a,, (1); f()(0)(0)()()τ,,,,,fτfξτfξab， a,, (2)， ff(1)()(1)()1(1)()ττff,,,,,,,,,,ab， 将(1)(2)两式相加，消去即得 , abab，,，。 ,,f()()ξf, ,???6.设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，证明:在(a,b)内存在点和，使 , ab，,,f()()ξf,,。 2,知识点:同5。 思路:同5。 2g(x),x证明:易知，f(x)、在[a,b]上满足柯西中值定理，从而，,,(a,b)，使得 ,fbfaf()()(),,, (1) 22ba,2, ，ξ,(a,b)又由朗格朗日中值定理知，，使得 fbfa()(),, (2) ,f()ξba, ,1()1f,由(1)(2)两式相比得, ,baf，2()ξ, ab，,,f()()ξf,,即。 2, 3f(x),x,3x，a???7.证明多项式在上不可能有两个零点。 [0,1] 知识点:罗尔中值定理。 思路:反证法。 3f(x),x,3x，axx,解:假设在上有两个零点， [0,1]12 xx,(,)xxfxfx()0,()0,,[,]xx，易知在上连续，在上可导，且， 不妨设fx()12121212 2,,,,(,)(0,1)xx330,,,由罗尔定理，至少存在一，使得 ，即 ， f()0,,12 23330,(0,1),,,,,f(x),x,3x，a但，矛盾。故多项式在上不可能有两个零点。 [0,1] ,???8.设可导，试证的两个零点之间一定有函数的零点。 f(x)f(x)fxfx()()， 知识点:拉格朗日中值定理。 思路:对于证明至少有一点ξ,(a,b)，使得f(ξ),0，一般从结论出发，构造辅助函数Fx()，然后 ,根据具体的条件使用零点定理，证明F()0,,;或者使用罗尔中值定理，证明F()0,,。 ,fx(),,fxfxfxfx()()0()()1，,,,,,,, ? fx() xx,,,,,,,,,,,[ln()][ln(())]0(())0fxxfxefxe， xF(x),f(x)e故可构造辅助函数 xxx,F(x),f(x)exx,[x,x]证明:设f(x)的两个零点，不妨设，再令，易知，F(x)在上121212 (x,x)f(x),f(x),0F(x),F(x),0连续，在内可导，又，从而， 121212 ,ξ,(x,x)由罗尔中值定理知，至少有一点，使得F()0ξ,， 12 xxx,,,,,Fxfxefxefxfxe()()()(()()),，,，(()())e0fξfξ，,又，从而有， ξ,?，?f()()0ξ，,fξ，结论成立。 e,0 aa,1nn2a,，？，(,1),0???9.设，证明方程 1n32,1 πacosx，acos3x，？，acos(2n,1)x,0在内至少有一个实根。 (0,)12n2 知识点:罗尔中值定理。 思路:构造辅助函数，证明辅助函数有驻点。 sin3xsin(2n1)x,,证明:设，易知在上连续， fx()[0,]fx()asinxaa,，，，12n2321n, aa,,n1,2n在上可导，且，， f(0)0,(0,),,，，,,f()a(1)012,232n1 ,,由罗尔中值定理知，至少存在，使得 ， f()0,,,(0,),2 ,fxaxaxanx()coscos3cos(21),，，，,又， 12n πacosx，acos3x，？，acos(2n,1)x,0故 在内至少有一个实根。 (0,)12n2 ,,,???10.设在上处处有，且，证明在内方程 [1,，,)fx()0,f,f(1)2(1)3,,,(1,，,) 仅有一实根。 f(x),0 知识点:零点定理及其函数的单调性。 思路:利用零点定理，或者证明有实根;再利用函数单调性证明根唯一。 f(x),0 证明:由泰勒公式得: ,,,,f()()ξfξ22,; fxffxxxx()(1)(1)(1)(1)35(1),，,，,,,，，,22!! ,,f()ξ2,,?在上处处有，?，从而; [1,，,)fx()0,f(x),,3x，5(1)0x,,2! x,2取，则有f(2)32510,,，，,,,，又f(1),2,0， 0 ?由零点定理知，，,,(1,2)，使得f(,),0，根的存在性成立;下证唯一性: ,,,?在[1,，,)上处处有fx()0,，?fx()在[1,，,)上单调递减， ,,从而在[1,，,)上，有fxf()(1)3,,,， f(x)[1,，,)f(x),0?在上严格单调递减，从而仅有一实根。 ,,f(x)[1,2]fx()f(2),f(1),0F(x),(x,1)f(x)???11.设在上具有二阶导数，且.若，证 ,,ξ,(1,2)F()0ξ,明:至少存在一点，使得。 知识点:罗尔中值定理。 (n)f(ξ),0思路:证明至少存在一点ξ,(a,b)，使得的命题，可考虑连续n次使用罗尔中值定理。 F(x)[1,2](1,2)F(1),F(2),0证明:由题意可知在上连续，在上可导，且 ， ,,,由罗尔定理，至少存在，使得 ;又， ,,(1,2)F()0,,Fxfxxfx()()(1)(),，, ,,在上连续，在上可导， 且， 由题意Fx()(1,),Ff(1)(1)00,，,[1,], ,,,,即 ，由罗尔定理，至少存在，使得。 FF(1)()0,,,ξ,(1,,),(1,2)F()0ξ, ,,fafb()()0,,???12.设函数在上可导，且，则在内存在一点，使得f(x)[a,b](a,b)ξ，, ,。 f()0ξ, 知识点:费马引理。 内存在极值点即可。 思路:可导的极值点必为驻点，所以证明在(a,b) ,,,,fafb()()0,,fa()0,fb()0,证明:?，?不妨设，; ，,，, fxfa()(),,?，由极限的保号性知， fa()lim0,,，，xa,xa, f(x),f(a)，δ,0a,x,a，δ，当时，有，即有: (1) f(x),f(a),011x,a f(x),f(b),fb()0,，δ,0b,δ,x,b同理由知，，当时，有， ,0,22x,b 即有f(x),f(b) (2) 易知，f(x)在[a,b]上连续，从而f(x)在[a,b]上必有最值，且由(1)(2)知，f(x)的最小值点 ,必在(a,b)内取得，设为，则由费马引理知，f()0ξ,，结论成立。 ξ ???13.用洛必达法则求下列极限: 2，，ln(1，x)11πxlimlim(1)tan(1) ; (2) ; (3) ; lim,,x,,x,0x,1x,,1secx,cosx2x1ln(x2)，，，， 111sinxsinx2xx1,cosxxlim()lim()(4) ; (5) ; (6) 。 lim(sinx，e)0x,x,0,x0xx 知识点:洛必达法则。 0,思路:注意洛必达法则的适用范围。该法则解决的是未定型的极限问题，基本形式为:型与型未定0,式，对于这种形式可连续使用洛必达法则;对于,,,型与型的未定式，可通过通分或者取倒数的0,, ,00形式化为基本形式;对于型、1型与,型的未定式，可通过取对数等手段化为未定式;此外，还可0 以结合等价无穷小替换、两个重要的极限、换元等手段使问题简化。 222xxxxxln(1，)cos,ln(1，)2lim,lim,lim,lim,1解:(1)。 22x,0x,0x,0x,0xxxxsec,cos2cossinxx1,cos1,cos πxx,(1)sinπxx,,1122(2)。 ,x,,,,lim(1)tanlimlimlimx,1x,1x,1x,1πxπxππxπ2,coscossin2222 ，，11ln(x，2),x,1ln(x，2),x,1(3) lim,,lim,lim,,2x,,x,,x,,111x，1ln(x，2)(x，1)ln(x，1，1)(x，1)，， 11,(1x)1,，x2，limlim。 ,,,,x,,1x,,12(x1)2(x1)(x2)2，，， xx,lnsinlnxcos1,x11sin12xxsinxlnsinxxxxx,,1cos1cos2(4) lim(),lime,lime,limexxxx,,,,0000x xcosxsinxxcosxsinxxsinx,,,1,232xsinxx3x3,lime,lime,lime,e x0x0x0,,, xcosx，e11xln(sinx，e)x2xxxx，esinlim(sinx，e),lime,lime,e(5)方法一: x,0x,0x,0 xxesin，,111x,,,,xxxxxesin，,1，,，，,lim(sinxe)lim[1(sinxe1)]方法二: ,,xx,0,0,,,, 1xxsinx，e,1sinxe,1xxsinx，e,1lim[1，(sinx，e,1)],e 又，xxx， lim,lim，lim,2x,0x,0x,0x,0 1x2x故 。 lim(sinx，e),e,x0 cosx1,1lnsinxlnxxcosxsinx,,sinxxsinx222xx2x2xsinx(6) lim(),lime,lime,limex0x0x0x0,,,,x xcosxsinxxsinx,,1,322x6x6,lime,lime,e。 x0x0,, ,lim()fxklim[f(x，a),f(x)]??14.设,，求。 x,,x,, 知识点:拉格朗日中值定理。 思路:结论中含有函数改变量，可联想到利用中值定理求得结论。 ,x，afxafxf()()()，,,,ξa解: 由朗格朗日中值定理得，(介于x与之间)， ξ ,,lim[()()]lim()lim()fxafxfξafξaka，,,,,,,,从而有 。 xx,,,,,,ξ sin3xa???15.当与为何值时，。 alim(，，b),0b32x,0xx 知识点:极限和洛必达法则。 思路:根据题意和已有的结论得关于与等式，求得与的值。 aabb 3cos3x，ax，axsin3解:由题意知，在该式左边应用洛必达法则可得 lim， ,,b,,blim32x,0x,03xx上式成立，必须 ，故，代入上式后，左边再应用洛必达法则，得 lim(3cos3x，a),0a,,3x,0 9sin39399,x,,xlim，从而有，。 b,,,,,,ba,,3x,06622xx ???16.设，由拉格朗日中值定理得:使得 f(x),ln(1，x),x,(,1,1),x,0,，θ,(0,1), 11，证明: 。 ，,，,,,limln(1)ln(10)xxx,0,，21x 知识点:拉格朗日中值定理。 思路:根据已知条件，求出的表达式，再利用求极限的方法求出极限。 , x,ln(1，x)xxxx,，,，ln(1)ln(1)θ,limlimlimθ,,证明:由题意知，，? 2xxx,,,000xln(1，x)xxxln(1)， 1,1x1x，1。 ,,,limlimxx,,00xxx，22(1)2 1f(x)3xx,0lim(1，x，),e???17.设在的某个邻域内有二阶导数，且，求 f(x)0,x0x ,,,f,f,f(0)(0)(0)。 知识点:导数的定义。 思路:求抽象函数在具体某一点处的导数值，根据题意和导数定义，分别求出各阶导数值。 1fxf(x)()3xlim(1，x，),elimf(x),0解: 由，可得，从而; lim,0,x0x,0x,0xx x,0f(0),limf(x),0?f(x)在的某个邻域内有二阶导数，?有， 0x,0 fxffx()(0)(),,从而有; f(0)limlim,,,0xx,,00xx,0 2xxfx()，122f(x)x，f(x)23xf(x)，xx再由，知 lim(1，x，),lim[(1，)],exx00,,xx 2,,xfxxfx，，()2()fx()limlim3,,，?，从而有 lim4,2xx,,00x,0xx2x ,,,fxffx()(0)(),,,。 f(0)limlim4,,,xx,,00xx,0 xf(x),ecosx??18.求的三阶麦克劳林公式。 知识点:麦克劳林公式。 思路:利用公式直接展开。 0xx,,,f(0),ecos0,1解:，，， fexx(0)(cossin)1,,,fex(0)2sin0,,,,0,0xx (4)xx,,,f(x),,4ecosx，， fexx(0)2(sincos)2,,，,,,0x xf(x),ecosx从而得的三阶麦克劳林公式为 ()4,,,,,fff(0)(0)()θx234,fxffxxxx()(0)(0),，，，， 2!3!4! θx1ecosθx34,1，x,x,x(0,θ,1)。 36 311x21，x,1，x,x，(0,θ,1)??19.证明:。 528216(1，θx) 11,f(0),,证明:设，则，， f(0),1f(x),1，xx,02x21， 35,,11322,,,,,fx,,，,,,，(0)(1)fxx()(1)，，从而有 x,0448 ,,,,,ff(0)()θx23,1(0)(0)，,，，，xffxxx2!3! 311x2,1，x,x，(0,θ,1)。 528216(1，θx) 22xxπ1cos,,x,???20.设，证明:。 0,x,2π2 知识点:麦克劳林公式的应用。 思路:泰勒公式(麦克劳林公式)可以应用于证明不等式;将函数展开到适当的形式，然后利用已知条件 和结论得到结果。 2xcosθx4cosx,1,，x(0,θ,1)证明:由麦克劳林公式，得，从而有 2!4! 21cosθxxcosθx1cosθxπ42221,cosx,,x,x(,x),x;?，? 0,x,2!242242224 211π48π48103211cosθx24(),,,,,,,,,，又，?有 x,0224296969696963π4!22xx1cos,,x,，结论成立。 2π 2sinxπ???21.证明不等式:。 ,,1(0,x,)πx2 知识点:导数的应用。 思路:拉格朗日中值定理，函数单调性，泰勒公式等都是常用的证明不等式的方法;根据此题特点，可以 用拉格朗日中值定理或函数单调性的判定定理。 sinx,ππ0,x,,: 令 ，则易知在上连续; 证明:方法一F(x)F(x),[0,]x,22,1x,0, πcos(tan)xxx,,?当时，有，?由拉格朗日中值定理，易知 0,x,Fx()0,,22x π2πππ,，即有:F(x),F(), ?; FxFF()()()()0(0),,,,,,,ξxxξ2π222 ,又有即: ?; FxFFxx()(0)()(0)0(0),,F(x),F(0),1,,,,,, ππ2sinx从而由??知，当时，有，即，结论成立。 0,x,F(),F(x),F(0),,12πx2 sinx,ππ0,x,,方法二:令 ，则易知F(x)在上连续 F(x),[0,]x,22,1x,0, πcos(tan)xxx,,?当时，有 0,x,Fx()0,,22x 2,?Fx()严格单调降，?，得证 ,,,,FFxF()()(0)12, ???22.利用函数的泰勒展开式求下列极限: 2x,21cosx,e，，2limx,xln(1，)(1) ; (2)。 lim,,2x,,0,xx,,xx，ln(1,x)，， 知识点: 泰勒公式的应用。 思路:间接展开法。利用已知的结论将函数展开到适当的形式，然后利用极限的运算性质得到结果。 11111，,,,，o解:(1)由泰勒公式得 ?有 ln(1)()22xxxx2 11111111，，，，，，222limx,xln(1，),limx,x(,,，o()),lim，xo()),。 222,,,,,,x,,x,,x,,222xxxxx，，，，，， 224xxx25ln(1,x),,x,，o(x)cosx,1,，，o(x)(2)由泰勒公式得 ，， 2!4!2 2x22()x224,xxx4422，? e,1,，，o(x),1,，，o(x)22!28 24242xxxx1x5444,1,，，o(x),(1,，，o(x)),x，o(x)2cosx,e2!4!2812 ,,221x,,x，ln(1,x)x4422,x，o(x)[,，o(x)]x22 21x44,xox(),，2xecos1,12从而。 lim,,2,0x16,,xxln(1x)，,44xox(),，2 x2222,p(x)，o(x),o(x)???23.求一个二次多项式p(x)，使式中代表时比高阶的xx,022 无穷小。 知识点:泰勒公式的应用。 x思路:将函数的麦克劳林公式展开，再根据已知条件即得结果。 2 2ln2xxln222x22,p(x)，o(x),2,e,1，xln2，x，o(x)解:由麦克劳林公式得:，再由22 2ln22p(x),1，xln2，x可知。 22 ???24.求下列函数的单调区间: n,x23y,xe(n,0,x,0)y,(2x,a)(a,x)(a,0)(1); (2); (3)。 y,x，sin2x知识点:导数的应用。 思路:利用一阶导数符号判断函数的单调性。求函数的单调区间，用导数为零的点及不可导点，将定义域 划分成若干个区间，然后在每个区间上判断函数的单调性;如果划分定义域的点有两个或以上，可列表讨论，使得思路更清晰一些。 23y,(2x,a)(a,x)(a,0)解:(1)的定义域为(,,,，,); 2211,,2223ax,3333,yxaaxxaax,,,,,,,,(2)()(2)()0令，得驻点为 2333(2)()xaax,, 2ax,a;不可导点为，。列表讨论如下: x,ax,31223 x a2aa2(a,，,) (,,,)(,)(a,a)3223 ，，, ， ,fx() ??? ? f(x) 2a223由上表可知，在、内严格单增，而在内y,(2x,a)(a,x)(a,0)[a,，,)(,,,][a,a]33严格单减。 n,xnxnxnx,,,,,11,y,xe(n,0,x,0)ynxexexenx()0,,,,,(2)，令， ,,得x,0，x,n;当时，，当时，; y,0y,0x,n0,x,n12 n,xy,xe(n,0,x,0)?的单增区间为，单减区间为。 [0,n](n,，,) ,,xxnxnsin2,，,,，,,,,2(3)由知，yxx,，,sin2， y,x，sin2x,,,xxnxnsin2,,，,,，,,,,2, ,,12cos2xnx，,,,,,2,y,?; ,,,12cos2xnxn,，,,，,,,,2, ππ,nπ,,，xnπ?当时，令，得， y,0x,，nπ23 πππ,,并且当时，，函数单调递增，当时，，函数y,0y,0nπ,x,，nπ，nπ,x,，nπ332单调递减; π5π,nπ，,,，xnππ?当时，令y,0，得; x,，nπ26 π5π5π,,并且当时，y,0，函数单调递增，当时，y,0，nπ，,x,，nπ，nπ,x,π，nπ266函数单调递减; nπnππnππnππ综上可知，函数的增区间为，函数的减区间为。 [,，][，,，]2322223 ???25.证明下列不等式: 22(1)当时，1，xln(x，1，x),1，x; x,0 13(2)当时，。 x,x,sinx,xx,03 知识点:函数单调性的应用。 思路:利用函数单调性是证明不等式常用的方法。 22f(x)[0,，,)证明:(1)令f(x),1，xln(x，1，x),1，x，则在内连续，可导， xx22,fxxxxx()ln(1)ln(1)0,，，，,,，，,， 2211，，xx 22?在上严格单增;从而， [0,，,)f(x),f(0),0f(x),1，xln(x，1，x),1，x 22即，结论成立。 1，xln(x，1，x),1，x (2)令，则在内连续，可导， f(x),x,sinxf(x)[0,，,) ,,，且仅在可数的孤立点处成立， fxx()1cos0,,,fx()0, ?在上严格单增，从而，即; f(x),x,sinx[0,，,)f(x),f(0),0x,sinx(x,0) 13令，则在内连续，可导， g(x),sinx,x，xg(x)[0,，,)3 22xxx2222,gxxx()cos1,,，,x,2sin,x,,,0(x,0)且， 222 13从而在上严格单增，从而，即; g(x)[0,，,)g(x),g(0),0sinx,x,x(x,0)3 13综上可知，结论成立。 x,x,sinx,x3 b2(b,a)ln,???26.设证明:。 b,a,0,aa，b 知识点:导数的应用。 思路:可以将看作变量，利用函数单调性证得结论。 xb 证明:设f(x),(lnx,lna)(a，x),2(x,a)，(x,a)，则 1a,， fxaxxaxa()()(lnln)2(lnln)1,，，,,,,，,xx 11axa,,,， fxaxxaxa()()(lnln)20, (),，，,,,,,,,22xxxx ,,,?fx()在[a,，,)内严格单调递增，?fxfa()()0,,， 从而有f(x),(lnx,lna)(a，x),2(x,a)在[a,，,)内严格单调递增， ?当时，有f(b),(lnb,lna)(a，b),2(b,a),f(a),0， b,a b2(b,a)ln,即有，结论成立。 aa，b ??27.求下列函数图形的拐点及凹凸区间: 4,x3y,x(12lnx,7)y,xe(1) ; (2) ; (3) 。 y,1，x,2知识点:导数的应用。 思路:利用二阶导数的符号判断函数的凹凸性;求拐点和凹凸区间，用二阶导数为零的点及不可导点，将 定义域划分成若干个区间，然后在每个区间上判断函数的凹凸性;如果划分定义域的点有两个或以上，可 列表讨论，使得思路更清晰一些。 4y,x(12lnx,7)解:(1)的定义域为， (0,，,) 1343,， yxxxxx,,，,,,,4(12ln7)124(12ln4)x 1232,,,,，令，得; y,0yxxxxx,,，,,,12(12ln4)412144lnx,1x ,,,,当时，，当时，， y,0y,00,x,1x,1 4y,x(12lnx,7)?的凸区间为，凹区间为，拐点为。 (0,1][1,，,)(1,,7) ,x,x,x,,,,,y,xeyex(1)yex(2),,,,(2)的定义域为，，，令， (,,,，,)y,0 ,,,,;当时，，当时，， 得y,0y,0x,2x,2x,2 ,x,2y,xe(2,2e)?的凸区间为，凹区间为，拐点为。 (,,,2][2,，,) 2,133,,,yx(2)(3) 的定义域为，， (,,,，,)y,1，x,23 5,1223,,,,,,,,,,yx()(2)，为不存在的点; yx,25333,9(2)x ,,,,当时，y,0，当时，y,0， x,2x,2 3?的凹区间为，凸区间为，拐点为。 (,,,2][2,，,)(2,1)y,1，x,2 ???28.利用函数图形的凹凸性，证明不等式: x，yxx(1) ; (2)。 xlnx，ylny,(x，y)ln(x,0,y,0,x,y)sin,(0,x,π)22π 知识点:函数凹凸性的概念。 1,,,证明:(1)令，，，?在内是凹的。yttt,,ln, (0)yt,，1lny,tlnt(0,，,)y,,0t xlnx，ylnyx，yx，y,ln利用凹函数的定义，,x,y,(0,，,)(x,0,y,0,x,y)，有，222 x，yxlnx，ylny,(x，y)ln从而有，结论成立。 2 xx11x1x,,,f(x),sin,(2)令，，由， y,,cosyx,,,,,sin0, (0)π2π22π42 xx00ππf(x),sin,可知在(0,π)内是凸的;又，，f(0),sin,,0f(π),sin,,02π2π2π xxxx?由凸函数的定义知，，即sin,，结论成立。 f(x),sin,,0(0,x,π)2π2π (也可用单调性证明) 32,2f(x),x，ax，bxy,f(x)???29.设在处有极值，试确定系数，并求出的所有a,bx,1 极值点及拐点。 知识点:导数的应用。 思路:根据题意，得关于的关系式，确定的值;利用一阶导数符号判断函数的单调性和极值(可a,ba,b导的驻点还有第二充分条件);利用二阶导数的符号求函数的凹凸和拐点。 ,,,fx()21，a，b,,2,x,1,2,fxxaxb()32,，，，根据题意有，即有，解得 解:,,3，2a，b,0,fx()0,,,x,1, 3f(x),x,3x，从而; a,0,b,,3 2,fxx()330,,,x,,1令，得; 1,2 ,,当或者时，，当时，， fx()0,fx()0,x,,1x,1,1,x,1 ,,x,0从而知，为极大值点，为极小值点;令，得; fxx()60,,x,,1x,13 ,,,,当时，，当时，，从而知为拐点。 fx()0,fx()0,(0,0)x,0x,0 ???30.求下列函数的极值: 1，3xx,xy,2e，ey,(1) ;(2) ; (3) 。 y,x，tanx24，5x 知识点:极值的充分条件。 ,,思路:求y,0的点或者不存在的点，然后利用极值的第一或者第二充分条件进行判断。当所有的极y 值可疑点多于两个时，若利用第一充分条件，可列表讨论;第二充分条件仅用来对驻点是否为极值点进行 判断。 1，3xy,解:(1)的定义域为(,,,，,)， 24，5x 5x2345(13)，,，,xx212125,x45，x,令，得x,; y,,,0222545，x(45)45，，xx 1212,,x,x,当时，y,0，当时，y,0， 55 12122051，3xf(),y,x,?在处取得极大值为。 251054，5x x,xy,2e，e(2)的定义域为(,,,，,)， 2x21e,1,xx,yee,,,,20令，得， x,,ln2xe2 xx,,,,,yee20,，,又，?， y,01x,,ln22 11x,xy,2e，e从而在处取得极小值为。 x,,ln2f(,ln2),2222 ππ2,yx,，,1sec0(3) 的定义域为，， y,x，tanx(kπ,,kπ，)(k,Z)22?没有极值点。 y,x，tanx ,x,1f(x),xe???31.研究函数的极值。 思路:先去掉函数的绝对值，将函数写成分段函数的形式，然后再求极值。 x,1,xe,x,0,,x,1x,1解: ，定义域为， (,,,，,)0,x,1fxxexe,,(), ,,x，1x,1xe, x,1,,，(1)xex,0,x,1,, ，令，得驻点; fx()0,0,x,1x,,1fxxe()(1),，, ,,，x1x,1(1),xe, x,1fxfxe()(0)0,,,,1,在处，有fe(0)limlim,,,,， x,0,,,xx,,00xx,,00 x,1fxfxe()(0)0,,,1,fe(0)limlim,,,， ，，,xx,,00xx,,00 ,,ff(0)(0),?，?f(x)在处不可导，同理，f(x)在也处不可导; x,0x,1,， ,,易知，当时，fx()0,，当时，fx()0,， x,,1,1,x,0 ,2f(,1),e?在处取得极大值为; f(x)x,,1 ,,当时，fx()0,，当时，fx()0,，?f(x)在处取得极小值为,1,x,00,x,1x,0 f(0),0; ,,fx()0,fx()0,f(x)f(1),1当时，，当时，，?在处取得极大值为。 0,x,1x,1x,1 ???32.求下列函数的最大值、最小值: 12x1xy,,x,[,,1]y,x,x,(0,，,)(1); (2) 。 1，x2 知识点:导数的应用。 222xx，x1,y,,0y,,x,[,,1]解:(1)，令，得; x,02(1)，x1，x2 111?，，， f(1),f(,),f(0),0222211x1y,?在区间上的最大值为，最小值为。 f(,),f(1),f(0),0[,,1]1，x222 111ln,xxx,yx,,()0(2) ，令，得唯一驻点; y,x,x,(0,，,)x,e2x ,,当时，有，当时，有， y,0y,0x,e0,x,e 1 x? 为在区间内唯一的极大值点， y,x[1,，,)x,e 11xe从而在区间内的最大值为，没有最小值。 y,xf(e),e[1,，,) 11f(x),，???33.设，求的最大值。 a,01，x1，x,a 知识点:导数的应用。 思路:先去掉函数的绝对值，将函数写成分段函数的形式，然后再求最值。 11,，,,0x,11,，,xax,11,解:， fxxa(),0,，,,,11，，,xax, 11,，,,xa,11,，,xxa, ,11，,x0,22(1)(1),，,xax, ,11,; fxxa()0,,，,,,22(1)(1)，，,xax, ,11,,,xa,22(1)(1)，，,xxa, ,,时，fx()0,，函数f(x)单调递增;当时，fx()0,，函数f(x)单调递减， 当x,ax,0 11f(x),，?在定义域(,,,，,)上的最大值即为在[0,a]上的最大值; 1，x1，x,a 2，aa4a,f(0),f(a),令fx()0,，得，又f(),，， x,222，a1，a 242，aa,,,,0且， 2，a1，a(2，a)(1，a) 2，a11?函数f(x),，在定义域上的最大值为。 f(0),f(a),(,,,，,)1，x1，x,a1，a 3,,，(1n)???34. 求数列的最小项的项数及该项的数值。 ,,2(1n),,, 知识点:导数的应用。 x,x思路:求数列的最大项最小项问题可转化为求函数在区间内的最值问题;若f(n)f(x)[1,，,)0 f(n),f([x])f(n),f([x]，1)为在区间内的最值点，则与其中之一为数列中的f(x)[1,，,)00最值项。 3(1)，xfxx(), (2),,，则在区间内， 解:设[2,，,)2(1),x 22323(1)(1)2(1)(1)(1)(5)，,，,，，,xxxxxx,fx()0,,,令，得唯一驻点; x,543(1)(1),,xx ,,当时，，当时，， fx()0,fx()0,2,x,5x,5 3(1，x)?为在区间内唯一的极小值点，也是最小值点; [2,，,)f(x),x,52(1,x) 3,,，(1n)27?当时，取得最小项，且该项的数值为。 n,5,,22(1,n),, 1pp???35. 证明:。 ,x，(1,x),1(0,x,1,p,1),1p2 知识点:导数的应用。 思路:求函数在闭区间上的最大值和最小值。 pppp,,11,f(x),x，(1,x),x,[0,1]fxpxpx()(1),,,证明:设，则， 1,令fx()0,，得; x,2 11,,当时，fx()0,，当时，fx()0,， 0,x,,x,122 1ppf(x),x，(1,x)?在处取得极小值， x,2 1111()又f(0),f(1),1，， f,，,ppp,12222 1pp1f(x),x，(1,x)[0,1]?在上的最小值为，最大值为， p,12 1pp从而有。 ,x，(1,x),1(0,x,1),1p2 ????36. 某商店每年销售某种商品件，每次购进的手续费为元，而每件的库存费为元/年，若该商cab 品均匀销售，且上批销售完后，立即进下一批货，问商店应分几批购进此种商品，能使所用的手续费及库存费总和最少, 知识点:导数的应用。 思路:根据题意，建立函数模型，求函数的最值。 a解:设商店分批购进商品，则所用手续费为元，因为商品均匀销售，所以商店的库存量为件，xbx2x acac库存费为元，从而手续费和库存费总和函数为; y,bx，,(x,0)2x2x acacacac,,,,,y()0,x,令，得;又，， yb,,,0y,,0232b2bx2x acacx,?为的极小值点，也为最小值点; y,bx，,(x,0)2b2x ac从而可知，商店应分批购进此种商品，能使所用的手续费及库存费总和最少。 2b ????37. 以汽船拖载重相等的小船若干只，在两港之间来回运送货物。已知每次拖4只小船一日能来回16次，每次拖7只小船则一日能来回10次。如果小船增多的只数与来回减少的次数成正比，问每日来回多少次，每次拖多少只小船能使运货总量达到最大, 知识点:同36。 思路:同36。 y,axz解:设每日来回次，每次拖只小船，每只小船运货为，则每日的运货总量为，又根据题zxa z,47,41,意(小船增多的只数与来回减少的次数成正比)可得，? ， z,12,x16,x16,102 1从而得每日运货总量函数为(x,0)， y,ax(12,x)2 11,令，得; yaxaxax,,，,,,,(12)()(12)0x,1222 1,,,,又，，?为的极大值点，也为最大值点，ya,,,0y(12)0,(x,0)y,ax(12,x)x,122 又时，，?每日来回12次，每次拖6只小船能使运货总量达到最大。 x,12z,6 33xyaxy，,,30???38.求笛卡尔曲线的斜渐近线。 知识点:斜渐近线的概念。 思路:利用结论: f(x)k,lim,b,lim[f(x),kx],y,kx，b为y,f(x)的斜渐近线 L:xx,,,,xxx,，,,，,,,,,,,,,x,,,x,,,,,,, 3at,x,3,,1，t33x，y,3axy,0解:笛卡尔曲线的参数方程为， ,23at,,y3,，1t, 23f(x)3at1，tk,lim,lim,,limt,,1， 3x,,t,,1t,,1x3at1，t 23363at，atat，alimlim,,,,a， b,lim[f(x),kx],lim[f(x),kx]32t,,1t,,1x,,x,,13，tt y,,x,a?所求斜渐近线为。 ??39求曲线在点处的曲率及曲率半径。 y,ln(secx)(x,y) 知识点:曲率和曲率半径的计算公式。 思路:利用曲率及曲率半径的公式即可。 12,,,yx,sec解: ?，， yxxx,,,,sectantansecx ?曲线在点处的曲率及曲率半径分别为 y,ln(secx)(x,y) 22secx,,ysecx1,,cosx，。 R,,secxK,,333Ksecx2222,(1())(1tan)，，yx 2xy???40.证明曲线在点处的曲率半径为。 (x,y)y,achaa xxxxxx,,,xaa11aaaaaa,y,ach,(e，e),,,,,yeeee()()解:?，， a222a xxxx,,11aaaaeeee，，()()xx,,,yaa221aa,,yee,，()， K,,,33xxxx,,a21122322aaaa,，y(1())，,，eeee(1())[()]42 1 aaa， ,,,xxxx2,,y1a22aaaa[(ee)][(ee)]，，22 2x1y(x,y)?曲线y,ach在点处的曲率半径。 R,,aKa 222333x，y,a???41.求内摆线的曲率半径和曲率圆心坐标。 知识点:曲率半径和曲率圆的概念。 思路:利用曲率半径和曲率圆中心公式。 3,222x,acosθ,333x，y,a解:内摆线的参数方程为， ,3,y,asinθ, 2,11y3sincosaθθ4,,,,,，， ,,,,y(tan)seccscθθθy,,,,,tanθ,2,,xa3xa3cossinθθ,, 44seccscseccscθθθθ,,y1， K,,,,3333sincosaθθ3secaθ2222,(1())3(1tan)，，yaθ 22231333,asin2θ?的曲率半径为;令曲率圆的圆心为，则有 x，y,a(ξ,,)R,2K 22,,yy(1())tan(1tan)，,，θθ322ξxacoscos(cos3sin)θaθθθ,,,,,，1,,y4seccscθθ3a， 22,1()1tanyθ，，322,,，,，,，yasinsin(sin3cos)θaθθθ1,,4yseccscθθ3a 2222(cos(cos3sin)sin(sin3cos))aθθθ，，,aθθθ即曲率圆的圆心为。 课外习题与解答 ????1、求下列极限 21n(1)、(1998)n lim(tan),,nn 12t,lntanlnsectanttttt,,1xlimlim221tant1222，，xxtttt2tantt,,00lim(tan)lim()x,解:令fx,x，则 ,,ee()(tan)，x,，,0t,xtx 1tt,sin22ttttt,,sincos1cos2212limlimlimlim32322，，，，ttttt2cos266tttt,,,,00003,,,,,eeeee。 a12(2)、(1997) lim[,(,a)ln(1，ax)](a,0)2x,0xx a1aln(1，ax)22解: lim[,(,a)ln(1，ax)],lim[,，aln(1，ax)]22x,x,00xxxx aa,aln(1ax)axln(1ax)，,，1ax， lim[]limlim,,,,22x,0x,0x,0x2xxx 22aaxaa，,,,lim。 x,02x(1，ax)2 1，tanx,1，sinx(3)、(1999)lim 2x,0xln(1，x),x 1，tanx,1，sinxtanx,sinxlim,lim解: 22x,0x,0xln(1，x),x(xln(1，x),x)(1，tanx，1，sinx) 2x sin(1cos)121,xxx2 ,,,,,limlimlimxxx,,,00012cos(ln(1))2(ln(1))42，,，,xxxxxx(1),1，x nat(natx)n,is(nisx)(4)、mil x,0natx,nisx 213333解:?, tanx,x，x，o(x)sinx,x,x，o(x)3!3! 213333 ?, , tan(tanx),tanx，tanx，o(x)sin(sinx),sinx,sinx，o(x)3!3! 21333 tan(tanx),sin(sinx),tanx,sinx，tanx，sinx，o(x)3!3! 21333tanx,sinx，tanx，sinx，o(x)tan(tanx),sin(sinx)3!3!从而 lim,limx,x,00tanx,sinxtanx,sinx 21333xxoxtan，sin，()213!3!,1，lim,1，,2，,2,2。 x,013!3!3x2 f(x),,???2、设在区间内，。试证明函数分别在区间和(,,,，,)f(x),0,f(0),0(,,,0)x(0,，,)内是单调增加的。 ,f(x)xfxfx()(),,证明:令F(x),，则， Fx(),2xx ,,,,,,,,再令gxxfxfx()()(),,，则gxfxxfxfxxfx()()()()(),，,,， ,,,,?f(x),0，?当时，gx()0,，当时，gx()0,; x,0x,0 /g(x),xf(x),f(x)?在内单调递减，在内单调递增， (,,,0)(0,，,)由f(0),0，可得g(0)0,， 从而,,,,，,x(,)，均有gxg()(0)0,,; ,f(x)xfxfxgx()()(),,F(x),?有，在(,,,0)和(0,，,)内单调递增，结论Fx()0,,,22xxx 成立。 ,f(x)[a,b](a,b)f(c),0(x,c)f(x),0??3、设在上可导，若c为内一定点，且，。证明在 [a,b]f(x),0上必有。 ,f(x)[a,b](x,c)f(x),0证明:? 在上可导，， ,,?当时，有，单调增;当时，有，单调降， fx()0,fx()fx()0,fx()xc,xc, ，?在上必有 又?f(c),0[a,b]f(x),0 22(x,1)lnx,(x,1)???4、(1999)试证:当时，。 x,0 2x,1121x，,,()0x,,,,证明: 令，则， (x),lnx,,22xxxx(1)(1)，，x，1 x,11,1?(x),lnx,在内单调递增;又， (0,，,),,(1),ln1,,0x，11，1 x,122(x,1)lnx,(x,1)?当时，，，从而; (x，1)lnx,x,1,(x),lnx,,00,x,1x，1 x,122(x,1)lnx,(x,1)当时，，，从而，综上(x，1)lnx,x,1,(x),lnx,,0x,1x，1 22(x,1)lnx,(x,1)可知，当时，。 x,0 3222y,2y，2xy,x,1????5、(1996)设由方程所确定。求的驻点，并y,y(x)y,y(x) 判定其是否为极值点。 2,,,64220yyyyxyx,，,,解:对方程两边求关于的导数，得， x xy,,,y,y,x解得，令，得; y,0232yyx,， 3223222322y,2y，2xy,x,1y,x将代入，得? 2221210xxxxxx,，,,,,,, 322222221(1)(21)0xxxxxxx,，,,,,，，,?是方程?的解，?， x,1 解得驻点;由，得y,1， x,1x,1 2,,,(1)(32)()(621)1,,，,,,，yyyxxyyyy,,又， y,,,0xx,,1122(32)2yyx,，yy,,11 ?y,y(x)为的极小值点。 x,1 22BABy,xA(a,a)???6、设抛物线上点()处的法线交该抛物线的另一点为，求线段的a,0 最短长度。 22b,a22B(b,b)A(a,a)k,,b，a解:设，则在点处，法线的斜率， 法b,a 11,b，a,,b,,a,而切线的斜率为，?有，即;从而 kya2,,切xa,2a2a 31222222ABL,AB,(b,a)，(b,a),(4a，1)线段的长度; 24a 3122dL1134a，1(2a,1)2222,,(4a，1)，,(4a，1),8a,,0令， 323da22a4a2a 1133ABa,,a,,得，且易验证为极小点，也为最小点，故可得的最短长度为。 222 11,????7、设在连续。试证。 f(x)f(x)dxf(x)[0,1]f(0),0 , f(1),1,,,0e证明:根据已知条件，得 111,,,xxx,,, fxfxdxefxfxdxefxefxdx()()()()(()()),,,,,,,,000 1,x1，结论成立。 efx,,()0e ,,????8、在[0，1]上具有二阶连续导数，且满足及，证f(x)f(1),f(0)f(x),M(x,[0,1] M,明对一切有f(x),成立。 x,[0,1]2 证明:，由泰勒公式，可得 ,x,[0,1] ,,f(),21,1, (介于与之间) ? xffxfxxx(1)()()(1)(1),，,，,12! ,,f(),22,,(介于与之间) ? xffxfxxx(0)()()(0),，,，022! ,,,,ff()(),,2221,?f(1),f(0)，? 由?-?，得， fxxx()(1),,,2!2! 22,,x，(1,x),1又,x,[0,1]，有，且，从而有 f(x),M(x,[0,1] ,,,,ff()(),,MM212222,fxxxxx()(1)[(1)],，,,，,,，结论成立。 2!2!22 ????9、设函数f(x)在区间[,1,1]上具有三阶连续导数，且f(,1),0,f(0),0,f(1),1, ,,,,f(0),0,,(,1,1)f(,),3，证明存在一点，使。 证明:,x,[,1,1]，由泰勒公式得 ,,,,,ff(0)(),23,,(介于与x之间) fxffxxx()(0)(0),，，，02!3! 分别令和，并结合已知条件得 x,,1x,1 ,,,,,f(),f(0)1,1,(介于与之间) ? 0(1),,,,f0126 ,,,,,f(),f(0)21(介于与之间) ? ,1(1),,，f0226 ,,,,,,ff()()6,,，, 由?-?，得21 ,,,?在区间上具有三阶连续导数，?在[,,,]上连续， f(x)[,1,1]fx()12 从而由介值定理知，至少有一点,,[,,,],(,1,1)，使得 112 1,,,,,,,,,; ,,,,，,fff()[()()]31122 ,,,再由最值定理知，至少有一点,,[,,,],(,1,1)使得在处取得[,,,]上的最大值，fx()x,,1212 ,,,,,,ff()()3,,,,，结论成立。 从而有1 ,,????10、(1996)设在上具有二阶连续导数，，求证: f(x)[0,1]f(x),a,f(x),b,c,(0,1) b,f(c),2a，。 2 证明:，由泰勒公式，得 ,x,[0,1] ,,f(),2,,,，又， f(x),a,f(x),b,c,(0,1)fxfcfcxcxc()()()()(),，,，,2! ,,,,ff()(),,22,fcxcfxfcxcfxfcxc()()()()()()()(),,,,,,，，,从而可得 2!2! b,2a，。 2